一阶模型：从真实情境到方程

上一章里，我们学会了在还没有求出公式时，先问解是否唯一，再沿着相线判断它会往哪里走。人口会不会趋近某个平衡值，温度会不会越过室温，这些问题已经可以用方程回答。现在我们往前退一步：面对一杯咖啡、一只正在换水的水槽，甚至一只追着目标移动的小车，那个方程究竟是怎么来的？

这一步和算积分很不一样。题目不会自动告诉你该用可分离变量还是积分因子，甚至不会替你选好未知函数。我们要先决定跟踪什么，再把“为什么会变化”说清楚，最后才轮到求解。公式是我们对现象作出的具体判断，每一项都应该能翻译回一句有含义的话。

本章的数值情境都是为练习建模设置的例子，并非真实实验记录。我们会用这些设例走完同一条路：从现象写出方程，用初值和测量值确定一次具体过程，再回到情境里检查答案。

先说明变量、单位和假设，再把变化机制写成方程，最后检查解回答了什么问题。

先找要记的那一本账

想象你负责观察一只装有盐水的水槽。屏幕上可以显示水量、盐量、浓度，也可以显示进水管每分钟送来多少盐。这些数都在变，可它们并不是同一种东西。水量和盐量是槽里“此刻有多少”，流入速率是“每分钟增加多少”，浓度则是盐量除以水量。

如果我们想给盐记账，最直接的一句话就是：槽里盐量的变化率，等于流入盐量的速率减去流出盐量的速率。这个时候选总盐量作未知函数，方程里的每一项都有明确去处。若直接选浓度，就还要处理体积变化带来的稀释；并非不能做，只是这本账会多一道换算。

一般地，设 $y(t)$ 是我们要跟踪的状态，就想找到

初值 $y_0$ 说的是开始时有多少，右端 $F$ 说的是处在某个状态时怎样变化。它们来自不同的信息：称量能给出初始盐量，管道流量和充分混合的假设才能给出变化规律。只有一个初值，通常还无法确定变化规律中的参数。

单位是写方程时随手可用的检查工具。若 $y$ 以千克计、$t$ 以分钟计，那么 $y'$ 就是千克每分钟；右边每一项也必须是千克每分钟。把“每分钟流入 3 升”直接写成盐量的导数，错误就出在这里：体积流量还要乘上每升含盐多少，才能成为盐的流入速率。

我们先从最简单的账本开始：没有管道，也没有外部输入，数量本身决定它增加得多快。

细菌越多，为什么还要问资源够不够

一个培养皿里，如果每单位时间平均每个细菌贡献的净增量相同，那么细菌越多，总新增量就越多。设 $P(t)$ 是种群数量，$t$ 以小时计，把单位个体的净增长率记为 $r$，就得到

$r$ 的单位是 $\mathrm{h}^{-1}$。这里的“净”已经把繁殖和死亡的作用合并了；若还存在迁入迁出，必须另写来源，不能假装它们自动包含在一个固定比例里。数量本来是整数，我们却用连续函数表示它，这是把个体很多时的总体变化作连续近似。

在 $P_0>0$ 时，把前面学过的分离变量用上：

写成 $\ln(P/P_0)$ 还有一个好处：对数里是无单位的数量比。$P_0=0$ 时不能用除以 $P$ 的推导，但直接代回原式就知道 $$ 也是解。

设例：某培养物起初有 200 个计数单位，3 小时后有 400 个。若暂时接受指数增长假设，代入解式可得

于是 $P(t)=200\cdot2^{t/3}$，9 小时后模型预测为 1600 个计数单位。不要把 $r\approx0.2310$ 读成“每小时恰好增加 23.10%”：它是瞬时相对增长率，一整小时的增长倍数是 $e^r\approx1.2599$。微分方程在每一刻都用更新后的数量继续增长。

同一结构也能描述衰减。若某种物质每单位时间损失的比例固定，写成 $M'=-kM$，其中 $k>0$，就有 $M=M_0e^{-kt}$。设例中若半衰期是 6 小时，则 ，所以 ；18 小时后剩下 。半衰期固定，说的是每过同样长的时间剩余量减半，并不是每次减少同样多的质量。

把“拥挤会降低人均增长率”放进模型

刚才的培养物到 9 小时后真能达到 1600 吗？只凭两次计数无法回答。指数模型默认营养、空间和环境都没有因为数量增多而明显改变。要让资源限制进入方程，可以先修改最初那句人话：每个个体的净增长率会随着总数量上升而下降。

一个简单选择是让这个人均增长率线性下降，在 $P=K$ 时变为零：

这里 $r>0$ 是低密度时的增长参数，$K>0$ 和 $P$ 具有相同单位。乘回 $P$，得到 Logistic 方程：

$K$ 叫环境容量或承载量，意思是这套固定环境假设下的平衡数量。它不是一道禁止跨越的硬墙。初始数量完全可以超过 $K$，只是此时模型给出的净增长率为负，数量会下降。

先用上一章的相线检查：$P=0$ 和 $P=K$ 是平衡解；在 $0<P<K$ 时 $P'>0$，在 时 。对正初值， 是渐近稳定平衡值。右端是关于 的多项式，局部唯一性保证非平衡解不会在有限时刻撞上平衡解后再穿过去。

求公式时，要先记住这两个常数解，再对 $P\ne0,K$ 分离变量：

拆分分式以后，左边的积分就很熟悉了：

利用初值整理，可得对 $P_0>0$ 有效的表达式

若 $P_0>K$，括号里的系数虽然是负数，但大于 $-1$；对 $t\ge0$，分母仍为正，所以不会出现人口在未来某个时刻突然发散的问题。$P_0=K$ 代入公式也能恢复平衡解， 则仍应单独保留。

设例：某封闭培养环境取 $K=1200$ 个计数单位，$r=0.4\ \mathrm{h}^{-1}$，起初 $P_0=200$。则

数量达到 600 时，分母应等于 2，所以

为什么特意问 600？因为总增长速率可写成

它在 $P=K/2$ 时最大，本例最大速率为 $120$ 个计数单位每小时。数量很少时，资源充足但繁殖者也少；接近容量时，繁殖者很多但人均净增长率很低。最快增长出现在两者之间。对应地，从 $P_0<K/2$ 起步的增长曲线先向上弯，再向下弯；若初值已经在 $K/2$ 上方，就不会在未来再经历前半段。

使用交互时，可以先让两个模型采用相同的初值与低密度增长参数，看它们早期为何接近，再观察数量增大后怎样分开。还要分清“已知参数后比较曲线”和“从数据估计参数”：两次很早期的计数通常不足以可靠确定 $r$ 与 $K$，因为此时 $P/K$ 很小，不同的 $K$ 可能给出相近预测。若环境随季节改变，或出生到繁殖有明显时滞，这个固定 $r,K$ 的模型也需要调整。

咖啡冷却：先减去室温，再谈指数衰减

咖啡刚倒出来时凉得快，接近室温后却慢了下来。要把这个观察写成变化率，我们先问：驱动散热的到底是什么？如果把一杯同样温度的咖啡放进更暖的房间，它就不会以同样的速度降温。真正相关的是咖啡与周围环境的温差。

设咖啡温度为 $T(t)$，环境温度为常数 $T_a$。把“温差越大，温度变化越快”近似为正比关系，就得到牛顿冷却模型

$t$ 若用分钟，$k$ 的单位就是 $\mathrm{min}^{-1}$。温差用摄氏度或开尔文表示时，数值相同；绝对温度的零点不同，不影响这个温差关系。

负号可以直接检查。咖啡比房间热时，$T-T_a>0$，方程给出 $T'<0$；冰箱里取出的冷金属比房间冷时，$T-T_a<0$，同一方程就给出 。它描述的是向环境温度靠近。

先跟踪物体与环境的温差，温度变化的方向就容易判断了。

令 $\theta=T-T_a$，因为环境温度固定，有 $\theta'=T'$，原方程变成 。于是

指数衰减的是温差，不是咖啡温度本身。如果忘掉 $T_a$ 而写成 $T=T_0e^{-kt}$，模型会把温度拉向 $0^{\circ }$，无论房间有多暖，这显然答错了问题。

用一次测量估计参数，再作一次预测

设例：室温为 $20^\circ\mathrm C$，咖啡起初是 $84^\circ\mathrm C$，8 分钟后测得 $60^\circ\mathrm C$。先认为室温稳定、杯内温度近似均匀、杯子和散热条件没有改变。初值给出

8 分钟时温差由 64 降到 40，因此

若问咖啡什么时候降到 $44^\circ\mathrm C$，对应温差为 24，故

这是从刚开始计时起的时间。若人在第 8 分钟才开始等，还需等待约 $8.69$ 分钟。这里保留 $k$ 的对数表达式再计算，能避免过早四舍五入带来的误差。

还能提出一个不用重新拟合的检验：第二个 8 分钟里，温差应继续乘以 $5/8$，所以模型预测

如果真实测量系统性地偏离这个结果，我们就该检查散热条件，而不是只重复计算 $k$。盖上盖子、搅拌、加入牛奶或把杯子移到风口，都可能改变模型参数或状态。用一条测量值确定一个参数，只说明模型能经过那条数据，不能证明它会准确预测所有后来时刻。

更一般地，在物体始终位于室温同一侧时，两个测量时刻满足

多次测量应当给出大致一致的衰减参数。若温差已经很小，相同大小的测温误差会在比例里占更大分量，因此接近室温的数据并不天然更适合估计 $k$。

本节把整杯咖啡当成一个均匀温度的对象，也把复杂散热近似成固定比例关系。如果内部温差很大，就不能用一个 $T(t)$ 代表整个物体；如果室温随时间变化，应写成 $T'+kT=kT_a(t)$，用一阶线性方程处理。此时 的导数是 ，不能再悄悄省去后一项。

在恒定室温模型里，只要初始温差非零，有限时刻的 $e^{-kt}$ 就不会等于零，所以物体不会恰好达到或越过室温。实验仪器显示“已经等于室温”，通常只说明温差小到仪器分辨不出来。

混合罐：盐量的账和水量的账要一起算

冷却模型盯住的是温差。回到开头那只水槽，我们要找的是流入、流出各带走多少盐。设 $A(t)$ 是槽内盐量，单位为千克，$V(t)$ 是溶液体积，单位为升。入口浓度为 $c_{\mathrm{in}}$ 千克每升，流入和流出的体积流量分别为 $q_{\mathrm{in}}$、 升每分钟。

先假设盐始终完全溶解、槽内充分混合，没有另外的盐生成或消失，并忽略蒸发。每分钟进来的盐就是“每升多少盐”乘“每分钟多少升”；出口浓度则由槽内此刻状态决定，是 $A/V$。所以

这条方程里，入口浓度是外部给定的，出口浓度是随解变化的。若误把流出项也写成 $q_{\mathrm{out}}c_{\mathrm{in}}$，就等于假设刚开始出口已经和入口一样浓，完全跳过了混合过程。

水量还有自己的一本账。在流量恒定且尚未装满或排空时，

先用体积平衡得到 $V(t)$，再用盐量平衡得到 $A(t)$，最后才取比值得到浓度。

进出一样快：先把恒体积过程算完

设例：槽内起初有 100 升盐水和 10 千克盐，入口浓度为 $0.2$ 千克每升，进出流量都为 5 升每分钟。假设这些浓度下盐都能完全溶解。由于体积一直为 100 升，模型是

每分钟进入 1 千克盐，流出量却不是固定数，它随着槽内盐量变化。整理成线性方程后，积分因子为 $e^{t/20}$，因此

初值给出 $C=-10$，所以

若问什么时候达到入口浓度的 90%，要解的是 $c=0.18$，不是 $A=0.18$。代入得 $e^{-t/20}=0.2$，故 $t=20\ln5\approx32.19$ 分钟。

长期盐量趋近 20 千克，浓度趋近 $0.2$ 千克每升。达到平衡不表示管道停了：每分钟仍进入 1 千克盐，也流出 1 千克盐，净变化才等于零。咖啡的温差会衰减，这里“入口浓度减槽内浓度”的差也会衰减，熟悉的指数形式来自相似的变化机制。

进得比出得快：公式能延长，罐子不能无限装

换一组设例：水槽容量为 120 升，初始装有 60 升溶液和 3 千克盐。入口浓度为 $0.1$ 千克每升，流入 4 升每分钟，流出 2 升每分钟。此时

算积分前就该检查容量：$60+2t=120$ 给出装满时刻 $t=30$ 分钟。所以我们目前写下的是 $0\le t<30$ 上的模型，到 30 分钟可以取填满前的连续极限值。

方程的积分因子可以取 $t+30$；这里 $t$ 表示以分钟为单位的数值，若给积分因子作无量纲规范，也可取 $(t+30)/30$，只差一个不影响结果的常数倍。于是

代入 $A(0)=3$ 得 $90=180+C$，所以

装满前一刻，$A(30)=10.5$ 千克，浓度为 $10.5/120=0.0875$ 千克每升。它仍低于入口浓度，因为最初较淡的盐水尚未被充分替换。

若把公式继续算到 60 分钟，会得到一个数学数值，但那已经不是题设水槽的状态：水槽容不下 180 升。要继续建模，就必须规定装满后是关闭进水、降低流量还是允许溢流。如果假设多出的每分钟 2 升也以槽内浓度溢出，总流出就变为每分钟 4 升，之后的新方程应为

因此这一新增假设下，$t\ge30$ 时

它在切换时刻接上原来的盐量，再逐渐趋近 12 千克。接着解一个现实过程，常常意味着接着写一个新模型，而不是无限延长旧公式。

反过来，若流出大于流入，形式上的排空时间为 $V_0/(q_{\mathrm{out}}-q_{\mathrm{in}})$。模型只能用在体积为正的阶段；排空之后 $$ 没有意义，保持原有流出速率的假设通常也不再成立。

浓度可以直接建模，但要带上乘积法则

我们并非只能选盐量。若想直接研究浓度 $c=A/V$，从 $A=cV$ 出发，乘积法则给出

把两本账代入，得到

整理后恰好是

流出项抵消了，因为充分混合的液体流出时，盐和水按同一比例减少，流出本身不立即改变浓度。但 $q_{\mathrm{out}}$ 仍会通过 $V(t)$ 影响后来浓度变化的速度，不能说它对整个过程“没有影响”。

观察模拟时，要同时看体积、盐量和浓度。盐量上升并不必然意味着浓度上升，因为水可能增加得更快；任何越过容量或排空时刻的轨迹，都需要额外说明后续机制。

RC 电路：电容上的电压为什么慢慢追上电源

混合罐有输入，也有随着当前状态增大而增强的输出。电路里有一个很相近的过程：电源给电容充电，电容积累的电荷越多，它两端的电压越高，留给电阻的电压就越少，充电电流随之减小。

考虑理想电压源、电阻与电容串联的回路，电源电压记为 $E$，电阻为 $R>0$，电容为 $C>0$，暂不考虑电感、漏电或参数随温度变化。设电容指定极板上的电荷为 $q(t)$，把流入该极板的方向取作电流正方向，则

电流是每秒送来多少电荷，单位安培等于库仑每秒。电容关系 $q=Cv_C$ 表示电容越大，建立同样电压需要积累的电荷越多。沿回路作电压平衡，电阻上的 $Ri$ 加上电容电压应等于电源电压：

代入上面的关系，便得到

现在每一项都能检查：$Rq'$ 是欧姆乘安培，等于伏特；$q/C$ 也是伏特。电路方程并不是多背了一条特殊公式，而是把电荷变化率和电压平衡接在一起。

若 $q(0)=q_0$，一阶线性方程给出

也可以直接写电容电压：

乘积 $\tau=RC$ 的单位是秒，叫时间常数。经过一个 $\tau$，电容电压与最终值的差缩小到原来的 $e^{-1}\approx36.8\%$。若从零电压开始充电，就完成了最终电压的约 $63.2\%$；这不是“已经充满”。

设例：取 $E=9\ \mathrm V$、$R=3000\ \Omega$、$C=200\ \mu\mathrm F=2\times10^{-4}\ \mathrm F$，电容起初没有电荷。先算

这里最后的 $\mathrm C$ 是库仑单位，与表示电容的变量 $C$ 要区分。因此

初始电流为 3 毫安，随后逐渐减小。电容电压达到电源电压的 95% 时，剩余差为 5%，所以

若改成经电阻放电，必须说明闭合的放电回路如何形成。把电源设为零且保留电阻与电容的闭合回路，就有 $Rq'+q/C=0$，从切换时刻开始指数衰减；若只是把回路断开，理想模型中的电流为零，不能继续套同一个放电方程。

咖啡温差、恒体积混合罐的浓度差、电容电压与电源电压的差，都满足“差越大，消除差的速度越快”的关系。它们的参数意义不同，却都把前面学过的线性方程变成了具体可测的过程。

运动模型：速度大小和速度方向要分开想

到这里，我们跟踪的都是一个量。运动问题常让人一开始就想求位置，可如果力只依赖时间和速度，先跟踪速度会更直接。

设物体在近地面竖直运动，取向下为正，质量为常数 $m$。重力向下，大小为 $mg$；再假设介质阻力与速度大小成正比，而且总与运动方向相反，就可以统一写成阻力 $-bv$，其中 $b>0$。物体向下时 $v>0$，阻力为负；物体向上时 $v<0$，阻力为正，两个方向都对。

牛顿第二定律说“合力等于质量乘加速度”，而加速度就是 $v'$，所以

$b$ 的单位是 $\mathrm{kg/s}$，使得 $bv$ 的单位为牛顿。线性方程的解为

平衡速度 $v_*=mg/b$ 叫终端速度。此时重力和阻力平衡，速度不再变化，物体却仍在运动。它与水槽中“盐量不变但仍有盐进出”类似：导数为零不等于过程里所有事情都停止了。

设例：取 $m=2\ \mathrm{kg}$、$b=1\ \mathrm{kg/s}$、$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$，从静止释放，设向下位移 。则

速度达到终端速度的 90% 时，$e^{-t/2}=0.1$，所以 $t=2\ln10\approx4.61$ 秒。若还想知道走了多远，再把速度积分：

代回 $t=0$ 得零，对 $z$ 求导也回到 $v$，初值和运动关系都对上了。不过这些公式只适用于碰到地面或其他边界之前，不能让物体在撞地之后继续穿下去；线性阻力也只是一定条件下的近似，若用平方阻力，统一方向的形式应为 $-bv|v|$，不能在速度可能变号时一律写 $-bv^2$。

追踪者每一刻到底朝哪里走

再想象一辆理想化的小车，它以固定速率追逐一个移动标记。控制规则是“始终朝标记现在的位置前进”。这句话已经说明速度方向，却还没有说明轨迹会是什么形状。

为了不把位置和本章的人口记号 $P$ 混淆，记目标位置为 $\mathbf r(t)$，追踪者位置为 $\mathbf x(t)$，追踪速率为 $s>0$。从追踪者指向目标的向量是 $\mathbf r-\mathbf x$；除以距离，就得到长度为 1 的方向向量。因此

这里用到的只是平面向量：分子负责方向，分母去掉距离带来的长度，外面的 $s$ 再规定速度大小。若不除以距离，追踪者就会“离得越远跑得越快”，那是另一套规则；若把分子写反，它则会一直逃离目标。

设例：目标沿直线运动，位置为 $\mathbf r(t)=(0,2t)$ 米，追踪者从 $(6,0)$ 米出发，速率为每秒 3 米。写 $\mathbf x=(x,y)$，两个坐标的变化率为

起始时目标在原点，所以 $x'(0)=-3$、$y'(0)=0$：追踪者先向左走。随着目标向上移动，视线方向改变，追踪者的速度也不断转向。只要还没有重合，平方相加就能验证

说明追踪者的速率确实一直是 3 米每秒。我们暂时不需要掌握系统求解方法，也能检查这组方程有没有忠实表达原来的运动规则。

固定目标的情形可以完整算出来。若目标一直停在原点，追踪者从 $(6,0)$ 出发，则它始终沿横轴向左，碰到目标前有

距离在 2 秒时降到零，这给出了到达时间。到达时原方程分母为零，已不能决定接下来怎么办。如果规定到达后停车，可以另外接上 $\mathbf x=(0,0)$，但这段停车规则是新增的，不是原来分式自动给出的结论。

移动目标的例子也能先作一个有用判断。记距离为 $d=\|\mathbf r-\mathbf x\|$，视线单位向量为 $\mathbf u=(\mathbf r-\mathbf x)/d$，在 $d>0$ 时由求导得到

本例目标速率为 2，所以它沿视线拉开距离的分量最多为 2，得到 $d'\le2-3=-1$。初始距离为 6 米，因此在这套无障碍、可持续运动的理想规则下，不可能超过 6 秒仍保持正距离。这是对接近时间的上界判断，并没有声称已经求出了弯曲的追踪路线。

这个模型假设追踪者能连续获知目标当前位置、没有反应延迟、没有转弯速率限制，也不受障碍物影响。真实车辆通常不能瞬间调整方向，所以用它预测实际车辆轨迹前，必须把控制规则和运动限制补进去。追踪只是“朝现在的位置跑”；如果提前估计未来交会点，那叫拦截策略，方程会有所不同。

把结果交回原来的问题

写出并解出方程之后，还差最后一段工作。人口解是连续量，我们要解释它代表总体近似；冷却时间要说明从哪个时刻算起；混合罐要检查容量；电路要说明开关改变后回路是否仍然闭合；追踪模型则要说明到达目标时原方程停止适用。

可以用一个共同形式把其中几种过程连起来。咖啡、恒体积混合罐、恒压 RC 电路和线性阻力速度模型，都能写成

$y_*$ 是平衡值，$\tau$ 是时间常数，解为

这个相同形式能帮助我们理解曲线，但不能替代建模。变体积水槽的系数随时间改变，Logistic 模型的增长率随人口改变，追踪模型的方向随两个位置改变，都需要回到各自的变化机制来处理。

下面的练习继续沿着“解释机制、求出结果、检查适用范围”这条路走。所有数值仍为设例。

练习：两次计数告诉了我们什么

某培养物起初有 150 个计数单位，4 小时后有 300 个。假设指数增长，求 $r$、$P(10)$ 和再增加一倍所需的时间。仅凭这两次计数，能否断定以后一直指数增长？

练习：超过承载量的初值

设 $P'=0.3P(1-P/900)$，时间单位为小时，$P(0)=1200$。求解，并求第一次下降到 1000 的时刻，说明它会不会继续下降到 800。

练习：同一个冷却方程也能升温

一块金属起初为 $5^\circ\mathrm C$，放在 $25^\circ\mathrm C$ 的室内，10 分钟后升到 $15^\circ\mathrm C$。假设牛顿冷却模型成立，求 $k$ 和达到 $$ 的时刻。

练习：盐水越来越少，浓度会不会变

槽内起初有 40 升盐水和 4 千克盐，纯水以每分钟 1 升流入，充分混合的盐水以每分钟 3 升流出。求体积、盐量和浓度，并写清有效时间。

练习：电容经电阻放电

一只电容为 $100\ \mu\mathrm F$ 的电容器初始电压为 8 伏，经 $5000\ \Omega$ 电阻形成闭合放电回路，无外加电源。求电容电压、电荷和降至 1 伏所需的时间。

练习：终端速度不等于停止

设向下为正，物体满足 $v'=10-2v$、$v(0)=8$，时间以秒计，速度以米每秒计。求 $v(t)$，判断物体是在上升还是下降、是在加速还是减速，并求前 2 秒的向下位移。

练习：用当前位置检查追踪方向

某时刻追踪者在 $(1,1)$ 米，目标在 $(4,5)$ 米，追踪者速率为每秒 2 米。求纯追踪规则下这一刻的速度。若目标固定在 $(4,5)$，从这一刻开始多久可以到达？到达后原方程还有效吗？

经过这些例子，我们已经能把一段具体描述变成带单位、带初值、带适用范围的变化规律。不过，方程写对之后，积分未必都像本章这样顺利。若咖啡的散热系数随温度变化，入口浓度来自一段复杂的时间记录，或我们真想算出移动目标的追踪路线，就很可能得不到方便的显式解。

下一章会从本章留下的这个问题开始：已知当前状态和当前变化率，能不能先估计一小段时间之后的状态，再一步步把轨迹算出来？我们将学习 Euler 方法、改进 Euler 方法和 Runge–Kutta 方法，并用步长与误差检查，判断算出来的曲线究竟有多可信。

从任意时刻增加一倍都要求 $e^{r\Delta t}=2$，所以 $\Delta t=4$ 小时。但这个结论依赖固定 $r$ 的假设；早期两次计数不能排除后来的资源限制，也不能证明 Logistic 模型一定不合适。

令 $P=1000$，得到 $1-\tfrac14e^{-0.3t}=0.9$，所以 $e^{-0.3t}=0.4$，从而 $t=\ln(2.5)/0.3\approx3.05$ 小时。初值大于 900，右端为负，数量从上方向 900 下降。对所有有限的 $t\ge0$，分母小于 1，故 $P(t)>900$，它不会下降到 800。

达到 $22.5^\circ\mathrm C$ 时，温差绝对值由 20 缩小到 2.5，是原来的 $1/8$。因此 $e^{-kt}=1/8$，$t=\ln8/k=30$ 分钟。由于 $T<25$，方程 $T'=-k(T-25)$ 给出正导数，升温方向正确。

在盐量为正时分离变量，或用线性方程，得到

故

盐量和浓度都下降，但下降规律不同。到 $t\to20^-$ 时它们都趋于零；$t=20$ 的槽已排空，不能用 $A/V$ 为不存在的槽内液体定义浓度，更不能把公式用于 20 分钟之后。