一阶线性系统与矩阵方法

上一章里，我们把一个未知函数拆成幂级数，让微分方程逐项决定它的系数。这个办法扩展了“解一个方程”的范围。不过，现实模型还有另一种复杂：需要追踪的量本来就不止一个。

想象两个水箱通过管道互相输送盐水。只知道第一个水箱现在有多少盐，能预测它下一分钟的盐量吗？还不能。第二个水箱会把盐送过来，送来的浓度取决于第二个水箱当时的盐量。两个未知函数互相牵着，必须一起求。

弹簧振子也有同样的问题。看到小球经过平衡位置，并不能知道它接下来向哪边走，还要知道速度。前面用二阶方程保存的两份信息，现在可以并排放进一个向量。

这一章先从两只水箱写出方程，再解释特征值为什么能拆开耦合，接着处理复根和重根。最后，我们会把这些解组织成基本矩阵，并让上一章的幂级数再次出场，得到矩阵指数。外界持续加入的输入，也能放进同一套方法。

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先把两只水箱的账记清楚

设两只充分搅拌的水箱各有 $100\ \mathrm{L}$ 水。第一只水箱以 $10\ \mathrm{L/min}$ 向第二只输水，第二只也以相同流量向第一只输水。每只水箱另外各接收 $10\ \mathrm{L/min}$ 的清水，同时向外排出 $10\ \mathrm{L/min}$ 的混合液。

每只水箱的总流入和总流出都是 $20\ \mathrm{L/min}$，所以体积确实保持不变。这里假设管道运输时间可以忽略，流量恒定，盐不会沉淀，也不会发生化学反应。

用 $x_1(t),x_2(t)$ 表示两只水箱里的盐量，单位是千克，时间 $t$ 用分钟计。第一只水箱的浓度是 $x_1/100$ 千克每升，第二只则是 。第一只水箱收到的盐只来自第二只水箱，清水不带盐，因此

$$x_1'=10\frac{x_2}{100}-20\frac{x_1}{100} =-\frac15x_1+\frac1{10}x_2.$$

同样，第二只水箱满足

$$x_2'=10\frac{x_1}{100}-20\frac{x_2}{100} =\frac1{10}x_1-\frac15x_2.$$

每一项都是千克每分钟。系数 $1/10$ 和 $1/5$ 的单位都是每分钟，来自“流量除以体积”。如果直接凭印象给矩阵填几个正负数，就容易漏掉一条排水管；先写守恒账，矩阵自然会出现。

把两份盐量放在同一个列向量里：

$$\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\end{bmatrix}, \qquad A=\begin{bmatrix}-1/5&1/10\\1/10&-1/5\end{bmatrix}.$$

两条方程便合成

$$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}.$$

这个写法没有省掉任何物理关系。第一行仍然是第一只水箱的账，第二行仍然是第二只水箱的账。对角线上的负数记录自身流出造成的减少，非对角线上的正数记录另一只水箱带来的输入。

先不解方程，也可以做一个有用的检查。把两行相加，箱间交换的盐应该抵消，只剩向外排出的盐：

$$(x_1+x_2)'=-\frac1{10}(x_1+x_2).$$

总盐量确实按照指数规律减少。但这还不能告诉我们每个箱子里分别有多少盐。系统求解要补上的，正是这种分配信息。

如果 $x_1=0$ 而 $x_2\geq0$，第一行给出 $x_1'=x_2/10\geq0$；另一条边界也一样。因此非负初始盐量不会被模型推成负值。数学公式可以延伸到负时间，水箱故事讨论的范围则是实验开始后的 。

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一个矩阵方程究竟承诺了什么

一般的一阶线性系统可以写成

$$\mathbf{x}'(t)=A(t)\mathbf{x}(t)+\mathbf{b}(t).$$

这里 $\mathbf{x}$ 有 $n$ 个分量，$A(t)$ 是 $n\times n$ 系数矩阵，$\mathbf{b}(t)$ 是已知的外部输入。所谓线性，是未知分量只以一次项相加，彼此不相乘，也不进入平方、正弦等非线性函数。系数依赖时间不妨碍线性；出现 $x_1x_2$ 才会改变这一点。

当 $\mathbf{b}=\mathbf0$ 时，系统叫齐次系统；有外部输入时叫非齐次系统。水箱接收清水虽然有外部水流，但盐量方程没有额外加盐项，所以仍是齐次的。如果入口换成已知浓度的盐水，盐的输入率就会进入 $\mathbf{b}$。

初始条件现在也是一个向量：

$$\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0.$$

只要 $A(t)$ 和 $\mathbf{b}(t)$ 的各个分量在某个区间内连续，且 $t_0$ 在这个区间内，那么每一个初始向量都决定该区间上的唯一解。常数矩阵配上处处连续的输入时，解对所有有限实数时间都有定义。指数可能越长越大，但不会在某个有限时刻突然出现分母为零的爆破。

对齐次系统，叠加原理依然成立。如果 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 都是解，常数倍之和满足

$$(c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v})' =A(t)(c_1\mathbf{u}+c_2\mathbf{v}).$$

我们需要找到足够多的独立解，再用初始条件决定怎样组合。这与二阶线性方程的主线一致，只是“两个标量解”变成了“$n$ 个向量解”。

对于常数矩阵，$A\mathbf{x}$ 还有一个直接的几何意思：它给出状态点 $\mathbf{x}$ 当下的速度。例如

$$A=\begin{bmatrix}2&1\\0&-1\end{bmatrix}, \qquad A\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}.$$

于是状态经过 $(1,2)$ 时，第一分量增加，第二分量减少。要注意，这是状态空间里的速度；水箱模型的两个坐标是盐量，并不是水箱在房间里的位置。

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高阶方程为什么也能搬进来

现在回头看弹簧。位置相同的小球，可能正在向左，也可能正在向右，所以位置不足以构成完整状态。把位置和速度一起记录，就能把二阶方程改写成一阶系统。

例如，给定适当的单位，考虑

$$y''+4y'+3y=f(t).$$

令 $x_1=y$、$x_2=y'$。第一条关系直接给出 ${}_{}^{}$；原方程则告诉我们速度怎样改变：

$$x_2'=y''=-3x_1-4x_2+f(t).$$

因此

$$\mathbf{x}'= \begin{bmatrix}0&1\\-3&-4\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}0\\f(t)\end{bmatrix}.$$

这一步是等价改写。原方程的任意解 $y$ 都给出系统解 $(y,y')^{\mathsf T}$；反过来，系统第一行保证第二分量就是第一分量的导数，再代入第二行便恢复原方程。

初始条件也完整搬过来。例如 $y(0)=2,y'(0)=-1$ 就对应 $\mathbf{x}(0)=(2,-1)^{\mathsf T}$。这里位移与速度的单位不同，所以矩阵各个位置的系数可以有不同单位；不要把所有系统的矩阵元素都机械理解成每秒。

更一般地，若最高阶导数的系数在讨论区间内不为零，先把 $n$ 阶线性方程化成

$$y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=f(t),$$

再依次取 $x_1=y,x_2=y',\ldots,x_n=y^{(n-1)}$，便有

$$x_1'=x_2,\quad x_2'=x_3,\quad\ldots,\quad x_{n-1}'=x_n,$$ $$x_n'=-a_0(t)x_1-a_1(t)x_2-\cdots-a_{n-1}(t)x_n+f(t).$$

前 $n-1$ 行负责传递导数关系，最后一行负责原方程的动力学。若最高阶系数在某点为零，就不能在那里直接除过去；上一章对奇点的警惕在这里仍然需要保留。

“降阶”没有减少问题所需的信息。一个 $n$ 阶方程的 $n$ 个初值，变成了状态向量的 $n$ 个分量。它的好处是让高阶模型、多变量模型以及我们前面学过的数值方法，能够使用统一的一阶形式。

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特征向量把耦合拆成独立模式

两只水箱彼此影响，为什么线性代数里的特征向量能帮助我们？先找一种最简单的变化方式：两个分量始终保持固定比例，只让整体大小随时间改变。

设这个固定比例由非零向量 $\mathbf{v}$ 表示，尝试

$$\mathbf{x}(t)=u(t)\mathbf{v}.$$

代入常系数齐次系统，得到

$$u'(t)\mathbf{v}=u(t)A\mathbf{v}.$$

要让右边仍沿着 $\mathbf{v}$，自然要求 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$。这正是特征值和特征向量的关系。于是整个向量问题缩成

$$u'=\lambda u, \qquad \mathbf{x}(t)=Ce^{\lambda t}\mathbf{v}.$$

沿这个方向出发，解不用不断调整两个分量的比例，只按同一个指数因子伸缩。这样的独立变化方式叫一个特征模态。这里 $\lambda$ 决定时间上的倍率，$\mathbf{v}$ 决定分量之间的配比，两者缺一不可。

把两只水箱真正算完

回到水箱矩阵，特征方程为

$$\det(A-\lambda I) =\left(\lambda+\frac15\right)^2-\frac1{100} =\left(\lambda+\frac1{10}\right) \left(\lambda+\frac3{10}\right)=0.$$

对应的两组特征数据可以直接核验：

$$\lambda_1=-\frac1{10},\quad \mathbf{v}_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \qquad \lambda_2=-\frac3{10},\quad \mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}.$$

第一组表示两只箱子盐量相等时共同变淡；第二组描述两只箱子之间的差异消失得有多快。第二个特征向量有负分量，并不意味着真实水箱必须出现负盐量。模态是用来分解解的数学构件，真正满足物理条件的是它们组合后的盐量。

若开始时 $x_1(0)=6$、$x_2(0)=2$ 千克，写成

$$\begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix} =c_1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}.$$

相加相减得到 $c_1=4,c_2=2$，所以

$$x_1(t)=4e^{-t/10}+2e^{-3t/10}, \qquad x_2(t)=4e^{-t/10}-2e^{-3t/10}.$$

检验第一行，导数为 $-0.4e^{-t/10}-0.6e^{-3t/10}$；把公式代入 $-x_1/5+x_2/10$，得到完全相同的两项。第二行两边也同为 ，初值则分别回到 和 。

结果还告诉我们一件公式表面看不出的事：第二只箱子一开始会增盐，因为 $x_2'(0)=0.2\ \mathrm{kg/min}$。系统的两个指数都衰减，并不保证每一个坐标从第一刻起都单调下降。第一只箱子带来的盐，暂时超过了第二只箱子的流失。

令 $x_2'=0$，得到 $e^{-t/5}=2/3$，即它在 $t=5\ln (3\mathrm{/}2)$ 分钟时达到最大值，之后才开始减少。而总盐量始终是 ，与先前的总账一致。差量是 ，比总量消失得更快，因此长期看两箱盐量越来越接近。

换坐标以后为什么就不耦合了

若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，把它们作为列排成矩阵 $P$，并按同样顺序把特征值放入对角矩阵 $D$，就有

$$AP=PD,\qquad A=PDP^{-1}.$$

令 $\mathbf{x}=P\mathbf{z}$。因为 $P$ 是常数矩阵，求导并左乘 $P^{-1}$ 得到

$$P\mathbf{z}'=AP\mathbf{z}=PD\mathbf{z}, \qquad \mathbf{z}'=D\mathbf{z}.$$

于是每个新坐标独自满足 $z_i'=\lambda_i z_i$。所谓对角化，在这里就是换一套坐标，让原来互相牵连的方程分开。

水箱里这套新坐标尤其具体：$z_1=(x_1+x_2)/2$ 是平均盐量，$z_2=(x_1-$ 是半差量。我们找到的两个指数，正是平均量和差量各自的变化率。

不同特征值对应的特征向量线性无关，因此 $n$ 个不同实特征值足以完成这种分解。重根也可能有足够多的特征向量；真正需要检查的是向量是否够用，而不是只数特征值有几种。

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复特征值怎样变成实数解

有些运动会反复改变方向。前面二阶振动方程出现复根时，我们把复指数拆成正弦和余弦；线性系统里仍然这样做，但必须连同复特征向量一起拆。

假设实矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda=\alpha+i\beta$，其中 $\beta\ne0$，对应特征向量为 $\mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q}$。先写出一个复数解：

$$e^{(\alpha+i\beta)t}(\mathbf{p}+i\mathbf{q}) =e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)(\mathbf{p}+i\mathbf{q}).$$

展开后，实部与虚部分别是

$$\mathbf{u}_1(t)=e^{\alpha t} (\mathbf{p}\cos\beta t-\mathbf{q}\sin\beta t),$$ $$\mathbf{u}_2(t)=e^{\alpha t} (\mathbf{p}\sin\beta t+\mathbf{q}\cos\beta t).$$

为什么各取一部分仍是解？因为 $A$ 的元素都为实数，代入系统后实部与虚部分别满足同一条实系数方程。这两个实向量解线性无关。若 $\mathbf{p}$ 与 $\mathbf{q}$ 共线，复特征向量便会是某个实向量的复数倍，意味着实矩阵把一个非零实向量乘成非实数倍，这不可能；因此在 $t=0$ 时它们已经独立。

看一个算得清楚的例子：

$$\mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-1&-2\\2&-1\end{bmatrix}\mathbf{x}, \qquad \mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}.$$

特征方程是 $(\lambda+1)^2+4=0$，根为 $-1\pm2i$。对 $-1+2i$，可取 ，于是实部解是 。把虚部解乘以 ，可选另一解 。它们在零时刻刚好是标准基向量，初值系数直接就是 和 ：

$$\mathbf{x}(t)=e^{-t} \begin{bmatrix}2\cos2t+\sin2t\\2\sin2t-\cos2t\end{bmatrix}.$$

记 $C=\cos2t,S=\sin2t$，第一分量的导数是 $-5e^{-t}S$，而 $-x_1-2x_2$ 也等于它；第二分量的导数是 ，与 相同。初值也正确。

这个例子的两个分量带着共同的包络 $e^{-t}$，同时发生角频率为 $2$ 的转动。在一般坐标下，复根对应的运动未必画出标准圆，因此不要仅凭“有正弦余弦”就把轨线画圆。完整的相图形状和稳定性分类留到下一章；这里先掌握如何把复数计算变成两个独立实解。

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重根缺少特征向量时，另一个解从哪里来

若 $A=-2I$，虽然唯一的特征值 $-2$ 出现两次，但两个标准基向量都是特征向量。系统的解就是 $e^{-2t}(c_1,c_2)^{\mathsf T}$，没有任何困难。

现在只增加一项耦合：

$$A=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-2\end{bmatrix}.$$

特征方程仍是 $(\lambda+2)^2=0$，但 $(A+2I)\mathbf{v}=\mathbf0$ 要求第二分量为零，因此只找到一个独立特征方向。若只写 $c_1{e}^{-2t}(1,$，就永远无法满足第二分量非零的初值。

先用我们熟悉的积分因子把它解出来。第二行给出 $x_2=c_2e^{-2t}$，第一行成为

$$x_1'+2x_1=c_2e^{-2t}.$$

两边乘 $e^{2t}$，得到 $(e^{2t}x_1)'=c_2$，因此

$$x_1=(c_1+c_2t)e^{-2t},\qquad x_2=c_2e^{-2t}.$$

通解可以整理成两个向量解：

$$\mathbf{x}(t)=c_1e^{-2t}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} +c_2e^{-2t}\begin{bmatrix}t\\1\end{bmatrix}.$$

这里确实出现了 $te^{-2t}$，但它必须和第二分量中的 $e^{-2t}$ 配套。直接把第一个向量解整体乘 $t$，会得到 $(te^{-2t},0)^{\mathsf T}$，它不满足第一行，因为求导会多出一个无法抵消的 。

这也解释了广义特征向量为什么这样定义。若已知 $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$，寻找另一个解

$$\mathbf{u}(t)=e^{\lambda t}(t\mathbf{v}+\mathbf{w}).$$

分别计算导数和 $A\mathbf{u}$，两者的差是

$$\mathbf{u}'-A\mathbf{u} =e^{\lambda t}\bigl[\mathbf{v}-(A-\lambda I)\mathbf{w}\bigr].$$

所以只要找到满足 $(A-\lambda I)\mathbf{w}=\mathbf{v}$ 的向量 $\mathbf{w}$，缺少的解就补上了。上例可取 $\mathbf{v}=(1,0)^{\mathsf T}$、。这是二维亏损重根的标准处理；更高维时可能需要更长的向量链，出现 等项。

给上例初值 $\mathbf{x}(0)=(1,3)^{\mathsf T}$，便得

$$\mathbf{x}(t)=e^{-2t}\begin{bmatrix}1+3t\\3\end{bmatrix}.$$

第一分量导数是 $(1-6t)e^{-2t}$，代入 $-2x_1+x_2$ 同样得到它；第二分量两边都是 。尽管多了 ，两个分量最终仍趋于零，因为指数衰减压过固定次数的多项式增长。

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基本矩阵：把初值接到所有解上

实根、复根、重根的计算方式各有差别，但得到独立向量解之后，后面的组织方式完全一样。

设 $\mathbf{u}_1(t),\ldots,\mathbf{u}_n(t)$ 是齐次系统的 $n$ 个独立解，把它们排成列：

$$\Phi(t)=\begin{bmatrix}\mathbf{u}_1(t)&\cdots&\mathbf{u}_n(t)\end{bmatrix}.$$

这样的矩阵叫基本矩阵。每一列都满足原系统，所以

$$\Phi'(t)=A(t)\Phi(t).$$

独立性可以用 $\det\Phi(t_0)\ne0$ 检查，只需在一个时刻检查一次。为什么不会过一会儿又变得相关？假如某时刻有非零常数向量 $\mathbf{c}$ 使 $\Phi(t)\mathbf{c}=\mathbf0$，这个组合解与零解具有相同的当时初值。唯一性迫使它始终为零，就与最初的独立性矛盾。

因此通解是 $\mathbf{x}(t)=\Phi(t)\mathbf{c}$。初值要求 $\Phi(t_0)\mathbf{c}=\mathbf{x}_0$，于是

$$\mathbf{x}(t)=\Phi(t)\Phi(t_0)^{-1}\mathbf{x}_0.$$

这一步特别容易少写一个逆矩阵。基本矩阵在初始时刻未必等于单位矩阵，它的列可以从任意一组独立向量出发。只有先把初值换算成这组列向量的组合系数，才可以乘 $\Phi(t)$。

水箱的一个基本矩阵是

$$\Phi(t)=\begin{bmatrix} e^{-t/10}&e^{-3t/10}\\ e^{-t/10}&-e^{-3t/10} \end{bmatrix}, \qquad \Phi(0)^{-1}=\frac12\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}.$$

它的行列式是 $-2e^{-2t/5}$，始终非零。右乘 $\Phi(0)^{-1}$，得到在零时刻等于 $I$ 的归一化基本矩阵：

$$\Psi(t)=\frac12\begin{bmatrix} e^{-t/10}+e^{-3t/10}&e^{-t/10}-e^{-3t/10}\\ e^{-t/10}-e^{-3t/10}&e^{-t/10}+e^{-3t/10} \end{bmatrix}.$$

它现在可以直接乘初始盐量向量。第一列对应“第一只箱子开始有一千克盐，第二只没有”，第二列对应相反的初态。任何其他初值由这两种响应相加而来。

行列式还有一个整体核验公式：

$$\det\Phi(t)=\det\Phi(t_0) \exp\left(\int_{t_0}^{t}\operatorname{tr}A(s)\,ds\right).$$

$\operatorname{tr}A$ 是对角线元素之和。水箱里它等于 $-2/5$，因此公式给出 $-2e^{-2t/5}$，正好与直接计算一致。这里的行列式就是系统版本的 Wronskian；它检查独立性，不需要把向量分量再逐行求导排一次。

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矩阵指数把幂级数接回系统

对标量方程 $x'=ax$，从初值到解的推进因子是 $e^{at}$。我们希望给常数矩阵系统找到类似的推进矩阵，初始值为 $I$，导数为 $A$ 乘自身。

上一章提供了一个直接的构造办法。设它可以展开成 $M(t)=\sum_{k=0}^{\infty}B_kt^k$，代入 并比较系数，便有

$$(k+1)B_{k+1}=AB_k,\qquad B_0=I.$$

因此 $B_1=A,B_2=A^2/2,\ldots,B_k=A^k/k!$。我们据此定义矩阵指数：

$$e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots.$$

它对每个有限 $t$ 都收敛。用任意相容矩阵范数估计，第 $k$ 项的大小不超过 $\|A\|^k|t|^k/k!$，总和被普通指数级数 $e^{\|A\||t|}$ 控制。因此这不是只写得好看的形式展开。

逐项求导可得

$$\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At},\qquad e^{A\cdot0}=I.$$

由初值问题的唯一性，它就是零时刻归一化的基本矩阵；对任意初始时刻，

$$\mathbf{x}(t)=e^{A(t-t_0)}\mathbf{x}_0.$$

可对角化时，$A^k=PD^kP^{-1}$，把这一关系代入级数就得到

$$e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}, \qquad e^{Dt}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_nt}).$$

水箱的 $e^{At}$ 正是上一节算出的 $\Psi(t)$。特征值解法与矩阵指数解法并没有给出两套不同的答案，只是把同一件事写成了不同形式。

不可对角化时，级数定义照样有效。对先前的重根矩阵，写成 $A=-2I+N$，其中

$$N=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\qquad N^2=0.$$

由于 $-2I$ 与 $N$ 可交换，而且 $N$ 的二次及更高次幂都为零，

$$e^{At}=e^{-2t}(I+tN) =e^{-2t}\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}.$$

乘 $(1,3)^{\mathsf T}$，又回到刚才的重根初值解。矩阵指数把广义特征向量中出现的多项式项也容纳进来了。

同一个常数矩阵的推进可以分段：$e^{A(t+s)}=e^{At}e^{As}$，所以逆矩阵是 $e^{-At}$。但不同矩阵相加时要小心。比较 与 的二次项，前者有 ，后者有 ，两者会因乘法顺序不同而分开。 是可以放心拆开的充分条件。

同样，当 $A$ 随时间改变时，通常不能照搬标量积分因子，把推进矩阵写成 $e^{\int A(t)\,dt}$。不同时刻的矩阵未必可交换；一般仍应使用满足 $\Phi'=A(t)\Phi$ 的基本矩阵。若所有时刻的 彼此可交换，才可以用相应的积分指数表达推进。

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外部输入怎样进入系统的解

水箱持续加入盐、电路持续受到电源驱动，都会出现非齐次项。前面我们把二阶方程通解中的常数换成函数；现在对矩阵系统也做同样的事。

假设已经找到齐次系统 $\mathbf{x}'=A(t)\mathbf{x}$ 的基本矩阵 $\Phi(t)$。为求

$$\mathbf{x}'=A(t)\mathbf{x}+\mathbf{b}(t),$$

尝试 $\mathbf{x}=\Phi(t)\mathbf{c}(t)$。求导并使用 $\Phi'=A\Phi$，得到

$$\mathbf{x}'=A\Phi\mathbf{c}+\Phi\mathbf{c}'.$$

与原式对比，只剩 $\Phi\mathbf{c}'=\mathbf{b}$，因此

$$\mathbf{c}'=\Phi^{-1}\mathbf{b}.$$

按初值积分，完整答案就是

$$\mathbf{x}(t)=\Phi(t)\Phi(t_0)^{-1}\mathbf{x}_0 +\Phi(t)\int_{t_0}^{t}\Phi(s)^{-1}\mathbf{b}(s)\,ds.$$

这就是系统的变参数公式。注意各个矩阵和向量的相乘顺序：先用 $\Phi(s)^{-1}$ 处理输入，再在积分外乘 $\Phi(t)$。矩阵不是可以任意调换位置的数字。

若 $A$ 是常数矩阵，公式变成

$$\mathbf{x}(t)=e^{A(t-t_0)}\mathbf{x}_0 +\int_{t_0}^{t}e^{A(t-s)}\mathbf{b}(s)\,ds.$$

第一项是初始状态自己的演化。第二项可以这样读：时刻 $s$ 加入的微小输入 $\mathbf{b}(s)\,ds$，还要经历 $t-s$ 这么长时间，才能贡献到时刻 $t$ 的状态。把所有输入时刻的贡献积起来，就是我们在卷积里见过的“过去输入累积成现在响应”。

算完一个有持续输入的系统

考虑两个量依次传递的简化模型：第二个量持续得到强度为 $4$ 的输入，并以速率 $2$ 衰减；它又以系数 $1$ 影响第一个量，第一个量同样以速率 $2$ 衰减。这里取无量纲变量和时间，只讨论方程本身，不把这组系数冒充具体设备参数。

$$\mathbf{x}'= \begin{bmatrix}-2&1\\0&-2\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}0\\4\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}(0)=\mathbf0.$$

齐次推进矩阵已经算过，因此

$$\mathbf{x}(t)=\int_0^t e^{-2(t-s)} \begin{bmatrix}1&t-s\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\4\end{bmatrix}\,ds =\int_0^t4e^{-2(t-s)}\begin{bmatrix}t-s\\1\end{bmatrix}\,ds.$$

令 $u=t-s$，把积分方向一并调整，第二分量为

$$x_2(t)=4\int_0^t e^{-2u}\,du=2(1-e^{-2t}).$$

第一分量多了一个 $u$，分部积分得到

$$x_1(t)=4\int_0^t ue^{-2u}\,du =1-(1+2t)e^{-2t}.$$

两个初值都是零。求导给出 $x_1'=4te^{-2t}$、$x_2'=4e^{-2t}$；代入右端，，，逐行通过。

长期状态是 $(1,2)^{\mathsf T}$，也可以直接由 $A\mathbf{x}_*+\mathbf{b}=\mathbf0$ 算出。初始输入先改变第二个量，再传到第一个量，所以 $x_2^{\mathrm{\prime }}(0)=4$，而 。这份先后关系就藏在积分核的 里。

对于常输入，若 $A$ 可逆，平衡状态可以写成 $\mathbf{x}_*=-A^{-1}\mathbf{b}$，并通过 $\mathbf{z}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_*$ 化成齐次系统。若 不可逆，就必须检查线性方程是否有解，不能强写不存在的逆矩阵。变参数积分本身不要求 可逆，要求可逆的是基本矩阵。

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练习：让公式与每一行方程对得上

把三阶初值问题放进状态向量

把 $y'''+2y''-y'+4y=\cos t$ 改写成一阶系统，并写出 对应的初值。

显示答案

取 $x_1=y,x_2=y',x_3=y''$，则前两行是 。原方程提供最后一行 ，所以

用不同实根解一个初值问题

求 $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$、$\mathbf{x}(0)=(5,-4)^{\mathsf T}$，其中

$$A=\begin{bmatrix}-1&1\\0&-3\end{bmatrix}.$$

显示答案

特征值为 $-1,-3$。前者的特征向量可取 $(1,0)^{\mathsf T}$；后者要求 $2v_1+v_2=0$，可取 。初值分解为 ，所以

只换水箱初值，不重新求特征值

本章的两只水箱开始分别含 $0$ 和 $10$ 千克盐。求两只箱子的盐量，解释第一只箱子会不会立刻出现负盐量。

显示答案

平均量与半差量的初值是 $5$ 和 $-5$，因此

$$x_1=5(e^{-t/10}-e^{-3t/10}),\qquad x_2=5(e^{-t/10}+e^{-3t/10}).$$

从复根写出实数解

求

$$\mathbf{x}'=\begin{bmatrix}0&-3\\3&0\end{bmatrix}\mathbf{x}, \qquad \mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}.$$

显示答案

特征值是 $\pm3i$。对 $3i$，取特征向量 $(1,-i)^{\mathsf T}$，得到实解 $(\cos3t,\sin3t)^{\mathsf T}$，以及将虚部取负后的 。按初值组合：

重根系统中的多项式因子

求 $A=\begin{bmatrix}-1&2\\0&-1\end{bmatrix}$ 的矩阵指数，以及初值 $\mathbf{x}(0)=(0,3{)}^{\mathsf{T}}$ 的解。

显示答案

写成 $A=-I+N$，其中 $N=\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}$，直接相乘可知 。 与 可交换，因此

基本矩阵不能直接乘初值

已知某系统的基本矩阵为

$$\Phi(t)=\begin{bmatrix}2e^t&0\\0&3e^{-t}\end{bmatrix}.$$

求满足 $\mathbf{x}(0)=(4,9)^{\mathsf T}$ 的解，并判断 $\Phi(t)\mathbf{x}(0)$ 是否正确。

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因为 $\Phi(0)=\operatorname{diag}(2,3)$，组合系数应是 $\mathbf{c}=\Phi(0)^{-1}\mathbf{x}(0)=(2,3)^{\mathsf T}$。所以

系数矩阵不可逆时仍能处理输入

求

$$\mathbf{x}'=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\mathbf{x} +\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}.$$

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这里 $A^2=0$，所以 $e^{A(t-s)}=\begin{bmatrix}1&t-s\\0&1\end{bmatrix}$。变参数公式给出

现在，我们已经能从一个初始向量出发，写出它怎样随时间演化。接下来的问题是：如果把许多不同初值放在同一张平面上，所有这些解会组成什么图案？它们会向一个点靠近，绕着它转动，还是沿某个方向离开？下一章将把这里算出的指数模态，翻译成相图上的方向、轨线和稳定性。