第4章 电势差与电场强度的关系

想象两块相对放置的平行金属板：两板间电压一定时，把板间距离缩小，电场会变强；距离一定时，提高电压，电场也会变强。就像同样的高度差，集中在一段陡坡上和摊在一条长缓坡上，下降的“急缓”并不一样。这个类比只帮我们找到直觉，真正的物理量还得由静电力做功来建立。

问题来了：电势差描述的是两点之间的能量差，电场强度描述的是某一点的力效应，一个看“两点”，一个看“一点”，它们怎么会被同一条公式连在一起？本章就沿着这条线索，把“电势降得多快”翻译成电场强度，并学会读懂匀强电场中的几何关系和两类重要图像。

一、电势差：先把“从哪儿到哪儿”说清楚

下标决定电势差的方向

设电场中 $A$、$B$ 两点的电势分别为 $12\ \text{V}$ 和 $5\ \text{V}$。问“$A$、$B$ 两点间的电势差是多少”，一人按 $U_{AB}=12-5$，答 $7\ \text{V}$；另一人按 $U_{BA}=5-12$，答 $-7\ \text{V}$。两人采用了相反的下标和相减顺序，到底谁回答了题目真正要问的量？

症结不在减法，而在顺序。电势差不是“两个数相差多少”这么含糊，它带着起点和终点。我们把从 $A$ 指向 $B$ 的电势差记作

$$U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B.$$

于是 $U_{AB}=7\ \text{V}$，而 $U_{BA}=-7\ \text{V}$。交换下标，电势差反号：

$$U_{AB}=-U_{BA}.$$

图里的“台阶”只是在强调电势有高低，不能理解成板间电势真的一级一级跳变；理想匀强电场中，电势沿电场方向是连续、均匀降低的。

为什么要除以电荷量

把电荷量为 $q$ 的试探电荷从 $A$ 移到 $B$，静电力做功为 $W_{AB}$。同一个电场里，若把试探电荷增大为原来的两倍，静电力通常也增大为两倍，做功随之变为两倍。直接拿功描述两点的性质，会把“电场的作用”和“搬运了多少电荷”混在一起。

所以要除以电荷量：

$$U_{AB}=\frac{W_{AB}}{q}.$$

这一定义和 $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ 是一致的。电势差由电场中两点的位置决定，与拿来检验的电荷量及其正负无关；$W_{AB}$ 却会随 改变。电势差的单位是伏特，

$$1\ \text{V}=1\ \text{J/C}.$$

从电势差走到功和电势能

判断一道题时，可以依次问：起点和终点是谁？$U_{AB}$ 是正还是负？电荷 $q$ 是正还是负？于是 $W_{AB}=qU_{AB}$ 是正还是负？最后再由

$$\Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_{AB}$$

判断电势能的变化。这里最常见的陷阱，是看见“沿电场线移动”便直接说电势能减小。沿电场线方向只能保证电势降低；正电荷电势能随之降低，负电荷的电势能反而升高。

不妨就在这里把符号链走一遍：$A$ 点电势为 $-2\ \text{V}$，$B$ 点电势为 $3\ \text{V}$，一个电子从 $A$ 移到 $B$。先别凭“电子”两个字猜功的正负，依次写出 $U_{AB}$、 和 。

$U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B=-5\ \text{V}$。电子带负电，，所以 ，静电力做正功，电子的电势能减少 。如果把这一步放进复习题，真正需要写清的不是一句“负负得正”，而是 的下标顺序、电子电荷的负号和 。只写“电势升高，所以电势能升高”，恰好漏掉了电荷正负这个决定性条件。

现在，两点之间的“能量落差”已经有了准确说法。可同样相差 $5\ \text{V}$，如果这段变化挤在 $1\ \text{cm}$ 内，和摊在 $1\ \text{m}$ 内，电场显然不会一样强。要分辨这种差别，还得找到电势差真正对应的空间距离。

二、匀强电场中的 $U=Ed$：距离不能随手拿

斜线段不一定是公式里的 $d$

在平行板形成的匀强电场中，$A$、$B$ 两点相距 $L$。线段 $AB$ 与电场方向成角 $\theta$。有人直接写 $U_{AB}=EL$；另一个人却写 。谁抓住了真正起作用的距离？

从静电力做功推到 $U=Ed$

先让正电荷沿电场方向移动距离 $d$。匀强电场中，静电力大小 $F=qE$ 不变，方向也不变，因此

$$W_{AB}=Fd=qEd.$$

另一方面，电势差的定义给出 $W_{AB}=qU_{AB}$。两式比较，约去试探电荷 $q$，得到

$$U_{AB}=Ed.$$

若位移并不沿电场方向，静电力做功只取决于位移在电场方向上的投影。设 $\overrightarrow{AB}$ 与电场方向夹角为 $\theta$，则

$$d=L\cos\theta, \qquad U_{AB}=EL\cos\theta.$$

把 $d$ 理解成从 $A$ 到 $B$ 在电场方向上的有向投影，公式可以自动处理正负：顺着电场，$d>0$、$U_{AB}>0$；逆着电场，、；沿等势面移动，、。

公式的边界与场强单位

由 $E=U/d$ 还能看出电场强度的另一种单位：

$$[E]=\text{V/m}.$$

因为 $1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$，而 $1\ \text{J}=1\ \text{N}\cdot\text{m}$，所以

$$1\ \text{V/m}=1\ \text{N/C}.$$

这不是两个不同的场强单位，而是“单位电荷受力”和“单位距离电势降低”两种观察角度的统一。

拿一个极端方向检查最有效：匀强电场的场强为 $200\ \text{V/m}$，$A$、$B$ 相距 $0.10\ \text{m}$，但 $\overrightarrow{AB}$ 与电场方向垂直。这时若把 直接塞进 ，会得到 ；这个结果对吗？

此时 $\theta=90^\circ$，$d=L\cos90^\circ=0$，所以 $U_{AB}=0$。、 位于同一等势面上。虽然实际位移不为零，但它在电场方向上的投影为零，静电力不做功。复习题里若看到一段现成的长度，最好先画场强方向和投影，写明 ，再代入 ；直接把线段长度当 ，往往正是错误的起点。

这个垂直方向还给了我们一条新线索：沿它移动时电势不变。只要找到两个等势点，就能连出等势线；再作垂线，电场方向也就有迹可循。公式由此变成了一把几何尺。

三、匀强电场的几何：先找等势，再找方向

三点电势怎样还原电场

纸面内存在一个方向未知的匀强电场。三个不共线点的电势已经标出，却没有一条电场线。你可能会这样想：找电势最高的点和最低的点，直接把它们连起来就是电场方向。注意，这是个陷阱——高、低电势点的连线未必垂直等势线，因此未必与电场平行。

先连等势线，再画场强方向

匀强电场中，沿任何固定方向，电势都随位移均匀变化。因此在线段 $AB$ 上，若点 $C$ 是中点，就有

$$\varphi_C=\frac{\varphi_A+\varphi_B}{2}.$$

更一般地，若线段上某点把长度按比例分开，电势也按相同比例插值。找到两个电势相等的点后，把它们连接起来，就是纸面内的一条等势线。电场方向与等势线垂直，并且指向电势降低的一侧。

于是三点定场的步骤很稳定：

匀强电场里的几何结论

在匀强电场中：等势面是一组彼此平行的平面；相邻等差等势面的距离相等；任一线段中点的电势等于两端电势的平均值；互相平行且等长的有向线段，如果方向相同，则两端的电势差相同。

最后一句要保留“有向”二字。若两段线虽然平行等长却方向相反，对应的电势差会互为相反数。

图中 $A$、$B$ 等势，所以直线 $AB$ 是一条等势线；从 $C$ 向 $AB$ 作垂线，垂足为 $D$。若 $C$ 点电势高于 $$，场强沿 到 ，大小应使用垂直距离 计算：。线段 或 都不是这里公式中的 。

还有一个很实用的边界：若两点相距 $L$，且电势差 $U\ne0$，那么沿电场方向的投影 $d\ne0$。又因为 $|d|\le L$，所以

$$E=\frac{|U|}{|d|}\geq\frac{|U|}{L}.$$

当电场方向与两点连线平行时，$|d|=L$，场强取最小值 $E_{\min}=|U|/L$。若 $U=0$，两点等势，可能出现 而场强仍不为零，此时不能套用 ，更不能把 当成场强。

来看一个完整的小例子。矩形纸片的长边为 $0.40\ \text{m}$、短边为 $0.30\ \text{m}$，取左下角为 $A$，右下角为 $B$，左上角为 $C$。已知 $\varphi_A=12\ \text{V}$、、，纸面内为匀强电场。沿 方向，电势每前进 降低 ，所以场强的水平分量为 ，方向向右；沿 方向，电势每前进 降低 ，所以竖直分量也是 ，方向向上。合场强大小为 ，方向指向右上方。

你可能会问：这里为什么可以分别除以水平、竖直距离？因为我们求的不是“把整段场强拆成两个电势”，而是同一匀强电场在两个互相垂直方向上的分量。沿某个方向的电势降低率，只对应场强在该方向的分量。这个说法也提前解释了下一节中，为什么一张 $\varphi-x$ 图只能读出 $E_x$，不能总是读出完整的 $E$。

这里还要防一个看似顺理成章的跳步：一条直线上的 $A$、$B$、$C$ 三点等间距，电势依次是 $9\ \text{V}$、$6\ \text{V}$、$3\ \text{V}$，能否据此断定电场一定沿 $A$ 到 ？

不能。已知信息只能说明电场在 $AC$ 方向上的分量指向 $A$ 到 $C$，且该分量大小固定；电场还可能有垂直于 $AC$ 的分量。只有额外知道电场方向沿这条直线，或者已经找到与 $AC$ 垂直的等势线，才能锁定完整电场方向。复习题中把“一条线上电势均匀下降”直接等同于“电场一定沿这条线”，就是把分量偷换成了合量。先说清场强在该方向上的分量，再检查条件是否足以确定完整方向，推理才不会多走一步。

几何图适合处理离散的几个点。如果把一整条直线上每个位置的电势都记录下来，点就连成了曲线；原来由“电势差除以距离”表达的场强，会藏进图线的斜率。

四、$\varphi-x$ 图像：斜率前面有一个负号

高电势不等于强电场

在一幅 $\varphi-x$ 图像上，某处电势为 $100\ \text{V}$，图线却很平；另一处电势只有 $5\ \text{V}$，图线反而很陡。哪一处场强更大？如果只盯着纵坐标的高低，就会把电势和场强混为一谈。

斜率为什么要取相反数

取 $x$ 轴上相距很近的两点，左点坐标为 $x$，右点坐标为 $x+\Delta x$。左点到右点的电势差是

$$U=\varphi(x)-\varphi(x+\Delta x)=-\Delta\varphi.$$

若这一小段内场强变化可忽略，$U=E_x\Delta x$，于是

$$E_x=-\frac{\Delta\varphi}{\Delta x}.$$

所以 $\varphi-x$ 图线斜率的绝对值越大，沿 $x$ 方向的场强分量越大；斜率为负，$E_x>0$，场强分量沿 $x$ 正方向；斜率为正，$E_x<0$，场强分量沿 负方向。图线若为倾斜直线，说明 恒定；若为曲线，就看该点切线的斜率。

水平切线只告诉你一个分量

另一个陷阱是把极值点当作“电势等于零”。极值只表示附近电势由升转降或由降转升，与零电势面的选取没有必然联系。电势的数值可以整体加上一个常量，但图线斜率不变，因此场强不变。

用极值点检验一下负号：某一维静电场的 $\varphi-x$ 图线在 $x_0$ 处有极大值，左侧图线斜率为正，右侧斜率为负。场强在两侧会指向哪里？

左侧由 $E_x=-\Delta\varphi/\Delta x$ 得 $E_x<0$，场强沿 $x$ 负方向；右侧则有 ，场强沿 正方向。两侧场强都背离 。若图线在 光滑且题目明确为一维场，才可进一步说 处场强为零。图像题中漏掉这个负号，后面的受力方向和能量判断会一起反转，所以读图时不妨先在草稿上写 ，再把斜率翻译成方向。

$\varphi-x$ 图像把场强藏在斜率里；换一个方向思考，如果已知各处场强，沿途一小段一小段累积起来的电势差，又会藏在 $E_x-x$ 图线与横轴围成的面积里。

五、$E-x$ 图像：面积要算正负

场强反向时，面积会不会抵消

某电场沿 $x$ 轴分布，前一段 $E_x>0$，后一段 $E_x<0$，两段图像与横轴围成的面积大小恰好相等。有人把两个面积都当正数相加，另一个人却说总电势差为零。关键在于：图像面积表达的不是普通面积，而是带方向的电势变化。

把变化电场切成许多小段

若某小段足够短，可以把它近似看成匀强电场，这小段贡献的电势差约为 $E_x\Delta x$。把从 $A$ 到 $B$ 的所有小段贡献相加，就得到 $U_{AB}$。在 图像上，这正是图线与横轴之间的：横轴上方取正，横轴下方取负。

因此，从 $A$ 到 $B$ 有

$$U_{AB}=\text{图线在两坐标之间与横轴围成的有向面积}.$$

并且

$$\varphi_B=\varphi_A-U_{AB}.$$

这一结论既包含匀强电场的矩形面积 $U=Ed$，也能处理分段变化的电场。它不要求把整段错误地当成同一个场强。

读图前先确认纵轴表示什么

交换起点和终点，积分方向反过来，所以 $U_{BA}=-U_{AB}$。若图线跨过横轴，必须算上、下两部分面积的代数和。若只给场强大小 $E$ 而没有方向信息，就不能把横轴下方的部分擅自理解为负方向场强。

用一组会跨过横轴的数据试一遍：从 $x=0$ 到 $x=2\ \text{m}$，$E_x=3\ \text{V/m}$；从 $x=2\ \text{m}$ 到 ，。 处与原点谁的电势更高？

前一段有向面积为 $3\times2=6\ \text{V}$，后一段为 $(-2)\times3=-6\ \text{V}$，代数和为零，所以 $U_{0,5}=0$，两点等势。不过，沿途电势并非始终不变：前一段电势下降 ，后一段又升高 ，只是首尾相同。面积题最容易受“几何面积总是正的”这一直觉干扰；动笔前先确认纵轴画的是 还是场强大小 ，再按方向给每一块面积加上正负号。

至此，两张图可以互相翻译：$\varphi-x$ 的斜率给出 $-E_x$，$E_x-x$ 的有向面积给出电势差。把符号、投影和适用条件收拢起来，就能形成一条不依赖题目外观的判断路线。

六、综合判断：先定“谁是谁”，再选公式

面对文字、几何和图像混在一起的问题，可以按下面顺序整理：

这条路线的核心不是多记几条互不相干的口诀，而是始终守住同一幅图景：电场方向指向电势降低最快的方向。两点式、几何投影、图线斜率和有向面积只是这幅图景在不同题面中的表达。每次算完，都可以用“沿场方向电势应降低”做一次反向检查；若结论相反，先查下标顺序、投影方向和图像符号，而不要急着怀疑公式。

课后练习

1. 电势差的顺序

1

电场中A、B两点的位置确定后，U_AB的数值会随所放试探电荷电荷量的改变而改变。

正确错误

2. 正负号链条

2

A点电势为8 V，B点电势为2 V。一个电子从A移到B，静电力做功情况是（　）

A.做正功6 eVB.做负功6 eVC.做正功10 eVD.无法判断

3. 单位互换

3

1 V/m = ____ N/C。

提交

4. 投影距离

4

匀强电场场强为100 V/m，A到B的位移长0.20 m，与电场方向夹角60°，则U_AB为（　）

A.5 VB.10 VC.20 VD.40 V

5. 等势线上的移动

5

在匀强电场中，A、B位于同一等势面。下列说法正确的是（　）

A.U_AB=0B.A到B的距离一定为0C.静电力把任意电荷从A移到B所做的功为0D.A、B两点的场强一定相同

提交

6. 平行线段的电势差

6

匀强电场中，两条平行且等长的线段，其两端电势差一定相等。

正确错误

7. 三点电势与场强分量

7

纸面内匀强电场中，A(0,0)点电势12 V，B(0.4 m,0)点电势4 V，C(0,0.3 m)点电势6 V。下列结论正确的是（　）

A.E_x=20 V/m，沿x轴正方向B.E_y=20 V/m，沿y轴正方向C.场强大小为20√2 V/mD.场强方向沿x轴正方向

提交

8. 最小场强

8

匀强电场中两点相距0.50 m，电势差大小为20 V，则电场强度的最小可能值为（　）

A.10 V/mB.20 V/mC.40 V/mD.80 V/m

9. $\varphi-x$ 图像方向

9

某一维静电场的φ-x图像是一条斜率为-4 V/m的直线，则场强为（　）

A.4 V/m，沿x轴正方向B.4 V/m，沿x轴负方向C.-4 V/m，场强大小为负D.无法判断

10. 水平切线的含义

10

任意静电场的φ-x图像在某点切线水平，就能断定该点总场强为零。

正确错误

11. $E_x-x$ 图像面积

11

从x=0到x=2 m，E_x由0均匀增至6 V/m；从x=2 m到x=3 m，E_x恒为-3 V/m。U_0,3为（　）

A.-9 VB.0 VC.3 VD.9 V

12. 综合计算

电场沿 $x$ 轴分布：$0\le x\le1\ \text{m}$ 时 $E_x=4\ \text{V/m}$；$1\le x\le3\ \text{m}$ 时 。已知原点电势为 。求 和 处的电势，并判断这两个位置是否等势。

查看答案与解析

从0到1 m的有向面积为 $4\times1=4\ \text{V}$，故 $\varphi_1=\varphi_0-U_{0,1}=10-4=6\ \text{V}$。从1到3 m的有向面积为 ，故 ，。两点电势分别为 和 ，不等势。

本章到这里，把静电场的“力”和“能”接通了。下一章将把视线放到电容器：当两块导体储存等量异种电荷时，电势差怎样随电荷量、结构和介质变化？