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几何基础与测量：先问我们正在量什么

上一章，我们知道同一形状的长度放大2倍，面积会放大4倍，体积会放大8倍。这一次，我想把这些倍数放回可以看见、可以测量的对象中。

量桌边，问一段线有多长；给花坛围栏，问边界绕一圈有多长；铺地板，问里面能铺多少个单位小方格；往水箱装水，问内部能容纳多少个单位小方块。

这些问题分别指向长度、周长、面积和体积。公式不是看到图形名字以后立刻拿出来的一串符号，而是把数线段、铺方格、叠方块的过程写得更快。

我会先陪你读清图形条件，再选单位与公式。本章使用通常的欧氏平面与空间几何模型，图形不考虑弯曲地球表面等其他情境。第一遍先学稳周长、面积、长方体与圆柱；割补说明、扇形和测量区间可以分第二次阅读。

点、线、面：图上记号与数学对象要分开

点只表示位置，没有长宽厚度。纸上的墨点有大小，只是我们用来指位置的记号，例如点 $A$ 。

线段有两个端点，可以测长度，例如线段 $AB$ 。直线向两端无限延伸，射线从一个端点向一个方向无限延伸，二者没有一个有限的总长度。点移动的轨迹可以是直的，也可以是弯的，不能只靠“点动成线”就把所有轨迹都叫直线。

平面可以想成向各方向无限延展、没有厚度的平展表面。桌面的一块区域只是平面图形的实际近似，不是整个数学平面；研究桌面形状时，通常暂时忽略桌板厚度。

平面图形研究同一平面内的线与区域，立体图形还涉及空间。圆周是一条边界曲线，圆面包括里面的区域；盒子的表面与盒子占据的空间，也不是同一个对象。

角的大小，看转动，不看边画多长

两条射线有共同端点，可以描述一个角。公共端点为顶点，射线为角的边。画成 $\angle ABC$ 时，中间的字母 $B$ 是顶点。

把一整圈分成360份，一份为1度。直角90度，平角180度，周角360度。大于0度、小于90度的是锐角；大于90度、小于180度的是钝角；大于180度、小于360度的是优角。0度不是锐角。

同一对射线可能围出大小不同的转角区域，因此图上的角弧要标清讨论哪一边。把射线在纸上画长，不会让已经指定的角变大。

相交、垂直与平行

两条相交直线形成的对顶角相等；构成平角的一对相邻角之和为180度。一般地，两个角之和为180度，叫互为补角；和为90度，叫互为余角。这两个名称不要求角一定相邻。

两条直线相交成直角，叫互相垂直。同一平面内两条不同直线不相交，叫平行。平行线之间的垂直距离处处相等，后面面积公式中的高，常常就在量这个距离。

图不一定按比例绘制。看起来垂直，不等于已知垂直；看起来等长，不等于已知等长。我们要使用题目给出的尺寸、记号，以及能够从已有条件推导出的关系，而不是把视觉猜测当成条件。

图形的名字，是条件，不是外貌昵称

三角形：三条边也要能够合拢

三条线段首尾连接，围出不退化的三角形，需要任意两边之和大于第三边。2、3、6厘米不能围成三角形，2与3接起来仍短于6；2、3、5厘米也不行，恰好相等时只能排成一条线。

本课程把至少两边相等的三角形叫等腰三角形，因此等边三角形是特殊的等腰三角形。等腰三角形等边所对的角相等；等边三角形三个角都为60度。不等边三角形则三边各不相等。

按角另作分类：三个角都锐的为锐角三角形，有一个直角的为直角三角形，有一个钝角的为钝角三角形。按边与按角的分类可以同时使用，例如等腰直角三角形。

为什么内角和是 180 度

在本章的平面几何中，三角形内角和为180度。剪下三个角拼成平角能帮助观察；更有根据的解释是：过一个顶点作对边的平行线，利用平行线的角关系，把另外两个内角搬到顶点旁，三个角组成一个平角。

所以两个角为38度与104度，第三个角为38度。两角相等对应两边相等，它既是等腰三角形，又是钝角三角形。

三条边固定且满足三角形条件，形状就在全等意义下确定。把边看成不可伸缩的杆、连接点看成铰接时，三角框不容易像一般四边框那样推斜。实际结构能承受多少力，还需要材料与连接等信息，不能只凭画了三角形就得出结论。

四边形的类别有包含关系

本章四边形指不自交、围成一个区域的简单四边形，内角和为360度。凸四边形可从任一顶点连对角线分成两个三角形；凹四边形要选择留在内部的那条对角线，不能随手画一条跑到区域外面的线还照搬分割。

平行四边形有两组对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分。长方形是四个角都为直角的平行四边形，对角线还相等；菱形四边相等，对角线互相垂直并平分，但角不一定为直角。

正方形同时是长方形与菱形，也是平行四边形。这不是互相排斥的几个抽屉。

本课程把只有一组对边平行的四边形叫梯形。那组平行边是两底，两底所在直线之间的垂直距离为高。讨论分类时先认本课程采用的条件，别只看一个图形摆得正不正。

圆：固定到圆心的距离

平面内到一个固定点 $O$ 的距离都等于正数 $r$ 的点，组成圆周。 $O$ 为圆心，连接圆心与圆周点的线段为半径；经过圆心、两端在圆周上的弦为直径。

d=2r.

弦连接圆周上的两个点，直径是最长的弦。圆周上的一段为弧；两条半径与指定的一段弧围出的区域是扇形。算圆面面积与算圆周长度，从对象开始就已经不同。

单位：一段、一块、一层层的小方块

长度拿单位线段量，面积拿单位正方形铺，体积拿单位正方体填。常用长度关系为

1\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{dm}=100\,\mathrm{cm}=1000\,\mathrm{mm}, \qquad1\,\mathrm{km}=1000\,\mathrm{m}.

把一米看成一百厘米，没有把实际线段拉长，只是换了更小的单位。

面积需要在两个方向同时换单位：

1\,\mathrm{m^2}=100\times100\,\mathrm{cm^2}=10000\,\mathrm{cm^2}.

体积有三个方向：

1\,\mathrm{m^3}=100^3\,\mathrm{cm^3}=1000000\,\mathrm{cm^3}.

我每次看到换算题，都会先看右上角是没有指数、平方还是立方。米到厘米的长度倍率是100，但不能把这个倍率原样搬给面积和体积。

使用实验时，可以拿一米、一平方米、一立方米换成相应厘米单位作核对：数字应分别乘100、10000、一百万。先预测，再看演示，才能把指数与方向数联系起来。

容量要看容器的内部

1\,\mathrm{L}=1\,\mathrm{dm^3}=1000\,\mathrm{cm^3}, \qquad1\,\mathrm{mL}=1\,\mathrm{cm^3}.

这些是容量单位与体积单位的换算关系，不依赖装的是水还是其他物质。质量则是另一种量，不能把一毫升任意物质都当成一克。

容器的外形体积不等于内部容量，壁厚与内部构造都可能占空间。用内尺寸算出的装满体积，也不自动等于规定的工作装量。

先统一长度单位，能少犯很多错

长2米、宽30厘米的长方形，最方便先写为2米乘0.3米，面积0.6平方米；或200厘米乘30厘米，得到6000平方厘米。

保留单位时， $2\mathrm{m}\times30\mathrm{cm}=60\mathrm{m\cdot cm}$ 本身并非没有意义，还能继续换算。但不能只算2乘30得60，就随手给它添上平方米。我们优先统一单位，是为了避免这种误标。

边长3米的正方形，面积是9平方米；面积3平方米的正方形，边长是 $\sqrt{3}$ 米。数字相同，所量的对象不同，不能互换。

周长：沿所要求的边界走一圈

三角形的周长 $P=a+b+c$ ，长方形 $P=2(l+w)$ ，正方形 $P=4a$ 。它们都在加边界长度，所以答案仍用厘米或米，而不是平方单位。

复合图形拼接在内部的公共边，不属于外边界。若题目问一块带孔薄板的全部边缘长度，孔的边缘也要计入；若只问外周长，则不包含孔。先沿题目指定的边界走一遍，再列算式。

给封闭花坛围栏而留入口，实际围栏长度要减去不安装的那一段。若临墙一边不用围，也要明确那一边是否属于所求材料长度。

圆周长为什么包含 π

不同大小的圆，周长与直径的比是同一个常数 $\pi$ ：

C=\pi d=2\pi r.

用细绳和直尺测几个杯盖，可以观察比值接近3.14；有限精度的实验帮助建立直觉，不单独证明所有圆都严格满足这个常数关系。

$\pi$ 是一个确定的无理数，不等于3.14。题目要精确值时保留 $\pi$ ，要近似值时再按要求计算。使用3.14代替它的误差，与真实物体尺寸的测量误差，也是不同来源。

例题：半圆边界别漏掉直径

直径12米的半圆形观景台，直径边上留1.5米入口，其余边界安装护栏。忽略接头等额外用量，求理论长度。

半圆的边界包括半圆弧与直径，不是只有弯边。

半圆弧长为 $\frac12\times12\pi=6\pi$ 米。

加直径、减入口，得到 $(6\pi+12-1.5)$ 米，即 $(6\pi+10.5)$ 米。

取 $\pi\approx3.14$ ，结果约29.34米。它是题设下的理论长度；实际采购需要另有明确的接头、裁切与规格要求，不能把未知余量偷偷加入这个答案。

面积从长方形开始：数方格的快捷办法

长4厘米、宽3厘米的长方形，每行四个一平方厘米小格，共三行，面积 $4\times3=12$ 平方厘米。因此

A=lw, \qquad A_{\text{正方形}}=a^2.

分数边长可以进一步细分单位方格理解；实数边长的公式沿着同样的连续测量关系延伸。面积不是只有边长为整数时才有意义。

已知面积54平方米、长9米，宽为 $54/9=6$ 米。反求时用面积除以已知的非零边长，与前面解方程的思路相同。

周长相同，面积不一定相同

1米乘9米的长方形，与5米乘5米的正方形，周长都20米，面积却分别为9与25平方米。

边界总长度相同，没有固定长与宽怎样分配，所以内部面积可以不同。遇到题目只给周长却要求一个确定面积时，我会先检查是否还有遗漏条件。

割补：把陌生形状接到已懂的面积上

平行四边形用底与对应的高

把适当的一角剪下平移补到另一侧，可以看到面积等于同底同高长方形的面积：

A=bh.

图形斜得较多时，可能需要调整分割位置或分几块移动，不能声称任意姿态都能用完全相同的一刀拼好。面积关系不变：高是底与对边之间的垂直距离，不是斜边长度。

换另一条边作底，对应的高也要换。相邻两边12厘米、8厘米，以12厘米为底时高5厘米，面积60平方厘米，不是 $12\times8$ 。

三角形占同底同高平行四边形的一半

复制一个全等三角形，通过转动与拼接构成平行四边形，原三角形占一半：

A=\frac12bh.

高从对应顶点垂直到底所在直线。钝角三角形的某条高落在底的延长线上，仍然可以用于面积公式，不要求每条高都画在三角形内部。

同底等高的三角形面积相同。顶点沿与底平行的直线移动，形状变了，但垂直距离不变，所以面积不变。

梯形把两底先合起来

两份全等梯形经转动拼成底长 $a+b$ 、高为 $h$ 的平行四边形，得到

A=\frac{(a+b)h}{2}.

也可读成两底的平均长度乘高。这里 $a,b$ 必须是那一组平行边，不能把任意两条边相加就叫两底。

梯形复制旋转后拼成底为a加b、高为h的平行四边形，解释梯形面积公式

例题：面积连接单位用量

梯形地块两底18米、27米，垂直高14米。题设每平方米恰需0.04千克种子，不计额外损耗。

先检查14米是高，不是斜腰。面积 $\frac{(18+27)\times14}{2}=315$ 平方米。

单位用量乘面积， $315\times0.04=12.6$ 千克。

平方米与千克/平方米配合后留下千克。几何公式先求面积，单位率再把面积转成所需质量。

圆面与扇形：弯边也有面积

把圆分成越来越多的相等扇形，再交错排列，可以得到越来越接近长方形的图形。高趋近 $r$ ，长趋近半圆周长 $\pi r$ 。

有限分块时，边界仍有小弧，不是已经拼成精确长方形；沿着继续细分的极限思路，得到圆面积的精确公式：

A=\pi r^2.

这是帮助理解公式的一条路线，不能把“看起来近似”直接当作有限块拼接就严格相等。

给直径时，先还原半径

A=\pi\left(\frac d2\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}.

把直径误当半径，面积会变成正确值的4倍。周长与半径成正比，面积与半径的平方成正比，量的维数再次出现。

同心圆环的外半径 $R$ 、内半径 $r$ ， $0<r<R$ ，面积是

A=\pi(R^2-r^2).

不是 $\pi(R-r)^2$ 。先分别求两个圆的面积再相减，比只盯着宽度 $R-r$ 更清楚。

扇形先找占整圆的比例

半径 $r>0$ 、圆心角为 $n$ 度，且 $0<n<360$ 的普通扇形，有

L_{\text{弧}}=\frac{n}{360}\,2\pi r, \qquad A=\frac{n}{360}\,\pi r^2.

扇形周长是弧加两条半径：

P=L_{\text{弧}}+2r.

这个周长公式限定扇形有两条实际边界半径。若取完整360度圆面，边界只有圆周，不能再加两条重合的半径。

例题：面积与弧长不要回答串了

直径12厘米，圆心角60度，半径为6厘米，占整圆六分之一。面积为 $6\pi$ 平方厘米，弧长为 $2\pi$ 厘米，扇形周长为 $(2\pi+12)$ 厘米。

三项共用同一组尺寸，却不是同一个答案。题目问周长时，仅给出弧长还没有完成。

勾股定理：直角让三条边建立面积关系

直角两侧的边为直角边 $a,b$ ，直角对面的边为斜边 $c$ 。在非退化直角三角形中，三边为正，斜边最长，且

a^2+b^2=c^2.

它说的是边上的三个正方形面积之间的关系，不是 $a+b=c$ 。

用一个大正方形检查公式

把四个全等的直角三角形排进边长 $a+b$ 的正方形，让四条斜边围成中间的小正方形。直角三角形的两个锐角相加90度，所以中间图形的四个角也是直角，边长都为 $c$ 。

大正方形减去四个三角形的面积，得到

c^2=(a+b)^2-4\times\frac{ab}{2} =a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2.

这里把第七章的展开与几何面积连起来了。已知两条直角边，求 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ ；已知斜边与一条直角边，求另一边 $b=\sqrt{c^2-a^2}$ ，选正根作为长度。

例题：梯子是哪一条边

题设墙与地面垂直，笔直梯子长6.5米，梯脚距墙2.5米，求顶端离地高度。忽略厚度等其他几何细节。

梯子对着直角，是斜边；地面距离为一条直角边。

$2.5^2+h^2=6.5^2$ ，所以 $h^2=42.25-6.25=36$ 。

高度为正，取 $h=6$ 米。它小于6.5米，且 $2.5^2+6^2=6.5^2$ ，核对一致。

这是数学尺寸计算，不是在判断这种梯子摆放是否符合实际使用要求。

不能凭图看起来像直角就使用勾股定理。反过来，已知一个三角形的正边长，最长边 $c$ 满足 $a^2+b^2=c^2$ ，可以由逆定理判断它为直角三角形。两种使用方向都要先明确条件。

立体图形：装多少与包多少是两道题

体积看空间里的单位立方体，表面积看边界上的单位方格。把两者同时算一题时，我会在草稿两列分别写“平方单位”和“立方单位”，防止最后把正确数字配错单位。

长方体先铺一层，再叠高度

长、宽、高为 $l,w,h$ 的长方体，

V=lwh=Bh,\qquad B=lw.

整数尺寸时，可以直接数每层有多少个单位小方块、共叠多少层；更一般的尺寸继续使用同样的体积关系。

完整长方体有两片 $lw$ 、两片 $lh$ 、两片 $wh$ ，表面积为

S=2(lw+lh+wh).

棱长 $a$ 的正方体是特殊长方体，所以 $V=a^3$ ， $S=6a^2$ 。

无盖箱不能算上盖，贴地的面是否涂刷要按题意。内部隔板、搭接片等额外材料，也不是一个外表面积公式自动包含的部分。

直棱柱：底面是多边形

棱柱有两个平行且全等的多边形底面，侧面连接对应边。直棱柱的侧棱垂直于底面，底面积 $B$ 、柱高 $H$ 时，体积 $V=BH$ 。

若底面是三角形，用 $b$ 与 $h_{\triangle}$ 表示三角形的底和高，则

V=\left(\frac12b h_{\triangle}\right)H.

三角形的高与柱高是不同长度，不要在同一式中含糊地都叫 $h$ 。

直棱柱底面周长为 $p$ ，各侧面展开后组成长为 $p$ 、高为 $H$ 的长方形带，所以

S_{\text{侧}}=pH,\qquad S_{\text{总}}=pH+2B.

斜棱柱的体积仍可用底面积乘两底的垂直距离，但侧面积不能直接把同一个垂直高代入 $pH$ 。这一章侧面积公式使用直棱柱条件。

直圆柱：同样叠层，但不是棱柱

圆柱底面是圆，不是多边形，所以不把圆柱称为“圆形底面的棱柱”。我们这里处理底面垂直于轴线的直圆柱，半径 $r$ 、高 $h$ 。

底面积 $\pi r^2$ ，叠成高度 $h$ ，体积为

V=\pi r^2h.

侧面沿母线剪开铺平，是长 $2\pi r$ 、宽 $h$ 的长方形。因此

S_{\text{侧}}=2\pi rh,\qquad S_{\text{封闭总表面}}=2\pi rh+2\pi r^2.

顶底是否存在、取内尺寸还是外尺寸，必须和题目问的对象一致。

例题：无盖圆柱桶的内表面与容量

内半径0.3米、内高0.8米，无内部构件，顶部敞开。题目把“内表面涂层”定义为侧壁加内底，忽略涂层厚度与边缘额外面积。

涂层面积 $\pi(0.3)^2+2\pi(0.3)(0.8)=0.57\pi$ 平方米，约1.79平方米。

内部装满体积 $\pi(0.3)^2(0.8)=0.072\pi$ 立方米。

换算为 $72\pi$ 升，约226升。实际允许装量若要求留空，应根据给出的留空条件另算。

用外半径代替内半径，会把桶壁占据的空间也当成容量；拿侧面积当体积，则连所量的对象都变了。

复合图形：先拆清区域，再沿最终边界核对

面积可把不重叠区域分割后相加，也可先补成大图形，再减去空缺。相加时若有重叠，要避免重复计算；减去时，空缺必须确实包含在大图形里。

L形地面可以拆成两个长方形，也可以大长方形减缺口。哪种分法少添未知长度，我就优先用哪种，不必寻找一个只属于L形的新公式。

通过正方形减去四分之一圆，以及平行四边形分成三角形，说明面积的分割与补全

这类示意图说明的是割补方法；下面例题使用自己明确给出的边长与半径，不把示意图上可能使用的同一字母尺寸当成题设。

例题：面积减去了什么，周长又增加了什么

边长10厘米的正方形，在右上角挖去以该顶点为圆心、半径2厘米、位于正方形内部的四分之一圆区域。

原面积100平方厘米，挖去面积 $\frac14\pi\times2^2=\pi$ 平方厘米，剩余 $(100-\pi)$ 平方厘米。

取 $\pi\approx3.14$ ，剩余面积约96.86平方厘米。

周长另外数：原40厘米边界，上边和右边各少2厘米，多出四分之一圆弧 $\pi$ 厘米。

新周长为 $(40-4+\pi)=(36+\pi)$ 厘米。面积减少多少，与周长减少多少，不能互相替代。

复合立体也可以分割体积或减去空洞。若要求总外表面积，拼接后贴在内部的面不能继续当外露面相加。空心管的体积、内壁面积、外壁面积和端面面积，要按问题分别选择。

比例尺与相似：相同形状，才共享缩放因子

两图形相似，表示对应形状相同，所有对应长度按同一个正因子缩放；倍率可以是1，此时也可能是全等图形，不要求大小一定不同。

从模型到实物长度乘 $k$ ，对应周长乘 $k$ ，面积乘 $k^2$ ；三维相似模型的体积乘 $k^3$ 。这些比率必须比较同单位的量。

例题：先还原长度，还是直接放大面积

比例尺 $1:2000$ 的平面图，矩形草坪图上长3厘米、宽2厘米，且给出的长度是按同一比例表示的对应边长。

实际长6000厘米，即60米；宽4000厘米，即40米。

面积 $60\times40=2400$ 平方米。

另一路线：图上6平方厘米乘 $2000^2$ ，为2400万平方厘米，再除以10000，也得2400平方米。

平面图上的倾斜透视画法，不保证屏幕里任意线段都可直接乘比例尺。立体对象通常要从正投影、标注尺寸或实际缩尺模型中确定长宽高，而不是把透视图看起来的线长直接当作真实缩放长度。

单位换算与物体缩放共享平方、立方的结构，但意义不同：换单位时物体没变，只变数字；做相似放大时，物体尺寸真的变了。

测量与误差：记录到哪一位，不等于真实值准到哪一位

尺子读数可以进入公式，但公式不会自动消除起点没对准、视线倾斜、工具变形或对象边界选错的问题。

量线段时，先确定两个端点，尺子沿所测方向放置，视线尽量垂直读刻度。零刻度不清楚，可以从另一处清楚刻度开始，用末读数减初读数。

量角器中心对准角的顶点，零刻度线对准一条边，再读正确的一圈。角明显为锐角，读出140度，就应先检查是否看错内外圈。

测直径，不要把最大读数自动当成最好读数

理想圆的最长弦确实是直径，但实际几次读数会包含测量误差。只挑最大的那次，可能把偶然偏大的误差一起挑出来。

应该尽量确定经过圆心的方向，采用一致方法重复测量并保留记录；对象是否真圆，也需要检查。多测几次能观察波动，不保证消除共同的系统偏差。

先估数量级，再看精确计算

若题设地面长约8米、宽约6米，面积应在48平方米附近。计算器给出4800平方米，要先检查厘米、米或小数点；这比因为数字很长就相信它更可靠。

但仅说长“约8”、宽“约6”，没有给误差范围，不能由此推出一个有保证的严格面积区间。粗略估计与确定上下界要分清。

什么条件下，可以从舍入推出区间

假设题目明确给出：真实长度只经过保留一位小数的四舍五入，没有任何其他测量误差。长度记录5.0米、宽度记录3.2米，采用第五章的中点处理规则，则原值满足

4.95\le l<5.05,\qquad3.15\le w<3.25.

因为两边都是正长度，面积随长宽增大而增大，所以面积的平方米数满足

15.5925\le A<16.4125.

标称值乘积为16.0平方米。这个有保证的区间来自明确假设，不是只要工具上印着0.1米刻度，就自动获得这样的真实尺寸界限。

真实测量还可能有其他误差来源。报告更多小数位不会创造信息；而上面界限算出较多位，是在展示给定数学假设下的精确边界，不是在夸大仪器精度。

从理论用量到采购量：先问“百分比相对谁”

这一部分把面积题与第六章的百分数重新连起来。一个“损耗10%”，如果没说明分母，就可能对应不同算法。

按理论量额外预留 10%

理论需90单位，另准备理论量的10%作备用，采购量为

90(1+0.1)=99.

一般为 $Q=T(1+q)$ ，这里 $q$ 是相对理论需求 $T$ 的额外预留比例。

采购量中有 10% 无法使用

如果给定的是购买量 $Q$ 中有10%损耗，能使用的只有90%，为了实际得到90单位，需要

0.9Q=90,\qquad Q=100.

一般为 $Q=T/(1-q)$ ，要求 $0\le q<1$ 。两个10%的基准不同，99与100不是计算矛盾。不能看到“损耗率”就一律乘 $1+q$ 。

材料按整箱出售时，再依据最终需求与每箱数量向上找足够的整数箱数。题目没给损耗或备用要求，就把理论量和实际另需条件分开，不随意增加一个自定百分率。

例题：面积够，不等于每次都能无损铺好

5米乘4米的矩形地面，用边长40厘米的方砖铺设。假设可切割并重复利用余块，不计砖缝、切割宽度或破损。

地面20平方米，每砖0.16平方米，面积比为125。这先给出125块砖面积的需求；要证明本例确实够铺，还可以给出排法。

在5米方向先铺12整列，占4.8米；另一方向每列10块，共120块。剩0.2米乘4米的带状区域，把另5块砖各切成两块0.2米乘0.4米的半砖，十块半砖恰好铺满。所以本题125块足够。

每箱12块，至少11箱。一般图形只看面积比，不自动保证没有裁切损失；若不允许余料复用、存在纹理方向或不允许切割，更要检查排布，而不是一律拿面积相除当作最终可行方案。

一次几何解题，把对象、关系与答案连起来

我先圈出问的是边界、区域还是空间，再在草图上标出真正已知的底、高、半径与直角。随后统一单位，写出公式为什么适用，最后才代入计算。

算完后换个角度问：剩余面积有没有超过包住它的大图形？斜边是不是最长？体积换成升时用了什么倍率？孔洞、接缝、内外尺寸是否和原题一致？这些检查不能代替推导，却能很早暴露错误。

平面与立体测量要素复习图，整理周长、面积、表面积与体积需要的对应尺寸

看综合示意图时，先认清图形类型和所量的对象，再对应公式。直棱柱的底面为多边形，圆柱的底面为圆；两者都能用叠层思路求体积，不代表它们在分类上是同一种图形。

自测：先指出为什么能用这个公式

1. 三根木条

5、7、13厘米能围成三角形吗？2、3、5厘米呢？

2. 角与分类

三角形两角38度、104度，第三角多少？它属于什么类别？

3. 周长反求面积

长方形周长34厘米，长比宽多5厘米，面积多少？

4. 边不等于高

平行四边形相邻边12厘米、8厘米，以12为底时高5厘米，周长与面积各多少？

5. 扇形的两种测量

直径12厘米，60度扇形，求面积与周长，保留 $\pi$ 。

6. 铺砖与装箱

5米乘4米地面，40厘米方砖，在正文的无损切割并可复用余料条件下需要多少块？每箱12块，至少几箱？

7. 直角三角形

直角边9米与12米，斜边和面积多少？

8. 封闭直圆柱内表面

内半径1.5米、内高4米，内部为完整直圆柱，无内部构件。求装满容量与包含顶底的内表面积。

9. 三维相似缩放

一个实体长方体缩尺模型与实物的长度比为 $1:500$ ，模型长宽高分别4、3、1厘米，实物体积多少？

10. 记录位数与面积精度

长宽读数记录为7.2米、4.5米，均保留一位小数。标称面积多少？仅凭记录位数，能保证真实面积误差多小吗？

11. 复合边界

边长10厘米正方形按正文方式挖去半径2厘米的四分之一圆角，剩余面积与新周长各多少？

12. 两个“10%”

理论需90单位。按理论量多备10%，与购买量有10%损耗但仍需90可用单位，分别购买多少？

最后一章：同一张桌子，为什么会留下几组读数

假设用同样方法测量桌长，留下119.8、120.0、119.9厘米三个记录。几何公式可以继续用这些数，却还没有回答：用哪一个数概括测量结果？三次相差多少？明显偏离的读数该直接删掉，还是先查原因？

这就把我们带到数据与统计。前面学会的加法、除法、比率与区间，会帮助整理一组记录；测量中坚持的单位与条件检查，也会继续限制我们能够作出什么结论。

先保留真实记录，再谈怎样概括。下一章，我们不只追求算出一个平均数，还要学会让一个数字背后的范围和不确定性被看见。