可分离变量方程

上一章里，我们从现实故事写出变化率方程，再用初值和方向场判断曲线往哪里走。比如，一小群细菌在营养充足的条件下繁殖，数量越多，单位时间内新增的数量通常也越多。方向场能告诉我们曲线会向上，甚至越来越陡；但如果要问“四小时以后有多少”，我们还得把那条曲线真正求出来。

这一次，我们从最容易动手的一类方程开始。它们的特点是：影响变化率的两部分可以拆开，一部分只看时间，另一部分只看当前数量。拆开以后，原来纠缠在一起的未知函数和导数，就能交给积分处理。

不过，“拆开”有一个容易被忽略的代价：除以某个含未知函数的因子时，我们也可能把一整条解曲线除没了。因此，这一章不只练积分，还要学会跟着解走到最后：它满足哪个初值，在哪个区间成立，有没有漏掉水平直线解，公式所预测的增长又能不能一直相信。

先看变化率能不能拆成两部分

先把细菌的故事稍微细化。假设培养环境随时间改变，但在同一时刻，每个个体对净增长的平均贡献相同。把数量记为 $P(t)$，把每个个体在时刻 $t$ 的净增长率记为 $a(t)$，那么总数量的变化率就是

右边的乘法有明确的意思：当前有多少个体，乘上每个个体在这个时刻平均贡献多少增长。$a(t)$ 只由时间决定，$P$ 则是系统当前的状态。我们暂时不讨论具体的 $a(t)$，先抓住这种“时间因子乘状态因子”的结构。

把未知函数统一记为 $y(t)$，这类结构写成

$g(t)$ 只含自变量 $t$，$h(y)$ 只含未知函数的值 $y$。能在所讨论的区域内整理成这种形式的一阶方程，叫作可分离变量方程。这里的“变量”指的是 $t$ 和 $y$，不是把一个函数任意拆成两个函数。

例如，$y'=t(1+y^2)$ 已经把两部分摆好了：$g(t)=t$，$h($。方程 初看是两项相加，但提取公因子后变成

仍然可以分离。判断的依据是整理后的结构，不能只看原式里有没有加号。

再看 $y'=t+y$。这里一个时间项和一个状态项直接相加，不能在一个二维开区域内写成 $g(t)h(y)$ 的乘积。若真能如此，固定两个不同的 $y$ 值，右边关于 $t$ 的两个表达式之比应该是与 无关的常数；但 显然会随着 改变。它不属于这一章能直接分离的类型，下一章会处理这种方程。

还要分清“可以分离”和“可以随处计算”。对于

我们可以取 $g(t)=t^2$、$h(y)=1/(y+1)$，但原方程在 $y=-1$ 处没有定义。那条直线不是一个等待我们补回的解，而是方程本来就不允许走到的地方。

分离变量其实是在认出链式法则

如果你见过分离变量的计算，可能会觉得它像一种记号游戏：把 $dy$ 留在左边，把 $dt$ 搬到右边，然后各自积分。算起来确实可以这么写，但我们最好先弄清楚，这样做为什么有道理。

设在当前讨论的一段解曲线上，$h(y(t))\ne0$。从

出发，两边除以 $h(y)$，得到

现在想一想：左边有没有可能是某个复合函数的导数？如果找一个原函数 $H$，让它满足

链式法则马上给出

左边那一项已经被认出来了。方程因此变成

两边对时间积分，若 $G'(t)=g(t)$，就得到

平常所写的

正是这一串链式法则运算的简写。它之所以能用，是因为左边确实对应一个复合函数的导数，并不是因为导数在任何场合都能当普通分数任意拆装。

只有一个积分常数也有原因。假如左边积分写 $H(y)+C_1$，右边写 $G(t)+C_2$，移项以后只会留下 $C_{}$。我们把这个差重新记作 ，并没有减少任何自由度。

如果题目直接给了 $y(t_0)=y_0$，还可以把初值装进积分的上下限：

这里特意使用 $u$ 和 $s$ 作为积分中的临时变量，避免把积分变量和上限混在一起。这个写法不需要另外求 $C$，也清楚地表示：从初始状态走到当前状态时，两边累计的变化相等。它仍然要求所走过的状态区间避开 $h(u)=0$ 和原方程无定义的位置。

把一条初值曲线完整算出来

我们先做一道每一步都能看清的题：某个无量纲状态的变化率，等于“时间的一半”乘“当前状态”，并且起始状态为 $3$。写成初值问题是

这里 $t$ 也取无量纲变量，让我们先专注计算结构。若用它描述真实数量，系数必须带上相应的单位，后面的人口模型会专门处理这一点。

准备除以 $y$ 以前，先检查 $y=0$。把 $y(t)\equiv0$ 代入，左右两边都为零，所以这是一条常数解。它不满足本题初值，却属于原方程的解，不能因为当前只求另一条曲线就忘记它的存在。

满足初值的解在 $t=0$ 附近为正：这是连续性带来的局部结论。我们先在这段小区间内合法地除以 $y$：

积分得到

将 $t=0$、$y=3$ 代入，得到 $C=\ln3$。由于当前选择的是正值分支，

先不要把答案框起来。对它求导，有

而 $y(0)=3$ 也成立。这个函数在所有实数 $t$ 上都存在、可导且保持正值，因此刚才在初始点附近推导出来的表达式，确实可以延伸到整个实轴。

这也解释了一个解题顺序：我们不是先凭直觉宣布“解永远不会到零”，然后据此除法；而是先在初值附近做合法计算，再用得到的表达式确认它的正值性质和延伸范围。后面讨论唯一性时，还会得到另一种判断解能否相遇的方法。

如果把初值改成任意数 $y_0$，同样的计算在 $y_0\ne0$ 时给出

$y_0>0$ 对应上半平面的曲线，$y_0<0$ 对应下半平面的曲线。分离时排除的零解，可以经过单独核实后并入 $y_0=0$ 这个取值，于是同一个公式覆盖了全部初值。

这里还有一个常数处理细节。由 $\ln|y|=t^2/4+C$ 指数化，只能先得到 $|y|=e^Ce^{t^2/4}$。 始终大于零；负值解要靠选择负号得到，零解要靠代回原方程补入。直接说“ 是任意实数”是不正确的。

隐式解也能把一条曲线说清楚

上一题求完积分就能把 $y$ 单独解出来，这种形式叫显式解。但积分有时会把我们带到一个不容易反解的关系式面前。此时不必把整道题当作“还没做完”，先看这个关系式是否已经足够确定所要的函数。

设某个状态受到输入 $2t$ 的推动，而状态的绝对值越大，变化越迟缓；我们用 $1+y^2$ 表示这种对变化速度的抑制，得到一个用于练习的无量纲模型：

因为 $1+y^2$ 始终为正，不会发生除以零。把它乘到左边，积分得

代入初值，$C=2+8/3=14/3$，所以

这就是初值解的隐式表达。它描述了 $t$ 和 $y$ 必须共同满足的关系，但没有直接写成 $y=\cdots$。

为什么这个关系在每个 $t$ 处只会选出一个 $y$？令 $H(y)=y+y^3/3$，则

所以 $H$ 严格递增：$y$ 越大，左边一定越大，不会有两个不同的 $y$ 给出同一个数。又因为 $H(y)$ 向左右分别趋向正无穷和负无穷，它能取到任何实数值。无论右边 $t^2+14/3$ 是多少，都恰好对应一个 ；并且 不为零，这个反解函数在每个有限时刻都可导。

不必写出很长的三次方程求根公式，我们已经知道解在整个实轴上成立。对隐式关系求导，

恢复原方程。把 $t=0$ 代入，唯一对应的 $y$ 是 $2$。甚至趋势也能直接读出来：$t>0$ 时右边随时间增加，$y$ 随之增加；$t<0$ 时导数为负； 是这条曲线的最低点。

不过，“一个关系式”不一定在整体上就是“一个函数”。例如 $y^2=9-t^2$ 同时包含上半圆和下半圆，对多数 $t$ 有两个 $y$ 值。若初值为 $y(0)=3$，必须选正号分支；若初值为 ，必须选负号分支。初值有时不仅决定积分常数，还决定开方后的符号和所取的曲线部分。

因此，隐式解的合格标准是：在所说明的区间里，关系式能确定一条满足初值的可导函数，而且它确实满足原方程。并不是随便写出 $F(t,y)=C$，就自动解决了分支和定义域的问题。

下面的工作台可以把同一个方程下的不同初值放在一起比较。先预测初值升高后曲线会怎样变化，再移动初值；观察时始终把“方程规定斜率”和“初值选出曲线”分开理解。

公式有数值，不等于初值解能走过去

还记得方向场的读法吗？它在每个点给出一个斜率，但并不承诺从某个点出发的解能一直走到任意远的时间。下面这个模型把区别表现得很直接。

假设一个正的无量纲数量具有很强的自我放大效应：当前量翻倍时，增长速度变成四倍。最简单的方程是

这只是用来研究反馈行为的理想模型。对非零解分离并积分：

初值给出 $C=-1/2$，因此

导数是 $4/(1-2t)^2$，恰好等于 $y^2$；初值也满足。可当 $t$ 从左边靠近 $1/2$ 时，分母趋于零而保持正值，解趋向正无穷：

这种现象叫有限时间爆破。它和指数增长有本质上的时间差别：指数函数虽然越来越大，但每个有限时刻的值都仍然有限；这里却在有限的 $t=1/2$ 前就失去了有限值。

从初始时刻 $0$ 出发，这条初值解的最大定义区间是

所谓最大，是指在这个区间里解一直存在并满足方程，而不能再向右跨过 $1/2$ 延伸成同一条有限值可导函数。向左没有障碍，所以区间一直延伸到负无穷。

你可能会问，$t=1$ 时公式不是也能算出 $-2$ 吗？确实可以，$2/(1-2t)$ 在 $(1/2,\infty)$ 上也满足微分方程，但那一段不包含初始点，中间还隔着爆破点。它是一条单独的解曲线，不能说正的数量穿过无穷以后“变成了负数”。对于从 $t=0$ 开始的正量模型，向前预测的范围只有 。

把初值写成 $y(0)=y_0$，非零初值的解可以统一写为

$y_0>0$ 时，最大区间为 $(-\infty,1/y_0)$；初值越大，向前爆破越早。$y_0<0$ 时，包含零的最大区间为 ，解可以一直向前延伸，并从负值逐渐靠近零。 则给出定义在整个实轴上的常数解。

这个例子也提醒我们，方程右端 $y^2$ 到处有意义，并不能保证解在所有时间都存在。障碍可能来自解本身跑向无穷，而不一定是原方程中预先就有一个分母。

解保持有限，也可能不能继续

另看一个不同的障碍：

这里原方程要求 $y\ne0$。乘以 $y$ 后积分，得到

初值使 $C=9/2$，选择经过 $(0,3)$ 的上半圆分支：

当 $t$ 靠近 $3$ 时，$y$ 趋于零，函数值并没有爆破；但原方程在 $y=0$ 处无定义，导数 $-t/\sqrt{9-t^2}$ 也无法保持有限，所以端点不能包含在解的区间里。

尤其不要因为乘完以后得到 $yy'=-t$，就忘记最初的分母。变形后的表达式要受原方程定义域约束。这条半圆和前面的爆破解展示了两种不同的边界：一种是状态变得无界，一种是状态走到了方程不允许的位置。

除掉的因子，要怎样把解找回来

前面的题里，我们已经几次先检查零解。现在把这一点讲完整。若

中的某个数 $a$ 满足 $h(a)=0$，并且原方程在相关时间和状态处有定义，那么 $y(t)\equiv a$ 就满足 $y'=0=g(t)h(a)$。它叫常数解，也常叫平衡解。

“平衡”的意思是系统停在这个状态时，变化率始终为零；它不等于“只在某一瞬间斜率为零”。比如 $y'=ty$ 在 $t=0$ 时所有解的斜率都是零，可 $y\equiv3$ 显然不满足整个方程。一个时刻导数为零，远远不够成为一条常数解。

用一个能看清丢解位置的方程来练习：

先检查得到 $y\equiv0$。在 $y\ne0$ 的区间上，再做分离积分：

因此非零解具有形式

并且只在分母不为零的连续区间上考虑。无论 $C$ 取哪个有限实数，这个公式都不可能恒等于零。零解并没有失效，只是它从“除以 $y^2$”那一步起就不在计算范围内，必须另外列出。

若配上初值 $y(0)=-2$，则 $C=1/2$，得到

对它求导，有 $y'=8t/(1+2t^2)^2$；而 $2ty^2$ 也等于这个值。分母始终为正，所以该初值解在整个实轴上成立。若配上 ，则得到 ，最大区间改为 。找回常数解和检查定义域，是两件都必须做的事。

我们在这里统一称这些水平直线为“常数解”或“平衡解”，不把它们一概叫作“奇异解”。尤其是“能否由一个含常数的公式表示”，还与公式的写法有关：$y'=ry$ 的零解能并入 $y=Ce^{rt}$ 的 $C=0$，而刚才的倒数形式不能直接表示零解。名称不能代替逐条代回原方程的检查。

补上常数解以后，也别过早宣布找全了

对这一章主要使用的光滑方程，常数解与非平衡解不会在有限时刻相遇后分岔。但这件事需要方程的条件支持，不能仅凭“已经分离过变量”就断言。

来看一个提醒边界的例子：

零解当然成立。在正值区间分离，可以得到 $\sqrt{y}=t-a$。这里右边必须非负，因此正值分支为 $y=(t-a)^2$、，不能不管符号就把这条抛物线扩展到 。

对任意 $a\ge0$，我们可以构造

在接点两侧，函数值都趋于零，导数也都趋于零，所以它在 $t=a$ 处可导，并且导数等于方程右边的 $2\sqrt0=0$。其他位置也可以直接验算，因此它确实是初值问题的解：先保持为零，等到 $a$ 时刻再离开。

这个例子不要求你现在学会一套新的理论，只需要记住分离方法的适用范围：它负责求出 $h(y)\ne0$ 区域内的解段；至于这些解段能否接到平衡解上，需要再检查。后面讨论存在唯一性时，我们会解释为什么平方根在零点附近会允许这种现象，而前面的多项式例子不会。

下面的检查器用于提醒除法之前要先寻找水平解。它展示的非平衡曲线仍然需要结合具体方程的定义域理解，不能把一个图中的不相交现象推广到所有方程。

从细菌繁殖得到指数增长

现在回到开头的培养皿。我们作一个清楚的近似：在所研究的时间段内，营养条件基本不变，不考虑容量限制，没有外部迁入迁出，并把数量足够大的群体视为连续量。再假设每个个体的平均净增长贡献保持不变，记为 $r>0$。

这句话转成数学，就是

$P'$ 的单位是“个体数每小时”，若 $t$ 用小时，$r$ 的单位就必须是“每小时”。$r$ 描述每单位数量的瞬时增长强度，而不是每小时固定多出多少个体。

使用带初值的积分写法，

所以

对数里写成 $P/P_0$ 很自然：这个比值没有单位，可以放进对数；指数中的 $rt$ 也没有单位。模型、计算和单位检查在这里正好对得上。

为什么这条曲线越来越陡？因为数量增加以后，产生增长的个体更多，下一小段时间内新增数量也随之增加。更精确地说，在任意起点 $t$，经过同样长的时间 $\Delta t$，都有

指数模型保持的是同样时间内的倍数，不是同样时间内增加的绝对数量。若每两小时翻倍，从 $300$ 增到 $600$ 用两小时，从 $600$ 增到 $1200$ 也用两小时，后一次增加的数量却是前一次的两倍。

用两个观测值反推增长率

假设一组用于建模练习的数据给出：开始时有 $300$ 个单位的细菌数量，$4$ 小时后变为 $675$。这些数值是设定条件，并不代表某次实际实验。按指数模型，

于是 $r\approx0.2027\ \mathrm{h}^{-1}$，数量函数是

到第 $6$ 小时，

出现小数不意味着真实世界存在半个细菌。它说明这个模型把大群体数量连续化了，输出的是近似数量尺度；若要逐个计数，就需要另一种描述方式。

再求翻倍时间 $T_2$。由 $P(t+T_2)=2P(t)$ 得到

翻倍时间不依赖从 $300$ 开始还是从 $675$ 开始，因为它由固定倍数条件确定。也别把 $r\approx0.2027$ 读成“每小时恰好增加 $20.27\%$”；一小时的实际增长比例为 $e^r-1\approx22.47\%$。瞬时相对增长率与一个完整时间段里的增长比例有关，但不是同一个数。

如果观测从 $t=t_0$ 才开始，公式也不用重做。积分上下限改成 $t_0$ 和 $t$，得到

指数里出现的是“已经经过多长时间”，而不是日历上任意选定的时刻编号。比如把早上八点标成 $t=8$，初始量又是在八点测得，代入时就必须使用 $t-8$；把八点重新设为时间零点后，才恢复熟悉的 $P_0e^{rt}$。

我们还可以通过一列等时间间隔的数据检查这个模型。如果相邻两次测量的比值大致相同，那么固定比例增长是一个可以考虑的近似；如果比值持续下降，说明每单位数量的增长强度可能也在下降。等价地，把观测量取对数后，$\ln(P/P_0)=rt$ 应当大致沿直线变化。这个判断只是在检查假设是否与数据相容，并不意味着一条看起来接近直线的图像就证明了所有建模假设。

数学上，$P_0e^{rt}$ 对所有有限 $t$ 都有定义。现实里，我们只在建模假设仍然合理的时间段使用它。资源消耗到一定程度后，“每个个体一直贡献同样增长”的假设就会失效。后面的种群模型会把这种限制写进方程，让增长速度随着资源压力改变。

指数衰减为什么有固定的半衰期

把培养皿换成一种持续分解的物质。假设没有补充，每单位剩余量在单位时间内的平均损失比例保持相同，那么剩得越多，单位时间损失的绝对数量越多；剩得越少，损失也越慢。

若 $Q(t)$ 表示剩余质量，用 $\lambda>0$ 表示衰减常数，模型是

负号表示质量减少。分离后，

从而

解始终为正，随着时间增加逐渐接近零，但在任何有限时刻都没有真正等于零。这同样是连续模型的结论；它不负责描述只剩最后几个粒子时逐个发生的随机事件。

我们通常不靠衰减常数的小数来建立直觉，而是问“多久剩一半”。设这个时间为 $T_{1/2}$，那么

由于 $Q_0>0$，约去初始量并取对数，得到

初始量被约掉，正是半衰期与“开始有多少”无关的原因。更一般地，$Q(t+T_{1/2})=Q(t)/2$：每经过一个半衰期，都把当时剩下的量再减半。它不是“每过这么久都减掉初始量的一半”，否则两个半衰期后就会变成零，那对应的是另一种变化规则。

剩余量和经过时间，两个方向都要会算

设某种理想化衰减物质的半衰期为 $6$ 天，开始有 $80$ 克。时间用天计，则

$15$ 天后经过了 $2.5$ 个半衰期，所以

半衰期的公式可以用于非整数倍的时间，不必把 $15$ 天舍入成 $12$ 天或 $18$ 天。

反过来，如果问“什么时候剩下 $12$ 克”，就把目标量代回：

取对数后，

做一个量级检查：$12$ 天后剩 $20$ 克，$18$ 天后剩 $10$ 克，$12$ 克应当出现在二者之间，计算结果符合这个范围。

如果一开始给的不是半衰期，而是两个时刻的观测量 $Q(t_1)=Q_1$、$Q(t_2)=Q_2$，其中 且 ，先消去未知初始量：

再由 $T_{1/2}=\ln2/\lambda$ 得到半衰期。这样既能从“规律参数”预测数量，也能从“数量变化”估计参数。但只靠两个点总能拟合出一个指数率，是否适合整个过程，还要看更多时刻的变化能否支持恒定比例的假设。

下面的实验里，可以把初始量和比例参数分开调整。初始量改变时，整条曲线的高度改变；衰减常数改变时，减半所需的时间改变。先试着解释这两个操作的差别，再观察图像。

留给自己完成的六个问题

识别结构，也检查禁区

判断 $y'=(1+t^2)(3-y)$、$y'=t-y$、 是否可以直接分离。对可分离的方程写出两个因子，并说明有没有常数解、哪些状态不允许取。

积分常数与负值初值

求解 $y'=3t^2y$、$y(0)=-4$，写出最大定义区间，并检查你的表达式是否漏掉了原方程的常数解。

一个不必硬求根的答案

求初值问题 $y'=3t^2/(1+2y^2)$、$y(0)=1$ 的隐式解，并解释它为何在每个实数 处都确定唯一的 。

一条曲线能走多远

求 $y'=(1+t)y^2$、$y(0)=1$ 的解及最大定义区间。解释为什么不能把分母不为零的所有 $t$ 一起写成这条初值解的定义域。

两条平衡解之间的运动

方程 $y'=t(9-y^2)$ 有哪些常数解？求满足 $y(0)=0$ 的解，并说明它在 $t>0$ 时是否会达到 。

从观测值算出半衰期

一个无补充的理想衰减过程满足 $Q'=-\lambda Q$。某次观测为 $72$ 克，$4$ 小时后为 $54$ 克。以第一次观测为 $t=0$，求 、半衰期以及何时降到 克。

做完这些题，再回头看分离变量，会发现核心操作始终只有一件事：认出一个关于未知函数的复合导数，让两边都能积分。我们之所以花时间检查常数解、初值和区间，是为了让积分给出的表达式确实代表要找的那条曲线。

接下来，把衰减故事再改一点：容器里的物质一边按当前量的比例减少，一边由外界以随时间变化的速率补入。如果输入速率是 $q(t)$，方程就成为 $Q'=q(t)-\lambda Q$。右边的输入和损失一般无法分成时间因子与状态因子的乘积。下一章我们要寻找另一条通往积分的路：给方程乘上一个合适的函数，把左边凑成两个函数乘积的导数。

第二式不能在二维开区域内直接写成两个独立因子的乘积，按本章方法无法直接分离。它也没有常数解：若 $y\equiv a$，就要求 $t-a$ 在整个时间区间恒等于零，不可能成立。

第三式有 $g(t)=e^t$、$h(y)=1/(y-2)$，可分离，但必须要求 $y\ne2$。$y=2$ 使原方程无定义，不能当成常数解补回；而 $h(y)$ 在定义域内没有零点，因此没有常数解。

由初值知 $C=\ln4$。因为所选分支为负，

求导得 $y'=-12t^2e^{t^3}=3t^2y$，初值也成立。指数函数在每个有限实数处都有定义，因此最大区间为 $\mathbb R$。零解应在列原方程全部解时补入，可并入解族 $y=Ae^{t^3}$ 的 $A=0$。

左边作为 $y$ 的函数，导数是 $1+2y^2>0$，严格递增且值域为整个实轴，因此每一个右边值都对应唯一的 $y$，而且对应函数可导。对关系式求导得 $(1+2y^2)y'=3t^2$，恢复原方程。这条初值解在整个实轴上成立。

代入初值得 $C=-1$，因此

分母的零点满足 $t^2+2t-2=0$，即 $t=-1\pm\sqrt3$。初始时刻零在这两个根之间，所以最大定义区间为

直接求导得到 $y'=(1+t)/(1-t-t^2/2)^2=(1+t)y^2$。区间两端分母趋于零，不能作为有限值解跨过去。两个根外侧的公式片段不包含初始时刻，不属于这条初值解的延伸。

所以

由初值得 $C=0$，在当前区间内比值为正，解出

分母始终为正，公式对所有实数成立，并且 $0\le y(t)<3$。它在 $t>0$ 时上升，只在 $t\to\infty$ 的极限中趋于 $3$，任何有限时刻都达不到 $3$。若记 $E=e^{3t^2}$，则 $y'=36tE/(E+1)^2$，而 $t(9-y^2)$ 也等于这个表达式，完成代回检查。

因此

半衰期为

$18$ 克是初始量的四分之一，需要两个半衰期，故

也可以直接令 $18=72e^{-\lambda t}$，取对数得到同一个结果。模型用于观测以后的预测时取 $t\ge0$；指数公式作为微分方程的数学解，则可定义在整个实轴上。