简单方程与不等式：找准平衡，也看清边界

上一章的费用规则是 $M=25+6g$：固定费25元，超出的流量按每GB 6元连续计费。给出 $g=3.5$，我们会算出46元。

现在把问题反过来：“账单恰好46元，超出了多少流量？”我们写 $25+6g=46$。若问“账单不超过46元，允许超出多少？”则写 $25+6g\le46$。同一条规则，接上不同条件，就需要寻找不同的答案。

我希望你把这一章读成一次找条件的过程，而不是练习把符号搬家。方程要找所有使两边相等的值；不等式要找所有使大小关系成立的值。 两者都要说明边界与取值范围，也都要保留原问题的意思。

本章默认在实数中解代数题，再结合情境筛选人数、长度或时长。先学一步和多步方程，再进入不等式；复合条件和综合建模可以另安排一次练习。

等号提出了什么条件

想象两组数量相等：一边是两盒珠子与3颗散珠，另一边是11颗珠子。每盒的珠子数相同，设为 $x$，就有

可以借天平图帮助理解平衡，但这里比较的是珠子数量。若真的称重，还必须假设每颗珠子同样重，并排除盒子自重，不能把图示自动当成现实称量结论。

代入 $x=4$，左边 $2\times4+3=11$，因此4是解；代入5，左边13，不等于11，所以5不是解。

解是一个满足条件的值，解集则是所有这类值组成的集合。找出一个可用值，不一定已经找齐全部解；解题还需要说明有没有遗漏。

本章主要处理什么方程

我们处理由一次式组成、可整理为

的方程，其中系数为已知实数。继续化简，可写成 $Ax=B$。$A\ne0$ 时，是通常的一元一次方程，未知数只以一次形式出现，能得到唯一实数解。

$A=0$ 时，可能出现恒等或矛盾，我们也一并学习。严格来说，未知数完全抵消后的等式不再是非退化的一次方程，但仍是本章求解过程中必须处理的情况。

$x^2=9$、$3/x=6$ 和含未知数根式的方程，不属于这里主要训练的一次方程类型。不要因为都只有一个字母，就认为可以忽略平方、分母或根号。

求解与检验，方向不同

求解从条件出发，通过有根据的变形描述全部可能值；检验把候选值代回原方程，确认它确实成立。

我不会只把 $x=4$ 代回最后的 $x=4$。那样永远成立，却没有检查前面有没有变形错误。检验原式能确认候选值，完整性则要靠等价变形等理由保证。

等式性质与等价变形，不完全是一句话

若 $A=B$，两边同加、同减一个有定义的量，仍然相等；同乘一个数也仍然相等。除法还要求除数非零。

但解方程不只是让新等式继续成立，还希望新旧方程拥有同一批解。这要求操作能反过来，不能把原来的信息抹掉。

加减同一个量，可以撤销

可以通过两边同减 $C$ 回到 $A=B$。两边同减也是一样。$C$ 可以是已知数，也可以是同一个在讨论范围内有定义的表达式，例如两边同减 $2x$。

乘除已知非零数，才保持可逆

从 $6x=18$ 同除以6，得到 $x=3$；从 $x=3$ 同乘6，又回到原式。因此两者解相同。

若把 $x=3$ 两边同乘0，得到 $0=0$。它虽然是真等式，却不再告诉我们 $x$ 应是多少。任何实数都满足新式，原来的限制丢掉了。

除以0更不允许，因为这项运算本身没有定义。

“移项变号”是完整动作的简写

两边同减7，得到 $x+7-7=19-7$，再化为 $x=12$。看起来像左边的正7移到右边变负7，真正发生的是同减7以后左边抵消。

同样，$5x-4=2x+11$，可以同减 $2x$、同加4，得到 $3x=15$。不是让某项自行跨过等号，而是两边做同一个操作。

不要随意除以含未知数的因子

$2(x-3)=0$ 的解恰好是 $x=3$。若把两边除以 $x-3$，就在真正的解处除以0，并把这个解丢掉。

本章的除法变形，优先使用已知非零常数。以后要乘除含未知数的表达式，必须先处理它何时为零、有无定义等问题，不能照搬一句口诀。

一步方程：撤销最后那道操作

$x-8=-3$，两边同加8，得到 $x=5$。$-4x=28$，两边同除以负4，得到 $x=-7$。，两边同乘6，得到 。

加与减、乘与非零除法可以互相撤销。负系数也不例外，符号要随整个操作保留。

多一层，就再拆一层

先同减18，得到 $-3x=-12$，再同除以负3，得到 $x=4$。未知数的系数是负3，不是把减号随手扔掉后再除3。

$2x+5=17$ 既可以先同减5，也可以先把两边整体同除以2，得到 $x+5/2=17/2$。两条路都合法，只是前一条更少分数。

我选择步骤时，考虑的是能否保持等价、能否让数字更清楚，而不是强迫所有方程都按完全相同的动作顺序。

接上本章开头的账单

同减25，得到 $6g=21$；同除以6，得到 $g=3.5$。代回费用规则，$25+6\times3.5=46$，且 $g\ge0$，符合超出流量的条件。

如果题目换成按整GB向上计费，允许的输入与费用规则都要调整。这里采用的是上一章明确约定的连续计费，不是所有真实套餐的通用规则。

多步方程：展开、合并，再集中未知数

括号里若有和差，先考虑分配律；一边有同类项，先合并；两边都有未知数，可以通过同加减把它们集中到一边。最后系数非零时，再除以系数。

例题：两边都有括号

解 $3(2x-5)-4=2(x+7)+3$。

$3(2x-5)$ 必须展开成 $6x-15$，不能只让3乘第一项。括号前单独一个负号，也表示整个括号乘负1。

未知数不必固定放在左边

同加 $2x$，可得 $7=7x+21$，再同减21，得到 $-14=7x$，所以 $x=-2$。若把未知数全放左边，也会得到相同答案。

负解在纯代数题里正常。代回原方程，两边都为11；只有当 $x$ 代表必须为正的边长等对象时，才需要进一步筛除不合情境的值。

每行留一个能说清的目的

$2(3x-1)+5=4x+11$，可以先写 $6x-2+5=4x+11$，再写 。第一行检查分配，第二行检查常数合并。

省几行字不是唯一目标。保留清晰的中间步骤，能让你在出错时知道回到哪里，而不是把整页重新算一遍。

分数与小数系数：难看的数字，也遵守同一套规则

例题：清分母时，每一项都要乘

解

同乘12的完整意思是

右边的3也要乘，不能只把左边分母去掉。若分数前有负号，清分母后仍保留，如 $-(x-2)$ 还要展开成 $-x+2$。

用24等其他正公倍数也可以，最小公倍数只是让系数常常较小。先同乘非零数与先合并分数，也都是可能的路线。

例题：去掉小数点以前，先想清缩放范围

解 $0.4(x-5)+0.3=0.1x-0.8$。

同乘10作用于等号两边的整体。它不是把式子里所有看见的数字都独立乘10：括号中的 $x-5$ 保持整体，由外面的系数0.4变成4来体现缩放。

两位小数常用100，三位小数常用1000；直接用小数算也可以。这里小数是题目给定的精确系数，若来自近似测量，还要区分代数计算与原数据精度。

不是每个方程都只有一个解

把 $ax+b=cx+d$ 整理为

这时先看 $a-c$ 是否为零，不能不检查就除。

非零系数：唯一实数解

$5x-7=2x+8$ 得到 $3x=15$，因此唯一解 $x=5$。

未知数抵消，剩真等式：所有允许值

$2(x+3)=2x+6$ 展开后两边相同，进一步消去得到 $0=0$。它不是在说 $x=0$，而是所有实数代入都成立。

如果题目另限制 $x$ 为非负整数，结论就是所有允许的非负整数，而不是把背景限制也抹掉。

未知数抵消，剩假等式：无解

$3(x-2)+1=3x+4$ 化为 $3x-5=3x+4$，消去后是 $$，永远不成立，所以无解。

文字题：等号两边应是同一数量的两种表示

我列方程前，会先把要找的量说清楚，再用它表示其他量。等号不是看到几个数字后随手插进去的，它要连接同一种量、同一时刻或同一事件中的关系。

花圃的长与宽

周长54米，长比宽多7米。设宽 $x$ 米，则长 $x+7$ 米，且 $x>0$。

等号左边按长宽计算周长，右边是直接给出的周长，两边说的是同一个量。

连续整数：选谁作未知数可以更省力

三个连续整数和为72。设中间数为 $n$，则为 $n-1,n,n+1$：

两侧偏移抵消，$3n=72$，得到23、24、25。设最小数为 $x$ 也可以，只是方程变为 $3x+3=72$。

连续偶数或连续奇数相差2，不是1。若用 $2n,2n+2,2n+4$ 表示连续偶数，要同时说明 $n$ 为整数。

追赶问题：位置相同，需要明确路线与起点

假设小林、小周从同一地点沿同一路线同向前进，全程速率分别固定为12与18千米每小时，不停留、不绕圈。小林早出发半小时。小周出发后几小时追上？

换个理解，小林领先6千米，两人每小时缩小间距6千米，正好一小时。这个说法依赖同向、速率固定等条件，不能把任何相遇都直接当作总路程相等。

半小时必须用0.5小时与速率配合；写成30再乘每小时速率，就是单位混用。

不等式：不只寻找一个点，还要寻找范围

假设一道入口规则写“高度至少120厘米”，用 $h$ 表示高度的厘米数，条件为 $h\ge120$。边界120可以取，更大的也可以。

“至少、不低于”通常包含下界，用 $\ge$；“至多、不超过”通常包含上界，用 $\le$；“严格超过”用 $>$，“严格少于”用 $<$。不过仍要读完整句子，先知道受限制的是总量还是差量。

$x+2>5$ 中，4和100都是解，但只列几个例子不等于求解集。两边同减2，得到 $x>3$，才完整描述所有实数解。

对比 $x+2=5$，它的唯一解是3；两个问题只差一个符号，答案的形状已经不同。

数轴：端点资格与延伸方向分别检查

$x>3$ 在3处空心，向右；$x\ge3$ 在3处实心，向右；$x<3$ 空心向左；$x\le3$ 实心向左。

空心表示边界不属于解集，实心表示属于。左右方向来自数轴上右边的数更大，不是只凭不等号的尖端猜。

画完后，挑三个代表值排查错误

$x\ge3$，检查边界3、内部5和外部0，分别核对端点、方向与排除区域。若误画成 $x>3$，只试5发现不了，必须试边界3。

双边范围 $-2<x\le4$，左端空心、右端实心，中间涂线。若只允许整数，最后还要从范围里挑出整数点；连续线段不表示2.7本书也变得合理。

这里的代表值检查是排错办法，不是凭三个点就证明所有点都对。完整解集依靠有根据的变形得到，数轴与代表值再帮助核对。

不等式怎样变形，才保留大小顺序

两边同加减一个有定义的量，方向不变；同乘除已知正数，方向不变；同乘除已知负数，方向反转。除数仍不能为零。

从 $-4<1$ 同加7，得到 $3<8$，相当于把两个点整体平移，次序没变。同乘3，得到 $-12<3$，是保留方向的伸缩。

同乘负2却得到 $8>-2$。不仅放大距离，还关于原点翻转，因此原来的左右次序反过来。

为什么负数必须反向

$2<5$，取相反数后，负2在负5右边，所以 $-2>-5$。

更一般地，$a<b$ 意味着 $b-a>0$，而

因此 $-a>-b$。乘任意负数，可以分为先乘正数再取相反数；除以负数等于乘它的负倒数，所以同样反向。

相等关系没有大小方向，所以方程两边同除以负数时仍是等号。不等式需要多检查这一层，不能把两种任务混在一起。

解一次不等式：最后除系数前，多看一眼符号

例题：负系数决定最后方向

解 $4-3(2x-1)\le x+14$。

分数系数照样处理

同乘正6，方向不变，得到 $2x-3>5$；同加3、同除以正2，得到 $x>4$。

清分母是否改变方向，取决于你实际同乘的数的符号，不取决于原式里是否出现负号。含未知数的分母要另行分析，本章不把它当成已知正数。

接回“费用不超过46元”

$25+6g\le46$ 解得 $g\le3.5$。再与实际超出量 $g\ge0$ 合起来，答案才是

单独写 $g\le3.5$ 会包含负数流量，那只是代数范围，还不是本题完整的可行范围。

不等式也可能所有值成立，或没有值成立

$2(x+1)<2x+5$，展开并同减 $2x$ 后，只剩 $2<5$，是真命题，所以所有实数都满足。

$4x-3\ge4x+2$ 同减 $4x$，剩 $-3\ge2$，是假命题，所以无解。

若仍有非零系数，例如 $3x+1\le9$，则得 $x\le8/3$。单个、可整理为一次形式的不等式，在实数范围的解集通常是射线，也可能为全体或空集；两侧都有约束时，才可能形成有界区间。

看到未知数消失，先判断留下的命题真假，不要把任何结果都改成“$x$ 小于两常数的差”。

复合条件：“并且”与“或者”走不同路线

宽度大于20厘米且不超过35厘米，写成 $20<w\le35$。两条限制要同时满足，取公共部分，也就是交集。

例题：三部分一起做操作

解 $-3\le2x+1<7$。

若是 $-6<-2x\le4$，三部分同除以负2，两个不等号都反向，先得到 $3>x\ge-2$，再按从小到大写成 $-2\le x<3$。

并且取重叠，或者取至少一边

$x>1$ 并且 $x\le5$，结果为 $1<x\le5$。

$x<-2$ 或者 $x\ge4$，两条射线都要保留，中间不属于。不能把断开的两片范围强行写成一个表示同时成立的链式不等式。

$x>5$ 并且 $x<1$，没有公共值，为空集；$x>1$ 或者 $x\le5$，则覆盖全部实数。这里“或者”采用数学中至少满足一个条件的含义，允许同时满足。

如果现实题要求质量至少20千克且不超过15千克，两个限制确实冲突。不能为了得到非空答案，擅自把数交换成15到20。

预算与容量：代数范围还要筛选完整份数

例题：最多准备几份材料

总预算180元，固定装饰费用36元，每份材料11元，无其他费用。设份数 $n$ 为非负整数。

理由不是四舍五入，而是找不超过上界的最大整数。上界6.8对应最多6个完整对象；下界6.2对应至少7个。严格边界还要特别注意：整数 $n<7$ 最大为6，$n>7$ 最小为8。

例题：两道限制形成时间窗口

训练至少45分钟、不超过60分钟；热身固定8分钟，每轮6分钟，各环节顺次进行、无额外间隔。设完整轮数 $n$ 为非负整数。

同减8、同除以6，得到

允许整数只有7和8，对应50与56分钟；6轮仅44分钟，9轮需62分钟，分别越过两侧边界。

连续量不必强行取整

假设一个装置要求温度不低于18.5度且严格低于22度，数学模型可写 $18.5\le T<22$，19.3也是允许的数值。

若题目说的是只显示整数的仪表读数，变量就与真实连续温度不同。先说明 $T$ 是真实量还是显示数，再谈取值范围，不能看到仪表整数显示就断言真实量也只能是整数。

比较两个方案：让两个表达式直接相遇

假设甲打印店固定服务费18元，每页0.4元；乙无固定费，每页0.7元。两店打印质量、页数口径相同，没有其他收费或折扣。至少多少整页时甲不比乙贵？

等号是否包含，要看临界状态是否符合原话。预算刚好用完属于“不超过”，超过才属于“严格大于”。边界代回原题，是理解题意的一部分，不只是画空心实心点。

最后的检查有两层

先检查数学关系：代回原式，运算和不等号是否成立。再检查情境：单位、非负、整数、长度为正，以及模型条件是否都满足。

若一个方程给出负时间，可能是模型在假设时间起点之前相遇，也可能是列式错了；无论哪种，都不能不解释就把它当作“出发以后几小时”的答案。

综合练习：写理由，也检查完整范围

1. 一步方程

解 $x/(-5)=7$。

2. 两边都有括号

解 $4(2x-3)-5=3(x+4)+8$。

3. 分数方程

解 $\frac{x+1}{3}-\frac{x-2}{4}=2$。

4. 解的类型

判断 $5(x-2)=5x-10$ 与 $2(x+4)=2x+3$ 的实数解集。

5. 负系数不等式

解 $5-2(3x+1)>x-11$。

6. 复合不等式

解 $-5<3x+1\le10$。

7. 两层书架

上层比下层少18本，共96本，两层各多少？

8. 载重限制

题设货物总质量上限1200千克，已有285千克，每箱新货48千克，无其他新增质量，最多加多少整箱？

9. 为什么方向反了

把 $-2x<6$ 解成 $x<-3$，哪里错？

10. 清分母漏了谁

$x/2+3=7$ 同乘2后写成 $x+3=14$，怎样改？

11. 四个连续奇数

四个连续奇数和为80，求这四个数。

12. 可逆性

从 $2(x-3)=0$ 两边除以 $x-3$ 得 $2=0$，能说明原方程无解吗？

13. 恰好与不超过

沿用连续流量计费 $M=25+6g$、$g\ge0$，费用恰好46元与不超过46元的答案分别是什么？

下一章：用比与比例描述两个量怎样对应

这一章，我们始终在维护原来的条件，而不是把符号随意移来移去。方程的等价步骤要能反向恢复，不等式还要维护大小方向；最后的答案必须满足原式与情境的双重限制。

下一章会碰到“水与浓缩液按 $4:1$ 混合”这样的关系。它不只给一个数量，而是告诉两个量如何相配。把两个相等的比写在等号两边，又会遇到方程。

先认单位与对应关系，再列比例，用这一章的等价变形求未知量，最后把答案代回配方。前面学过的分数、百分数和方程，会在同一个问题里接到一起。

在共同起点、同一路线的条件下，追上对应路程相等：$18t=12(t+0.5)$。