电势能、电势与等势面
静电力做功的路径无关性
把一个带正电的小球放在固定正电荷附近的 点，再把它缓慢移到更远的 点。第一次沿直线走，第二次绕一条弯路走。弯路明显更长，你可能会这样想：路程长，静电力做的功当然更多。
可真正计算时，两次结果竟然相同。问题出在哪儿？“功等于力乘路程”只适用于力的大小和方向都能妥善处理的情形；点电荷的电场里，静电力会随位置改变，力与位移的夹角也会变。拿总路程直接乘某个力，等于把一路上不断变化的作用强行压成一个数。
静电场有一个非常重要的性质：静电力做功只由电荷的初位置和末位置决定，与经过的路径无关。这与重力做功很像。既然“绕路不改账”，就可以把不同位置对应的能量状态单独记录下来，这个量就是电势能。
下面选择三条不同路径，把同一个正试探电荷从 移到 。留意路程会变，而哪几个量没有变。
静电力做功与电势能变化
设电荷从 移到 ，静电力做功为 ，它在两点的电势能分别为 、。两者关系是
这句话可以像机械能那一章一样理解：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。注意，“做功为正”和“电势能为正”不是一回事。前者描述一个过程，后者描述相对于所选零点的状态。
来看一笔完整的账。静电力把一个电荷从 移到 时做功 ，若它在 点的电势能是 ，那么
无论电荷实际沿哪条路径到达 ，这个末态电势能都不变。若再从 沿任意路径回到 ，静电力做功为 ；完整走一圈回到原位置，静电力的总功为零。这个“闭合路径总功为零”正是路径无关的另一种说法。
严格说，电势能属于电荷与电场组成的相互作用系统。高中阶段常把场源电荷固定，于是简写成“电荷在电场中具有电势能”。这种写法方便，但你要知道能量不是试探电荷孤零零自带的一张标签。
判断电势能变化，最稳的入口是先看静电力做功：，则 ；，则 。不要凭“靠近”“远离”直接猜，因为场源电荷和试探电荷的正负都会改变受力方向。
不妨用一个负电荷检验这套关系：它沿电场线方向从 移到 时，受到的静电力与位移是同向还是反向？电场方向按正电荷的受力方向规定，因此负电荷受力与电场反向，也就与这段位移反向。静电力做负功，电势能增大。
注意，这是个很隐蔽的陷阱：“沿电场线移动”并不自动等于“静电力做正功”，电荷的正负不能漏掉。遇到连续判断时，让电荷符号决定受力方向，再由力与位移的关系判断功，电势能的增减自然会落到 上。
但电势能还有一个麻烦：同一位置换一个电荷量，数值也会跟着变。要描述这个位置本身的能量性质，还需要把试探电荷带来的影响剥离出去。
电势的定义与物理意义
在同一个位置放入 和 ，只要它们都足够小，不明显改变原电场，后者的电势能会是前者的两倍。于是电势能本身既含有“这个位置的特征”，又含有“试探电荷有多少”的影响。为了只留下位置的特征，定义
叫作该点的电势，单位是伏特，符号为 ，且
定义中 要连同正负号代入。电势是标量，它的正负只表示该点相对零电势位置偏高还是偏低，不表示方向。对已经确定的电场和零电势参考，某点的电势与放不放试探电荷、放正电荷还是负电荷无关。
把定义式改写，就得到
这条式子藏着一个很会骗人的符号规律：正电荷 ，电势越高，电势能越大；负电荷 ，电势越高，电势能反而越小。在交互中改变 和 ，乘积跨过零点时，这种差别会直接显现出来。
例如， 点电势为 ， 点电势为 ，把电荷量为 的电荷分别放在两点，哪一点的电势能更大？在 点，；在 点，，所以 点的电势能更大。
你可能会被“ 点电势高”带着走，凭直觉把 点的电势能也判得更大。可 的确小于 ，负电荷恰好把高低关系反了过来。把 连同符号代入并比较最终数值，比背一句“高电势对应高电势能”可靠得多。
零电势参考与电势的相对性
说一栋楼的某层“高度为零”，必须先讲以哪里为参考。电势和电势能也有这种相对性。通常在孤立点电荷问题中选无穷远处电势为零；研究与大地相连的导体时，常取大地电势为零。题目也可以另选方便的位置，只要从头到尾保持一致。
选择不同零点后，各点电势会整体平移，同一电荷在各点的电势能也随之改变；但两点间的电势高低次序、静电力从一处移到另一处所做的功，以及电势能的变化量都不会被“改参考”改变。零点只是记账起点，不是开关，更不会把原电场重新布置一遍。
有一个常用的能量单位叫电子伏特，符号是 。它表示一个元电荷经过 的电势变化所对应的能量尺度：
电子伏特是能量单位，不是电势单位，也不是电荷量单位。
若把零电势点从 改到 ，原来 点的电势甚至可能由正变负。这是否说明放在 点的正电荷突然释放了能量？当然不会：电荷没有位移，静电力没有经历做功过程，能量转化也没有发生，变化的只是记账参考。
因此，更换零点时必须把所有位置放进同一套新参考中统一换算。只改某一点，或者把“电势数值改变”误判成“发生能量变化”，都会把参考量和真实物理过程混在一起。
既然空间中每一点都有一个电势数值，我们自然可以把电势相同的点连起来。地图用等高线展示地势，电场也有自己的“等高线”。
等势面的定义与性质
电场中电势相等的各点组成的面，叫作等势面；在平面图上看到的通常是等势面与该平面的交线，常简称等势线。沿同一等势面移动电荷，初末电势相同，电势能变化为零，因此静电力做功为零。
为什么等势面必与电场线垂直？假设两者不垂直，静电力就会在等势面的切向上有分量。电荷沿面移动时，这个分量会做功，电势能随之改变，那些点便不可能保持相同电势。这个反证把“垂直”从一条硬记结论变成了必然结果。
沿电场线方向移动正电荷，静电力做正功，正电荷的电势能降低；除以正的电荷量后可知，沿电场线方向电势逐渐降低。因此电场线总从高电势等势面指向低电势等势面。
“电势降低的方向”有很多，只有电势降低得最快的局部方向才是电场方向。沿某个斜方向也可能电势降低，但不能因此断言那就是电场线方向。
若画的是相邻电势差相等的一组等势面，它们越密，说明相同空间距离内电势变化越快，电场通常越强；越疏，电场通常越弱。比较疏密前一定先确认“相邻等势面的电势差相等”，否则图画得密不等于物理上场更强。
在下面切换不同场源，再移动探针。特别观察两个问题：等势线与电场线怎样相交？电势为零的位置，场强是否也必为零？
常见电场的等势面分布
匀强电场
电场线是一组等距平行直线，等势面是一组与电场线垂直的平行平面。若取相等的电势间隔，等势面也等距。这里“匀强”同时意味着场强大小和方向处处相同。
孤立点电荷
以点电荷为球心、半径相同的球面上，各点到场源电荷距离相同，电势相同，所以等势面是一族同心球面。在平面图上，它们表现为同心圆。若取无穷远处为零电势，正点电荷周围电势为正，越靠近电荷电势越高；负点电荷周围电势为负，越靠近电荷电势越低。
在这个参考下，点电荷 距离为 处的电势可写成
这里 要带正负号， 是距离，只取正值。这个式子只直接描述点电荷产生的电势；若场源有多个点电荷，就分别计算后作代数和。例如某点到 的距离为 、到 的距离为 ，则
结果为负只说明该点低于所选零电势，并不表示这里“没有电场”或“电场方向为负”。
两个点电荷
电势是标量，多场源共同存在时，某点的总电势按各场源单独产生的电势作代数相加。这和场强的矢量叠加完全不同：电势不用画平行四边形，只要连同正负号相加。
对等量异种点电荷，连线的中垂面上到两电荷距离相等，正、负电荷贡献的电势恰好抵消，所以这个面电势为零；但两处场强在中垂面上的某些分量会相加，因此那里一般不是零场强面。对两个等量正点电荷，中点的场强因方向相反而为零，电势却是两个正值之和，并不为零。
还有一个生活中常见的等势体：处于静电平衡的导体。导体内部场强为零，导体是等势体，表面也是等势面。可“表面是等势面”不等于“表面附近场强为零”；电场线可以垂直于导体表面，且不同位置的场强大小还可能不同。这再次说明，同电势与同场强不是一回事。
与 没有必然联系； 大与 高也没有简单的正比关系。场强描述电场对正试探电荷的力作用，电势描述单位正电荷对应的电势能，它们回答的是不同问题。
两个等量正点电荷连线的中点，场强和电势会不会一起变成零？同种正电荷在中点产生的场强大小相等、方向相反，所以场强为零；若取无穷远为零电势，两份正电势却会直接相加，结果仍大于零。等量异种电荷正好相反：中点电势为零，场强却沿两电荷连线由正电荷指向负电荷，并不为零。
“对称抵消”必须说清抵消的究竟是什么。场强是矢量，要比较方向；电势是标量，要连同正负号代数相加。只凭图形对称就同时写出 、，等于把两种运算规则揉成了一种。
等势图中的电场与能量判断
面对弯曲等势线和粒子轨迹，同时猜电场、受力、功和能量，很容易让某一个负号拖错全局。图上若标有电势数值，等势线的身份和高低关系已经给出了最可靠的入口。研究点处的电场沿等势线法线，并指向电势降低的一侧；正电荷所受静电力与电场同向，负电荷所受静电力与电场反向。只有粒子仅受静电力作用时，才能由轨迹凹侧判断静电力方向；若粒子还受到重力等其他力，轨迹的凹向反映的是合力的法向分量，不能直接当作静电力方向。
图中的蓝线附有 、 等数值，因此它们是等势线而不是电场线。在 、 等具体位置，只需作对应等势线的局部法线，不要拿整条弯线的大致朝向替代局部方向。比较粒子初末位置时，可以直接用 ；也可以判断静电力做功，再由 得出能量变化。两种分析若结论相反，就说明电荷符号、方向或功的正负至少有一处出了问题。
下面的关卡会依次改变等势线数值和试探电荷符号。提交判断后，可以对照电场方向、静电力做功和电势能变化之间是否互相吻合。
三个核心量由此各归其位： 属于电荷—电场系统并随 改变； 是电场中位置的标量属性；等势面则把相同 的位置组织成一张地图。电势描述的是单个位置，可实际问题常需要比较两个位置究竟“差多少”。这种差别怎样定量描述，又怎样与电场强度的空间变化相连，正是下一章要解决的问题。
课后练习
1
在静电场中，将同一试探电荷从A点移到B点，分别沿路径Ⅰ和路径Ⅱ运动。下列说法正确的是（ ）
2
某电荷从A点移到B点，静电力做功为-4 J，则该过程中电势能的变化量为（ ）
3
关于电势和电势能，下列说法正确的是（ ）
4
A、B两点电势分别为4 V和-2 V。电荷量为-2 C的电荷在两点的电势能大小关系为（ ）
5
更换零电势点后，各点的电势可能改变，但任意两点之间静电力做功不变。
6
关于等势面，下列说法正确的是（ ）
7
某点电势为零，则该点电场强度也一定为零。
8
取无穷远处电势为零，两个等量正点电荷连线中点O处（ ）
9
电荷量为+5×10^-6 C的电荷位于电势为2×10^3 V处，其电势能为 ____ J。
10
一负电荷从高电势点A移到低电势点B，下列判断正确的是（ ）
11
一个电子经历的能量变化为3 eV，换算为焦耳约为 ____ J（取e=1.60×10^-19 C）。