一阶线性方程与积分因子

上一章解可分离变量方程时，我们反复做一件事：把未知函数和自变量各自放到一边，再用链式法则解释为什么能够积分。可是真实模型不总肯配合这种分组。一个容器里的物质一边被持续加入，一边按现有数量流失，变化率就会同时含有“输入多少”和“已经有多少”两部分；如果输入还随时间改变，通常没法把它们拆成两个因子的乘积。

比如一个充分混合、体积保持不变的容器，每分钟流入的溶质数量逐渐减少，而流出带走溶质的速率与当前存量成正比。选定单位后，某个简化模型可以写成 $y'+2y=e^{-t}$。这里 $y'$ 是存量变化率，$2y$ 是流失率，$e^{-t}$ 是外部输入率。移项以后，右边是 $e^{-t}-2y$，直接分离变量的办法就不顺手了。

我们不必因此放弃积分。换一个问题：能不能把左边那两个项，合成一个我们认识的导数？ 本章的积分因子，就是为了这件事专门找出来的函数。理解了它的来历，后面的冷却、电路和输注模型会成为同一种计算在不同情境里的出现。

先认清“线性”，再决定从哪里求解

系数可以弯来绕去，未知函数要保持一次

本章要处理的标准形式是

这里的 $p$ 和 $q$ 都是已知函数。说它“线性”，看的是未知函数 $y$ 和它的导数怎样出现：$y$ 只出现一次幂，$y'$ 也只出现一次幂，两者不相乘，也没有把 $y$ 放进平方、正弦、指数等运算里。

于是 $y'+t^2y=\sin t$ 是线性的，尽管系数 $t^2$ 和输入 $\sin t$ 的图像都不是直线。 不是线性的，因为未知函数被平方了； 也不属于本章的线性方程，因为导数前面的系数竟然依赖未知函数。后面一种形式有时能通过替换处理，但不能直接套用眼前的方法。

还有一个容易混淆的地方：方程里出现 $e^t$ 没问题，出现 $e^y$ 才改变了它对未知函数的依赖方式。我们识别的是方程的结构，不是看见某种符号就贴标签。

更一般的线性写法是

只有在 $a_1(t)\ne0$ 的地方，才能除以它，得到

例如 $ty'+3y=t^2$ 中，$p(t)$ 不是 $3$。在 $t\mathrm{\ne }$ 时，标准化后才有

积分因子由标准形式里的 $p(t)$ 决定。第一步没除对，后面每一步都可能算得很整齐，却在解另一个方程。

解的区间也是答案的一部分

我们先约定在一个包含初始时刻 $t_0$ 的区间 $I$ 上工作，并要求 $p,q$ 在那里连续。对刚才的方程，初值若给在 $t_0=1$，自然先讨论 ；若给在 ，就先讨论 。不能把两边跨过 连成一个标准形式连续的区间。

这句话并不等于“原方程的每个解都绝对不能穿过 $0$”。原方程 $ty'+3y=t^2$ 在 $0$ 仍然有意义，只是导数前面的系数变成了零，我们不能在那里进行刚才的除法。究竟能否延拓，必须回到原方程检查。稍后会算出，这个例子确实有一条特殊解可以穿过 $0$，其他一些解却会在靠近 时变得无界。

当右端 $q$ 在整个研究区间上恒等于零时，方程叫齐次方程；只要 $q$ 不是恒等于零，就是非齐次方程。这里的“恒等于零”很关键，$q(t)=\sin t$ 虽然在许多时刻取零，仍然属于非齐次输入。在模型里，齐次方程常对应关闭输入以后，系统凭自身规律怎样变化。

积分因子是怎样倒推出来的

从 $y'+p(t)y=q(t)$ 出发，如果直接积分，左边会出现 $\int p(t)y(t)\,dt$。我们尚不知道 ，这个积分并没有让问题前进一步。现在先想清楚希望得到的结果：如果左边是一个乘积的导数，积分就会一次解决两个项。

找一个处处非零的函数 $\mu(t)$，把方程每一项都乘上它：

我们希望左边等于 $(\mu y)'$。乘积法则告诉我们，真正的乘积导数是

两边的 $\mu y'$ 已经一致，剩下只要让 $\mu'y$ 与 $\mu p y$ 的系数匹配就行。为了让这个匹配对所有待求的 $y$ 都有效，我们要求

看到这里，上一章的知识就接上来了：这正是一个可分离变量方程。我们寻找的是非零乘子，因此可以在求 $\mu$ 时除以 $\mu$：

取一个方便的原函数，就可以选

指数函数始终为正，所以这个选择不会等于零，也就不会在乘法或最后的除法中丢掉原方程的解。$\mu\equiv0$ 虽然也满足我们写出的辅助方程，却会把原问题变成 $0=0$，当然不能当积分因子。

积分因子的公式是从“想凑成乘积导数”这个目标推出来的。 指数里为什么放 $p$ 的积分，为什么不是负号，都可以回头用 $\mu'=p\mu$ 检查。注意齐次解满足 $y'=-py$，它的指数才带负号。这两个函数做的事情不同，恰好互为倒数。

找到乘子以后，原方程变为

现在才真正可以直接积分：

从而

最后这个 $C$ 必须保留，它记录不同初值选出的不同解。反过来，计算 $\mu$ 时不必保留原函数的积分常数。因为把原函数增加一个常数，只会把 $\mu$ 乘上某个正的常数；方程各项同时多出同一个倍数，除回去后，不会改变得到的解族。

还有一个实际好处：整个求解过程没有除以未知函数 $y$。解可以取零，也可以穿过零，我们都不需要另外排除它。这里仅要求作为工具的 $\mu$ 不为零，别把这件事和上一章除以 $h(y)$ 时需要找回平衡解混在一起。

把方法完整用一遍，再处理系数的断点

衰减输入与持续流失

回到开头的模型，先求出全部解，再使用初值：

方程已经标准化，$p=2$，所以积分因子为 $\mu=e^{2t}$。乘上以后，右边也必须一起乘：

展开 $(e^{2t}y)'$ 就能逐项确认左边确实匹配，于是

除以 $e^{2t}$，得到

现在才让初值出场。$t=0$ 时，$1=1+C$，所以 $C=0$，这条初值解是 $y=e^{-t}$。直接求导，，代回可得 ，初值也确实等于 。

这个初值碰巧把第二项消掉了，并不意味着一阶线性方程的通解不需要常数。若同样的输入和流失规律下，初始存量改为 $3$，就会得到

它的导数是 $-e^{-t}-4e^{-2t}$，加上 $2y$ 后，两个 $e^{-2t}$ 项相消，仍然留下 。两个初值解的差恰好是 ：随着时间过去，起点不同带来的影响越来越小。

变系数并不增加方法的种类

现在求

先在 $(0,\infty)$ 上除以 $t$，得到 $y'+(3/t)y=t$。积分因子是

所以

解为

代入 $y(1)=1$ 得 $C=4/5$，因此

为检查答案，我们算出

回到未经除法的原方程，$ty'+3y$ 中的 $t^{-3}$ 项正好消去，其余是 $2t^2/5+3t^2/5=t^2$。这既检查积分，也检查了最初的标准化。

如果研究负半轴，应从 $\int3/t\,dt=3\ln|t|$ 出发，得到正的积分因子 $|t|^3$。在这个固定区间上，$t^3=-|t|^3$，两者只差一个非零常数倍，所以取 也能工作。关键在于区间内不经过零，而不在于积分因子一定要写成哪一种外观。

最后回看被除掉的点。刚求出的初值解含有 $4/(5t^3)$，靠近零时无界，不能连续穿过零。但通解中取 $C=0$ 时，$y=t^2/5$ 在整个实数轴都可导，代入原方程在 $t$ 也成立。

把初值直接放进积分，答案会更清楚

不定积分的写法方便算题，但我们还可以把初值从头带着走。对

在 $p,q$ 连续、包含 $t_0$ 的区间上，选一个经过归一化的积分因子：

积分变量 $s$ 只是积分号内部使用的名字，外面的 $t$ 是我们想求解的时刻。这个选择让 $\mu(t_0)=1$，初值处理会很干净。把 $(\mu y)'=\mu q$ 从 积到 ，就有

于是

这里已经没有待定常数了。把 $t=t_0$ 代进去，积分区间长度为零，立刻得到 $y(t_0)=y_0$。当 在 左侧时，定积分按有向积分理解，公式仍然成立；不过一个从启动时刻开始的物理模型，通常只把 当作实际研究时间。

积分写不成初等函数，也已经解出来了

考虑一个损耗系数保持不变、外部输入先集中后减弱的数学模型：

积分因子是 $e^{2t}$，因此

指数 $2s-s^2=1-(s-1)^2$，相应积分没有初等函数表达式。我们不需要编造一个原函数，也不必把这样的答案视为半成品。这个定积分对每个有限的 $t$ 都给出确定数值，可以计算，可以画图，也可以验证。

令方括号里的整个函数为 $H(t)$。微积分基本定理给出 $H'(t)=e^{2t-t^2}$，于是

原方程和初值都验证了。后面学习数值方法时，我们会区分“有精确的积分表达式”和“需要近似数值”这两件事：它们可以同时成立。

输入在过去发生，影响在现在留下

把前面的初值公式重新整理，可以得到

先不要被双层积分吓住。第一项是初始状态经过系统自身变化后，还剩下多少影响。第二项里，$q(s)\,ds$ 表示在时刻 $s$ 附近的一小段时间加入的量；乘上后面的传播因子，是这份输入到时刻 $t$ 时留下的影响。最后把各个时刻的贡献加起来。

在 $p(t)=a>0$ 的常系数情形，这个含义尤其明白：

较早进入的那一份，经历了更长时间的衰减；刚刚进入的那一份，衰减还很少。所以状态并不是把过去输入原封不动累加，而是带着系统自身的变化规律来累加。冷却中的温度跟随、电容的充电滞后，都可以从这里理解。

为什么所有初值的差异只占一项

特解加齐次解，不只是拆公式

假设 $y_1,y_2$ 都满足同一个非齐次方程。把它们的方程相减，右端输入抵消：

也就是说，同样输入下的两个解，它们的差满足没有输入的齐次方程。 齐次方程的解是

固定一个非齐次解 $y_p$，称为特解，其他任何解都只能与它相差这样的齐次项。因此通解为

反过来，把 $y_p+Cy_h$ 代回原方程，齐次部分贡献零，特解部分贡献 $q$，也就证明这些函数全部是解。特解本身不唯一：往一个特解里加上齐次解，仍然得到另一个特解。我们通常选最方便计算、最容易解释的那个。

这还解释了初值为什么能选出唯一一条曲线。若两条解在 $t_0$ 的值相同，它们的差满足 $z(t_0)=0$。传播因子不会为零，所以系数只能是 $C=0$，两条解在整个连续系数区间上相同。更一般的一阶方程是否也能保证唯一，我们会在后面专门讨论；这里已经能从公式直接看到答案。

只有会消失的部分才叫暂态

对一个持续按比例损耗、又被恒速补充的系统，选定单位后写成

若存量不再改变，就必须有 $ay=b$。所以一个方便的特解是常数 $y_s=b/a$，全部解为

这里第二项确实趋于零，我们称它为暂态；第一项是长期保持的平衡值。暂态系数可以正，也可以负：初值高于平衡值，解从上方下降；低于平衡值，解从下方上升。如果一开始恰好在平衡值上，暂态从起点就是零。

偏差衰减到原来的 $e^{-1}\approx36.8\%$ 所需时间是 $\tau=1/a$，叫时间常数。经过一个时间常数，只完成了大约 $63.2\%$ 的调整，并没有“已经达到稳态”。在理想公式里，非零初始偏差在有限时间内不会严格消失。

若 $p$ 随时间变，判断初始差异能否消失，要看

在方程对所有未来时刻都有定义的前提下，当 $\int_{t_0}^t p(s)\,ds\to+\infty$ 时，这个因子才趋于零。仅仅知道 $p(t)>0$ 还不够。例如 在 始终为正，但

因此初始差异乘上的因子趋于 $e^{-1}$，没有完全消失。相反，若 $y'-y=1$，通解是 $y=-1+Ce^t$；虽然 是平衡解，偏离它的部分会增长，不能叫作衰减暂态。

稳态也可能一直振荡

一个系统受到周期输入，长期留下的响应不一定是常数。为了把这个说法算清楚，考虑已选定无量纲变量的方程

输入有常数、正弦两部分，求导又会把正弦变成余弦，所以试着找

代回以后，常数系数为 $2D$，正弦系数为 $2B-G$，余弦系数为 $B+2G$。与右端逐一匹配：

由最后一式得 $B=-2G$，代入中间一式得 $G=-1/5$，于是 $B=2/5$，$D=3/2$。全部解是

长期的周期响应为前面三项，它始终在变化，没有一个常数极限；但任意初值解与这条周期曲线之间的差会趋于零，因此称它为周期稳态响应。把周期部分写成 $\frac1{\sqrt5}\sin(t-\phi)$，其中 ，还能看见响应振幅减小、峰值相对输入延后的现象。

“找到特解”和“识别稳态”是两步工作。特解是否反映长期规律，必须结合齐次项是否衰减、输入在未来怎样持续来判断，不能只看它位于通解的哪一边。

温度跟随环境：固定环境与变化环境

刚泡好的热水会降温，冰水也会慢慢升温。把这两种现象写在同一句话里，就是：温度变化的方向指向环境温度，变化快慢由温差决定。设物体内部温度可以近似看成均匀值，传热条件在研究时间内保持相近，并且环境温度是已知输入，我们使用

$T$ 和 $T_a$ 用相同温标，若时间以分钟计，$k$ 的单位就是 $\mathrm{min}^{-1}$。这样左边与右边都是温度每分钟。负号可以用现象检查：当 $T>T_a$，导数为负；当 ，导数为正。

整理成 $T'+kT=kT_a(t)$，便是一阶线性方程。这里无需假设温差恒为正，也不需要除以温差；同一个解法同时包括冷却、升温，以及恰好处于环境温度的情况。

固定环境：先求解，再估计参数

设一个教学情境中，物体从 $68\,{}^\circ\mathrm C$ 开始，在恒定的 $20\,{}^\circ\mathrm C$ 环境中冷却；$6$ 分钟后测得 $44\,{}^\circ\mathrm C$，并假设整个时段符合上述模型。积分因子为 ，所以

由初温得到 $C=48$。再利用第二个温度条件：

因此

$12$ 分钟后温差又减半，所以 $T(12)=20+12=32\,{}^\circ\mathrm C$。如果问降到 $26\,{}^\circ\mathrm C$ 需要多久，就是解 ，得到 分钟。连续减半的是相对环境的温差，不是摄氏温度本身。

环境也在升温时，分离变量不再顺手

现在设环境在某段时间内按 $T_a(t)=20+t$ 升温，其中 $t$ 以分钟计，斜率为每分钟 $1\,{}^\circ\mathrm C$。取 ，物体初温为 。模型变成

乘上 $e^{t/4}$，右边的原函数可以这样检查：

因此 $T=t+16+Ce^{-t/4}$，初值得 $C=4$，所以

物体和环境之间的温差是

开始时两者同温，物体的初始变化率为零。随后环境走在前面，物体开始升温；如果把这个线性升温输入一直延续下去，温差趋于 $4\,{}^\circ\mathrm C$。物体并不会在同一时刻完全追上环境，因为要保持每分钟升温 $1\,{}^\circ\mathrm C$，方程要求保留 $1/k=4\,{}^\circ\mathrm C$ 的温差。这是持续变化的输入造成的滞后。

实际环境若只在有限时段内近似线性升温，上面的计算也只用于那个时段。长期温差的讨论是在明确延续该输入的数学假设下进行的，不能把短时间的升温规律自动推广到永远。

电容充电与恒速输入：同一计算换了单位

RC 电路：电容电压为什么不会一下追上电源

把电阻与电容串联接到电源上。电容上存储的电荷越来越多，电容两端的电压也随之上升；电阻两端剩余的电压越来越少，电流就逐渐减小。这是“起初变化快，后来变化慢”的另一种具体故事。

假设电阻 $R>0$、电容 $C_{\mathrm{cap}}>0$ 都是常量，忽略其他元件效应。设电容上的电荷为 $Q$，电流为 $i=Q'$，电容电压为 ，电源电压为 。按统一的回路方向写电压平衡：

由于 $Q=C_{\mathrm{cap}}v$，电流是 $i=C_{\mathrm{cap}}v'$，因此

也就是

这里刻意给电容下标，避免与积分常数 $C$ 混淆。若 $R$ 用欧姆、电容用法拉，则 $RC_{\mathrm{cap}}$ 的单位是秒；$v'$ 与右边两项的单位都是伏特每秒。电荷形式同样成立：$$，其中电荷用库仑。

设 $R=2\,\mathrm{k}\Omega$，$C_{\mathrm{cap}}=500\,\mu\mathrm F$，电源保持 $6\,\mathrm V$，初始电容未充电。时间常数为

以秒计时，方程的数值形式是 $v'+v=6$，$v(0)=0$。乘上 $e^t$，得到 ，积分、除回并代初值可得

于是 $v(1)\approx3.79\,\mathrm V$，$v(3)\approx5.70\,\mathrm V$。电流也能由同一个解求出：

初始电流为 $3$ 毫安，随后趋于零。电容电压趋近电源电压以后，电阻上几乎没有压降，电流自然很小。这比只记住一条指数充电曲线多解释了一层：曲线的弯曲来自回路中各部分彼此制约。

输注与清除：先写总量，再写浓度

若某种物质持续进入一个简化的一室系统，又按现有总量的固定比例被清除，新增量和清除量就会竞争。用它描述输注时，模型假设是物质迅速混合，等效分布体积 $V$ 固定，输入速率 $R_{\mathrm{in}}$ 恒定，清除速率与当前总量成正比。这里只研究这种理想化数学结构。

先令 $M(t)$ 表示总量，$k>0$ 表示一阶清除速率常数。收支关系为

若总量用毫克、时间用小时，则 $R_{\mathrm{in}}$ 的单位是毫克每小时，$k$ 的单位是每小时。$k$ 是比例速率常数；若另用“清除率”表示体积每时间的量 $\mathrm{CL}$，两者关系应为 $\mathrm{CL}=kV$，不能把单位不同的参数当成同一个东西。

浓度记为 $c=M/V$。因为这里 $V$ 恒定，才有 $M'=Vc'$，从而

右边的单位变成毫克每升每小时，与浓度导数匹配。乘上 $e^{kt}$ 并从 $0$ 积到 $t$：

因此

这里的 $c_s$ 来自输入与清除平衡：$R_{\mathrm{in}}=kVc_s$，并非物质停止进入或停止离开。若初始量为零，可以用无量纲时间 和相对浓度 消掉具体尺度，得到 ，导数此时对 而言，其解为 。这与未充电电容的相对电压完全同形。

若输入在某时刻 $t_1$ 停止，之后应改用零输入方程，且把停止前已达到的浓度当作新初值：$c(t)=c(t_1)e^{-k(t-t_1)}$。不能让原来的恒速输入公式一直算下去，因为模型右边已经变了。这些推导用于理解收支与衰减，不涉及实际给药方案。

留几道题，检查自己是否真的会用

做题时，不妨在写积分因子之前先说清三件事：对谁线性，在哪个区间，导数前面的系数是否已化成 $1$。算完再用原方程和初值各检查一次。

练习一：指数增长的齐次项

求 $y'-3y=2e^t$、$y(0)=0$ 的解，并判断不同初值带来的差异会不会消失。

练习二：区间与被标准化排除的点

求 $ty'+2y=t^3$、$y(1)=1$ 的解，说明包含初值的标准形式连续区间。通解中有没有能延拓到 $t=0$ 的成员？

练习三：保留定积分也能验算

求 $y'+2ty=1$、$y(0)=3$ 的精确积分表达式，并直接验证。

练习四：用温差判断冷却时间

在恒定 $18\,{}^\circ\mathrm C$ 的环境中，某物体初温为 $74\,{}^\circ\mathrm C$，$5$ 分钟后温度为 $46\,{}^\circ\mathrm C$。假设冷却模型适用，求温度函数与降到 所需时间。

练习五：从电压求电流

一个理想串联 RC 电路满足 $R=4\,\mathrm{k}\Omega$、$C_{\mathrm{cap}}=250\,\mu\mathrm F$，电源电压恒为 $8\,\mathrm V$，电容初始电压为 。求电容电压、电流及时间常数。

练习六：特解一定是稳态吗

方程 $y'+y=\cos t$ 的一个周期特解是多少？若初值为 $y(0)=0$，求完整解。再说明 $y'-y=1$ 的特解 为什么不能让一般解趋近它。

做完这些题，我们已经有了两条把微分方程送回积分的路线：能分开变量时，用链式法则；对未知函数保持线性时，用积分因子凑出乘积导数。下一章会把同一个问题再推进一步：如果眼前的两个项原本就是某个二元函数的全微分，怎样把它认出来？如果方程表面上不线性，换一个未知量以后会不会变得线性？这些问题会把已有的方法连成一个更实用的一阶方程工具箱。

积分后 $e^{-3t}y=-e^{-2t}+C$，故 $y=-e^t+Ce^{3t}$。初值给出 $C=1$，因此

求导后 $y'-3y=(3e^{3t}-e^t)-3(e^{3t}-e^t)=2e^t$，验证成立。不同初值解之差为常数乘 $e^{3t}$，通常随时间放大，不能把这一项叫衰减暂态。系数连续，数学解定义在整个实数轴。

代入初值得 $C=4/5$，故所求解为 $y=t^3/5+4/(5t^2)$，定义在 $(0,\infty)$。它在靠近零时无界，不能连续延拓。但通解中 $C=0$ 的成员 $y=t^3/5$ 在全实数轴可导，且 $ty'+2y=3t^3/5+2t^3/5=t^3$，在零点同样成立。这个特殊成员不满足题目给定的 $y(1)=1$，不能用它替代初值解。

对它求导，乘积法则的第一项为 $-2ty$，第二项为 $e^{-t^2}e^{t^2}=1$，所以 $y'=-2ty+1$。当 $t=0$，积分为零，$y(0)=3$。这已经是全实数轴上的精确解，不需要把积分伪装成不存在的初等原函数。

降到 $25$ 度时温差为 $7$ 度，只剩最初温差的 $1/8$。因此 $2^{-t/5}=1/8$，得 $t=15$ 分钟。若误用 $46/74$ 作为衰减比例，会忽略环境温度而算错。