第 11 章　闭合电路欧姆定律与能源

一节新电池接上小灯泡，灯丝亮得很稳；换成老电池，灯却发暗。你拿电压表一量，老电池没接灯泡时明明也接近 $1.5\ \text{V}$，怎么一接负载，电压就掉下来了？

你可能会这样想：电池标着多少伏，接到电路里就应该一直是多少伏。可如果真是这样，旧电池和新电池带同一个灯泡就不该有明显区别。问题出在一个常被忽略的地方：电流不只流过灯泡和导线，也要流过电源内部。电源一边把其他形式的能转化为电能，一边也会因自身内阻损耗能量。

要解释这种“带上负载就掉压”的现象，不能只盯着灯泡。我们要从电源内部的能量转换出发，建立电动势和内阻模型，再把路端电压、功率效率、短路安全与能源利用接到同一条物理链上。

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一、电源的能量转换与电动势

1. 持续电流的能量从哪里来

在外电路中，正电荷沿电场方向从电源正极移向负极，电势能降低，电能转化为灯泡的光能和内能。可电荷到达负极后，如果没有别的作用把它重新送回正极，这一轮流动很快就会结束。

电源内部恰好承担了这件事。化学电池靠化学作用，发电机靠机械作用，太阳能电池靠光电转换，把正电荷从低电势处“搬回”高电势处。从能量角度说，电源不是凭空制造电荷，而是把化学能、机械能、光能等转化为电能。

这里把电源内部克服静电力、推动电荷定向移动的作用统称为非静电力。非静电力对电荷做功，正是电荷在电源内部电势能增加的来源。

2. 用单位电荷获得的能量刻画电源

同一个电源搬运的电荷越多，非静电力做的总功自然越多。直接拿总功比较电源本领并不公平，所以要比较“每搬运单位正电荷，电源能提供多少能量”。于是定义电源的电动势

$$E=\frac{W_{\text{非}}}{q}$$

$W_{\text{非}}$ 是非静电力把正电荷从负极经电源内部移到正极所做的功，$q$ 是被搬运的电荷量。因为 $1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$，电动势的单位也是伏特。

注意，这是第一个陷阱：电动势不是力。名字里虽然有“势”，它描述的仍是电源把其他形式能转化为电能的本领；数值上等于非静电力对单位电荷所做的功。

也不要因为它与电压单位相同，就把二者当成同一个量。电动势描述电源自身的能量转化特性；路端电压描述电源两端在某一工作状态下的电势差。一个近似稳定的电源接上不同负载，$E$ 可以不变，路端电压 $U$ 却会改变。

在下面的能量循环中，让单位正电荷沿完整回路走一圈：外电路消耗电势能，电源内部再由非静电力补回能量。切换不同电源时，改变的是输入能量的来源，不变的是电动势“单位电荷获得多少能量”的含义。

3. 实际电源还包含内阻

真实电源内部的电解质、电极和连接结构都会阻碍电流。用一个理想电动势 $E$ 与一个内阻 $r$ 串联，可以建立最简单的实际电源模型。电流流过内阻时，电源内部产生焦耳热，内电压为

$$U_{\text{内}}=Ir$$

外电路两端的电压，也就是通常说的路端电压，记为 $U$。放电时，电源每搬运电荷提供的能量，一部分交给外电路，一部分消耗在电源内部。因此负载一接上，电流越大，内部每库仑电荷对应的损耗 $Ir$ 越大，路端电压就越可能低于电动势。

用一个小计算检验定义是否真的想清楚：某电池的电动势为 $1.5\ \text{V}$。它把 $2\ \text{C}$ 正电荷从负极经内部移到正极，非静电力做功是多少？

这里的关键不是背一个乘法式，而是读懂单位：每库仑获得 $1.5\ \text{J}$，现在共有 $2\ \text{C}$ 电荷被搬运。

由 $W_{\text{非}}=Eq$ 得

$$W_{\text{非}}=1.5\times2\ \text{J}=3.0\ \text{J}$$

所以 $3.0\ \text{J}$ 才是这次搬运过程的总功。电动势本身仍是每单位电荷对应的能量；若把“每库仑”漏掉，就会把 $1.5\ \text{J}$ 误当成总功。

电动势告诉我们电源能给单位电荷补充多少能量，内阻告诉我们电荷穿过电源内部时会损失多少。接上外电路后，这两项怎样共同决定电流和路端电压，就要把能量账沿整个闭合回路算一遍。

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二、闭合电路欧姆定律

1. 内外电路的电压关系

设在时间 $t$ 内有电荷量 $q=It$ 通过电路。电源中非静电力做功

$$W_{\text{非}}=Eq=EIt$$

若外电路得到的电能为 $UIt$，电源内阻产生的焦耳热为 $I^2rt$，能量守恒给出

$$EIt=UIt+I^2rt$$

当 $I\ne0$、$t\ne0$ 时，两边同除以 $It$，得到

$$E=U+Ir$$

也就是

$$U=E-Ir$$

这两式揭开了“接上灯泡后电压下降”的原因：电动势 $E$ 没有凭空减少，是电源内部出现了电压降 $Ir$，留给外电路的路端电压只剩 $E-Ir$。

2. 总电流由 $E$、$R$ 和 $r$ 共同决定

若外电路可等效为纯电阻 $R$，满足 $U=IR$，把它代入 $E=U+Ir$，有

$$E=IR+Ir=I(R+r)$$

于是

$$I=\frac{E}{R+r}$$

这就是闭合电路欧姆定律：闭合电路中的电流跟电源电动势成正比，跟内、外电路电阻之和成反比。与部分电路的 $I=U/R$ 相比，它把电源内阻也纳入了总账。

3. 从总电流回到各部分电压

某电源电动势 $E=6.0\ \text{V}$，内阻 $r=1.0\ \Omega$，外接纯电阻 $R=5.0\ \Omega$。闭合开关后

$$I=\frac{E}{R+r}=\frac{6.0}{5.0+1.0}\ \text{A}=1.0\ \text{A}$$

外电阻两端电压为

$$U=IR=1.0\times5.0\ \text{V}=5.0\ \text{V}$$

内电压为

$$U_{\text{内}}=Ir=1.0\times1.0\ \text{V}=1.0\ \text{V}$$

最后用 $E=U+U_{\text{内}}$ 核对：$6.0\ \text{V}=5.0\ \text{V}+1.0\ \text{V}$。这种回代不是多余步骤，它能迅速抓住“漏掉内阻”或“把端电压当电动势”的错误。

下面的交互把同一笔能量账拆成可见的三部分。改变外电阻时，先看总电流，再看 $Ir$ 与 $U$ 怎样此消彼长。

你可以把求解顺序压缩成一条链：先等效外电路 $R$，再由全电路求干路电流 $I$，最后回到各部分电路求电压和支路电流。先在局部电路里乱套公式，往往会把未知的路端电压误当成已知量。

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三、路端电压的变化规律与 $U-I$ 图像

1. 外电阻一变，路端电压为什么跟着变

仍考虑 $E$、$r$ 近似不变的纯电阻外电路。增大外电阻 $R$ 时，总电阻 $R+r$ 增大，电流 $I$ 减小；内电压 $Ir$ 随之减小，所以

$$U=E-Ir$$

反而增大。减小 $R$ 时，电流增大，内电压增大，路端电压减小。

你可能会觉得：“电阻变大，电压应该变小才对。”这句话只适合某些电压已经固定的局部情境。在含内阻电源的闭合电路中，路端电压本身会随总电流变化。先用全电路判断干路电流，再用 $U=E-Ir$ 判断端电压，逻辑顺序不能倒过来。

若某一支路阻值变化，还要先判断外电路等效电阻怎样变化。并联支路增加通常使外电路等效电阻减小，干路电流增大，路端电压下降；至于某个支路的电流和功率，还要回到具体串并联关系继续判断，不能只凭“总电流增大”一口咬定所有灯都更亮。

2. 电源的 $U-I$ 图像是一条怎样的线

把 $U=E-Ir$ 写成纵轴 $U$、横轴 $I$ 的关系，它是一条向右下方倾斜的直线：

• 纵轴截距是 $E$，对应 $I=0$ 时的开路极限；
• 图线斜率为 $-r$，斜率绝对值是内阻；
• 直线延长到 $U=0$ 时，横轴截距为 $E/r$，对应线性模型下的短路电流；
• 图线上某一点的坐标 $(I$，表示电源在某个负载下的工作状态。

由图线上两点求内阻时，应写

$$r=\left|\frac{\Delta U}{\Delta I}\right|$$

注意，这是个陷阱：若坐标轴没有从零开始，图框与横轴的交点不一定是短路电流；要依据图线方程或把直线正确延长到 $U=0$。同样，斜率是 $\Delta U/\Delta I$，不能偷换成某个工作点的 $U/I$。后者表示该工作状态下外电路的等效电阻，而不是电源内阻。

3. 开路时的端电压为何近似等于电动势

理想开路状态可看成 $R\to\infty$。此时 $I\to0$，内电压 $Ir\to0$，于是

$$U\to E$$

所以用内阻很大的电压表测未接负载电池两端电压，读数常可近似看作电动势。但“近似”不能丢：真实电压表仍有有限内阻，会有极小电流；真实电源还可能受极化、温度和荷电状态影响。

反过来，正常放电且 $I>0$ 时，$U=E-Ir<E$。如果以后研究给可充电电池充电，能量流向和端电压关系会改变，不能机械照搬本章的放电结论。

4. 把三种变化串成一条因果链

某电源的 $E$、$r$ 不变，外电路只有一个可变纯电阻。把 $R$ 调大，总电流 $I$、路端电压 $U$、电源内耗功率 $P_{\text{内}}$ 会怎样变化？

不妨沿着因果链检查：先看 $R+r$，再由 $I=E/(R+r)$ 得到电流，最后把 $I$ 分别代入 $U=E-Ir$ 与 。

于是 $I$ 减小，$U$ 增大，$P_{\text{内}}$ 减小。容易出错的地方在于把 $U$ 想成固定电压，只说完“$R$ 大，电流小”就停下；其实路端电压正因为内压降减少而上升。

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四、电源的功率分配与效率

1. 电源提供的功率去了哪里

在稳定放电的闭合电路中，电源非静电力做功的功率是

$$P_{\text{总}}=EI$$

外电路得到的功率为

$$P_{\text{出}}=UI$$

电源内部因内阻产生的热功率为

$$P_{\text{内}}=I^2r$$

三者满足

$$P_{\text{总}}=P_{\text{出}}+P_{\text{内}}$$

如果外电路是纯电阻 $R$，还可写成

$$P_{\text{出}}=I^2R=\frac{E^2R}{(R+r)^2}$$

这套关系其实就是 $E=U+Ir$ 两边同乘电流 $I$。电压账、电能账和功率账并不是三套孤立公式，而是同一条能量守恒在不同时间尺度上的表达。

2. 输出功率什么时候最大

你可能会先猜：外电阻越小，电流越大，输出功率就越大。注意，这是个陷阱。$R$ 变小时电流确实增大，但外电阻本身也在变小；到了短路极限 $R\to0$，外电路输出功率 $I^2R$ 反而趋近于零，大量能量耗在电源内部。

把输出功率式变形：

$$P_{\text{出}}=\frac{E^2}{R+2r+\dfrac{r^2}{R}}$$

由

$$R+\frac{r^2}{R}\ge2r$$

可知，当且仅当 $R=r$ 时分母最小，输出功率最大：

$$P_{\text{出,max}}=\frac{E^2}{4r}$$

这个结论针对的是“固定电源给整个纯电阻外电路供能”。若题目问某个可变电阻的功率，而它之外还有串并联的固定电阻，就不能直接把“可变电阻等于电源内阻”当答案，必须先明确哪个部分算负载。

3. 效率最高和功率最大不是一回事

电源的输出效率定义为

$$\eta=\frac{P_{\text{出}}}{P_{\text{总}}}=\frac{UI}{EI}=\frac{U}{E}$$

对纯电阻外电路，进一步有

$$\eta=\frac{R}{R+r}$$

当 $R=r$ 时，$\eta=50\%$。此时外电路获得的功率达到最大，但电源内部也消耗同样大的功率。继续增大 $R$，效率会升高，输出功率却从最大值下降；当 $R\to\infty$ 时效率趋近 $100\%$，但电流与输出功率都趋近于零，几乎没有实际供能。

所以工程选择不是追求一个孤立的“最大”。需要大功率时要考虑发热和散热，需要高效率时又必须保证输出功率够用。最大输出功率与最高效率回答的是两个不同问题。

把两个“最大”分清后，再看一个完整工作点：电源 $E=12\ \text{V}$、$r=3.0\ \Omega$，外接可变纯电阻。当输出功率最大时，$R$、$I$、$U$、$P_{\text{出}}$ 和效率分别是多少？

先不要只停在 $R=r$。这个状态还同时决定了电流、内外电压和两部分功率，正适合做一次完整核对。

4. 最大功率状态的完整核对

由最大功率条件，$R=r=3.0\ \Omega$。于是

$$I=\frac{E}{R+r}=\frac{12}{3.0+3.0}\ \text{A}=2.0\ \text{A}$$ $$U=IR=2.0\times3.0\ \text{V}=6.0\ \text{V}$$ $$P_{\text{出}}=UI=6.0\times2.0\ \text{W}=12\ \text{W}$$ $$\eta=\frac{U}{E}=\frac{6.0}{12}=50\%$$

再核对内部损耗：$P_{\text{内}}=I^2r=2.0^2\times3.0\ \text{W}=12\ \text{W}$，正好与输出功率相等。这说明 时不仅外电路输出功率最大，内外功率也恰好相等，效率为 。

放回高考复习语境，常见扣分原因不是不会写 $R=r$，而是没说明结论的对象和条件，或者把“输出功率最大”写成“效率最大”。写出“固定 $E$、$r$ 的电源，整个外电路为可变纯电阻”，适用边界才算交代完整。

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五、开路、短路与安全用电

1. 三种状态来自同一组方程

把三种状态放在 $I=E/(R+r)$ 与 $U=E-Ir$ 中比较：

短路时外电阻虽然接近零，但电流并非数学上的无穷大，因为内阻 $r$ 仍在限制电流。可一般电源内阻很小，$E/r$ 仍可能非常大，电源内部功率接近

$$P_{\text{内,短}}=I_{\text{短}}^2r=\frac{E^2}{r}$$

这会使电源和导线迅速发热，造成损坏、漏液、起火等危险。绝不能为了“验证公式”而直接短接电池。公式中的短路电流是理想线性模型的极限结果；真实电源大电流放电时，$E$、$r$ 和温度都可能变化。

在高考图像题里，常见失分点是把 $U-I$ 图线横截距直接当作可安全测量的短路电流。横截距只是模型外推值，解题时可读，实验中却不能把电源直接短路去测。科学计算和安全操作必须同时成立。

2. 家庭电路不能机械套用电池模型

家庭用电系统是交流供电，不能把直流电池的 $E$、$r$ 模型机械搬过去；但电流热效应和额定电流仍能解释许多安全规则。同一插座板同时接入多个大功率电器，总功率增大，线路电流随之增大，导线发热会明显加剧。保险丝或断路器要与线路允许电流相匹配，不能用更粗金属丝随意替代保险丝，也不能反复强行合上已经跳闸的开关。

遇到电器外壳异常带电、插座进水、焦糊味或线路起火，应先在确保自身安全的前提下切断电源并求助专业人员；不能用湿手触碰电器，不能带电拆线，更不能用水直接扑救尚未断电的电气火灾。高考生活情境题常把“节能”与“安全”混在一起：节能是在满足使用需求和安全条件下减少无效能耗，绝不是为了少用电而拆除保护装置。

图的上半部分强调安全边界，下半部分则提出了下一层问题：送到插座和用电器中的电能，最初究竟来自哪里？要回答它，必须从一只电池的内部能量转换走向更完整的能源链。

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六、能源转化与可持续利用

1. 两组能源分类不能混用

能源是能够提供可利用能量的资源。煤、石油、天然气、风能、太阳能等直接取自自然界，可按来源讨论为一次能源；电能通常由其他能源转化而来，是二次能源，也是便于输送和使用的能量载体。

“一次、二次”与“可再生、不可再生”是两组不同分类标准。太阳能、风能在自然过程中的补充速度足以支持持续利用，属于可再生能源；煤、石油和天然气形成极慢，属于不可再生能源。电能本身不能脱离发电来源被简单贴成“可再生”或“不可再生”：光伏发出的电与燃煤发出的电，在使用端都是电能，但上游资源与环境影响不同。

2. 能量守恒为什么仍要讲节能

能量守恒不表示能源可以无限使用。能量转化过程中总量不变，但可方便利用的高品质能量常会分散为环境中的内能，继续转化的难度增大。评价一种供能方案，至少要同时看有用输出、能量损耗、资源是否可持续以及对环境和安全的影响。

对一次能量转化过程，效率可写成

$$\eta=\frac{E_{\text{有用}}}{E_{\text{输入}}}\times100\%$$

若多个环节依次串联，总效率等于各环节效率的乘积。例如发电效率为 $40\%$、输配电效率为 $90\%$、用电设备把电能转为目标能量的效率为 $80\%$，总效率为

$$\eta_{\text{总}}=40\%\times90\%\times80\%=28.8\%$$

这说明减少每个环节的损耗，往往比只盯着终端设备更有效。下面的交互把能源来源、能量链和终端效率放在同一页比较，尤其要注意：电能是否来自可再生能源，要追溯它的上游来源。

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七、从电路中的能量走向电流的磁效应

到这里，闭合电路已经从“电流怎么流”升级为一张完整的能量地图：电源以电动势描述单位电荷获得的能量，内阻决定内部损耗，外电阻决定工作电流和端电压，功率与效率则告诉我们能量送得多快、损失多少。

但电流的作用还没有讲完。把小磁针放在通电导线旁，它会发生偏转；线圈中的电流变化，还可能让另一个线圈中出现电流。也就是说，电荷的定向移动不仅改变电路中的能量分配，还会在周围空间建立新的联系。下一章将从磁场、电磁感应和电磁波的入门现象出发，看看“电”怎样走向“磁”。

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课后练习

1. 电动势的含义

某电源的电动势为 $3.0\ \text{V}$。电源内部非静电力把 $5.0\ \text{C}$ 正电荷从负极移到正极，非静电力做功是多少？

显示答案

$W_{\text{非}}=Eq=3.0\times5.0\ \text{J}=15\ \text{J}$。电动势表示单位电荷获得的能量，不是本次过程的总功。

2. 闭合电路基本计算

电源电动势 $E=9.0\ \text{V}$，内阻 $r=1.0\ \Omega$，外接 $R=8.0\ \Omega$ 的纯电阻。求电流、路端电压和内电压。

显示答案

$I=E/(R+r)=9.0/(8.0+1.0)\ \text{A}=1.0\ \text{A}$；$U=IR=8.0\ \text{V}$；。核对得 。

3. 概念辨析

3

某电池在稳定放电时，随着外接纯电阻增大，下列说法正确的是

A.总电流增大，路端电压减小B.总电流减小，路端电压增大C.电动势随路端电压一起增大D.内耗功率增大

4. 从 $U-I$ 图像读参数

某电源的路端电压随电流变化满足：当 $I_1=0.20\ \text{A}$ 时 $U_1=1.40\ \text{V}$，当 $I_2=0.50\ \text{A}$ 时 。在 、 不变模型下，求内阻和电动势。

显示答案

$r=|\Delta U/\Delta I|=|1.25-1.40|/|0.50-0.20|\ \Omega=0.50\ \Omega$。再由 $E=U+Ir$，得 。

5. 图像陷阱

5

电源U-I图线上任一工作点的U/I都等于电源内阻。

正确错误

6. 电源功率账

某电源 $E=12\ \text{V}$、$r=2.0\ \Omega$，外接 $R=4.0\ \Omega$ 纯电阻。求电源总功率、输出功率、内耗功率和效率。

显示答案

$I=12/(4.0+2.0)\ \text{A}=2.0\ \text{A}$。$P_{\text{总}}=EI=24\ \text{W}$，，，。三项功率满足 。

7. 最大输出功率

电源电动势 $E=6.0\ \text{V}$、内阻 $r=1.5\ \Omega$，外电路只有一个可变纯电阻。外电阻取何值时输出功率最大？最大值是多少？

显示答案

当 $R=r=1.5\ \Omega$ 时，整个外电路得到的功率最大。$P_{\text{出,max}}=E^2/(4r)=6.0^2/(4\times1.5)\ \text{W}=6.0\ \text{W}$。

8. 最大功率与效率

8

对电动势E、内阻r保持不变且外电路为纯电阻R的模型，下列说法正确的是

A.R=r时输出功率最大B.R=r时效率为50%C.R越大输出功率一定越大D.效率趋近100%时输出功率也趋近最大

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9. 开路与短路

一电源的电动势为 $3.0\ \text{V}$，内阻为 $0.20\ \Omega$。在恒定参数模型中，求短路电流与短路时电源内部热功率，并说明为什么不能实际这样测量。

显示答案

$I_{\text{短}}=E/r=3.0/0.20\ \text{A}=15\ \text{A}$，$P_{\text{内,短}}=E^2/r=3.0^2/0.20\ \text{W}=45\ \text{W}$。大电流会使电源和导线迅速发热，且真实电源参数会改变，可能损坏甚至起火，因此短路只用于模型分析，不能直接操作。

10. 非纯电阻元件

一台小电动机两端电压为 $6.0\ \text{V}$，通过电流为 $1.0\ \text{A}$，线圈电阻为 $1.0\ \Omega$。求输入电功率、线圈热功率和理想情况下的机械输出功率。

显示答案

输入电功率 $P_{\text{入}}=UI=6.0\ \text{W}$；线圈热功率 $P_{\text{热}}=I^2R=1.0\ \text{W}$；若忽略其他损耗，机械输出功率 。电动机是非纯电阻元件，不能用 计算其总输入功率。

11. 能源分类

11

下列关于能源与电能的说法正确的是

A.电能通常属于二次能源B.电能一定属于可再生能源C.太阳能和风能属于可再生能源D.能量守恒说明煤炭可以无限使用

提交

12. 多环节效率

某供能系统经历三个连续环节，效率分别为 $50\%$、$80\%$ 和 $75\%$。若最初输入能量为 $2.0\times10^6\ \text{J}$，最终有用能量是多少？

显示答案

总效率 $\eta=0.50\times0.80\times0.75=0.30$，所以最终有用能量 $E_{\text{有用}}=0.30\times2.0\times10^6\ \text{J}=6.0\times10^5\ \text{J}$。

13. 动态电路综合

电源电动势和内阻不变，定值电阻 $R_0$ 与滑动变阻器 $R$ 串联接在电源两端。滑片移动使 $R$ 增大。判断电流、$R_0$ 两端电压、滑动变阻器两端电压和路端电压怎样变化。

显示答案

总电阻增大，干路电流减小；$R_0$ 两端电压 $U_0=IR_0$ 减小；路端电压 $U=E-I$ 增大；滑动变阻器两端电压 ，由于 增大而 减小，所以 增大。不能只用“串联电流相同”跳过路端电压的变化。

14. 综合能量账

某电池以恒定电流 $0.50\ \text{A}$ 放电 $10\ \text{min}$，电动势为 $1.5\ \text{V}$，路端电压为 $1.2\ \text{V}$。求这段时间内电源转化的总能量、外电路得到的能量和电源内部产生的热量。

显示答案

$t=600\ \text{s}$。总能量 $EIt=1.5\times0.50\times600\ \text{J}=450\ \text{J}$；外电路得到 $UIt=1.2\times0.50\times600\ \text{J}=360\ \text{J}$；内部产生热量 。核对得 。