第 1 章　电荷、电荷守恒与库仑定律

冬天脱毛衣时，你可能听见轻微的噼啪声；用气球蹭过毛衣后，它竟能贴在墙上，还能把原本不带电的小纸屑吸起来。问题来了：如果纸屑本来不带电，为什么会被吸引？摩擦是不是“造”出了电？两个带电小球离得近些，作用力又为什么会突然明显增强？

气球和毛衣分开后，各自带上了电荷，却没有让整个系统凭空多出电荷；两只带电小球隔空推拉，力的大小也并非随意，而是受到电荷量和距离的约束。这些现象共同逼着我们追问：电荷从哪里来，总量为何不变，电荷之间的作用又遵循什么规律？至于这种作用怎样通过空间传递，则需要用后文的电场强度、电场线和电势来描述，不在本章展开。

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一、电荷的两种性质与微观来源

1. 中性物体内部仍有正、负电荷

纸屑整体不带电，你可能会自然地理解成“里面没有电荷”。这里很容易想错：纸屑由原子组成，原子核里的质子带正电，核外电子带负电；所谓物体不带电，是正、负电荷的代数和为零，而不是物体内部一片“电荷真空”。

电荷有正、负两种。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。实验上规定，用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷叫正电荷，用毛皮摩擦过的橡胶棒所带的电荷叫负电荷。这里的“正”“负”是两类电荷的命名，不表示正电荷一定更强，也不表示负电荷的电荷量大小就是负数；谈大小时通常取绝对值，谈代数和时才保留正负号。

在常见固体的起电过程中，原子核被束缚在物质结构中，能够在物体之间转移的主要是电子。物体失去电子，正电荷总量超过负电荷总量，便带正电；物体得到电子，负电荷总量占多，便带负电。于是“摩擦产生电荷”这句口头说法容易误导，更准确的说法是：摩擦改变了电子在两个物体之间的分配。

先别急着往下读，给电子的去向记一笔账：原来都不带电的 A、B 两物体相互摩擦，若 A 得到 $5.0\times10^{10}$ 个电子，那么 B 带什么电？A、B 的总电荷是多少？

电子带负电，所以 A 得到电子后带负电，B 失去同样多的电子后带正电。若只把 A、B 看作系统，摩擦前系统总电荷为零，摩擦后仍为零。两者电荷量大小相等，均约为

$$|Q|=ne=5.0\times10^{10}\times1.60\times10^{-19}\ \text{C} =8.0\times10^{-9}\ \text{C}。$$

若复习题要求说明带电原因，只写“摩擦起电”通常还不够，还要交代电子从谁转移到谁。把质子写成在物体间移动，或者只判断一方带负电却漏掉另一方失去等量电子，都会让电荷的账对不上。列守恒式时应让电荷量带着正负号相加，不能一开始就把它们全部改成绝对值。

不过，纸屑并没有和气球摩擦，照样会被吸引。它并未凭空得到净电荷，真正发生的是内部正、负电荷的位置出现了偏移。

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二、摩擦、接触与感应起电

1. 静电感应中的电荷重新分布

把一根带负电的棒靠近不带电金属导体。金属中的自由电子受到排斥，向远离棒的一端移动；靠近棒的一端因缺少电子而显正，远端因电子较多而显负。这种因外来电荷靠近而使导体中电荷重新分布的现象叫静电感应。

这里要停一下：导体近端显正，能不能说导体已经带正电？不能。若导体没有接地、也没有和别的物体交换电荷，它近端的正电荷量与远端的负电荷量代数和仍为零，整体依旧不带电。被带电气球吸引的纸屑也可以这样理解：纸屑被极化后，靠近气球的一侧出现异号电荷效果，距离更近，吸引作用通常占优势，于是纸屑受到指向气球的合力。

若想利用静电感应让金属导体最终带上净电荷，就要给电子一条进出导体的路。以负棒为例，正确顺序是：负棒靠近导体；导体接地，部分电子流入大地；先断开接地；最后移走负棒。导体最终因缺少电子而带正电。若先移走带电棒再断地线，电子会重新流回，起电就失败了。

2. 三种起电方式的电子账

三种常见起电方式可以这样辨认：

• 摩擦起电：两种材料充分接触并分离，电子因材料束缚能力不同而转移，两个物体常带等量异种电荷。
• 接触起电：带电体与导体接触，电子在物体之间重新分配；最终电荷怎样分，不只看总电荷，还与物体的形状、大小和相互位置有关。
• 感应起电：带电体不必接触待起电导体，通过静电感应和接地，使导体与大地交换电子；若步骤正确，导体最后带上与靠近它的带电体异号的电荷。

接地会带来一个新的问题：若只把“小导体”当系统，它的电荷当然可以变化，因为电子能通过地线进出；若把导体和大地一起纳入系统，并且这个大系统不再同外界交换电荷，电荷的代数和依旧守恒。守恒定律没有失效，只是原先圈定的系统太小。

把带电棒换成正电，再检查一次这套判断：一根带正电的棒靠近不带电金属球的左端，球的左端显负、右端显正。如果始终没有接地和接触，金属球的总电荷会不会变成负值？

不会。自由电子只是从右端移动到左端，球内电荷重新分布，总电荷仍为零。静电感应题常把“局部显正或显负”与“整体带净电荷”混在同一组选项里；遇到这种设问，先看有没有电荷跨过系统边界，再判断总电荷是否变化，比孤立地背近端、远端的符号更可靠。

既然关键在于系统边界，电荷守恒就不能只停留在一句口号上。把它写成代数式后，还会自然冒出另一个问题：电荷量能不能任意取值？

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三、电荷守恒与元电荷

1. 先确定守恒系统

一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。若系统内原有电荷量分别为 $Q_1,Q_2,\ldots$，过程前后满足

$$\sum Q_{\text{初}}=\sum Q_{\text{末}}。$$

这里的关键词有两个。第一是系统：摩擦起电可以选两个摩擦物体，接触分电可以选所有参与接触的导体，感应起电若发生接地则常要把大地纳入。第二是代数和：$+3\ \mu\text{C}$ 与 $-2\ \mu\text{C}$ 的总电荷是 $+1\ \mu\text{C}$，不是 $5\ \mu\text{C}$。

电荷既不会凭空产生，也不会无故消失；它可以从一个物体转移到另一个物体，也可以在物体内部重新分布。某个物体的净电荷可以变化，并不违背守恒，因为守恒说的是选定封闭系统的总电荷。

2. 电荷量为什么是元电荷的整数倍

电子所带电荷量为 $-e$，质子所带电荷量为 $+e$。元电荷 $e$ 是一个正的电荷量数值，精确值为

$$e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\ \text{C}，$$

高中计算中通常取 $e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}$。可观测物体的电荷量满足

$$Q=ne，\qquad n\in\mathbb Z。$$

这表示电荷量不是连续任取的，而是元电荷的整数倍。若物体多出 $n$ 个电子，则 $Q=-ne$；若物体缺少 $n$ 个电子，则 $Q=+ne$。注意，“元电荷”不是某个具体粒子的名字，也不是电子本身，它指的是电荷量的基本单位；电子的电荷量要写成 $-e$。

把量子化关系用在一个最小的例子里：某小球带电荷量 $-3.2\times10^{-19}\ \text{C}$，它是多出还是缺少电子？数量是多少？

由 $n=|Q|/e=2$，负号表示小球多出电子，所以它比电中性状态多出 2 个电子。若把 $Q/e=-2$ 直接解释成“电子数为负 2 个”，就把电荷的符号和粒子个数混为一谈了；电子的个数只能取非负整数，负号描述的是净电荷性质。

处理这两类计算时，顺序各有侧重：电荷守恒要先列带符号的总量，再处理分配；元电荷计算要先用绝对值求电子数，再由 $Q$ 的正负判断得到还是失去电子。若算出的 $|Q|/e$ 不是整数，给定电荷量在该模型下就不可能。守恒和量子化像两道闸门：总账要对，最小份额也要对。

电荷的“账”已经理顺了。接下来要问的是：两个带电体隔空相互作用，力怎样随电荷量和距离改变？

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四、点电荷模型与库仑定律

1. 何时能把带电体看成一个点

两只带电小球相距几米时，小球本身几毫米的大小通常不重要；可当它们几乎贴在一起时，电荷分布和形状就可能明显影响作用力。为了抓住主要因素，当带电体自身的大小、形状以及电荷分布对研究问题的影响可以忽略时，我们把它抽象成带电的点，叫作点电荷。

你可能会问：“半径小于多少才算点电荷？”没有一条脱离问题的固定分界线。点电荷与质点一样，是相对研究任务而言的理想模型。通常只有当带电体尺寸远小于它们之间的距离，且形状、电荷分布造成的影响可忽略时，才可使用。对于均匀带电的绝缘球体，在研究球外相互作用时，可以等效为电荷集中在球心，式中的 $r$ 取两球球心之间的距离；带电金属球相距较近时，表面电荷会因彼此影响而重新分布，通常不能直接按球心处的点电荷处理。无论哪种情形，$r$ 都不是两球的球面间隙。

2. 电荷量、距离与库仑力

在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力的大小，与它们电荷量的乘积成正比，与它们距离的二次方成反比，方向沿两点电荷的连线。其大小为

$$F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}，$$

其中静电力常量

$$k=9.0\times10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2。$$

同号电荷相斥，异号电荷相吸。公式中的绝对值负责给出力的大小，电荷符号负责判断方向。两个电荷之间的力是一对相互作用力，始终等大、反向、沿同一直线；不会因为 $|q_1|>|q_2|$，就让电荷量较大的那个“受力更大”。

距离的影响最容易被低估：距离变为原来的 2 倍，力不是变为一半，而是变为原来的 $1/4$；距离变为原来的 $1/3$，力变为原来的 9 倍。反比平方意味着先把距离的倍数平方，再取倒数。

把数值放进这个关系中试一遍：真空中两个点电荷的电荷量分别为 $+2.0\ \mu\text{C}$ 和 $-3.0\ \mu\text{C}$，相距 $0.30\ \text{m}$。它们之间的力多大，属于吸引还是排斥？

$$F=9.0\times10^9\times \frac{2.0\times10^{-6}\times3.0\times10^{-6}}{(0.30)^2}\ \text{N} =0.60\ \text{N}。$$

两电荷异号，所以相互吸引。每个电荷受到的力大小都是 $0.60\ \text{N}$，方向分别指向对方。算出数值还没有结束：复习题中经常有人漏掉微库仑到库仑的换算、忘记把 $0.30$ 平方，或只写力的大小而不判断吸斥；这三处都应在落笔时顺手核对。

3. 库仑扭秤的转换测量

库仑用扭秤研究电荷间作用力。小球受到静电力后使横杆转动，悬丝发生扭转；微小的静电力由此转化为可观察的扭转角。改变两球距离并比较扭转程度，可以研究力与距离的关系；利用相同金属球接触后分电，可以按比例改变电荷量，进而研究力与电荷量的关系。

这个实验的巧妙之处，不是直接“看见公式”，而是把难测的微小力转换成较易测的角度，并控制某些量不变、逐一改变另一些量。它也提醒我们：实验结论建立在模型和条件上，不能把公式无限外推。若令 $r\to0$ 就断言 $F\to\infty$，此时带电体尺寸和电荷分布早已不能忽略，点电荷模型先失效了。

做库仑定律题，可以用四个问题收尾检查：研究对象能否看成点电荷，距离是否取球心距，单位是否换成国际单位，方向究竟是吸引还是排斥。若比较两个状态的力，比起重复代入 $k$，直接写出

$$\frac{F'}F=\frac{|q_1'q_2'|}{|q_1q_2|}\frac{r^2}{r'^2}，$$

再代各量的倍数通常更简洁。实际情境还会多一层变化：电荷可能因接触而重新分配，同一个电荷也可能同时受到多个库仑力。此时必须先更新电荷，再转入受力分析。

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五、电荷分配、力的叠加与平衡

1. 相同金属小球的接触分电

两个完全相同的金属小球接触时，自由电子移动，直到两球达到相同的电学状态；忽略外界影响并在分开后仍可视为点电荷时，每个球最终带电荷量

$$q_A'=q_B'=\frac{q_A+q_B}{2}。$$

“平分”的前提是两球完全相同，不是所有导体一接触就各得一半。若两球大小不同或附近还有其他带电体，电荷分布通常不能这样简单处理。

举个例子：相同金属小球 A、B 原来分别带 $+6q$ 和 $-2q$，相距 $r$，可视为点电荷。接触后分开回到原距离，每球带

$$q'=\frac{6q-2q}{2}=+2q。$$

接触前两球异号，相互吸引，$F_0=12kq^2/r^2$；接触后两球同号，相互排斥，$F_1=4kq^2/r^2=F_0/3$。你看，力不只是大小变了，方向也变了。

再换一组恰好抵消的电荷：两个相同金属小球分别带 $+4q$ 与 $-4q$，接触后再分开，若不受外界影响，它们之间还有库仑力吗？没有。总电荷为零，接触后每球净电荷都为零；这不是正负电荷“消失”，而是电子重新分配后每个球都恢复电中性。

2. 多个点电荷的合力

若一个点电荷同时受到多个点电荷作用，先分别用库仑定律求每个力，再按矢量法则求合力：

$$\vec F_{\text{合}}=\vec F_1+\vec F_2+\cdots。$$

不要先把几个电荷量代数相加，再直接塞进一条库仑公式；不同电荷到研究对象的距离和方向通常不同，它们产生的力必须逐项处理。共线时先规定正方向，用正负号相加；不共线时画受力图，再用平行四边形或正交分解。

对称性可以减少计算。例如，两个等量同种点电荷固定在一条直线上，另一个电荷放在它们连线的中点，两侧库仑力大小相等、方向相反，合力为零。但“中点合力为零”不等于三个电荷都平衡：两端电荷仍会受到其他电荷的作用。判断多个自由电荷是否平衡，必须逐个检查合力。

3. 带电小球的平衡

两个相同小球分别由等长绝缘细线悬挂，带等量同种电荷后对称张开。对任意一个小球，重力竖直向下，绳的拉力沿绳指向悬点，库仑斥力沿两球连线。若两球等高，库仑力水平；设绳长为 $L$、细线与竖直方向夹角为 $\theta$，则

$$r=2L\sin\theta，\qquad T\cos\theta=mg，\qquad T\sin\theta=F，$$

所以

$$F=mg\tan\theta，\qquad k\frac{q^2}{(2L\sin\theta)^2}=mg\tan\theta。$$

受力图里还有一处必须服从真实几何关系：库仑力沿两电荷连线，却不一定水平。只有题目保证两球等高时，才能把这支力直接画成水平；换一个摆放方式，就要重新按两球连线确定方向，再列分量式。

接触分电题可以沿着“带符号求总电荷—按条件重新分配—判断新的吸斥—代库仑定律”推进；多电荷题则应先选研究对象，逐一画力，再求大小并作矢量合成。解答题中若一开始就把电荷量取绝对值，接触后的符号很容易算错；若漏画某个点电荷的作用力，后面的平衡式也会整体失去依据。方向图画对了，计算往往已经完成了一半。

我们现在已经能算电荷之间“彼此推拉”的力，但还没有回答一个更根本的问题：没有接触，作用怎样穿过空间传递？下一章会引入电场，用电场强度和电场线把这个问题说清楚。

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章末练习：先独立作答，再展开核对

1

原来不带电的玻璃棒与丝绸摩擦后带正电，最合理的微观解释是

A.玻璃棒产生了正电荷B.玻璃棒失去了一部分电子C.质子从丝绸转移到玻璃棒D.玻璃棒内所有负电荷消失

2

关于电荷守恒与元电荷，下列说法正确的是

A.元电荷e本身带负号B.电子的电荷量为-eC.封闭系统的电荷代数和保持不变D.物体的电荷量可以是0.5e

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3

电荷量分别为+2q和-q的两个点电荷相互作用时，+2q受到的库仑力是-q受到的两倍。

正确错误

4. 一个物体带电荷量 $-8.0\times10^{-19}\ \text{C}$，取 $e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}$。判断它相对电中性状态多出还是缺少多少个电子。

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$n=|Q|/e=5$。电荷量为负，说明物体多出 5 个电子。不能把电子数写成 $-5$ 个，负号只表示净电荷的性质。

5. 不带电金属球与大地绝缘。一根带负电棒靠近金属球左侧，但不接触。说明球两端的电荷分布和金属球的总电荷。

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自由电子被负棒排斥到右端，左端因电子不足而显正，右端因电子较多而显负。没有接触或接地，金属球与外界没有电荷交换，所以总电荷仍为零。

6. 真空中两个静止点电荷的电荷量分别为 $+4.0\ \mu\text{C}$ 和 $+5.0\ \mu\text{C}$，相距 $0.20\ \text{m}$。求库仑力大小并说明方向。

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$F=k|q_1q_2|/r^2=9.0\times10^9\times(4.0\times10^{-6})(5.0\times10^{-6})/(0.20)^2=4.5\ \text{N}$。两电荷同号，相互排斥；各自所受力沿两电荷连线背离对方。

7. 保持两个点电荷的电荷量不变，把它们的距离变为原来的 3 倍。库仑力变为原来的多少？若距离变为原来的 $1/2$ 呢？

显示答案

由 $F\propto1/r^2$，距离变为 3 倍时，力变为原来的 $1/9$；距离变为原来的 $1/2$ 时，力变为原来的 $1/(1/2)^2=4$ 倍。

8. 两个完全相同的金属小球 A、B 分别带 $+8q$ 和 $-2q$。两球接触后分开，仍放回原来的距离。求两球最终电荷量，并比较接触前后库仑力大小与性质。

显示答案

总电荷为 $+6q$，相同小球接触后每球带 $+3q$。接触前 $F_0=16kq^2/r^2$，为吸引力；接触后 ，为排斥力，所以 。

9. 在边长为 $a$ 的等边三角形三个顶点 A、B、C 处，A、B 固定等量正点电荷 $+q$，C 处固定正点电荷 $+Q$。求 C 处电荷所受合力的方向和大小。

显示答案

A、B 对 C 的作用力大小均为 $F_0=kqQ/a^2$，方向分别沿 AC、BC 背离 A、B。两力关于 C 点的角平分线对称，夹角为 $60^\circ$，垂直于角平分线的分量抵消，沿角平分线的分量相加，故 $F=2F_0\cos {30}^{}$，方向沿 C 角平分线向三角形外侧。

10. 两个质量均为 $m$、电荷量均为 $+q$ 的小球，用长度均为 $L$ 的绝缘细线悬于同一点，平衡时两线分别与竖直方向成 $\theta$ 角。求小球间距和每个小球所受库仑力，并写出 $q$ 满足的关系。

显示答案

由几何关系 $r=2L\sin\theta$。对任一小球，$T\cos\theta=mg$、$T\sin\theta=F$，所以 $$。又 ，因此 ，即 。

11. 三个自由点电荷放在同一直线上。有人只检查中间电荷受到的合力为零，就断言三个电荷组成的系统处于平衡。这个判断可靠吗？应怎样判定系统是否平衡？

显示答案

不可靠。系统平衡要求每个自由点电荷所受合力都为零。中间电荷合力为零，只说明两端电荷对它的作用相互抵消，不能保证任一端点电荷所受另外两个库仑力也能抵消。应依次把三个电荷选作研究对象，逐个检查所受库仑力的大小与方向，并确认三个合力都为零。