几何基础与测量

这部分我们真正要练的是下面这三件事：

1. 看清图形，选对公式。
2. 单位别写串。
3. 割补法。

周长看的是边界一圈有多长，是一维量。

面积看的是里面能铺多大，是二维量。

体积看的是空间能装多少，是三维量。

所以长度单位、平方单位、立方单位不能混着用。很多几何题算错，不是因为公式不会，而是一开始把“问什么量”看错了。

平面图形：别急着套公式，先认图

多边形：题目给什么，图形才是什么

三角形最基本：三条边，三个角。

但不是随便给三条线段都能围成三角形。必须满足：

任意两边之和大于第三边。

这句话在应用题里很重要。题目给三边长时，先看能不能闭合，再谈周长、面积和角度。

四边形就更容易混。

长方形、正方形、平行四边形、梯形，看起来都“四条边”，但条件不一样：

长方形有四个直角。

正方形既有四个直角，又四边相等。

平行四边形两组对边分别平行。

梯形只有一组对边平行。

这几个条件一错，后面的公式就会跟着错。

平行四边形和梯形：底和高必须配套

平行四边形面积是

这里的 $b$ 是底，$h$ 是这条底对应的高。

高不是斜边，也不是看起来“比较像高度”的那条线，而是垂直于底的距离。

换了底，就要换对应的高。底和高是一对，不要乱配。

梯形面积是

其中 $a$、$b$ 是两条平行的底，$h$ 是两底之间的垂直距离。

这个公式可以理解成一句人话：把上底和下底取平均，再乘以高。

也就是

这比死记“上底加下底乘高除以二”更稳。

例子。 一个梯形的两底分别是 $7\,\text{cm}$ 和 $13\,\text{cm}$，高是 $6\,\text{cm}$，求面积。

圆：半径和直径别拿错

圆的两个高频公式：

$r$ 是半径，$d$ 是直径，并且 $d=2r$。

周长公式可以用半径，也可以用直径。

面积公式必须用半径。题目给直径时，先除以 $2$，再代入 $A=\pi r^2$。

$\pi$ 是无理数。题目要求精确值，就保留 $\pi$；题目要求近似值，再用 $3.14$ 或指定精度。

扇形：其实就是圆的一块

圆心角为 $n^\circ$ 的扇形，占整个圆的比例是

所以弧长和面积分别是

如果 $n=360$，扇形就是整个圆，公式也会退回圆周长和圆面积。

周长和面积：一个量边界，一个量内部

周长问的是“绕一圈有多长”。

面积问的是“里面铺满有多大”。

这两件事看起来都在算图形，但量纲完全不同。

长方形长 $12\,\text{m}$，宽 $5\,\text{m}$。

如果给边缘装围栏，求周长：

如果给地面铺地毯，求面积：

一个是 $\text{m}$，一个是 $\text{m}^2$。

不要把 $34\,\text{m}$ 和 $60\,\text{m}^2$ 拿来比较“谁更大”。它们不是同一类东西。

组合图形：能拆就拆，能补就补

很多图形看起来“不规则”，其实只是标准图形拼在一起。

解法通常两种：

一种是加法。把它拆成几个矩形、三角形、扇形，分别算面积再相加。

另一种是减法。先算外面的大图形，再减掉挖掉的部分。

比如边长 $10\,\text{cm}$ 的正方形，从一个角挖去半径 $2\,\text{cm}$ 的四分之一圆。

割补法有个前提：你减掉的那块，必须真的在大图形里面。

如果一个圆已经伸出正方形外面，直接“大面积减圆面积”就没有意义。先画图，后计算，这个习惯很值钱。

还有一个特别有用的直觉：

同底等高的三角形，面积相等。

三角形面积是

平行四边形面积是

把一个平行四边形沿对角线切开，会得到两个全等三角形。所以同底等高时，三角形面积正好是对应平行四边形的一半。

立体图形：体积和表面积不是一回事

进入三维以后，最容易混的是两个词：

体积：里面能装多少空间，单位是 $\text{m}^3$、$\text{cm}^3$。

表面积：外面有多少面需要覆盖，单位是 $\text{m}^2$、$\text{cm}^2$。

比如一个纸盒：

问“能装多少”，算体积。

问“外面贴多少纸”，算表面积。

长方体和正方体

长方体长、宽、高分别为 $l,w,h$。

体积是

表面积是

为什么是这个式子？

$lw$ 是上下面的单面面积，$lh$ 是前后面的单面面积，$wh$ 是左右面的单面面积。

每种都有两面，所以乘以 $2$。

正方体是长方体的特殊情况，棱长都是 $a$：

一个算三维空间，所以是三次方；一个算六个面，所以是平方再乘 $6$。

圆柱

圆柱底面半径为 $r$，高为 $h$。

底面积是

体积是

侧面展开后是一个长方形。

这个长方形的一边是底面周长 $2\pi r$，另一边是高 $h$，所以侧面积是 $2\pi rh$。

完整圆柱表面积：

更通用地说，直柱体的体积都可以写成

其中 $B$ 是底面积。

如果课程已经涉及圆锥，也可以记住：

同底同高的圆锥，体积是圆柱的三分之一。

例子。 一个无盖圆柱形水桶，底面半径 $0.3\,\text{m}$，高 $0.8\,\text{m}$。内壁要刷漆，并求最多能装多少升水。

角度和三角形：先会分类

角度单位是度，记作 °。

小于 $90^\circ$ 的角是锐角。

等于 $90^\circ$ 的角是直角。

大于 $90^\circ$ 且小于 $180^\circ$ 的角是钝角。

平角是 $180^\circ$，周角是 $360^\circ$。

三角形内角和是

这条结论很常用：知道两个角，就能求第三个角。

比如一个三角形两个角是 $38^\circ$ 和 $104^\circ$。

同一个三角形可以有两种分类：按角分，也可以按边分。不要觉得“钝角”和“等腰”互相排斥。

单位换算：长度一次方，面积二次方，体积三次方

长度换算是线性的：

但面积不是长度，体积也不是长度。

面积是两个长度相乘，所以换算系数要平方。

体积是三个长度相乘，所以换算系数要立方。

从米到厘米，线性系数是 $100$。

所以：

这个地方最容易出现的错法是：

把 $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$ 直接改写成 $1\,\text{m}^2=100\,\text{cm}^2$。

这是错的。

想象一个 $1\,\text{m}\times 1\,\text{m}$ 的正方形。每条边都能分成 $100$ 段厘米，里面的小方格是 $100\times 100=10000$ 个。

容量换算也很常见：

所以实验室里的毫升，和立方厘米本质上是同一个容量大小。

瓷砖题的套路。 客厅长 $5\,\text{m}$、宽 $4\,\text{m}$，瓷砖边长 $40\,\text{cm}$。

先统一单位：客厅长 $500\,\text{cm}$，宽 $400\,\text{cm}$。

如果允许切割，客厅面积是

单块瓷砖面积是

理论需要

块。

如果题目不允许切割，就不能只用面积除法，还要看长边、宽边分别能铺几块。

比例尺：面积要用平方比例

比例尺 $1:k$ 的意思是：

图上 $1$ 个单位，对应实地 $k$ 个同类单位。

这是长度比例。

如果算面积，就要用

因为面积有两个方向。

比如公园平面图比例尺为 $1:2000$，图上矩形草坪长 $3\,\text{cm}$、宽 $2\,\text{cm}$。

直角三角形：面积和勾股定理连在一起

有一个角是 $90^\circ$ 的三角形，叫直角三角形。

两条夹着直角的边叫直角边，通常记为 $a$ 和 $b$。

直角对面的边叫斜边，通常记为 $c$，它是最长边。

勾股定理说：

已知任意两边，就能求第三边。

直角三角形的面积也很好算，因为两条直角边互相垂直，一条可以当底，另一条天然就是高：

所以直角三角形题经常是这样组合的：先用勾股定理求边长，再用面积公式求面积。

小结

几何题的核心不是“我背过几个公式”，而是“我知道这个公式在图上对应什么”。

平面图形里，底和高要配套；圆题里，半径和直径要分清；组合图形里，先画图再割补。

立体图形里，体积看空间，表面积看外表面。题目说“有盖无盖”“贴纸刷漆”“内壁外壁”，都不是废话。

单位换算里，长度一次方，面积二次方，体积三次方。比例尺也是同样的逻辑：长度按 $k$ 放大，面积按 $k^2$ 放大。

把“图形、公式、单位”三件事对齐，几何基础题就会稳定很多。

习题

练习一 长方形周长为 $28\,\text{cm}$，长比宽多 $4\,\text{cm}$，求面积。

练习二 半径为 $6\,\text{cm}$ 的圆中，圆心角 $60^\circ$ 的扇形面积是多少？用 $\pi$ 表示。

练习三 棱长为 $5\,\text{cm}$ 的正方体纸盒，外表面全部贴彩纸，求彩纸面积与盒子容积。

练习四 比例尺 $1:500$ 的地图上，某矩形地块图上长 $4\,\text{cm}$、宽 $3\,\text{cm}$，求实地面积，单位为 $\text{m}^2$。

代入：

若取 $\pi\approx 3.14$，约为 $1.79\,\text{m}^2$。

实地面积：

所以 $x=5$。

宽是 $5\,\text{cm}$，长是 $9\,\text{cm}$。

面积：

验证周长：$2(9+5)=28\,\text{cm}$，正确。

这里题目给的是半径，可以直接代入。若题目给的是直径，要先除以 $2$。

盒子容积看体积：

题目说“外表面全部贴”，所以六个面都要算。

实地面积：

也可以用面积比。

图上面积是 $12\,\text{cm}^2$，面积比是 $500^2=250000$。

所以实地面积：

两种方法一致。