存在唯一性、自治方程与相线

上一章里，我们尝试把一个陌生的一阶方程变成熟悉的样子：有时寻找势函数，有时换一个未知量，再用分离变量或积分因子继续算。可是，方程没有落进这些类型时，难道就什么也不知道了吗？

想象我们正在观察一个培养皿，已经知道此刻的种群数量，也提出了一条增长规律。即使暂时算不出数量随时间变化的公式，我们仍然想知道：这个规律能不能从当前状态开始运行？同样的起点，会不会给出两个不同的未来？数量最后会稳定下来，还是一直增加？这些问题都不必等到显式解出现后才回答。

本章就沿着这条思路走。先确认初值问题有没有解、解是不是唯一，再把一类方程的方向场压缩成一条简单的相线。我们会看到，有时只判断几个因子的正负，就能读出一个模型的长期走向。不过，判断之前需要把条件说清楚；一幅看起来很平滑的曲线，还不能替我们证明未来只有一种。

同样的现在，能不能确定同样的未来

先拿一杯放在恒温房间里的热水来想。若温度变化率只取决于当前温度与室温的差，初始温度也已经给定，我们通常期待它往后有一条确定的温度曲线。这种期待落在数学上，就是一个初值问题：

这里 $f(t,y)$ 给出“在时刻 $t$、状态为 $y$ 时，变化率是多少”。解则是一段时间上的可微函数，它在每个时刻都得满足这个规定，并且经过初始点 $(t_0,y_0)$。只在初始时刻把等式对上不够，画出一条穿过初始点的曲线也不够。

存在性问的是“这样的函数至少有一个吗”。唯一性接着问“满足同一初值的函数，在共同讨论的时间区间上是否必定相同”。这两件事要分开。一个题目可以有解但不唯一；也可以有唯一解，却无法把解写成常见初等函数的组合。

我们先看一个连启动都做不到的例子。假设有人提出

在 $t=0$ 代回原方程，左边必定是 $0$，右边却是 $1$。所以不存在一条在 $0$ 附近可微、并满足这个初值问题的函数。若先除以 $t$ 再积分，得到 $y=\ln|t|+C$，也只能在不含 的区间讨论，不能用积分常数把初始点“补”进去。

这个例子提醒我们：求解之前先看方程在哪里有定义，初值放在哪里。上一章把方程整理成标准形时，除掉的系数如果会变成零，那些位置需要单独检查。

存在唯一性定理到底保证什么

在初始点附近画一个小矩形，让时间和状态各有一点活动余地：

只要 $f$ 在这个矩形上连续，初值问题就在 $t_0$ 附近的某个时间区间上至少有一个解。这里可以明确说“保证局部存在”，不用含糊地说“大概有解”。但要检查的是初始点周围的一个区域，只有 $f$ 在初始点上有一个有限的值，还不够。

要再保证唯一，一个常用的充分条件是：$f$ 连续，并且在这样的邻域内对 $y$ 满足 Lipschitz 条件。名字先放一边，它说的是存在一个有限常数 $L\geq0$，使同一时刻的任意两个允许状态满足

右边量的是两个状态相差多少，左边量的是它们对应的变化率相差多少。这个不等式要求：状态只有一点点差别时，变化率的差别也得受到一个统一倍数的控制。$L$ 可以因我们选择的邻域而变，但在这个邻域里不能随着 $y_1,y_2$ 越靠近而无限增大。

如果只想快速检查，可以用一个更方便的条件：$f$ 和 $f_y=\partial f/\partial y$ 在初始点附近连续。那么先把矩形缩小一些，连续的 $f_y$ 在这个小闭矩形上就有上界 。固定 ，对状态变量用中值定理，便有

其中 $\xi$ 夹在 $y_1,y_2$ 之间。取绝对值，就得到刚才的 Lipschitz 不等式。也就是说，“偏导数连续”这条便于操作的检查规则，是通过控制状态方向上的斜率来保证唯一的。

一个不用求解就能完成的判断

考虑

我们不急着寻找解法，先计算

在 $|t|<1$、$|y-1|<1/2$ 的矩形里，分母不会为零，$f$ 和 $f_y$ 都连续。因此，这个初值问题在 附近存在唯一解。这已经是一条确定结论，即使我们没有算出解的公式。

若初始状态改成 $y(0)=2$，右端在初始点根本没有定义，刚才的定理就不能使用。若原方程写作 $(2-y)y'=t+y$，代入 $(0,2)$ 还会得到 ，所以这个初值确实不可能。这一次“无解”来自直接检查原方程，并非来自“定理没有通过”。这两个理由不能混为一谈。

解为什么能够等待一会儿再出发

要看清连续性为什么不够，我们研究一个无量纲的数学例子：状态已经是零，方程还会不会允许它自行离开零？规定变化率为当前状态绝对值的平方根：

右端处处连续，因此局部有解。最容易找到的是 $y(t)\equiv0$。它的导数是零，右端也是零，初值当然满足。

现在只在 $y>0$ 的一段上尝试分离变量：

左边非负，所以这一段要求 $t\geq a$。平方后得到 $y=(t-a)^2/4$。我们把它与零解连接起来：

它像是在零位置停留到时刻 $a$，随后才开始上升。但“像一条解”还不算，我们得检查连接点。

当 $t<a$ 时，两边都是零。当 $t>a$ 时，

在 $t=a$ 处，函数左右都趋于零；左导数为零，右导数也趋于零。更直接地看，右侧差商是 $h^2/(4h)=h/4\to0$，左侧差商为零，因此连接点处可微，而且导数为零，仍满足方程。最后，因为 $a\geq0$，每条曲线都经过 。

于是，永远停着、马上起步、等两单位时间再起步，都是同一初值问题允许的解。尤其是 $a=0$ 的解与零解在任意包含 $0$ 的开区间内都不同，所以这里连局部唯一性也没有。

为什么唯一性条件没挡住它？取 $y_1=h>0$、$y_2=0$，对应的变化率差与状态差之比为

无论给多大的有限 $L$，只要 $h$ 足够小，Lipschitz 不等式都会失败。不过，真正证明不唯一的是我们已经构造出不同的解；条件失败只是说明那条保证唯一的定理不能替我们作答。

观察演示时，可以特别看不同曲线的起步位置。连接点处不是画了一个折角；正因为两段的斜率都为零，才可能拼成真正可微的解。

不可导，也可能唯一

把规律换成 $y'=|y|$，初值仍取 $y(0)=0$。绝对值函数在零处不可导，但三角不等式告诉我们

这正是 $L=1$ 的 Lipschitz 条件。所以初值问题解唯一，又因为零解已经满足它，唯一解就是 $y\equiv0$。它不能像刚才那样自行起步。

即使 Lipschitz 条件本身失败，也未必不唯一。例如 $y'=1+\sqrt{|y|}$ 的右端在零附近不满足该条件，但始终为正。令

沿任意满足 $y(0)=0$ 的解，链式法则给出 $(H(y(t)))'=1$，因而 $H(y(t))=t$。由于 严格递增，它在零附近有唯一反函数，所以解被唯一确定。这一小段推导再次说明：充分条件没有通过以后，要继续研究方程，不能把定理倒过来使用。

局部唯一，并不等于能一直走下去

假设某个简化的正反馈规律说：状态越大，增长越快，而且增长率与状态的平方成正比。把量纲吸收到变量里，我们得到

右端与偏导数 $2y$ 处处连续，所以局部解存在且唯一。利用前面学过的分离变量，

导数是 $4/(1-2t)^2$，恰好等于 $y^2$，初值也对。但当 $t\to(1/2)^-$ 时，状态趋于正无穷。包含初始时刻的最大解区间是 ，向前只能讨论 。

同一个有理式在 $t>1/2$ 也能代入方程，不代表解穿过了无穷大又回来。解的时间定义域是一个区间，延伸必须在中间每个时刻保持有限且可微；这里跨不过 $t=1/2$。

局部唯一性还有另一个边界：我们在初始点附近检查过条件，并不代表以后经过的每个状态都检查过。若解后来到达右端不再满足唯一性条件的位置，就要重新判断能否唯一延伸。只有在所讨论区域中处处保证局部唯一，才可以沿着解把唯一性持续传下去。

自治方程：同一状态就有同一变化率

再回到热水。如果室温保持不变，同一杯水处在同一个温度时，无论计时器显示一分钟还是三分钟，我们的模型都会给出相同的降温速率。这样的规律只看当前状态，写成

它叫一阶自治方程。“自治”指右端不显含时间，绝不是说解不随时间变化。如果室温随昼夜变化，冷却规律中出现 $T_a(t)$，方程通常就不再自治。

在时间—状态平面上，自治方程的方向场有一个便利之处：同一水平高度的短线段斜率相同。于是，没有必要一列一列重复画，我们可以把所有信息收在一条状态轴上。

先找那些到了以后可以一直不动的状态。若

那么 $y(t)\equiv y_*$ 的导数与右端都为零，这就是平衡解；状态 $y_*$ 叫平衡点。回想分离变量时需要单独补回的常数解，它们正是这里首先要找的对象。

画一条竖直的 $y$ 轴，标出全部平衡点。对于没有零点、也没有定义域断裂的区间，若 $f$ 连续，它就不能突然变号：要从正变负，中间总得经过零。因此在每段取一个测试值，就可以判断整段符号。$f(y)>0$ 时，状态随时间增加，箭头向上；$f(y)<0$ 时，状态随时间减小，箭头向下。这条带箭头的状态轴，就是相线。

这里有三幅图容易混淆。$f(y)$ 的函数图像用横轴表示状态、纵轴表示变化率；相线只有状态轴；$y(t)$ 的解曲线才是横轴表示时间、纵轴表示状态。相线上“向上”的意思是状态增加，不能把它读成 $f$ 的图像正在上升。

箭头为什么不能越过平衡点

接下来讨论相线时，我们假设 $f$ 在研究区间内连续且局部 Lipschitz。设一条非平衡解在有限时刻 $t_1$ 到达 $y_*$。那么它与恒等于 $y_*$ 的平衡解，都经过 。局部唯一性要求两条解在这个时刻附近相同，再沿共同区间延伸，便不能有一条原先从别处赶来的非平衡解。这就与假设矛盾了。

因此，在这些唯一性条件下，非平衡解不能在有限时间碰到并穿过平衡解。两条不同初值的解也不能在同一时刻相交：若它们相交，相交点就成了共同初值，唯一性会迫使它们重合。这里比较的是同一个方程，而且相交处必须满足唯一性条件；前面的平方根例子说明，漏掉条件就会出错。

这还解释了一个常见现象：如果状态在两个平衡点之间一直增加，它会被上面的平衡点挡住，不能越过。只要这段状态范围位于 $f$ 定义域内部，解又始终有界，就能继续到所有向前时间。单调且有界的函数必有极限，设极限为 $\ell$。若 $f(\ell)>0$，连续性会使靠近 $\ell$ 后的增长率仍至少为某个正数，状态就会继续走出一段固定距离，不可能停在这个极限；$f(\ell)<0$ 也与趋近的方向不符。所以必有 。

相线判断“最后趋向哪个平衡点”，背后用到的正是这些理由：不穿越、向前存在、单调有界、极限必须是零点。至于没有平衡点挡住、一路向无穷走的情形，仅凭箭头还不知道它是在无限长时间里增长，还是有限时间就发散。

稳定是留在附近，渐近稳定还要走回来

把热水温度稍微改动一点，它还会靠近室温；把某个种群放在临界数量附近，稍微少一点却可能走向另一种结局。稳定性研究的就是这种对小扰动的反应。

先把“附近”说清楚。平衡点 $y_*$ 稳定，意思是：无论你指定多小的允许误差 $\varepsilon>0$，总能选一个足够小的初始误差 $\delta>0$，使

这里也要求这些解向前存在。它保证的是一开始足够近，以后就一直近，尚未要求误差消失。

若平衡点稳定，而且从某个邻域出发的解都满足

它才叫渐近稳定。前一个词管“别走远”，后一个词再加上“最终走回来”。例如方程 $y'=0$ 的所有解都是常数。对于平衡点 $0$，从 $y(0)=0.001$ 出发会永远停在 $0.001$：距离没有扩大，所以 $0$ 稳定；但它不会回到 ，所以不渐近稳定。

两侧都向内时是渐近稳定；两侧向外时不稳定；一侧向内、一侧向外时要单独说明哪一侧吸引。

对于孤立的平衡点，若左侧 $f>0$、右侧 $f<0$，两边都朝它走，而且不会穿过它，便是渐近稳定。若左侧 $f<0$、右侧 $f>0$，附近的状态被向两边推开，它不稳定。

若两侧箭头同向，一侧靠近它、另一侧离开它，通常称为半稳定。这个名字不能理解成“也满足一半的稳定定义”：在允许双侧扰动的完整状态区间内，它仍然是不稳定的，因为排斥侧存在任意小的扰动，最终能走出某个固定邻域。只有限制在吸引的一侧，才有相应的单侧稳定和吸引性。

导数测试为什么只在非零时给结论

设 $f$ 在平衡点附近连续可微。对很小的偏离 $\eta=y-y_*$，有

当 $f'(y_*)<0$，右侧小偏离 $\eta>0$ 对应负的变化率，往回走；左侧偏离对应正的变化率，也往回走，所以渐近稳定。当 $f'(y_*)>0$，两个方向都推离平衡点，所以不稳定。我们也可以暂时把误差看成满足近似方程 ，它的指数解恰好显示衰减或增长。

若 $f'(y_*)=0$，这项线性近似消失了，不能再凭它判断。比如 $y'=-y^3$ 在零的两侧都指向零，零渐近稳定； 的两侧都背离零，零不稳定； 的两侧都向上，零半稳定。三个导数都是零，行为却完全不同。

把最后一个例子算出来，更容易看懂“半稳定”。从 $y(0)=-2$ 出发，

它从下方靠近零。可从任意小的正初值 $y(0)=\eta>0$ 出发，解是 $y(t)=\eta/(1-\eta t)$，先离开零，再在 $t=1/\eta$ 发散。吸引的一侧再温和，也抵消不了另一侧的排斥。

Logistic 模型：容量为什么成为归宿

一个培养皿里，个体少时食物充足，增长速度可能近似与数量成正比；数量大了，每个个体能分到的资源减少，相对增长率就下降。先假设环境保持不变，没有迁入迁出，用连续量 $P(t)\geq0$ 近似种群数量，再让相对增长率随数量线性下降，就得到 Logistic 模型：

若时间按天计，$r$ 的单位是“每天”，$K$ 与 $P$ 的数量单位相同，括号中的比例没有单位。$K$ 表示模型中的环境容量，它是净增长率变为零的数量，不是一个永远不允许超过的硬上限。

正初值在容量下方时增加，在容量上方时减少；容量 $K$ 是渐近稳定平衡点。

平衡点来自两个因子为零，所以是 $P=0$、$P=K$。在 $0<P<K$ 内两个因子都正，数量增加；在 $P>K$ 时资源限制因子为负，数量减少。 的两侧都指向它，因此它渐近稳定。对于非负状态空间中的 ，任意小的正初值都会远离零并趋向 ，所以零不稳定；判断边界平衡点时，只考虑模型允许的非负扰动就够了。

因为右端是多项式，局部唯一性处处成立。正初值的解不会穿过零或 $K$，并且始终夹在 $\min(P_0,K)$ 与 $\max(P_0,K)$ 之间。因此它向前有界、能够继续存在，且最终趋向 。这一步才把相线箭头变成了对所有正初值的长期结论。

例题：三种初值，同一个长期数量

设时间按天计，数量按某种统一的种群计数单位计，考虑

若 $P_0=60$，初始增长率为 $0.3\times60\times3/4=13.5$ 个计数单位每天，数量向上趋近 $240$。若 $P_0$，增长率为零，此后一直保持 。若 ，初始增长率为 ，数量向下趋近 。第三种初值完全允许，只是模型预言超出容量以后会下降。

要进一步算出时间，就把分离变量得到的解写成

取 $P_0=60$，有 $B=3$，于是

什么时候达到容量的一半，即 $120$？令分母等于 $2$，得到 $3e^{-0.3t}=1$，所以

这个时刻还有一层意思。净增长率 $G(P)=rP(1-P/K)$ 是关于 $P$ 的开口向下抛物线，最大值出现在 $P=K/2$，为 $rK/4$。本例就是每天 个计数单位。又因为 ，从容量下方增长的曲线在 时越来越陡，越过 后才逐渐变平。因此，只有初始数量足够小的那段才近似指数增长；不能说所有低于容量的初值都会先加速，若已经从 出发，增长从一开始就在减速。

多一个阈值，长期结局就可能分成两种

有些种群稀少到一定程度后，寻找配偶或合作生存会更困难。此时“越少越容易增长”的 Logistic 假设就不合适。我们可以提出另一种简化规律：数量低于阈值时净增长为负，超过阈值但未达到容量时净增长为正，超过容量后又受资源限制。这就是一种强 Allee 效应的阈值模型：

其中 $A$ 与 $K$ 都是数量参数，$r$ 仍具有时间倒数的单位，但它在这个模型里是时间尺度参数，不能直接沿用 Logistic 中“低密度正相对增长率”的解释。事实上，当 $P$ 很小时，右端近似为 $-rP$，预言的是衰减。

平衡点现在是 $0,A,K$。在 $0<P<A$ 时，最后一个因子为负，其余因子为正，所以数量下降；在 $A<P<K$ 时所有因子为正，所以数量上升；在 $P>K$ 时容量因子为负、阈值因子为正，所以数量下降。

我们于是得到：$0$ 在非负状态空间中渐近稳定，$K$ 渐近稳定，而 $A$ 不稳定。初值恰好等于 $A$ 时，当然会一直停在那里；不稳定说的是稍微偏离以后会怎样，并非说处在平衡点时自己也会移动。

例题：差一点点，最后却去向不同

取 $K=300$、$A=75$、$r=0.2$，时间按月计。若初始数量为 $60$，

数量开始下降，始终留在 $(0,75)$ 中，最终趋向零。若初始数量为 $90$，则

数量开始增加，最终趋向 $300$。相同的环境参数，只是起点位于阈值两侧，长期结局就不同。

再看阈值附近偏离会增长得多快。记右端为 $G(P)$，由于在 $P=A$ 处阈值因子为零，求导后只有对该因子求导的那一项留下：

因此小误差 $\eta=P-A$ 在仍然很小时近似满足 $\eta'=0.15\eta$，误差约按 $e^{0.15t}$ 放大。 个月是这个局部近似下的误差翻倍时间；离阈值远了以后，必须回到完整模型，不能一直沿用这条指数近似。

这里说“趋向灭绝”指 $P(t)\to0$。在这个光滑的连续模型中，正初值不会在有限时间恰好到达零。现实种群则由离散个体组成，数量小到接近一个个体时，连续近似本身就需要重新考虑。相线给出的是模型在既定假设下的预言，不能把渐近趋零与某一时刻实际没有个体完全等同。

不求公式，也把一条复杂相线读完整

最后看一个无量纲的自治方程，把前面的判断连在一起：

右端是多项式，所以局部存在唯一性成立。零点为 $-2,1,3$，其中平方因子 $(y-1)^2$ 在 $1$ 两侧都为正。我们可以直接做符号表：

$-2$ 两侧都背离它，所以不稳定。$1$ 从下方吸引、向上方排斥，所以半稳定，在双侧扰动的意义下仍不稳定。$3$ 两侧都指向它，所以渐近稳定。

从 $y(0)=0$ 出发，初始导数为 $2\times1\times3=6$，随后一直增加。虽然初始变化不慢，它仍无法穿过 $1$，因此向前有界且长期趋向 $1$。从 $y(0)=2$ 出发，初始导数为 ，解增加并趋向 。从 出发，初始导数为 ，解下降并趋向 。

这个例子里，$1$ 的下方有整段初值趋向它，却不足以让它稳定。稳定性看的是所有足够小的允许扰动，而不是“能不能找到一些会回来的初值”。相线上的每一侧都得看。

练习：先说依据，再给结论

练习一：定理没有通过，结论是什么

分别判断 $y'=|y|,\ y(0)=0$ 与 $y'=\sqrt{|y|},\ y(0)=0$ 是否局部唯一。不能只写“偏导数不存在”。

练习二：唯一解能存在到哪里

求解 $y'=y^2,\ y(0)=-3$，写出包含 $0$ 的最大解区间，并判断向前的极限。

练习三：导数为零以后怎么办

画出 $y'=y^2(4-y)$ 的相线，分类平衡点，并判断初值 $-1,1,5$ 的长期去向。

练习四：容量的九成需要多久

种群满足 $P'=0.25P(1-P/400)$，$P(0)=100$，时间按周计。求第一次达到 $360$ 的时间，并判断是否会超过 。

练习五：阈值恰好被跨过

在阈值模型中取 $r=0.1$、$A=40$、$K=200$，时间按月计。分别判断初值 $30,40,50$ 的长期结局，并计算初值为 $50$ 时的初始变化率。

练习六：导数为零，也能渐近稳定吗

考虑 $y'=-y^3$。说明零点的稳定性，并求初值 $y(0)=b\neq0$ 的向前解。再解释它与 的稳定性有何区别。

现在再遇到一条一阶方程，我们可以先检查它在初值附近是否给出唯一的解；若它自治，就继续找平衡点、看符号、判断允许的状态范围与长期趋势。下一章会把这些判断带回具体模型：盐水槽里流入和流出的究竟是哪一个量，变动的环境温度该放进方程哪里，阻力与外部驱动又该怎样组合。那时我们既要把方程列出来，也要用本章这些办法检查它给出的变化是否符合原来的故事。

第二个右端连续，所以局部有解。除零解以外，取 $y(t)=0$（$t\leq0$）和 $y(t)=t^2/4$（$t>0$）拼接，连接点两侧导数都为零，而在正半轴 $y'=t/2=\sqrt y$。这给出另一条满足初值的解，所以不唯一。局部 Lipschitz 条件失败与这个现象一致，但构造两条解才是这里的证明。

分母在 $t=-1/3$ 为零，因此包含 $0$ 的最大区间为 $(-1/3,\infty)$。对所有 $t\geq0$，解为负且导数为正，故从下方增加并趋向 $0$。同一方程的正初值解向前可能爆破，负初值解却向前全局存在；定义域必须结合初值判断。

初值 $-1$ 的解在 $(-1,0)$ 内增加并趋向 $0$；初值 $1$ 的解在 $(1,4)$ 内增加并趋向 $4$；初值 $5$ 的解在 $(4,5)$ 内减少并趋向 $4$。右端光滑，每条轨道又都被有限区间限制，所以这些向前极限有意义。

对有限的 $t\geq0$，分母始终大于 $1$，所以 $P(t)<400$。相线也给出同样结论：解在 $(0,400)$ 中增加，唯一性不允许它穿过平衡解 $P\equiv400$。

初值为 $50$ 时，

单位为每月的种群计数单位。$40$ 虽然是平衡点，却不稳定，因为它两侧的微小偏离会走向不同的归宿。

解不能穿过零，所以保持初值的符号，得到

它始终满足 $|y(t)|\leq|b|$，并且趋向零，因此零渐近稳定。虽然 $f'(0)=0$，符号与显式解都能给出判断。对于 $y'=0$，解为 $y(t)=b$，小偏离保持不变，因此零稳定却不渐近稳定。