第5章　电容器、电容与动态分析

照相机闪光灯（或手机相机闪光）只亮一瞬，自动体外除颤器则能在很短时间内释放较多电能。它们内部都有一种看起来很朴素的元件：两片彼此绝缘的导体。导线被绝缘层隔开，电荷明明不能直接从一片跑到另一片，这个元件怎么还能“装下”电荷，又为什么能在外电路中形成短暂电流？

绝缘层没有导电，电容器为什么能“充上电”？

把两块金属板分别接到直流电源两端。刚接通时，导线中有电流；过一会儿，电流却逐渐减小到零。拆掉电源，再用导线把两块板接到小灯泡两端，灯泡可能短暂发光。你可能会这样想：既然两板之间绝缘，充电时的电流一定穿过了绝缘层吧？可如果绝缘层真让电荷不断穿过，稳定后电流就不该消失。同一组金属板只因连接方式改变就出现不同现象，这已经提醒我们：先弄清电荷有没有进出极板的通路，才能判断后面的电荷量、电压和电场。

真正发生的事在外电路里：电源把电子从一块板搬到另一块板，使两板分别积累等量异号电荷。绝缘间隔阻止它们直接中和，电场和能量则建立在两板之间。

这也说明，电容器储存电荷并不要求电荷穿过绝缘层。两个彼此绝缘、又相距很近的导体，就组成一个电容器。导体不一定非得是平板，也可以是圆筒、球壳或其他形状。常见示意图画成两块平行金属板，只是因为这种结构容易研究。

电容器充电后，一块极板带电荷量 $+Q$，另一块带 $-Q$。我们说“电容器所带的电荷量为 $Q$”，指的是任意一个极板所带电荷量的绝对值，不是两板电荷量的代数和，也不是绝对值相加后的 $2Q$。

充电是使电容器两极板积累等量异号电荷的过程。充电时，传统电流沿外电路从电源正极流向电容器正极板，并从另一极板流向电源负极；电荷并没有穿过理想绝缘介质。充电完成后，理想直流电路中的电流为零，电容器两端电压与所接电源电压相等，能量储存在电场中。

放电是让两极板的异号电荷通过外电路逐渐中和的过程。放电电流方向与充电电流方向相反，储存的电场能转化为电阻的内能、灯泡的光能等其他形式的能。

电流回到零，极板并没有“空”

注意，这是个陷阱：充电结束后电流为零，只说明单位时间内不再有净电荷沿外电路迁移，不能推出极板电荷量为零。恰恰相反，此时两板已经积累稳定的异号电荷，板间存在电势差和电场。

另一个常见误解是把“电容器所带电荷量”理解成两板电荷量的代数和。理想情况下两板的代数和确实是零，可电容器显然已经充了电，所以定义必须取一个极板电荷量的绝对值。

断开电源，不等于给电容器放电

设一个理想电容器接在直流电源两端并充分充电，然后断开与电源的连接，同时保持两极板和外部导线绝缘。外电路电流当然为零，但极板电荷量会不会也立刻归零？先盯住电荷有没有离开极板的通路，别把“断开”自动翻译成“放完了”。

没有新的导电通路，理想电容器所带电荷量就保持不变；只有再用电阻连接两板，才真正形成放电通路，电荷量逐渐减小，电流方向与充电时相反。在复习题中，一看到开关断开就写 $Q=0$ 是典型错误。判断的落脚点应当是：有没有允许电荷离开极板的闭合通路？

到这里，电容器“怎样带电”已经清楚了，可“能带多少电”仍没有答案。两只电容器都接到 $6\ \text{V}$ 电源上，极板电荷量可能相差很大；要比较这种差别，就需要电容这个物理量。

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电容：同样的电压，谁能带更多电荷？

甲电容器带 $20\ \mu\text{C}$ 电荷，乙电容器带 $30\ \mu\text{C}$ 电荷。能不能立刻说乙的储存电荷本领更强？还不能。假如甲只用了 $2\ \text{V}$，乙却用了 $10\ \text{V}$，两者承受的“推动电荷分离的条件”不同，单看 $Q$ 就像只比较装了多少水，却不问容器被压到了多高的水压。

真正可比的是单位电压对应的电荷量。对一个确定的线性电容器，在正常工作范围内，两极板间电势差 $U$ 增大时，所带电荷量 $Q$ 按相同比例增大。比值

$$C=\frac{Q}{U}$$

保持不变，这个比值叫作电容器的电容。电容 $C$ 表示电容器储存电荷的本领：在相同电压下，$C$ 越大，电容器所带电荷量越大。

电容的国际单位是法拉，简称法，符号为 $\text{F}$。法拉是很大的单位，实际中常见微法和皮法：

$$1\ \text{F}=10^6\ \mu\text{F}=10^{12}\ \text{pF}$$

也就是说，$1\ \mu\text{F}=10^{-6}\ \text{F}$，$1\ \text{pF}=10^{-12}\ \text{F}$。单位换算时，前缀差几个数量级，结果就会差几个数量级。

在 $Q-U$ 图像中，横轴取 $U$、纵轴取 $Q$ 时，直线斜率 $\Delta Q/\Delta U$ 就是电容 $C$。斜率越大，表示同样增加一点电压时可以增加更多电荷，储存电荷的本领越强。

定义式不会让电容跟着 $Q$、$U$ 变化

你可能会把 $C=Q/U$ 读成“$Q$ 越大，$C$ 越大；$U$ 越大，$C$ 越小”。这恰好把定义式看成了决定式。这个式子用来定义和测量电容，不是说改变工作状态就能改变电容。一个确定的电容器，在没有改变结构、介质且未超出正常工作范围时，$Q$ 与 $$ 同比例变化，比值 不变。

电容器外壳标注的额定电压或耐压值也不能忽略。超过允许电压，介质可能被击穿，电容器会失效甚至损坏。“电容越大”只描述储存电荷的本领，不等于“可以承受的电压越高”。

一只 $4\ \mu\text{F}$ 电容器接到 $6\ \text{V}$ 电源

先自己判断两个问题：这只电容器充分充电后，一个极板所带电荷量的绝对值是多少？如果把电源电压减为 $3\ \text{V}$，它的电容会不会也减半？先别让公式替你抢答，分清题目问的是电荷量，还是电容器本身的性质。

电荷量由 $Q=CU$ 得

$$Q=4\ \mu\text{F}\times6\ \text{V}=24\ \mu\text{C}$$

若电压降到 $3\ \text{V}$，所带电荷量降为 $12\ \mu\text{C}$，但电容仍为 $4\ \mu\text{F}$。这里变化的是工作状态，不是电容器的储存本领。复习时看到 $C=Q/U$，要先问“电容器本身是否改变”；把 $C$ 当成随 $$、变化的量，是概念判断题中最常见的失分原因之一。

那么，什么才算“电容器本身改变”？极板的几何关系和板间介质都会算。平行板电容器把这些结构因素写进了一条清楚的决定式。

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平行板电容器：结构怎样决定电容？

一只已经装好的平行板电容器，极板材料没换，电路也没动。只把两块板稍微拉远，电容却变小；让两板正对得更多，电容又变大；插入玻璃后，电容还会继续增大。这说明“电容器本身”不是只指材料名称，而是包括极板的几何关系和板间介质。

在极板面积较大、板间距远小于极板线度，并忽略边缘效应的近似下，结构与电容的关系为

$$C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{d}$$

其中 $S$ 是两极板的正对面积，$d$ 是板间距离，$\varepsilon_r$ 是板间介质的相对介电常数，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。若用静电力常量 $k$ 表示，也可写成

$$C=\frac{\varepsilon_r S}{4\pi k d}$$

所以，正对面积越大、相对介电常数越大，电容越大；板间距离越大，电容越小。这里说的是“正对面积”，两块板各自面积没变但相互错开时，$S$ 仍会减小。

连接状态决定谁能保持不变

结构变化只是第一层。若还要判断电荷量 $Q$、电压 $U$ 和板间场强 $E$，首先要看电容器是否仍与电源相连。

情形一：电容器始终与理想电源相连。电源把两板电势差钳在恒定值，所以 $U$ 不变。先由结构判断 $C$，再由 $Q=CU$ 判断 $Q$，最后由 $E=U/d$ 判断场强。

情形二：电容器充电后与外电路断开。两板没有电荷进出的通路，所以 $Q$ 不变。先判断 $C$，再由 $U=Q/C$ 判断 $U$，最后由 $E=U/d$ 判断场强。把决定式代入还能得到

$$E=\frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon_r S}$$

因此，在 $Q$、$S$、$\varepsilon_r$ 都不变时，只改变板间距 $d$，板间场强 $E$ 不变。这条结论看起来反直觉，却正是动态分析里最容易卡壳的一步。

为什么只改板间距，场强有时不变？

$E=U/d$ 很容易让人只盯住分母 $d$，却忘了 $U$ 也可能随结构变化。始终接电源时 $U$ 不变，增大 $d$ 才会让 $E$ 减小；断开电源且 $Q$ 不变时，增大 会使 同比例增大，二者相除后 保持不变。

插入充满板间的电介质也要看边界。始终接电源时，$\varepsilon_r$ 增大使 $C$、$Q$ 增大，而 $U$、$d$ 不变，所以 $E$ 不变；断开电源时，$$ 不变， 增大， 和 都减小。

若题目还问某固定点的电势，必须先找零电势参考点。接地极板的电势取零，在匀强电场中再按该点到接地板的距离求电势差。只说“场强不变”，还不足以判断一个跟着极板移动的点或固定点电势是否变化。

两只电容器一起拉开极板，变化会相同吗？

两只初始参数相同的平行板电容器，第一只始终接在电源上，第二只充分充电后与电源断开。保持 $S$ 和介质不变，同时把它们的板间距 $d$ 变为原来的 $2$ 倍。请先判断两只电容器的 $C$、$Q$、$U$ 和 $E$ 各怎样变化；尤其别急着从 $E=U\mathrm{/}$ 直接下结论。

先处理共同的结构变化：由 $C\propto1/d$，两只电容器都有 $C'=C/2$。接下来，连接状态才让推理分开。

始终接电源的第一只中，$U'=U$，于是 $Q'=C'U'=Q/2$；又因 。断开电源的第二只中，，于是 ；再由 。

这类动态分析题通常要求先写出不变量和电容决定式。直接报结论却不说明接电源还是断开，既难检查推理，也容易误用 $E=U/d$。草稿上依次写“边界量、$C$、$Q/U$、$E$”，比背整张变化表更稳。

同一条分析链也能服务真实测量：让压力、位移或液位改变 $d$、$S$ 或 $\varepsilon_r$，电容便会随之变化；电路再把这份变化转换成可读出的电信号。

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电容式传感器：外界变化怎样成为电信号？

站上电子秤时，内部弹性结构发生微小形变。如果其中两片导体的距离随压力改变，它们的电容就会改变。电路测到的不是“压力本人”，而是电容这个中间量。类似地，滑片移动可以改变正对面积，液体上升可以改变板间有效介质。

电容式传感器常利用三条路径：压力使极板间距 $d$ 改变；位移使正对面积 $S$ 改变；液位或材料进入板间区域，使有效介质和相对介电常数发生变化。判断时不要先猜输出增大还是减小，而要先找“究竟是哪一个结构量在变”。

压力越大，输出一定怎样变吗？

你可能会看到“压力变大”就直接写“电容变大”。这还缺一步：压力究竟使 $d$ 变小，还是让正对面积、介质发生了别的变化？只有读清结构图，才能把外界量映射到 $S$、$d$ 或 $\varepsilon_r$。若采用“电容器充电后与电源断开、所带电荷量 $Q$ 不变、以极板电压 $U$ 为输出量”的模型，并保持 和介质不变，则 。这时弹性结构在大压力下逐渐变硬，使 仍在减小但减小得越来越慢，才可推出 也随压力增大而减小得越来越慢。

断开电源后插入玻璃，谁保持不变？

设平行板电容器充电后与电源断开，保持 $S$、$d$ 不变，再让玻璃充满板间。连接状态直接给出 $Q$ 不变；$\varepsilon_r$ 增大使 $C$ 增大，由 $U=Q/C$ 可知 减小， 不变时 也减小。

这里最容易漏掉的不是某个箭头，而是第一句“$Q$ 不变”。若题目继续追问电势、电势能或静电计偏角，也应从已经得到的 $U$、$E$ 往下推，而不是另起一套猜测。

传感器把外界量变成电容变化；反过来，我们还能借助电流和电压的变化观察电容器本身的充放电过程。尤其是 $I-t$ 曲线下方的面积，它记录了肉眼看不见的电荷转移。

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充放电实验：电流表为什么只摆一下？

把单刀双掷开关拨到电源一侧，电流表指针迅速偏转，随后慢慢回零；拨到电阻一侧，指针反向偏转，再次回零。如果只看最后一刻，两次电流都是零，似乎什么都没发生。可两块极板的电荷量和电压已经经历了完整变化。

实验中应使用直流电源、电容器、保护电阻、单刀双掷开关以及电流或电压传感器。保护电阻能限制刚接通时的电流。充电开始时，电容器两端电压较小，电流较大；随着极板电荷积累，电容器电压升高，电流逐渐减小；充分充电后，电流趋近于零。

放电开始时，电容器两端电压较大，放电电流的绝对值较大；随后电荷量和电压不断减小，电流也逐渐趋近于零。充、放电电流方向相反，因此若传感器规定同一正方向，两条 $I-t$ 曲线会落在时间轴两侧。

电流定义为单位时间内通过导体横截面的电荷量。对变化电流，可以把过程分成许多很短的时间段，每段转移的电荷量近似为 $I_i\Delta t$，再把它们相加：

$$\Delta Q\approx\sum_i I_i\Delta t$$

时间段分得越细，这个和就越接近真实转移电荷量。在 $I-t$ 图像中，它对应图线与时间轴围成的有向面积。只求转移电荷量的大小时取面积绝对值。若电容器从电压 $U_0$ 放到零，总放电荷量为 $Q_0=CU_0$；若放到某一时刻电压为 ，已经释放的电荷量为 ，剩余电荷量为 。

面积估算要服从曲线形状

注意，电流在变化，不能拿初始电流直接乘整个时间。只有图线恰好可按三角形、梯形等近似时，才能用对应几何面积估算；数据精度要求较高时，应按网格分割、数值积分或传感器给出的面积处理。

实验连线时还要注意电容器额定电压；若使用有极性电容器，正负端不得反接。改变开关位置前要确认电路路径，避免把电源直接短路。实验结束后，应通过合适电阻放电，不用导线直接短接大电容器。

放电曲线面积达到四分之三时，还剩多少电压？

一只电容器从初始电压 $U_0$ 开始通过电阻放电。到某时刻，$I-t$ 图像从开始到该时刻的面积占整个放电曲线面积的 $3/4$。整个面积对应初始电荷量 $Q_0$，因此已经释放 ，极板上还剩 。电容器结构没有改变， 不变，所以此时电压为

$$U=\frac{Q_0/4}{C}=\frac{U_0}{4}$$

实验题中常见的错误，是把“已经释放的电荷”直接当成“剩余电荷”，或者把图线落在时间轴下方误解为电荷量为负。稳妥的写法是先用面积求 $\Delta Q$，再分清初始量、释放量与剩余量，最后代入 $Q=CU$。

现在，我们已经能从结构判断电容，从连接状态判断电荷量和电压，还能从充放电曲线读出电荷转移。下一章会把带电粒子放进电容器形成的匀强电场中，继续追问同一个 $U$ 或 $E$ 将怎样改变粒子的速度和轨迹。

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本章小结

电容器由两个彼此绝缘、相距很近的导体组成，所带电荷量指一个极板电荷量的绝对值。电容 $C=Q/U$ 描述储存电荷的本领，对确定电容器而言不由当前 $Q$、$U$ 决定。平行板电容器满足 $C=\varepsilon_0\varepsilon_rS/d$；动态分析先锁定“接电源时 不变”或“断开且绝缘时 不变”，再依次判断 、 和 。充放电过程中的电流逐渐趋近于零， 图像面积对应转移电荷量。

课后练习

1

某电容器两极板分别带+Q和−Q电荷，则电容器所带电荷量是

A.0B.QC.2QD.无法判断

2

在忽略边缘效应的平行板电容器模型中，能使电容增大的措施有

A.增大正对面积B.增大板间距C.插入相对介电常数更大的介质并充满板间D.只提高两板电压而不改变结构

提交

3

某电容器放电后Q和U都变为零，所以它的电容也变为零。

正确错误

4

0.020 μF等于 ____ pF。

提交

5

平行板电容器始终接在理想电源上，板间距变为原来的2倍，其他结构量不变，则板间场强变为

A.原来的2倍B.原来的1/2C.保持不变D.原来的1/4

6

平行板电容器充电后断开电源，保持板距和正对面积不变，再插入充满板间的电介质，则

A.电荷量不变B.电容增大C.电压减小D.场强增大

提交

7

电容器通过电阻放电时，关于电流—时间图像的说法正确的是

A.电流始终保持初始值B.图线与时间轴围成的面积表示转移电荷量C.放电电流方向与充电电流一定相同D.放电结束后电容自动变为零

第8题　电荷量计算

一只 $5.0\ \mu\text{F}$ 的电容器两端电压为 $12\ \text{V}$。求一个极板所带电荷量的绝对值。

展开第8题解析

由 $Q=CU$，得 $Q=5.0\ \mu\text{F}\times12\ \text{V}=60\ \mu\text{C}=6.0\times10^{-5}\ \text{C}$。这里的结果是一个极板电荷量的绝对值。

第9题　接电源时的组合变化

平行板电容器始终接在电压为 $U$ 的理想电源上。把两板正对面积变为原来的一半，同时把板间距变为原来的 $2$ 倍，介质不变。求 $C$、$Q$、$E$ 各变为原来的多少。

展开第9题解析

由 $C\propto S/d$，有 $C'=C/4$。始终接电源，所以 $U'=U$，于是 。板间距变为 ，所以 。

第10题　断开电源后的板距变化

一平行板电容器充电后断开电源，保持正对面积和介质不变，把板间距减为原来的一半。判断 $C$、$Q$、$U$、$E$ 的变化比例。

展开第10题解析

$d'=d/2$，所以 $C'=2C$。断开且绝缘，$Q'=Q$；由 得 ；再由 。板距变小并未使此条件下的场强变大。

第11题　由放电曲线面积估算电容

电容器初始电压为 $6.0\ \text{V}$，放电 $I-t$ 曲线可近似看成底为 $3.0\ \text{s}$、高为 $4.0\ \text{mA}$ 的三角形，之后电流可忽略。估算电容器的电容。

展开第11题解析

总放电荷量等于三角形面积：$Q=\frac12\times3.0\ \text{s}\times4.0\ \text{mA}=6.0\ \text{mC}$。由 $C=Q\mathrm{/}{U}_{}$，得 。

第12题　接地极板与固定点电势

水平平行板电容器的上板带正电，下板接地。板间场强大小为 $300\ \text{V/m}$，方向竖直向下，固定点 $P$ 在下板上方 $2.0\ \text{cm}$。求 $P$ 点电势。若电容器已经与电源断开，保持上板电荷量、正对面积和介质不变，只把上板向上移动，$P$ 点电势怎样变化？忽略边缘效应。

展开第12题解析

下板接地，电势为零。沿电场方向电势降低，所以 $P$ 点比下板电势高，$\varphi_P=Ex=300\times0.020\ \text{V}=6.0\ \text{V}$。断开电源后 $Q$ 不变，且 、介质不变，只改板距时 不变； 到接地下板的距离也不变，因此 点电势仍为 。