精确方程、替换法与一阶方程工具箱

上一章的积分因子做了一件很巧的事：原来散着的 $y'$ 和 $p(x)y$，乘上合适的函数以后，恰好拼成一个乘积的导数。我们并没有多学一种积分运算，只是先把方程整理成了可以积分的样子。

这章继续沿着这个想法走。有时候，方程藏起来的是一个二元函数的全微分；有时候，真正适合追踪的量不是 $y$，而是比值 $y/x$、倒数 $1/y$，或者它与一条已知解之间的差。换对了观察对象，原来非线性的方程，可能就回到我们已经会解的可分离变量方程或线性方程。

不过，换变量并不只是换一个字母。除以 $y$ 会让零解暂时消失，令 $v=y/x$ 会把 $x=0$ 排除在计算之外，开平方则需要挑选分支。我们会一边推公式，一边照看这些边界。真正完整的解答，要同时说清曲线长什么样，以及它在哪一段上满足原方程。

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沿着一条等高线走，什么量没有变化

先想象一张地形图。位置有两个坐标 $x,y$，每个位置还有一个高度 $\Phi(x,y)$。如果我们沿着一条等高线走，位置虽然一直在变，高度却不变。向 $x$ 方向移动带来的高度变化，恰好被向 $y$ 方向移动带来的变化抵消了。

把这句话写下来，就是

$$d\Phi=\Phi_x\,dx+\Phi_y\,dy=0.$$

这里 $\Phi_x$ 表示固定 $y$ 时，高度随 $x$ 的变化率；$\Phi_y$ 则固定 $x$，只看 的影响。如果把这段等高线写成 ，链式法则给出

$$\frac{d}{dx}\Phi(x,y(x))=\Phi_x+\Phi_y y'=0.$$

这已经是一阶微分方程。它在说：不管曲线如何弯曲，只要每一点的切线方向让总高度不变，它就始终留在同一条等高线上。

现在倒过来。如果题目给出

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,$$

我们就可以问：这两个系数，会不会分别是某个隐藏函数对 $x$、对 $y$ 的偏导数？如果存在 $\Phi$ 满足

$$\Phi_x=M,\qquad \Phi_y=N,$$

就称这个微分形式是精确的，称 $\Phi$ 为一个势函数。方程随之变成 $d\Phi=0$，其隐式解写成

$$\Phi(x,y)=C.$$

“势函数”在这里是数学名称，不意味着每道题都对应重力势能。地形只是帮助我们理解：解曲线上有一个组合量始终保持不变。找到这个组合量，就是找到了解曲线。

沿着解曲线移动时，势函数保持常数；在梯度不为零的位置，梯度垂直于等值线的切线。

隐式曲线和函数解，还隔着一个条件

例如

$$2x\,dx+2y\,dy=0$$

直接给出 $x^2+y^2=C$。当 $C=9$ 时，几何上是一整个圆，但这个圆不能整体写成一个函数 $y(x)$：同一个横坐标往往对应上、下两个纵坐标。

选择上半圆，得到

$$y=\sqrt{9-x^2},\qquad -3<x<3.$$

选择下半圆，则得到负平方根。它们各自满足 $y'=-x/y$。圆最左、最右的两点有竖直切线，不能包含在这两个可微函数解的区间内。圆作为一条隐式曲线仍然在那里，只是用 $x$ 当自变量的表示失效了。

一般来说，若 $N=\Phi_y\ne0$，就能在该点附近从 $\Phi(x,y)=C$ 选出一条可微的 $$ 分支，并且

$$y'=-\frac{\Phi_x}{\Phi_y}=-\frac{M}{N}.$$

若 $N=0$，先保留微分形式，检查曲线和原方程，别直接写一个分母为零的斜率。若 $M=N=0$，等值线还可能出现交叉、孤立点或其他退化情形，更不能只凭 $\Phi=C$ 的外观判断函数解。

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怎样确认隐藏的函数确实存在

假设 $M=\Phi_x$、$N=\Phi_y$，再分别对另一个变量求偏导，便有

$$M_y=\Phi_{xy},\qquad N_x=\Phi_{yx}.$$

在二阶偏导连续时，混合偏导可以交换，因此必须满足

$$M_y=N_x.$$

这也是做题时最快的检查：$dx$ 前面的系数对 $y$ 求导，$dy$ 前面的系数对 $x$ 求导，看看能否对上。但“对上”必须发生在所研究的整个区域中，只在某个点或某条线上相等不够。

我们最常用的充分条件是：在一个开矩形内，$M,N$ 及其一阶偏导连续，并且处处有 $M_y=N_x$，那么这个区域内存在势函数。 更一般地，区域可以是单连通开区域，也就是区域中的闭合曲线能够始终留在区域内收缩到一点，没有一个被挖掉的洞挡住它。

为什么还要提区域？因为偏导条件检查的是每一点附近的变化，整片区域能否共用一个单值势函数，还涉及绕一圈以后能否回到同一个函数值。单纯“区域连通”只表示各处能走通，不能排除绕洞的问题。

例如，在去掉原点的平面上，令

$$M=-\frac{y}{x^2+y^2},\qquad N=\frac{x}{x^2+y^2}.$$

可以直接算出

$$M_y=N_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

在一个小区域里，这个微分形式对应角度的微小变化。可沿单位圆 $x=\cos\theta,y=\sin\theta$ 绕行一周时，代入得到 $M\,dx+N\,dy=d\theta$，总变化是 $2$。如果整个去心平面上真有一个单值势函数，回到出发点时它的总变化应该是零，矛盾就出现了。把区域限制在 后， 就是一个可用的势函数。

这个例子不用变成每道题的负担。多项式系数在全平面上没有洞的问题；出现分母、对数时，我们先选好连续的开矩形或合适的单连通区域，再使用精确条件。局部可以做的事，不能未经检查就推广到整个定义域。

开矩形上的判别，为什么足够

我们也可以亲手构造一个势函数，看看刚才的区域条件如何进入计算。固定矩形内部一点 $(x_0,y_0)$，从它出发，先水平移动到 $(x,y_0)$，再竖直移动到 。把两段上累积的变化写成

$$\Phi(x,y)=\int_{x_0}^{x}M(s,y_0)\,ds+\int_{y_0}^{y}N(x,t)\,dt.$$

矩形的方便就在这里：这两条线段始终留在我们假设系数连续的区域内。对 $y$ 求偏导，微积分基本定理直接给出 $\Phi_y=N(x,y)$。对 $x$ 求偏导，则有

$$\Phi_x=M(x,y_0)+\int_{y_0}^{y}N_x(x,t)\,dt.$$

现在用 $N_x=M_y$ 替换被积函数，后面的积分就是 $M(x,y)-M(x,y_0)$。前后两项抵消，留下 。这样，两条偏导关系都得到了满足。

这段推导把一个看似抽象的“存在势函数”变成了可检查的构造。实际题目中不一定要用这条定积分公式，但它说明：交叉偏导相等负责让两种方向的信息对齐，矩形则保证构造过程中没有走出合法区域。下面的不定积分做法，是把同一件事算得更轻便。

把势函数一块一块补出来

来看一个初值问题：

$$(2xy+3)\,dx+(x^2+4y)\,dy=0,\qquad y(0)=2.$$

这里 $M_y=2x=N_x$，所有系数都是多项式，因而方程在全平面精确。接下来要找的不是两个互不相干的原函数，而是同一个 $\Phi$，它得同时满足两条偏导关系。

先用 $\Phi_x=2xy+3$。对 $x$ 积分，把 $y$ 暂时当常数：

$$\Phi=x^2y+3x+h(y).$$

为什么末尾是 $h(y)$？因为 $y^2$、$\sin y$，甚至任何只依赖 $y$ 的函数，对 $x$ 的偏导都等于零。刚才这次积分看不见它们，所以我们必须给这部分信息留一个位置。

再对这个候选函数求 $y$ 偏导，并让它等于 $N$：

$$\Phi_y=x^2+h'(y)=x^2+4y.$$

于是 $h'(y)=4y$，取 $h(y)=2y^2$ 即可。这里另外加的普通常数，最后可以并入等值线右边的 $C$。隐式解为

$$x^2y+3x+2y^2=C.$$

初值给出 $C=8$。到这里已经得到了一个正确的隐式答案；如果希望看清经过初值的函数分支，还可以把它当作关于 $y$ 的二次方程：

$$y=\frac{-x^2\pm\sqrt{x^4-24x+64}}{4}.$$

在 $x=0$ 时，正号给出 $2$，负号给出 $-2$，所以我们选正号。在包含 $0$ 且根号内严格为正的区间里，这条分支可微，满足初值问题。此处 $N(0,2)=8$，也说明初值附近确实可以用 $y(x$ 来表示。

最后做一次回头检查：沿隐式式子求导，得到

$$2xy+x^2y'+3+4yy'=0,$$

整理就是原方程。验证势函数时尤其省事，只需要核对两个偏导，不必把复杂的平方根反复求导。

先恢复一个偏导关系，再用另一个偏导关系找回遗漏的单变量部分。

从哪边积分，由计算量决定

不是每次都必须从 $M$ 开始。考虑

$$e^{xy}(y\cos x-\sin x)\,dx+xe^{xy}\cos x\,dy=0.$$

这里

$$M_y=e^{xy}\bigl((1+xy)\cos x-x\sin x\bigr)=N_x.$$

如果直接对 $M$ 关于 $x$ 积分，几个因素缠在一起；对 $N$ 关于 $y$ 积分却很顺：

$$\Phi=e^{xy}\cos x+g(x).$$

求 $x$ 偏导后，前一项正好给出 $M$，所以 $g'(x)=0$。隐式解就是

$$e^{xy}\cos x=C.$$

这次计算没有除以 $x$ 或 $\cos x$，因此隐式答案也不需要人为排除它们为零的位置。若之后为了显式求 $y$ 而写对数、除以 $x$，那是新的操作，要为新操作补上条件。

下面的交互可用来练习这一点。先独立计算两个偏导，再选择积分较容易的一边；展开过程时，重点检查补入的函数到底依赖哪个变量。

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不精确时，怎样设计积分因子

一个微分形式不精确，并不表示它的解曲线没有规律。我们可以给两项同时乘上一个函数 $\mu$，让乘后的系数成为同一个势函数的两个偏导。只要 $\mu$ 在所用区域内处处有定义、有限且不为零，乘法就是可逆的，解曲线不变。

一般的 $\mu(x,y)$ 不容易找。我们先尝试最简单的两种：只依赖 $x$，或只依赖 $y$。这两种尝试都可以从精确条件倒推，没必要把正负号硬背下来。

只依赖横坐标的积分因子

若 $\mu=\mu(x)$，我们要求

$$\frac{\partial(\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial(\mu N)}{\partial x}.$$

左边的 $\mu$ 与 $y$ 无关，右边则要用乘积法则，所以

$$\mu M_y=\mu'N+\mu N_x.$$

移项并除以 $\mu N$，在 $N\ne0$ 的区域得到

$$\frac{\mu'}{\mu}=\frac{M_y-N_x}{N}.$$

左边只能依赖 $x$。如果右边化简后也是某个只含 $x$ 的连续函数 $a(x)$，这件事就能成立，取

$$\mu(x)=\exp\left(\int a(x)\,dx\right).$$

如果右边还真正依赖 $y$，这一条尝试就不能成功。这里说的是“只依赖 $x$ 的因子”，并没有否定其他更复杂的积分因子。

考虑

$$\frac{2x+y^2}{x+2}\,dx+2y\,dy=0,\qquad y(0)=1.$$

我们先在 $x>-2$ 内计算。原式的两个交叉偏导分别为 $2y/(x+2)$ 和 $0$，不相等。对 $y\ne0$，

$$\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{1}{x+2},$$

所以可以取 $\mu=x+2$。乘上后得到

$$(2x+y^2)\,dx+2y(x+2)\,dy=0.$$

重新检查，两个交叉偏导都是 $2y$。从第一项积分，再用第二项补全，得到

$$\Phi=x^2+xy^2+h(y),\qquad h'(y)=4y.$$

因此

$$x^2+(x+2)y^2=C.$$

初值给出 $C=2$，正的初值选出

$$y=\sqrt{\frac{2-x^2}{x+2}},\qquad -\sqrt2<x<\sqrt2.$$

在这段区间内，分母为正、根号内为正，表达式可微。到两端时 $y$ 趋于零，而原微分方程在 $y=0$ 时要求 $2x/(x+2)=0$；端点的 $x$ 并不是零，因此不能把端点包含进可微解的区间。

刚才为寻找因子曾约去 $2y$，那么 $y=0$ 附近怎么办？关键是已经找到的 $\mu=x+2$ 在整个 $x>-2$ 内都非零，乘后的精确条件在 $y=0$ 也直接成立。因此因子本身可以用于这一整片区域。寻找因子时出现的临时除法，不应自动变成最终答案的新限制；反过来，也不能不检查就把限制去掉。

只依赖纵坐标的积分因子

这次设 $\mu=\mu(y)$。乘积法则出现在另一边：

$$\mu'M+\mu M_y=\mu N_x.$$

在 $M\ne0$ 的区域整理得

$$\frac{\mu'}{\mu}=\frac{N_x-M_y}{M}.$$

如果右边只依赖 $y$，记为 $b(y)$，就取

$$\mu(y)=\exp\left(\int b(y)\,dy\right).$$

注意两个公式的分子顺序不同。它们并不是两条无关的规则，而是同一个精确条件分别展开的结果。

例如

$$2x\,dx+(2x^2+3)\,dy=0.$$

这里 $M_y=0$、$N_x=4x$。在 $x\ne0$ 时，，所以试取 。它在全平面上都非零；直接代入精确条件，又能确认它在 处同样有效。

乘后的势函数可以从 $x$ 方向构造：

$$\Phi=x^2e^{2y}+h(y).$$

由 $\Phi_y=e^{2y}(2x^2+3)$ 得 $h'(y)=3e^{2y}$，所以

$$\left(x^2+\frac32\right)e^{2y}=C.$$

左边始终为正，因此有实曲线的常数必须满足 $C>0$。如果初值为 $y(1)=0$，则 $C=5/2$，从而

$$y=\frac12\ln\frac{5}{2x^2+3},\qquad -\infty<x<\infty.$$

求导得 $y'=-2x/(2x^2+3)$，正好满足原式。本题其实也可以直接分离变量；用积分因子再算一遍，是为了看清一种方法与另一种方法如何得到同一族曲线。

上一章的积分因子也在这里

把线性方程 $y'+p(x)y=q(x)$ 写成

$$\bigl(p(x)y-q(x)\bigr)\,dx+dy=0.$$

此时 $M_y=p(x)$、$N_x=0$、$N=1$，所以刚推导的公式给出

$$\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.$$

乘后的势函数就是

$$\Phi(x,y)=\mu(x)y-\int\mu(x)q(x)\,dx.$$

令它等于常数，得到的正是上一章的解法。过去我们说“凑一个乘积导数”，现在可以说“凑一个全微分”，两种说法连接到了同一件事。

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斜率只看比值时，让比值成为未知函数

接下来换一种结构。想象把平面上的点 $(x,y)$ 沿着穿过原点的射线向外挪：位置变远了，比值 $y/x$ 却没变。如果一个方向场只根据这个比值规定斜率，那么同一射线上的小线段都会保持平行。

这样的方程可以写成

$$y'=F\left(\frac{y}{x}\right),\qquad x\ne0,$$

我们称它为齐次型一阶方程。这里“齐次型”说的是比例结构；上一章“线性齐次方程”说的是外部项为零。两个名字相近，判断标准完全不同。例如 $y'=(y/x)^2+2$ 属于这里的齐次型，却不是线性方程。

如果微分形式中的 $M,N$ 是同次数齐次函数，即同时缩放 $x,y$ 时都乘上同一个倍率，那么它们的比值 $-M/N$ 会消去这个倍率。在能够把比值写成 $F(y/x)$ 的区域，就可以使用这一替换。多项式题里，检查每一项的总次数常常是最快的识别办法。

现在把真正控制斜率的量命名为

$$v(x)=\frac{y(x)}{x},\qquad y=xv(x).$$

因为 $v$ 也是未知函数，乘积求导给出 $y'=v+xv'$。代入后得到

$$v+xv'=F(v),\qquad xv'=F(v)-v.$$

右边只含 $v$，左边可以把 $x$ 除过去，于是回到了可分离变量方程。但是先别急着除以 $F(v)-v$：如果某个常数 $v_*$ 满足 $F(v_*)=v_*$，那么 已经是解，对应原方程的一条直线

$$y=v_*x.$$

这些直线必须先记录下来，再求其他解。它们是替换后的常数解，却通常不是原来 $y$ 的常数解。

一个简单例子，先看替换怎样工作

考虑 $y'=1+y/x$。令 $y=xv$，得到

$$v+xv'=1+v,\qquad v'=\frac1x.$$

积分后 $v=\ln|x|+C$，所以

$$y=x(\ln|x|+C).$$

直接求导，$y'=\ln|x|+C+1=1+y/x$，检验通过。原方程本来就要求 $x\ne0$，因此解用在 或 的区间上。这道题也可以改写成线性方程 ，再用上一章的方法求解，结果相同。

下面的交互展示这个比例结构。比较同一射线上的不同点时，观察的是方向场给出的斜率；沿着一条解曲线移动时，再观察 $v=y/x$ 怎样随 $x$ 变化。两种移动不要混为一谈。

一个有直线解的例子，完整处理分离步骤

现在求解

$$y'=\left(\frac yx\right)^2+\frac yx-4,\qquad x>0.$$

设 $y=xv$ 后，有

$$xv'=v^2-4.$$

先看右边为零的情况：$v=2$ 和 $v=-2$ 给出 $y=2x$、$y=-2x$。对其余分支，分离变量并作部分分式分解：

$$\frac{dv}{v^2-4}=\frac{dx}{x},\qquad \frac1{v^2-4}=\frac14\left(\frac1{v-2}-\frac1{v+2}\right).$$

积分得到

$$\frac14\ln\left|\frac{v-2}{v+2}\right|=\ln x+C_0.$$

在比值不为零且不变号的一段上，可以把符号及正的指数常数一起收入非零常数 $C$：

$$\frac{v-2}{v+2}=Cx^4.$$

解出 $v$，再回代，得

$$y=2x\frac{1+Cx^4}{1-Cx^4}.$$

这个式子允许补入 $C=0$，就包含了 $y=2x$；但任何有限的 $C$ 都不能给出 $y=-2x$，所以后者仍需单列。若再给 $y(1)=0$，则 ，得到

$$y=2x\frac{1-x^4}{1+x^4},\qquad x>0.$$

分母在正半轴不会为零，因而这条初值解可用在整个 $(0,\infty)$。如果把原题写成不含分母的 $x^2y'=y^2+xy-4x^2$，那是一个在 仍有意义的方程；想讨论穿过 的延拓，就必须回到这个新题面单独检查，不能沿用“除过 以后”的结论。

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幂次挡住线性时，改看另一个幂次

前面学过的人口饱和增长模型可以写成 $P'=rP-(r/K)P^2$。用一句话说，就是数量少时增长近似与数量成正比，拥挤的抑制作用则通过平方项表现出来。如果抑制强度随时间改变，右边两个系数不再成固定比例，就未必能够直接分离变量。

这提示我们关注一类方程：线性部分之外，只多出一个未知量的幂。其一般形式是

$$y'+p(x)y=q(x)y^n.$$

在具体人口模型里，还要记住不同项的单位必须一致：若 $P$ 的单位是个体数、时间单位是天，那么 $r$ 的单位是每天，而平方项前系数的单位应是“每个体每天”。换成倒数变量后，其单位也从个体数变成每个体；换元只是计算表达改变，不能让原模型里的量纲关系消失。

上面的标准形式叫 Bernoulli 方程。当 $n=0$ 时，右边与 $y$ 无关；当 $n=1$ 时，把右边移回左侧即可。它们都直接是线性方程。下面讨论 $n\ne0,1$，并先限制在 $$、所用实数幂有定义且可微的区域。

两边除以 $y^n$，得到

$$y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=q(x).$$

我们为什么会想到 $z=y^{1-n}$？看它的导数：

$$z'=(1-n)y^{-n}y'.$$

恰好是刚才第一项的常数倍！所以这个幂次同时接住了方程里的两个部分：第一项变成 $z'$，第二项变成 $z$。乘以 $1-n$ 后，得到

$$z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x).$$

这就是上一章的一阶线性方程。替换不是凭感觉猜出来的，它来自链式法则中指数降一的规律。

倒数替换的完整初值题

求解

$$y'+2y=(x+1)y^2,\qquad y(0)=2.$$

原方程允许 $y\equiv0$，先把它记下来。这个零解不满足当前初值，但它属于原微分方程的解，不能因为我们接下来要做除法就忘记它。

对非零分支令 $z=1/y$，则 $z'=-y'/y^2$。原方程除以 $$ 后给出

$$-z'+2z=x+1,\qquad z'-2z=-(x+1).$$

积分因子是 $e^{-2x}$，所以

$$(e^{-2x}z)'=-(x+1)e^{-2x}.$$

右边的原函数可以直接核对为 $e^{-2x}(x/2+3/4)$，于是

$$z=\frac x2+\frac34+Ce^{2x}.$$

由 $z(0)=1/2$ 得 $C=-1/4$。回到原变量，初值解是

$$y=\frac4{2x+3-e^{2x}}.$$

现在还不能只在分式后面画句号。设分母 $D(x)=2x+3-e^{2x}$，它在 $0$ 处等于 $2$；当 $x<0$ 时严格递增，当 时严格递减，而且两端都趋向负无穷。因此左右各有一个零点，记作 ，初值解的最大区间为 。它在两端都会因分母趋零而无界，无法跨过极点成为有限的可微解。

验证也很短：令 $z=1/y$，我们已经算出 $z'-2z=-(x+1)$；乘以 $-y^2$ 就回到 。整个逆变形在 的区间成立，恰好对应刚确定的区间。

非整数幂和零点，不能机械回代

如果 $n=3$，那么 $z=y^{-2}$ 必须为正。线性方程若算出某段 $z<0$，这一段不能产生实数的 $y$；在 $$ 上还要根据初值选择 或 。

如果 $n=1/2$，那么实数模型里的 $\sqrt y$ 要求 $y\ge0$，而除法与求导换元只能直接用在 $$ 上。比如

$$y'=2\sqrt y$$

在正值分支上令 $z=\sqrt y$，得到 $z'=1$。于是 $$，但 要求 。把它平方成 后，不能误以为这个式子在整个实轴都满足方程：当 时，它的导数为负，右边 却非负。

这个例子还有一个现象：可以让 $y$ 在 $x\le a$ 时始终为零，等到 $x>a$ 再取 $(x-a)^2$。连接点两边的函数值和导数都接得上，确实满足原方程。单独解非零分支，再补一句“还有零解”，仍然可能漏掉这种与零解拼接的解。

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已知一条解，怎样帮助我们解 Riccati 方程

再把右边放宽一点，允许常数项、一次项和二次项同时出现：

$$y'=q_0(x)+q_1(x)y+q_2(x)y^2.$$

这叫 Riccati 方程。如果 $q_2=0$，它就是线性方程；如果 $q_0=0$，它是 $n=2$ 的 Bernoulli 方程。真正多出来的困难，是三类项同时存在。

一个有用的入口是：已经知道一条特解 $y_1(x)$。我们不再直接追踪 $y$，而是追踪它与已知解的差，令 $y=y_1+u$。代入原方程并展开平方，再减去 自己满足的方程，便得到

$$u'=(q_1+2q_2y_1)u+q_2u^2.$$

与 $u$ 无关的项全消掉了，这正是已知特解提供的帮助。现在是 Bernoulli 方程。对 $u\ne0$ 再令 $z=1/u$，整理得到

$$z'+(q_1+2q_2y_1)z=-q_2.$$

解出这个线性方程以后，用

$$y=y_1+\frac1z$$

回代。原来的特解 $y=y_1$ 对应 $u=0$，刚才取倒数时把它排除了，因此仍需保留。

不靠猜测省略计算的例子

考虑

$$y'=y^2-2xy+x^2+1.$$

右边可以整理成 $(y-x)^2+1$，所以先试一下 $y_1=x$：它的导数是 $1$，代回右边也等于 ，确实是一条特解。

设 $y=x+u$，则

$$1+u'=u^2+1,\qquad u'=u^2.$$

$u=0$ 给出已知的 $y=x$。对其他分支令 $z=1/u$，有 $z'=-1$，从而 。全部解可写为

$$y=x,\qquad\text{或}\qquad y=x+\frac1{C-x}.$$

如果初值是 $y(0)=1$，就有 $C=1$，选出的解为

$$y=x+\frac1{1-x},\qquad -\infty<x<1.$$

直接求导得 $y'=1+(1-x)^{-2}$，右边 $(y-x)^2+1$ 也是这个表达式。初值解在 出现极点，不能跨过去；同一个公式在 上确实也满足方程，但那是另一段不包含初值点的函数解。

已知特解有时由题目给出，有时能像本题这样从结构中看见。若题目没有这条线索，不必以为“Riccati”这个名称本身就附带一个总能算出的公式。识别它，是为了知道可以寻找什么结构，也为了知道何时应该停止盲目尝试。

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拿到新方程，怎样选一条省力的路

学到这里，同一个方程可能有好几个标签。$y'=1+y/x$ 既是线性的，也是齐次型；有些方程既可分离，又能乘因子变精确。分类的目的，是找出一条可以推进的路线，不是给方程指定唯一的归属。

第一步永远是看清题目在哪些点有定义。随后先检查容易看见的结构：能否分离，能否整理成线性标准形。如果已经写成 $M\,dx+N\,dy=0$，算两个交叉偏导也很便宜。若都不合适，再看看比值、幂次和已知特解提供了什么机会。

这些检查可以按题目的外观调整顺序；一条路线已经足够简洁时，不需要把所有方法各试一次。

把判断一直做到账算完

来看

$$(y^2+2xy)\,dx+x^2\,dy=0,\qquad x>0,\qquad y(1)=1.$$

精确检查给出 $M_y=2y+2x$、$N_x=2x$，并不相等。方程里每项的总次数都是二，所以齐次型值得一试。写成斜率式，令 $$，得到

$$v+xv'=-v^2-2v,\qquad xv'=-v(v+3).$$

先记录 $v=0,-3$，对应 $y=0,-3x$。其他分支满足

$$\frac{dv}{v(v+3)}=-\frac{dx}{x}.$$

由于 $1/[v(v+3)]=(1/v-1/(v+3))/3$，积分得到

$$\frac13\ln\left|\frac v{v+3}\right|=-\ln x+C_0.$$

于是 $v/(v+3)=Cx^{-3}$，解出并回代可得

$$y=\frac{3Cx}{x^3-C}.$$

初值给出 $1=3C/(1-C)$，所以 $C=1/4$，答案为

$$y=\frac{3x}{4x^3-1},\qquad x>\sqrt[3]{\frac14}.$$

这个区间包含 $1$，向左在分母零点处停止。求导得

$$y'=-\frac{3(8x^3+1)}{(4x^3-1)^2},$$

而 $-y^2/x^2-2y/x$ 化简后给出同一个结果。

再回头看，原式其实也能写成 Bernoulli 形式 $y'+2y/x=-y^2/x^2$，用 $z=1/y$ 同样会解出它。选择齐次替换没有错；一旦找到顺畅的路线，把分离、初值、区间和核验做完整，就比继续收集标签更有用。

下面的决策器可以练习识别。它给出的路线可当作一个起点，真正的解答仍需像刚才那样走到最后。

有些方程确实不会落进这几类，例如 $y'=x+y^3$ 不能直接分离，也不是线性方程或 Bernoulli 标准形。不能用本章的方法给出初等表达式，并不等于它没有解。我们还可以问它是否允许一个初值、解在附近是否唯一，以及它的大致走势；后面也会学习怎样逐步计算近似值。

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练习：每次换元，都把原变量带回来

练习一：补出遗漏的函数

求解初值问题，并给出经过初值的显式分支：

$$(3x^2y+2)\,dx+(x^3+6y)\,dy=0,\qquad y(0)=1.$$

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有 $M_y=3x^2=N_x$，方程在全平面精确。从 $M$ 对 $$ 积分得到 ，再由 得 。

练习二：自己推一次只依赖 $y$ 的因子

求解

$$2x\,dx+(x^2+4)\,dy=0,\qquad y(0)=0.$$

查看推导与答案

$M_y=0$、$N_x=2x$，所以在 $x\ne0$ 时，，试取 。乘后两个交叉偏导都等于 ，这个检查在 也成立，因而因子可以用于全平面。

练习三：根号出现以后，还有什么要检查

求解

$$y'=\frac yx+\frac{4x}{y},\qquad y(1)=2.$$

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原方程要求 $x\ne0,y\ne0$。令 $y=xv$，有 $v+xv'=v+4/v$，即 。积分得到 ，初值 给出 。

练习四：不要把线性替换的任意解直接开平方

求解

$$y'+y=e^{2x}y^3,\qquad y(0)=\frac12,$$

并说明原方程是否有零解。

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$y\equiv0$ 满足原方程。对非零分支令 $z=y^{-2}$，有

$$z'-2z=-2e^{2x}.$$

练习五：已知特解以后，把其余步骤算到底

已知 $y_1=x$，求解

$$y'=1+2(y-x)+(y-x)^2,\qquad y(0)=1.$$

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代入 $y_1=x$，左右两边都为 $1$，所以它确实是特解。令 $u=y-x$，则 $u'=2u+u^2$。 对应 ；对非零分支令 ，得到 。

练习六：几何答案是否就是函数答案

对精确方程 $2x\,dx+2y\,dy=0$，有人说：“初值 $y(3)=0$ 给出 $x^2+y^2=9$，所以一定有一个在 附近可微的函数解。”判断这句话，并给出理由。

查看推导与答案

隐式曲线确实是圆，但后半句不成立。如果存在一个在包含 $3$ 的开区间上可微的函数解，它必须满足 $2x+2yy'=0$。代入初值点得到 $6+0=0$，矛盾。

这说明圆在 $$ 附近不能作为可微的 解。它有竖直切线，可以改用 关于 的函数 来描述附近的几何曲线，但这改变了自变量，不会使原来的 初值问题突然有解。精确性保证势函数存在，并不取消函数表示和初值位置的条件。

本章的计算不断提醒我们：一个公式能写出来，还需要检查它在初值附近能否成立；一条曲线能画出来，还需要检查它能否作为所要求的函数。更进一步，即使找到了满足初值的解，是否还可能有另一条也从同一点出发？下一章就从这个问题开始，学习存在唯一性条件，再用自治方程和相线判断解会向哪里走。