第10章 电功、电热与电路功率
同一只插座，接上电水壶，几分钟就能把水烧开；接上风扇，风扇转了很久，外壳也只是微微发热；接上充电器，电池里储存的能量又变成了化学能。它们都在“用电”，电能最后去了哪里，却完全不同。
本章只研究用电器两端的能量账：电流做了多少功、做功有多快、产生了多少焦耳热，以及纯电阻和非纯电阻用电器为什么必须分开处理。电源电动势、内阻、路端电压和闭合电路的功率分配留到下一章；这里的电压 都是题目给出的用电器两端电压。
一、电流做功：电能怎样通过一段电路“交账”
电子移动得不快，能量为什么传得很快
一只电水壶接在稳定电压上工作。你当然知道它在消耗电能，可若只盯着导线里的电子，会发现电子的定向移动速度并不快。既然电子没有像快递车一样高速运送一包包“热量”，壶里的水为什么很快就热了？
问题的关键不在单个电子跑了多远，而在电路接通后电场迅速建立，并持续对通过用电器的电荷做功。用电器两端存在电势差，电荷通过其中时，电能便转化成内能、机械能或其他形式的能。要算这笔总账，可以先问“每库仑电荷对应多少功”，再数一共通过了多少电荷。
电势差 的物理意义是：单位正电荷从一端移到另一端时，电场力所做的功。若通过用电器的电荷量为 ，电流所做的功为
恒定电流中，时间 内通过横截面的电荷量 ，于是
这就是电功。它描述电能转化为其他形式能的多少，国际单位是焦耳，符号为 。式中 用伏特、 用安培、 用秒，结果就是焦耳。对于一段电压、电流保持不变的电路，无论它把电能转化成什么， 都能计算输入这段电路的电能。
家庭电费常用“千瓦时”计量，俗称“度”。它也是能量单位，不是功率单位：
电能表读数增加 ，表示用电器累计消耗了 电能。这里的“累计”很重要：它既取决于功率，也取决于使用时间。
三个量必须属于同一个研究对象
看起来只有一次乘法，真正容易错的是对象。式中的 、 必须对应同一个用电器或同一段电路；若把总电路电压和某个支路电流拼在一起，乘积通常没有你想要的物理意义。
第二个陷阱是单位。铭牌上若写的是千瓦，时间给的是小时，直接相乘得到千瓦时；若要得到焦耳，就必须先换成瓦和秒。不能因为字母都对，就忘了单位也参与运算。
第三个陷阱是把电功直接叫作“产生的热量”。电热器正常工作时这句话往往成立，可风扇还要转动、充电电池还要储存化学能。输入的电能是总账，焦耳热只是其中一项。
一只电水壶，两种能量单位
现在算一笔生活账：一只额定功率为 的电水壶正常工作 ，若只问它消耗的电能，不讨论水吸收了多少热量，结果是多少焦耳？又是多少千瓦时？
可以先在草稿上决定采用哪套单位。若用焦耳，就把 化为 ，消耗电能
若用千瓦时，则有 。两种结果相同，是对单位换算的一次交叉检验。
在复习题中，这类计算最常丢在单位换算和研究对象上：分钟没换秒，却写出焦耳；或者把“消耗的电能”误当成“水吸收的热量”，忽略壶体散热。题目只问输入电能时，用 ；若问水温变化，还要另列能量分配关系。
不过，同样消耗 电能，电水壶几分钟完成，小灯却可能亮几个小时。电功相同不代表用电状态相同，还需要一个量比较电流做功的快慢。
二、电功率：铭牌上的数字究竟承诺了什么
“瓦数大”不等于这次一定更费电
一只 的灯亮 ，一只 的电热器只开半小时。有人看到 就断言电热器一定更费电；另一个人盯着灯的使用时间，又说灯一定更费电。两个人都只看了能量账的一半：一个只看快慢，一个只看时间。
为了把“做了多少”和“做得多快”分开，物理上用功率描述单位时间内转化的电能。电流在一段电路中做功 ，所用时间为 ，平均电功率为
在电压和电流稳定时，代入 得
电功率表示电流做功的快慢，单位是瓦特。，意思是每秒转化 电能。功率越大，只说明单位时间转化的电能越多；总耗电量仍由 决定。
铭牌记录规定状态，不替代实际状态
用电器铭牌上的“额定电压”是它正常工作的规定电压，“额定功率”是它在额定电压下正常工作时的功率。用电器实际工作时，两端电压叫实际电压，对应的功率叫实际功率。额定值写在铭牌上，通常不随当时接入情况改变；实际值却由当时的工作状态决定。
你可能会这样想：“额定功率就是设备最大的功率。”这句话不够严谨。额定功率强调的是在规定条件下正常工作的功率，并不鼓励把实际电压抬高去追求更大功率；超过额定电压可能使设备过热、损坏。
“实际电压小于额定电压，所以实际功率一定按电压的一次方减小”也不对。任何用电器都可用 ，但电流怎样随电压改变，要看用电器自身特性。只有把用电器近似成阻值不变的纯电阻时，才能进一步得到 ，这时功率才与电压的平方成正比。
同样一度电，可以花得快，也可以花得慢
回头算前面的两个用电器： 灯工作 ， 电热器工作 。哪一个消耗的电能更多？
灯消耗 ；电热器消耗 。两者耗电量相同，但功率相差 倍，只是工作时间恰好按相反比例变化。这个结果正好说明：功率比较速率，电功比较累计总量，两者不能互相顶替。
在高考题里，“功率大”与“做功多”的偷换很常见。看到“更费电”，要追问比较的是相同时间还是一次完整使用；看到铭牌，要分清额定量和实际量。答题时写清 ，往往比只写一句“功率大所以费电”更能锁定给分点。
题目一会儿写 ，一会儿又写 或 。它们并不是三条彼此独立的规律：第一条适用范围最广，后两条要借助欧姆定律。先在下面的交互中切换元件类型，看看公式何时保持等价、何时必须停用。
三、焦耳定律：输入的电能有多少真正变成了热
为什么大电流格外容易把导线烧热
细铜线接大电流时会明显发热，电炉丝的电阻却比铜导线大得多，也能被烧得通红。电流产生的热量到底由电流决定，还是由电阻决定？如果只抓住其中一个量下结论，换一种连接方式，答案甚至可能反过来。
焦耳定律把电流、电阻和时间锁在同一条关系里：电流通过导体产生的热量，跟电流的二次方、导体电阻和通电时间成正比，
这就是焦耳定律，适用于任何电路中电热的计算。对应的热功率为
电流增为原来的 倍，而 、 不变时，热量变为原来的 倍；通电时间增为 倍，热量只变为原来的 倍。电流的平方效应，正是大电流会让接触不良处、细导线迅速升温的原因。
比较谁更热，先找共同不变量
“电阻越大，发热越多”必须带条件。若比较的是串联导体，同一时刻电流和通电时间相同，由 可知电阻大的发热多；若两个纯电阻并联在同一稳定电压下，电压和时间相同，利用 ，反而是电阻小的发热多。先找共同不变量，再选公式。
还要注意， 里的 是这段导体在该工作状态下的电阻。灯丝温度升高时电阻会改变；若题目明确“电阻随温度变化”，就不能把初始电阻当成全程不变的常量硬算。
是任何电路都可用的焦耳热公式。 和 只有在输入电能全部转化为内能的纯电阻电路中才成立。看到公式相似，先看能量去向，不要只看字母能否约出来。
同一对电热丝，换个接法结论就反转
设两根电热丝的电阻分别为 和 ，通电时间相同。串联时哪一根产生的热量多？若改成并联在同一电压上，结论又怎样？
串联时两者电流相同，由 ， 电热丝产生的热量是 电热丝的 倍。并联时两端电压相同，对纯电阻可写 ，于是 电热丝产生的热量反而是 电热丝的 倍。不是焦耳定律变了，而是比较时保持不变的量变了。
复习题常把这两个情境并排放置。失分往往不是不会公式，而是没写“串联同电流、并联同电压”的前提。阅卷时只写“电阻大所以热量大”无法说明推理链；先指出不变量，再列对应公式，结论才有依据。
对于电热丝，电流做的功全部变成内能，电功与电热可以画等号。可电动机一边发热一边转动，若仍写 ，机械能便无处入账。焦耳热交互之后，我们就沿着这个矛盾进入纯电阻与非纯电阻的分界。
四、纯电阻与非纯电阻：别把总账和热账混成一本
一组不肯服从 的数据
把一台小电动机接在 电源两端，正常转动时电流为 ，线圈电阻为 。若直接用欧姆定律算，会得到 ，与实测值差了六倍。仪表没坏，电阻也没抄错；错误出在把正常转动的电动机当成了纯电阻。
区分两类用电器，最稳妥的办法不是背名称，而是追踪电能去了哪里。
只有全部变成焦耳热，公式才能完全等价
纯电阻用电器把输入电能全部转化为内能，如理想定值电阻和只考虑发热作用的电热器。它的能量关系是
所以
功率关系相应为
其中后两个变式用了 ，只属于纯电阻电路。
非纯电阻用电器会把电能同时转化为焦耳热和其他形式的能。一般情况下，应先写成
=I^2R+P_{\text{其他}}$$ 对正常转动的电动机，$E_{\text{其他}}$ 可能包含对外输出的机械能，也可能包含机械摩擦、铁耗、声音等途径带走的能量。只有题目明确“忽略除线圈焦耳热以外的其他损耗”，才可把非焦耳能量全部当成机械输出，写成 $$E_{\text{其他}}=W_{\text{机械}}$$ $$UIt=I^2Rt+W_{\text{机械}}$$ 若工作状态稳定，除线圈焦耳热外转化为其他形式能的功率为 $$P_{\text{其他}}=UI-I^2R$$ 这里仍有输入功率 $P_{\text{电}}=UI$，仍有线圈热功率 $P_{\text{热}}=I^2R$，但二者不再相等。因此不能对正常转动的电动机写 $U=IR$，也不能拿 $U^2/R$ 计算它的总输入功率。  ### 非纯电阻仍有电阻，也仍会发热 “非纯电阻”不是说它没有电阻，也不是说它不发热。电动机线圈有电阻，所以一定有 $I^2Rt$ 的焦耳热；它与纯电阻的区别，是输入电能还会沿其他路径转化。充电设备也类似：输入电能除了转化为内能，还会转化为化学能。 若电动机被卡住而停止转动，在中学简化模型中没有机械能输出，输入电能几乎全部变成线圈内能，此时可近似按纯电阻处理，电流显著增大。注意，这是危险的堵转状态，不是正常工作状态；不能用它反推正常转动时也满足 $U=IR$。 ### 给 $6\ \text{V}$ 小电动机做一次功率审计 回到开头那台小电动机：$U=6\ \text{V}$、$I=0.50\ \text{A}$、线圈电阻 $R=2\ \Omega$。现在补充条件——忽略机械摩擦、铁耗、声音等其他损耗。你可以先分别算输入功率和线圈热功率，再看剩余的机械输出有多少。 输入功率为 $$P_{\text{电}}=UI=6\times0.50=3.0\ \text{W}$$ 热功率 $$P_{\text{热}}=I^2R=0.50^2\times2=0.50\ \text{W}$$ 题目已说明忽略其他损耗，所以机械输出功率 $P_{\text{机械}}=3.0-0.50=2.5\ \text{W}$，效率为 $$\eta=\frac{P_{\text{机械}}}{P_{\text{电}}}\times100\%\approx83.3\%$$ 高考复习中，非纯电阻题的核心给分点常是先写能量守恒，再分别计算输入功率和热功率。若一上来就写 $I=U/R$，后面即使算术无误，物理模型已经错了。另一个常见扣分点是无条件把 $UI-I^2R$ 全叫成“机械输出功率”；它首先表示非焦耳部分的功率，只有忽略其他损耗时才等于对外机械输出功率。 这类题可以形成一张三行账本：输入 $UI$，发热 $I^2R$，其他 $UI-I^2R$。若算出“其他功率”为负数，说明给定数据、单位或模型至少有一处不相容。下面的交互会把三项能量同时显示出来，并在数据矛盾时阻止继续计算。 <iframe src="https://media.edu-free.com/uploads/gaokao_physics_compulsory_3_ch10_energy_ledger_d3bc99d70b56_8400d355f0.html" title="纯电阻与非纯电阻能量账本" className="my-6 h-[780px] w-full rounded-xl border" loading="lazy" sandbox="allow-scripts" /> ## 五、额定与实际、机械输出：把公式放回具体对象 ### 电压减半，功率为什么可能只剩四分之一 一盏标有“$220\ \text{V}\quad100\ \text{W}$”的白炽灯接到 $110\ \text{V}$ 电压上。有人说电压减半，所以功率减半，灯应还有 $50\ \text{W}$；另一个人说电阻不变，功率应变成四分之一。两种说法的分歧不在算术，而在是否声明了元件模型。 若题目明确把灯丝看成阻值不变的纯电阻，才可以从额定状态求出其电阻： $$R=\frac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}}$$ 实际电压为 $U_{\text{实}}$ 时 $$P_{\text{实}}=\frac{U_{\text{实}}^2}{R} =\left(\frac{U_{\text{实}}}{U_{\text{额}}}\right)^2P_{\text{额}}$$ 电压变为一半，功率变为四分之一，即 $25\ \text{W}$。但真实灯丝电阻会随温度变化，所以这个平方比例只是在“电阻不变”的理想条件下成立。若题目给出伏安特性曲线，就应从实际工作点读取 $U$、$I$，再用 $P=UI$。 ### 平方比例背后藏着“恒定电阻” 额定值不能直接拿来代替实际值。用额定电压和额定功率求出的电阻，是题目采用纯电阻且电阻不变近似时的模型参数；对电动机、充电设备等非纯电阻用电器，不能照搬 $R=U_{\text{额}}^2/P_{\text{额}}$ 来描述正常运行。 额定与实际功率的辨析还会与机械输出相遇。若电动机提升重物，已知它的输入电功率和线圈热功率，剩余功率还不一定全部等于 $mgv$；只有题目说明其他损耗忽略、重物匀速提升时，才能写 $$UI=I^2R+mgv$$ “匀速”保证重物所受合力为零，使机械输出功率为 $Fv=mgv$；“忽略其他损耗”保证能量账没有漏项。  ### 从电功率走到提升速度 一台电动机两端电压为 $12\ \text{V}$，电流为 $2.0\ \text{A}$，线圈电阻为 $1.0\ \Omega$。它匀速提升质量为 $2.0\ \text{kg}$ 的物体，忽略其他损耗，取 $g=10\ \text{m/s}^2$。提升速度是多少？ 这里的两个条件各有任务：“忽略其他损耗”允许把非焦耳功率视为机械输出，“匀速”允许把机械输出功率写成 $mgv$。先算输入功率 $P_{\text{电}}=UI=24\ \text{W}$，再扣除线圈热功率 $P_{\text{热}}=I^2R=4\ \text{W}$，得到机械输出功率 $20\ \text{W}$，于是 $$v=\frac{20}{2.0\times10}=1.0\ \text{m/s}$$ 这类高考题常见两处漏项：只算 $UI$ 就全部等同于机械功率，忘了线圈发热；或者看到 $R$ 就直接用 $U/R$ 求电流，忽略电动机是非纯电阻。完整得分链应是“输入功率—焦耳热功率—机械输出功率—运动关系”。 本章所有计算都把用电器两端的 $U$ 当作已知。真实电源接上用电器后，为什么端电压会随电流变化？电源内部损耗怎样进入总能量账？那需要引入电动势和内阻，并对完整闭合电路列方程。下一章再把电源这一侧接上来。结束本章前，可以在下面改变实际电压，观察额定量不变、实际功率随工作状态改变的全过程。 <iframe src="https://media.edu-free.com/uploads/gaokao_physics_compulsory_3_ch10_rated_actual_power_6ad5fef31d9b_6911e1fe9e.html" title="额定功率与实际功率互动探究" className="my-6 h-[740px] w-full rounded-xl border" loading="lazy" sandbox="allow-scripts" /> ## 一页收束：先认对象，再选公式 - 任何电路的电功：$W=UIt$；任何电路的输入功率：$P=UI$。 - 任何电路的焦耳热：$Q=I^2Rt$；热功率：$P_{\text{热}}=I^2R$。 - 纯电阻满足 $W=Q$，才可写 $P=UI=I^2R=U^2/R$。 - 非纯电阻满足 $W=Q+E_{\text{其他}}$，正常工作的电动机不能用 $U=IR$。 - 额定量来自规定的正常工作状态，实际量由当时的工作状态决定。 - 千瓦时是能量单位，$1\ \text{kW}\cdot\text{h}=3.6\times10^6\ \text{J}$。 ## 课后练习 ### 1. 电功的适用公式 <SingleChoiceQuestion number={1} question="一段电路两端电压恒为 12 V，通过的电流恒为 0.50 A，通电 20 s，电流做功为多少？" options={["6 J", "12 J", "120 J", "240 J"]} answer={2} explanation="电功 W=UIt=12×0.50×20=120 J。这个公式计算输入该段电路的总电能。" /> ### 2. 千瓦时换算 <FillBlankQuestion number={2} question="0.25 千瓦时等于 ____ 焦耳。" answer={["9×10^5", "9×10^5 J", "900000", "900000 J"]} placeholder="填写数值" explanation="1 千瓦时等于 3.6×10^6 焦耳，所以 0.25 千瓦时等于 9×10^5 焦耳。" /> ### 3. 功率与电能 <MultipleChoiceQuestion number={3} question="关于电功和电功率，下列说法正确的是？" options={["电功率越大，任何情况下消耗的电能都越多", "电功率表示电流做功的快慢", "相同时间内，功率大的用电器消耗电能多", "千瓦时是功率单位"]} answers={[1, 2]} explanation="总电能由 W=Pt 决定；只有时间相同，功率越大才意味着耗电越多。千瓦时是能量单位。" /> ### 4. 铭牌信息 <TrueFalseQuestion number={4} question="某灯标有‘220 V 60 W’，说明它接在任何电压下的实际功率都是 60 W。" answer={false} explanation="60 W 是灯在额定电压 220 V 下正常工作时的额定功率，实际功率随实际工作状态改变。" /> ### 5. 焦耳定律 <SingleChoiceQuestion number={5} question="某导体电阻不变，电流增为原来的 3 倍，通电时间减为原来的一半，产生的焦耳热变为原来的多少倍？" options={["1.5 倍", "3 倍", "4.5 倍", "9 倍"]} answer={2} explanation="由 Q=I²Rt，热量倍数为 3²×(1/2)=4.5。" /> ### 6. 串联电热比较 下面这幅图把串联与并联的连接方式放在一起。先判断哪一个物理量相同，再完成第 6、7 题。  <SingleChoiceQuestion number={6} question="电阻 R 和 3R 串联后通电，相同时间内两者产生的焦耳热之比 Q_R∶Q_3R 为多少？" options={["1∶1", "1∶3", "3∶1", "1∶9"]} answer={1} explanation="串联电流相同，Q=I²Rt，所以焦耳热与电阻成正比，结果为 1∶3。" /> ### 7. 并联电热比较 <SingleChoiceQuestion number={7} question="纯电阻 R 和 3R 并联在同一稳定电压上，相同时间内两者产生的焦耳热之比 Q_R∶Q_3R 为多少？" options={["1∶1", "1∶3", "3∶1", "9∶1"]} answer={2} explanation="并联电压相同，对纯电阻用 Q=U²t/R，焦耳热与电阻成反比，结果为 3∶1。" /> ### 8. 公式适用条件 <MultipleChoiceQuestion number={8} question="关于用电器的功率公式，下列说法正确的是？" options={["P=UI 可用于正常工作的电动机", "P热=I²R 可计算电动机线圈的热功率", "正常工作的电动机一定满足 U=IR", "P=U²/R 可无条件用于一切用电器"]} answers={[0, 1]} explanation="UI 是用电器的输入功率，I²R 是其电阻部分的热功率；非纯电阻用电器正常工作时不能直接使用 U=IR 或 U²/R 计算总功率。" /> ### 9. 电动机的能量账 一台电动机两端电压为 $10\ \text{V}$，通过的电流为 $2.0\ \text{A}$，线圈电阻为 $1.0\ \Omega$。电动机正常工作，忽略除线圈发热以外的损耗。求输入功率、热功率、机械输出功率和效率。 <ClickToShow showText="查看第 9 题解析"> 输入功率 $P_{\text{电}}=UI=20\ \text{W}$；热功率 $P_{\text{热}}=I^2R=4.0\ \text{W}$；机械输出功率 $P_{\text{机}}=20-4.0=16\ \text{W}$；效率 $\eta=16/20\times100\%=80\%$。不能用 $U/R$ 重新计算电流，因为正常转动的电动机是非纯电阻用电器。 </ClickToShow> ### 10. 额定功率与实际功率 一只标有“$12\ \text{V}\quad24\ \text{W}$”的纯电阻用电器，题目认为其电阻保持不变。求它的电阻；若接在 $6\ \text{V}$ 电压上，实际功率是多少？ <ClickToShow showText="查看第 10 题解析"> 额定状态下 $R=U_{\text{额}}^2/P_{\text{额}}=12^2/24=6\ \Omega$。接在 $6\ \text{V}$ 电压上，$P_{\text{实}}=U_{\text{实}}^2/R=6^2/6=6\ \text{W}$，是额定功率的四分之一。 </ClickToShow> ### 11. 堵转判断 <MultipleChoiceQuestion number={11} question="一台直流电动机正常转动时突然被卡住，外加电压不变，按中学简化模型判断，下列说法正确的是？" options={["机械输出功率变为零", "可近似按纯电阻处理", "电流通常显著增大", "线圈发热一定减小"]} answers={[0, 1, 2]} explanation="堵转后没有机械能输出，输入电能几乎全部转化为线圈内能；在电压不变时电流往往显著增大，发热更强，存在烧毁风险。" /> ### 12. 综合提升模型 一台电动机以 $U=24\ \text{V}$、$I=2.0\ \text{A}$ 的状态工作，线圈电阻为 $2.0\ \Omega$。它通过轻绳匀速提升 $3.0\ \text{kg}$ 的物体，取 $g=10\ \text{m/s}^2$，忽略其他损耗。求物体上升速度；若工作 $30\ \text{s}$，线圈产生多少热量？ <ClickToShow showText="查看第 12 题解析"> 输入功率为 $UI=48\ \text{W}$，热功率为 $I^2R=8\ \text{W}$，机械输出功率为 $40\ \text{W}$。匀速提升时 $mgv=40\ \text{W}$，所以 $v=40/(3.0\times10)=4/3\ \text{m/s}$。工作 $30\ \text{s}$ 产生的焦耳热为 $Q=I^2Rt=2.0^2\times2.0\times30=240\ \text{J}$。 </ClickToShow>