百分数与应用：先问“谁是 100%”

上一章，我们把 $0.2$ 写成了 $20\%$。数值没有变，只是把百分之一单独拿出来，作为一种方便比较的刻度。

我想先请你判断一句话：“甲增加了 $20\%$，乙只增加了 $15\%$，所以甲增加得更多。”这句话听起来顺耳，却不一定对。甲原来有50，增加10；乙原来有200，增加30。比例较大的甲，增加的数量反而较少。

问题不在乘法，而在两个百分数各自属于谁。接下来，我们把这个问题始终放在桌面上：这里被当作完整的 $100\%$，究竟是哪一个量？

本章先学百分数的含义和三种基本关系，再处理变化、折扣与反求原值。合并百分率、简单收支模型和近似比例可以分第二次读，不必一次做完所有例题。

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百分数不是一百个东西，而是一把共同刻度

甲班15人中有12人答对，乙班25人中有18人答对。若只问答对人数，乙班更多；若问答对者占各班的比例，就要分别除以各班人数：

$$\frac{12}{15}=0.8=80\%,\qquad \frac{18}{25}=0.72=72\%.$$

这时甲班比例更高。两个结论没有矛盾，一个比较人数，一个比较各自整体中的份额。

百分号表示除以100：

$$p\%=\frac{p}{100}.$$

$1\%$ 就是一百分之一，$100\%=1$。它不要求现实中真有100个对象。若按质量计算，饮料中的某成分占 $12.5\%$，表示该成分质量与饮料总质量之比为 $1:8$，不表示必须数出100滴。

百分数能超过 100% 吗

可以。配方面粉原来200克，调整到原来的 $125\%$，新用量为

$$200\times1.25=250\text{ 克}.$$

但要分清“占同一个整体的部分”和“与一个基准比较”。某子组占全组人数的比例，在人数非负、全组人数为正时不超过 $100\%$；实际产量与计划产量相比，却可以超过 $100\%$。

$0.5\%=0.005=\frac{1}{200}$ 也完全正常，百分数前面的数字不必是整数。

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分数、小数与百分数：换写法，不换数值

$$\frac{3}{8}=0.375=37.5\%.$$

百分数化小数时，把百分号前的数除以100：

$$6.4\%=\frac{6.4}{100}=0.064.$$

不是把 $6.4\%$ 这个已经表示比率的数再除一次100，也不能误写成 $0.64$。

小数写成百分数时，把数值乘100作为百分号前的数字，再附上百分号。例如 $0.085=8.5\%$。百分号本身又代表除以100，所以整个数值保持不变。

百分数化分数，可以先写分母100，再约分：

$$35\%=\frac{35}{100}=\frac{7}{20},$$ $$12.5\%=\frac{12.5}{100}=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}.$$

我常用几个熟悉的比例核对：一半是 $50\%$，四分之一是 $25\%$，五分之一是 $20\%$，八分之一是 $12.5\%$。看到 $48\%$，应想到略小于一半，而不是比整体还大。

精确值与近似值要分开

$$\frac{1}{3}=33.333\ldots\%,\qquad \frac{1}{3}\approx33.3\%.$$

第二式把百分号前的数保留一位小数，用的是近似号。别先把分数粗略成 $0.3$，再报告为 $30\%$，那会丢掉原本需要保留的信息。

试着在三种写法之间往返

$0.085=8.5\%=\frac{17}{200}$；$\frac{7}{20}=0.35=35\%$；。最后一组都大于一，三种写法的大小应彼此一致。

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三个量，只需要一条核心关系

先用 $B$ 表示基准量，$r$ 表示比率的小数形式，$P$ 表示对应数量：

$$P=Br.$$

字母暂时只是名称。把它读成“对应数量等于基准量乘比率”，就能接上第四章的分数乘法。常见的部分与整体问题，正是这条关系的特例。

已知其中两个量，反过来找第三个：

$$r=\frac{P}{B}\quad(B\ne0),\qquad B=\frac{P}{r}\quad(r\ne0).$$

分母条件不能省。某部分占 $0\%$、数量也为0时，仅凭这两条信息不能反推出唯一整体。

已知基准与比例，求数量

测验满分120分，得分是满分的 $85\%$，则

$$120\times0.85=102\text{ 分}.$$

满分是这道题的 $100\%$。题目问得分，不是问已经给出的百分率。

已知两个数量，求比例

配方总质量800克，其中水果泥120克。水果泥占总质量

$$\frac{120}{800}=0.15=15\%.$$

分母是全部材料的质量，不是其余680克。

已知对应数量与比例，反求基准

合唱团36人，占全年级 $15\%$，全年级人数为

$$36\div0.15=240\text{ 人}.$$

反查 $240\times0.15=36$。因为合唱团不到全年级的一半，全年级理应超过72人，240人也通过这个范围检查。

例题：同一组数据，三个问法

数量必须为整数的情境，还要检查整数限制。例如限额算得10.4个，只能允许最多10个完整零件，不能说允许10.4个。

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读长题时，先把比较基准写出来

“烘干后质量比鲜果减少 $12\%$”，意味着鲜果质量为 $100\%$，烘干后为原来的 $88\%$。若剩616千克，先写关系：

$$\text{鲜果质量}\times0.88=616\text{ 千克}.$$

再算 $616\div0.88=700$ 千克。不必先猜题型，先把一句话翻译完整。

“占谁的”“比谁多”“按谁计算”，通常都在告诉我们基准。但同一句话可以更换基准。成本200元，按成本加价 $30\%$ 标价，再按标价打九折：

$$200\times1.3=260,\qquad260\times0.9=234.$$

加价以成本为基准，折扣以标价为基准。最终售价比成本多34元，即成本的 $17\%$。

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比例变化，可能来自分子，也可能来自分母

某班22名男生、18名女生，男生占全班 $22/40=55\%$。转走2名女生后，男生仍是22人，全班变38人，新比例为

$$\frac{22}{38}\approx57.9\%.$$

男生没有增加，占比却上升了，因为整体变小。

再看20克盐与180克水配成的盐水，盐的质量占比为 $10\%$。只加入50克水，假设没有损耗，盐仍20克，总质量变250克，占比降到 $8\%$。不是盐凭空减少，而是分母改变。

两边同时变化，先恢复实际数量

社团原有50人，20人会游泳；新增10人，其中8人会游泳。新比例为

$$\frac{20+8}{50+10}=\frac{28}{60}\approx46.7\%.$$

不能把原组的 $40\%$ 与新增组的 $80\%$ 相加。两个百分率对应不同人数。

合并两个百分率，要按各组大小计算

假设两批零件互不重叠，且合格的判定标准相同。第一批100个，合格率 $95\%$；第二批20个，合格率 $60\%$。合计107个合格、120个零件：

$$\text{合并合格率}=\frac{95+12}{100+20}\approx89.2\%.$$

直接平均得到 $77.5\%$，相当于给两批相同的权重，没有反映100个与20个的差别。

两组大小相等时，普通平均可用；两组比例本来相等时，组大小不同也会得到同一比例。一般情况下，我仍会先合并实际数量，再求比例，这样不必靠特殊情形碰巧算对。若组之间有重叠，还要先处理重复计数。

人数增加，占比也可能下降

阅读小组原有30人，18人每天阅读，比例 $60\%$。加入10人，其中4人每天阅读，新比例为 $22/40=55\%$。每天阅读者增加4人，但新增组的比例较低，整体比例下降。接下来，我们区分“比例差多少”与“相对下降多少”。

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百分点与百分比：回答的是两种问题

及格率从 $70\%$ 到 $78\%$，百分号前的数字相差8，称为提高了8个百分点。两个比率本身的差为 $0.78-0.70=0.08$。

若问相对原及格率提高多少，则还要除以原比率：

$$\frac{0.78-0.70}{0.70}=\frac{8}{70}\approx11.4\%.$$

提高8个百分点与相对提高约 $11.4\%$ 都能描述同一变化，只是回答不同的问题。

不合格率从 $2\%$ 降到 $1\%$，下降1个百分点，相对降幅却是

$$\frac{0.02-0.01}{0.02}=50\%.$$

前面的阅读小组从 $60\%$ 到 $55\%$，下降5个百分点；相对原比例下降 $5/60\approx8.3\%$，不是下降 $5\%$。

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增长与减少：通常以正的旧值为基准

原量为 $A>0$，新量为 $N$，变化量是 $N-A$，相对变化率为

$$r=\frac{N-A}{A}.$$

$r>0$ 表示增加，$r<0$ 表示减少。若采用正数表示降幅，则写 $(A-N)/A$。

用电量从400增加到460，增加60，相对增长 $60/400=15\%$，所以新量可写成 $400\times1.15=460$。

500件库存减少 $12\%$，剩下的是原量的 $88\%$：

$$500\times(1-0.12)=440\text{ 件}.$$

对不能为负的数量，普通“减少百分之几”的模型中，降幅应在0与 $100\%$ 之间。降到0是减少 $100\%$，不是减少到 $100\%$。

“增加了”与“变为”不要混读

增加 $30\%$，结果是原来的 $130\%$；变为原来的 $30\%$，结果反而减少了 $70\%$。对正原量，把后一句叫“增加到30%”本身就与方向矛盾，应先改清题意。

计划500件、实际575件，完成率为 $115\%$，超额部分占计划 $15\%$。一个看全部结果，一个只看差量。

原有2400册书，增加 $7.5\%$，新增180册，现在2580册。求增加量用 $2400\times0.075$，求新总量用 $2400\times1.075$，不能把两种结果混在一起。

正向与反向变化不对称

80元涨到100元，涨幅 $20/80=25\%$；100元回到80元，降幅 $20/100=20\%$。差额相同，分母不同。

同样，甲180、乙150，甲是乙的 $120\%$，比乙多 $20\%$；乙是甲的约 $83.3\%$，比甲少约 $16.7\%$。

对正数量，若甲比乙多小数比率 $r\ge0$，甲等于乙乘 $1+r$，那么乙比甲少的比率是 $r/(1+r)$。代入 $r=0.25$，得到 。

零与负的旧值要另看

旧值为0时，普通相对变化率需要除以0，没有定义。可以直接报告“从0到5，增加5个单位”。

旧值为负时，代入同一代数式虽然可能算出数，却未必符合通常的增长语言。例如从亏损10到亏损5是亏损缩小，直接用 $(-5+10)/(-10)$ 得到负百分率，容易误读。本章的普通增长与降幅解释以正基准为前提，不把这些特殊情况硬塞进去。

“变为原来两倍”明确表示结果为 $200\%$、增加 $100\%$；含糊的“提高了两倍”，最好改写成结果倍数或明确的增加百分比后再算。

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一层比例里面再取一层，要相乘

全校 $40\%$ 的学生参加社团，其中 $30\%$ 参加音乐类社团。第二个基准是参加社团者，不是全校，所以音乐类社团人数占全校

$$0.4\times0.3=0.12=12\%.$$

用1000名学生核对：先得到400名社团成员，再取其中120名音乐类成员，回到全校的 $12\%$。

600克饮料中果汁占质量的 $25\%$，果汁中橙汁占质量的 $40\%$，则橙汁质量为 $600\times0.25\times0.4=60$ 克，占整瓶 $10\%$。每一步都要说明采用质量比例，而不是一会儿质量、一会儿体积。

固定基准与变化基准，不能用同一算法

500先减少最初量的 $20\%$，再减少最初量的 $10\%$，结果为 $500-100-50=350$。

若第二次减少的是当前剩余量的 $10\%$，则为

$$500\times0.8\times0.9=360.$$

差别不在数字，而在第二次的分母是谁。

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折扣与连续变化：沿着每一步的基准走

打八折，表示付标价的 $80\%$；打八五折表示付 $85\%$，不是减少 $85\%$。350元商品打八折，实付280元。

200元先涨 $10\%$，再按新价降 $10\%$：

$$200\times1.1=220,\qquad220\times0.9=198.$$

没有回到原价。第一次增加20元，第二次减少22元，两个 $10\%$ 对应的金额不相同。

用小数 $r_1,r_2$ 表示带正负号的相对变化率，最终量为

$$A(1+r_1)(1+r_2).$$

先涨 $20\%$ 再降 $20\%$，总因子 $1.2\times0.8=0.96$，比原来少 $4\%$。

使用实验台时，可以先用200、增加10%、再减少10%作核对：中间值应为220，最终应为198。先写下预测，再改变参数，观察第二次变化作用于哪个数。

两次折扣与一张优惠券

500元先八折再九折，实付 $500\times0.8\times0.9=360$ 元，是原价的 $72\%$，整体便宜 $28\%$，不是把两个降幅相加得到 $30\%$。

满300减40、且每单只减一次：买320元实付280元，相当于付 $87.5\%$；买500元实付460元，相当于付 $92\%$。固定减免金额，不等于固定折扣率。

例题：比较两个方案

480元商品，甲方案七五折；乙方案先减80元，再对余款九折，无其他优惠。

只有纯粹连续乘固定比例、没有门槛和中途舍入时，交换乘法因子不会改变最终数值。遇到减固定金额、满减门槛或逐笔舍入，不能据此随意改顺序。

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成本与售价：先定义比率的分母

下面采用简化模型：题目所给成本已包括这笔交易要计入的全部费用，售价减成本就是本题盈余；不把它直接当作任何真实报表的完整利润。

成本80元、售价100元，盈余20元。它占成本 $25\%$，占售价却是 $20\%$：

$$\frac{100-80}{80}=25\%,\qquad \frac{100-80}{100}=20\%.$$

两个比率都能描述交易，但不能混用。题目只写一个含糊的“利润率”时，应明确究竟除以成本还是售价。本课程的例题会把分母直接写出来。

加价再折扣，最后仍要回到成本

成本240元，按成本加价 $50\%$ 标价，随后八折：标价360元，售价288元，盈余48元，占成本 $20\%$。

反求成本也一样。售价460元、盈余占成本 $15\%$，售价是成本的 $115\%$，所以成本 $460\div1.15=400$ 元，盈余60元。不能从460里减去460的 $15\%$，那换了分母。

同样赚亏 25%，为什么不抵消

两件商品都卖300元，一件赚成本的 $25\%$，另一件亏成本的 $25\%$。成本分别为

$$300\div1.25=240,\qquad300\div0.75=400.$$

总成本640元、总收入600元，亏损40元，占总成本 $6.25\%$。两个 $25\%$ 一个对应240，一个对应400，金额不相等，当然不能抵消。

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税额与利息：用明确条件练习同一条关系

这里的税率和利率都是题目设定的算术参数，不代表某地现行税制或某种产品条款。我们只在给出的基准、期限和计算方法下求值。

税按哪个金额计算

题目规定未税价250元，另按未税价的 $6\%$ 加收税额，则税额15元，总价265元。若已知含税总价265元，反求未税价应算 $265\div1.06=250$，而不是减去265的 $6\%$。

600元先八五折，再按折后未税价加收 $8\%$，无其他费用：

$$600\times0.85\times1.08=550.80\text{ 元}.$$

折扣作用于600，税额作用于510，基准变了，关系仍清楚。

单利：每期都按最初本金计算

设本金 $P$，年利率的小数形式 $r$，时间 $t$ 年，按单利、无费用且期限按题意换算，则

$$I=Prt,\qquad A=P(1+rt).$$

本金3000元、年利率 $4\%$、期限2.5年，利息300元，本息3300元。若题目把每12个月视为一年，9个月就是0.75年；不能把9直接代进以年为单位的公式。

复利：每期把前一期结果当新基准

假设每年结息一次，利息并入本金，年有效利率固定为 $r$，经过整数 $n$ 年，没有存取款、费用或中途舍入，则

$$A=P(1+r)^n.$$

1000元、每年 $5\%$，两年后为 $1000\times1.05^2=1102.50$ 元。相同本金和年利率按单利计算两年，为1100元。两者差2.50元，来自第一年利息在第二年也参与计算。

不是只看到“年利率”三个字，就能不问复利周期、费用与期限，直接决定采用哪个公式。

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反求原值：认清已知的是差量，还是结果

八折后240元，240对应原价的 $80\%$，原价 $240\div0.8=300$ 元。若说降价 $20\%$，便宜60元，则60对应减少量，原价 $60\div0.2=300$ 元。

两题原价相同，除数不同，原因是已知量的角色不同。

今年1035人，比去年增加 $15\%$，去年为 $1035\div1.15=900$ 人。溶液减少 $16\%$ 后剩42千克，原量 $42\div0.84=50$ 千克。

降价 $12\%$、降了360元，则原价 $360\div0.12=3000$ 元。先九折、再按当前价涨 $5\%$，最终378元，则原价为

$$378\div(0.9\times1.05)=400\text{ 元}.$$

这些反求都要求除回去的因子非零。若减少 $100\%$ 后只知道结果为0，就不能唯一恢复原量。

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估算与近似：既检查数量级，也检查信息是否足够

640的 $15\%$，可以先取 $10\%$ 得64，再取 $5\%$ 得32，合计96。720的 $98\%$，也可以用 $720-14.4=705.6$。这都是分配律，不是改变基准。

纯数计算中，50的 $18\%$ 与18的 $50\%$ 都为9，因为二者都等于 $50\times18/100$。这种心算交换不能把情境里的单位与比较对象也随意交换。

例题：给折后价一个真正有保证的范围

7980元减少 $18\%$，保留因子为 $0.82$。因为 $0.8<0.82$ 且 $7980<8000$，可以得到

$$6384=7980\times0.8 <7980\times0.82 <8000\times0.82=6560.$$

再精算，折后价 $6543.60$ 元。减少额 $1436.40$ 元，除以7980恰好为 $18\%$。

把原价上估、把保留因子下估，两种方向混在一起时，所得数可能只是粗略估计，不能不加证明就叫作下界。

给的是约数，原人数可能不唯一

47人占总人数“约 $32\%$”。直接算 $47\div0.32=146.875$，只能作为总人数的估计，不能当作精确人数。

进一步明确：这里 $32\%$ 是百分号前的数按四舍五入保留整数的结果。那么真实百分数满足

$$31.5\le\frac{4700}{N}<32.5.$$

总人数是正整数，符合条件的 $N$ 可以是145、146、147、148或149。给定的近似信息不能区分它们。尚未学会解这个不等式时，把五个整数逐一代入，也能验证并理解为什么不能只报一个人数。

舍入放在题目指定的位置

17人完成、共23人，比例为 $17/23$。百分数保留一位小数，应报告约 $73.9\%$，而不是先把比值取为0.7再写 $70\%$。

纯数学多步题通常尽量保留精确中间值，最后舍入；题目若明确要求每笔金额先舍入，就照规定逐笔处理。不能用一种舍入流程代替另一种题设。

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自测：先写谁是 100%，再展开答案

1. 三种形式互化

把 $0.0625$、$\frac{9}{16}$、$175\%$ 分别写成另外两种形式。

显示答案

$0.0625=6.25\%=\frac{1}{16}$；$\frac{9}{16}=0.5625=56.25\%$；。最后一组都大于一。

2. 正确率与总题数

80题做对68题，正确率多少？另一套保持同一精确正确率，做对102题，共多少题？

显示答案

正确率 $68/80=85\%$。102是第二套总数的85%，总数为 $102\div0.85=120$ 题。

3. 配方是否整体放大

240克面粉与150克牛奶，都调整到原来的125%，各多少？只把牛奶增加25%，总量也增加25%吗？

显示答案

整体调整时分别为300克、187.5克。只增加牛奶时总量427.5克，原量390克，总量变为原来的约109.6%，不是125%。面粉没有同比变化。

4. 来回变化

160到200的涨幅，与200到160的降幅分别是多少？

显示答案

前者 $40/160=25\%$，后者 $40/200=20\%$。差额相同，原值不同。

5. 百分点与相对变化

支持率从24%到30%，增加多少个百分点，相对提高多少？

显示答案

增加6个百分点；相对提高 $(0.30-0.24)/0.24=25\%$。不能把百分点直接当相对升幅。

6. 连续折扣

800元先九折再八五折，无其他费用，实付多少，总降幅多少？

显示答案

实付 $800\times0.9\times0.85=612$ 元，占原价76.5%，即按原价的0.765倍支付，总降幅23.5%。

7. 成本基准

成本320元，加价40%标价，九折出售，求标价、售价与盈余占成本的比例。假设成本已含全部需计费用。

显示答案

标价448元，售价403.20元，盈余83.20元，占成本 $83.2/320=26\%$。若改除以售价，就是另一种比率。

8. 含税总价反求

题目设税额为未税价的8%，含税总价486元，未税价与税额多少？

显示答案

未税价 $486\div1.08=450$ 元，税额36元。检查 $450\times0.08=36$，税额的基准是450而非486。

9. 单利的时间单位

本金5000元，年利率3.6%，按单利18个月，题设每12个月视为一年，无费用，求利息与本息。

显示答案

18个月为1.5年，利息 $5000\times0.036\times1.5=270$ 元，本息5270元。

10. 减少量与剩余量

甲降价20%，便宜90元；乙降价20%，现价360元，原价各多少？

显示答案

甲原价 $90\div0.2=450$ 元，乙原价 $360\div0.8=450$ 元。一个给减少量，一个给剩余量，不能只抓20%而忽略已知量角色。

11. 合并比例

两组互不重叠，甲40人、出勤90%，乙60人、出勤80%，同一天合计出勤率多少？

显示答案

分别出勤36与48人，共84人，总人数100，合并出勤率84%，不是85%。组大小不同，要合并人数后再算。

12. 两层比例

800名学生，60%参加体育活动，其中35%参加球类，球类人数与全校占比多少？

显示答案

占全校 $0.6\times0.35=21\%$，人数 $800\times0.21=168$。第二个35%的基准是参加体育活动者。

13. 边界检查

从0增加到5，能按普通公式说增长500%吗？两个组比例都80%、人数不同，合并比例能为80%吗？

显示答案

不能按普通相对增长公式说500%，因为原值零不能作分母。第二问可以：若两组互不重叠、统计口径相同，各组部分都等于本组人数乘0.8，合并后仍占0.8。组大小相等不是普通平均碰巧正确的唯一情形。

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下一章：把一个算式写成一类关系

这一章的线索始终是同一个：先认基准，再看已知量对应整体、部分还是变化量，最后才选择乘除。连续变化需要跟踪基准，反求原值需要除回非零因子，近似比例还要检查信息是否足以确定答案。

下一章，我们把“原价200元”暂时换成字母 $x$。打八折的规则就可以写成 $0.8x$；打八折后再减20元，就写成 $0.8x-20$。

字母不是要你猜一个神秘数字，而是在替一类可能的数保留位置。我们会从这条已经读懂的关系出发，学习表达式、代入和化简，让每换一组数都要重讲的规则，变成一句能反复使用的数学语言。