带电粒子在电场中的运动 | 自在学

带电粒子在电场中的运动

打开老式示波器，一束看不见的电子从管子一端射出，经过两组金属板后，竟能在荧光屏上画出一条波形。金属板没有碰到电子，也没有用机械装置推它，电子为什么会转弯？再换一个问题：同样是两块带电平行板，有时粒子沿直线越来越快，有时却走出一条抛物线，区别到底藏在哪里？

你可能会说：“有电场，就用 $F=qE$ 。”这当然是起点，却还不是解题方法。真正决定运动的是三件事：电场力指向哪里，合力是否恒定，初速度与合力是什么关系。把这三件事看清，所谓“加速电场”“偏转电场”和“示波管”就不再是三套互不相干的公式，而是同一套运动规律的不同镜头。

带电粒子在平行板间受电场力并获得速度

一、先决定研究模型：它究竟受哪些力

微观粒子能忽略重力，油滴却未必

一个电子进入真空中的强电场，电场力远大于它的重力，忽略重力通常很合理。可如果进入电场的是一颗带电油滴或小球，质量大了许多，重力可能和电场力差不多，再把重力丢掉，轨迹就会完全变样。

“粒子”只是说研究对象的大小和形状可以忽略，并不自动等于“重力不计”。题目若明确写出“不计重力”，就按理想模型处理；题目若给了质量、重力加速度或悬浮、竖直运动等线索，就要认真比较 $mg$ 与 $|q|E$ 。没有明确提示时，还可以用数量级比值

\frac{mg}{|q|E}

来判断重力相对电场力是否足够小。

微观粒子与宏观带电体是否考虑重力的对照

人工复核：当电场力与重力反向且恰好等大时，结论会正确显示“合力接近零”，但受力图中仍残留一个黑色箭头端点；其他交互正常。

电性决定电场力方向

电荷量为 $q$ 的粒子处在电场强度为 $\boldsymbol E$ 的位置，所受电场力为

\boldsymbol F_{\mathrm e}=q\boldsymbol E.

对正电荷，电场力与电场方向相同；对负电荷，电场力与电场方向相反。公式里的 $q$ 带正负号，所以做一维代数计算时可以把方向交给正负号；画受力图时则更稳妥——先由电性判断力的箭头，再建立正方向列式。

若只受电场力，粒子的加速度为

\boldsymbol a=\frac{q\boldsymbol E}{m}.

在匀强电场中， $\boldsymbol E$ 的大小和方向不变，电场力与加速度也不变；在非匀强电场中，加速度一般随位置改变。于是，“匀强电场”才给我们使用匀变速运动公式的资格，“静电场”本身并不保证加速度恒定。

电场方向规定为正电荷受力的方向，不是所有带电粒子的受力方向。看到电子或负离子时，若仍顺着电场方向画电场力，后面所有位移、偏转方向和做功正负都会一起出错。

三个问题定下运动骨架

拿到一个电场运动情境，先问：研究对象受哪些力？合力是否恒定？初速度与合力是共线还是成角度？合力恒定且与初速度共线，运动保持直线；合力恒定但与初速度不共线，运动通常是匀变速曲线运动；合力随位置或时间改变，就不能直接套一组恒加速度公式。

匀强电场与重力的矢量合成

在匀强电场和地球表面附近的重力场中，电场力与重力都是恒力。若不计其他力，可以直接作矢量合成：

\boldsymbol F_{\text{合}}=q\boldsymbol E+m\boldsymbol g, \qquad \boldsymbol a=\frac{\boldsymbol F_{\text{合}}}{m} =\boldsymbol g+\frac qm\boldsymbol E.

两力同向或反向时，在同一直线上作代数相加；两力成角度时，应分解到选定的坐标轴上，或先用平行四边形法求恒定合力。若初速度与 $\boldsymbol F_{\text{合}}$ 共线，粒子做匀变速直线运动；若二者不共线，运动可分解为沿初速度方向的匀速运动和沿恒定合力方向的匀加速运动，轨迹是以合力方向为对称轴方向的抛物线。若两力恰好平衡，则加速度为零，原来静止的粒子保持静止，原来运动的粒子保持匀速直线运动。

有时把 $\boldsymbol a$ 记作“等效重力加速度” $\boldsymbol g_{\text{等}}$ ，把这个恒定合力环境称为等效重力场。注意，这不是多出一种力，也不是对所有粒子都相同的真实场； $\boldsymbol g_{\text{等}}$ 含有 $q/m$ ，换一种电性或比荷，大小和方向都可能改变。

若只受电场力和重力，从 $A$ 到 $B$ 的动能变化可写成

\Delta E_k=qU_{AB}+mg(h_A-h_B).

也可以把电势能与重力势能都列入系统：

E_k+E_{p\mathrm e}+E_{p\mathrm g}=\text{常量}.

这两种写法是同一本账的两种记法；选了势能守恒形式，就不要再把对应的电场力功、重力功重复加进去。

现在换成一颗带负电的小球：电场竖直向下，能不能只凭“它带负电”就断定加速度向上？先别急。负电荷所受电场力确实向上，小球的重力却向下；只有比较 $|q|E$ 与 $mg$ ，才能确定合力和加速度方向。这里最容易出错的不是公式，而是受力图漏掉重力，或看到负号后又凭感觉把方向反转第二次。先画力，再列带符号的方程，方向只处理一次。

合力方向一旦定下，下一问自然是：它和速度是否在一条直线上？若答案是肯定的，电场首先改变的就是粒子的快慢，这正是加速电场的基本模型。

二、直线加速：动力学看过程，能量看首尾

场强推得猛，电势差决定总功

两组平行板，一组板间距小、场强大，另一组板间距大、场强小。带电粒子都从一端到另一端，若两端电势差相同，它们离开时的速度会不会不同？

只盯着 $F=qE$ ，你可能会觉得场强大的那组“推得更狠”，末速度应该更大。可板间距越小，推力作用的路程也越短。电场力做功同时包含力与位移，最终起决定作用的是初、末位置的电势差。

动力学与能量是同一过程的两种账本

在板间距为 $d$ 、电势差大小为 $U$ 的平行板匀强电场中，忽略边缘效应，有 $E=U/d$ 。若粒子只受电场力，且电场力与速度共线，可以用动力学方法：

a=\frac{qE}{m},\qquad v=v_0+at,qquad x=v_0t+\frac12at^2.

这条路线能给出时间、位移和每一时刻的速度，但前提是场强恒定。

若只关心初、末速度，更简洁的是动能定理。粒子从 $A$ 点运动到 $B$ 点，电场力做功为

W_{AB}=qU_{AB}=q(\varphi_A-\varphi_B),

若运动过程中还有重力、阻力或其他外力做功，完整的动能定理应写成

qU_{AB}+W_{\text{其他}}=\Delta E_k.

只有当电场力是唯一做功的力时，才能进一步写成

qU_{AB}=\Delta E_k =\frac12mv_B^2-\frac12mv_A^2.

这组关系不仅适用于匀强电场，也适用于非匀强静电场。它不告诉你途中用了多久，却能绕开复杂的变力过程，直接连接首尾状态。

再把能量账本翻到另一页。电场力做功与电势能变化满足

W_{\mathrm e}=-\Delta E_p.

因此，只有电场力做功时，动能增加多少，电势能就减少多少， $E_k+E_p$ 守恒；若还有其他力做功，则

\Delta(E_k+E_p)=W_{\text{其他}}.

注意，这里的 $E_p$ 是电势能。若还要把重力作为保守力处理，可再把重力势能列入系统能量，不能让同一份重力功既出现在 $W_{\text{其他}}$ 中，又在重力势能变化里重复计算。

电场力做功、电势能和动能的变化链

“加速电压”为什么常写电荷量绝对值

若粒子由静止出发，运动过程中只有电场力做功（或其他力的总功为零），并且电场力做正功，才可以写成

\frac12mv^2=qU_{AB}>0.

在同样的做功条件下，只给加速电压大小 $U$ 的装置题常写

v=\sqrt{\frac{2|q|U}{m}}.

这里用了绝对值，是因为 $U$ 表示让该粒子加速的电压大小。若题目明确给的是带方向定义的 $U_{AB}$ ，就应保留 $qU_{AB}$ 的符号并检查它是否为正。不能不问电势差定义，随手把负电荷的 $q$ 塞进根号。

不妨用质子和二价正离子检验一下这个式子：它们都由静止经过同一加速电压，只知道二价离子的电荷量是质子的两倍，能否断定它的末速度更大？不能，因为 $v=\sqrt{2|q|U/m}$ 比较的是比荷 $|q|/m$ ，质量还没有给出。“电荷量大所以跑得快”只盯住了一个因素；应先写出，再比较比荷。还要当心把与同时相加——它们描述的是同一段电场力功，不能记两遍账。

上面的根式专门对应“由静止、只有电场力贡献动能变化”的加速过程。若粒子带着初速度迎着电场力冲入，仍可在只有电场力做功时使用 $qU_{AB}=\Delta E_k$ ，但不能把初动能丢掉后直接套这个根式；粒子会先减速到零，再决定是否折返。

三、直线减速与反向：停下不是运动结束

速度为零时，电场力仍然存在

一个只受电场力的正粒子，以初速度 $v_0$ 逆着匀强电场方向射入。电场力是恒定合力，并且始终与运动所在直线共线：开始时它与速度反向，粒子先做匀减速直线运动。到了某点，速度降为零。你可能会下意识地把这点当作终点，可电场仍在，电场力并没有因为速度为零而消失。下一瞬间，粒子会沿原直线、沿电场力方向反向加速。

带电粒子同向加速、反向减速并折返的直线运动

用正方向追踪减速、静止和折返

沿初速度方向取正。在上述只受电场力且受力共线的模型中，电场力反向，所以恒定加速度 $a<0$ 。停下所需时间和前进距离分别为

t_{\mathrm s}=-\frac{v_0}{a},\qquad x_{\mathrm s}=-\frac{v_0^2}{2a}.

因为 $a<0$ ，两者都是正值。过了 $t_{\mathrm s}$ ，公式 $v=v_0+at$ 给出，负号并非“速度大小为负”，而是在告诉你粒子已经反向。

若场不均匀，加速度随位置变化，上述匀变速公式便失效。这时仍可用完整的动能定理

qU_{AB}+W_{\text{其他}}=\Delta E_k

判断能否到达某点或求转折点；若只有电场力做功，才简化为 $qU_{AB}=\Delta E_k$ 。转折点速度为零，动能恰好耗尽。能量方法不要求电场均匀，但要求你把初末点、电势差方向和其他力做功处理清楚。

人工复核：交互的文字判定与控件逻辑正常，但 Edge 在恢复默认“初速度为零、忽略重力”后仍显示蓝色 $v_0$ 箭头和紫色 $mg$ 箭头，示意图与当前条件不一致；其他交互正常。

返回同一点：速率能恢复，速度不能

若只受静电力，粒子从 $A$ 点出发，转折后再次经过 $A$ 点，电场力总功为零，动能恢复到出发时的大小，所以速率相同；但返回时方向相反，速度矢量不同。若还存在阻力，往返过程中阻力持续做负功，就不能再说速率恢复。

设一个只受电场力的粒子，以与电场力反向共线的初速度进入匀强电场，恰好在另一极板前速度减为零。它能停在那里不动吗？不能。电场力仍沿原直线存在，下一瞬间粒子就会沿电场力方向反向加速。“恰好到达”只表示在边界处瞬时静止，并不表示平衡；要判断后续状态，还得回到合力。

这幅折返图里，电场方向始终不变。若外加电压按固定节拍翻转，电场力也会一次次换向，一条匀变速公式便不能包办全程，必须把相邻小段接起来算。

四、交变电场：每次换向都要把状态接上

反向加速度为何没有把位移抵消

两块平行板接上方波电压：前半个周期电场向右，后半个周期电场向左，而且两段场强大小相等。你可能会想，两次“推力”方向相反，作用时间又相同，效果应该完全抵消。这个判断只说对了一半——一个周期后速度变化量可以为零，位移却未必回到零。

切换时刻只改加速度，不重置状态

若每一小段内的电场恒定，第 $n$ 段持续 $\Delta t_n$ ，并且研究方向上只有电场力分量，加速度才是 $a_n=qE_n/m$ 。若还有重力、阻力或其他力在该方向有分量，下面的必须改用该段合加速度在研究方向上的分量。从该段起点的状态出发，有

v_{n+1}=v_n+a_n\Delta t_n,

x_{n+1}=x_n+v_n\Delta t_n+\frac12a_n(\Delta t_n)^2.

切换电压不会给粒子一个无穷大的冲量，因此切换瞬间的位置和速度连续；改变的是下一段的加速度。每一段算出的末速度、末位置，必须原样作为下一段的初值，不能在新周期开始时把它们清零。

直线运动中，若初速度沿电场所在直线，电场始终在这条直线上正反切换，且没有横向力，粒子便始终沿该直线运动；它可能加速、减速、停下并反向。偏转运动中，若粒子以恒定水平速度穿过极板，可令 $t=l/v_0$ 确定总飞行时间，再按电压切换时刻分段累计竖直速度与位移：

v_{y,n+1}=v_{y,n}+a_{y,n}\Delta t_n,

y_{n+1}=y_n+v_{y,n}\Delta t_n +\frac12a_{y,n}(\Delta t_n)^2.

这里的 $a_{y,n}$ 同样表示第 $n$ 段的竖直合加速度；只有竖直方向仅受电场力分量时，才可写成 $qE_{y,n}/m$ 。

周期对称与短时间近似的边界

对称方波中，正、负半周期的加速度冲量可能相互抵消，使粒子经过一个完整周期后速度恢复；但前半周期积累的速度会继续影响后半周期位移，所以位移通常不恢复。入射时刻也很重要：同一粒子若在电压周期的不同相位进入，经历各段电场的先后顺序和持续时间都可能不同。

遇到正弦波、锯齿波等连续变化的电压，只有当穿越时间 $t_{\mathrm f}$ 远小于电压变化周期 $T$ ，并且粒子飞行期间电压的相对变化确实很小、没有跨过突变时刻时，才可把电场近似看成入射瞬间的恒定电场。单凭“装置很短”四个字不够，还要比较 $t_{\mathrm f}$ 与 $T$ 。

临界判断也必须逐段进行：粒子是否在换向前撞板，是否恰好在切换时速度为零，是否恰好擦过板端，哪一件先发生就用哪一个时刻截断当前公式。若某段内部速度先变号，还要先求出变号时刻，再检查它是否在该段时间范围内。

来算一个最短的周期：粒子横向速度保持不变，竖直初速度为零，先以 $+a$ 运动 $\tau$ ，再以 $-a$ 运动 $\tau$ 。第一段末 $v_y=a\tau$ 、；第二段让末速度回到零，却又沿原方向移动。所以总位移是，并没有回到出发线。加速度先累计成速度，速度再累计成位移，这两层累计不能压成“正负抵消”一句话。

交变电场需要逐段追踪；若粒子飞行期间电场稳定不变，偏转关系就会简洁得多。下面把粒子横着射入竖直匀强电场，看两个方向的运动怎样合成一条曲线。

五、匀强电场中的偏转：把一条曲线拆成两条直线

水平惯性与竖直加速同时发生

一个正粒子以水平初速度 $v_0$ 从两平行板正中间射入，板间电场竖直向下。粒子受力向下，却不会立刻竖直落下，因为原有的水平速度不会凭空消失。它一边保持水平前进，一边在竖直方向加速，合运动便是一条抛物线。

带电粒子在匀强电场中偏转的速度分解与轨迹

从两个分运动得到抛物线

设电场竖直方向为 $y$ 轴，初速度方向为 $x$ 轴。若忽略重力和边缘效应，粒子只受恒定电场力，两个方向的运动分别为

x=v_0t,\qquad v_x=v_0,

a_y=\frac{qE}{m},\qquad y=\frac12a_yt^2,qquad v_y=a_yt.

消去时间可得轨迹方程

y=\frac{qE}{2mv_0^2}x^2.

这就是“类平抛”的严格含义：一个方向做匀速直线运动，垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。 $q$ 的正负决定抛物线开口朝向。

设极板长为 $l$ 、间距为 $d$ ，板间电势差大小为 $U$ ，且 $E=U/d$ 。若粒子能从板右端飞出，则在电场中的时间为

t=\frac{l}{v_0}.

出口偏移、竖直分速度和偏转角分别为

y=\frac{qUl^2}{2mdv_0^2},

v_y=\frac{qUl}{mdv_0}, \qquad \tan\theta=\frac{v_y}{v_0}=\frac{qUl}{mdv_0^2}.

这些量带方向时保留 $q$ 的符号；只问大小时取绝对值。

使用出口公式前，先查会不会撞板

如果粒子从两板中线射入，要从板右端飞出而不撞板，出口偏移需满足 $|y|<d/2$ ；若 $|y|=d/2$ ，理想模型中恰好擦过极板边缘；若转弯方向上的位移更早达到 $d/2$ ，实际运动时间就不再是 $l/v_0$ 。此时应先求撞板时间，再求水平位移，不能继续沿用“飞出板端”的出口公式。

保持比荷、板长、板间距和偏转电压不变，只把入射速度增大为两倍，出口偏移会怎样？由 $y\propto1/v_0^2$ ，它变为原来的 $1/4$ ； $\tan\theta$ 也变为原来的 $1/4$ 。从过程看更清楚：穿越时间减半，竖直加速度不变，因而变为，再除以加倍的，正好得到。若把偏移误当成与时间成正比，就会漏掉里的平方。

到这里， $v_0$ 还是题目直接给出的。若它来自前一组加速电场，代入之后比荷会出现一次很有条件的约消。

六、先加速再偏转：为什么不同粒子可能走同一条路

同一加速电压为何能抹去比荷差异

把不同的正离子都从静止释放，让它们经过同一加速电压 $U_1$ ，再进入同一组偏转板。直觉说质量大的离子更难拐弯，轨迹应当不同；可实验模型却告诉我们，在理想条件下，它们可能从同一点飞出、沿同一方向离开。

比荷在加速段与偏转段之间约消

第一段是加速。由动能定理，若粒子从静止开始且电场力做正功，

\frac12mv_0^2=|q|U_1, \qquad v_0^2=\frac{2|q|U_1}{m}.

第二段是偏转。设偏转电压大小为 $U_2$ ，代入上一节的出口偏移大小：

|y|=\frac{|q|U_2l^2}{2mdv_0^2} =\frac{U_2l^2}{4dU_1}.

同理，

|\tan\theta|=\frac{U_2l}{2dU_1}.

比荷消失了，所以不同粒子在这些条件下具有相同的偏移大小和偏转角大小。方向仍由电性和偏转板极性决定。

“先经同一电压加速，再进同一偏转电场，偏转与粒子无关”不是无条件结论。它要求粒子从静止开始、加速电压相同、进入偏转区的位置和方向相同、忽略重力，并采用理想匀强电场。若粒子带着不同初速度进入，或加速不是从静止开始，比荷通常不会约掉。

穿过区域边界时，速度连续而加速度可变

粒子离开加速区、进入偏转区的瞬间，若没有碰撞和冲量作用，速度不能突然跳变；但电场改变后，电场力和加速度可以立刻改变。画分段轨迹时，要让曲线在边界处保持相切，不能折出一个尖角。

再把粒子换成一正一负两种电荷：它们从静止经过大小相同、极性各自正确的加速电压，再进入同一偏转装置。理想条件相同时，偏移与偏转角的大小可以相同；可是在同一方向的偏转电场中，正、负粒子受力相反，轨迹也向相反方向弯曲。公式约掉的是比荷绝对值对大小的影响，不是把电性一并约掉。

粒子飞出偏转板后，板间电场力近似消失，但已有的竖直分速度不会消失。屏上的落点还会继续移动，只是轨迹从抛物线接成了直线。

七、飞出电场后的几何关系：中点不是巧合

离开极板后，已有速度把偏移继续延伸

在理想模型中，偏转电场只存在于两板正对区域。粒子刚飞出极板，电场力近似消失，加速度变为零；它会沿出口速度方向做匀速直线运动。因此屏上的总偏移包含两段：板内抛物线造成的偏移，以及板外斜着飞行继续积累的偏移。

偏转板几何量、出口偏移与偏转角

出口切线为什么指向板长中点

粒子在板内运动时间为 $t$ ，则

y=\frac12at^2,qquad \tan\theta=\frac{v_y}{v_0}=\frac{at}{v_0}.

又因为 $l=v_0t$ ，所以

y=\frac{l}{2}\tan\theta.

这说明出口速度的反向延长线与入射直线相交于板长方向的中点。注意，它说的是沿运动方向的板长中点，不是两板间隙的中点，也不是极板右边缘的中点。

出口切线反向延长线交于板长中点

若荧光屏到极板右端的水平距离为 $L$ ，板外偏移为 $L\tan\theta$ ，屏上总偏移就是

Y=y+L\tan\theta =\left(L+\frac l2\right)\tan\theta.

也可以把粒子看成从板长中点沿出口切线一直飞到屏幕，等效水平距离为 $L+l/2$ 。

屏距的测量起点决定公式写法

若题目给的屏距是从偏转板右端到屏幕，使用 $L+l/2$ ；若屏距从偏转板中点量起，那么等效距离本身已经包含那半段板长，不应再加 $l/2$ 。画一条尺寸线比背公式可靠得多。

若板内运动保持不变，只把荧光屏向右移动， $y$ 和 $\theta$ 都不会变，因为它们已经在极板出口处确定；增加的是板外飞行距离，所以屏上偏移 $Y$ 增大。同一张图里常同时出现板内偏移和屏上偏移，最稳妥的做法是先标出“板内”“板外”两段，再合并，而不是把 $y$ 直接当成 $Y$ 。

电压既然能控制屏上光点的位置，再让两组互相垂直的偏转板接收随时间变化的电压，快速移动的光点就能在屏幕上留下波形。这正是示波管的核心思路。

八、示波管：把电压变化翻译成光点轨迹

一枚快速移动的亮点如何变成波形

电子束在荧光屏上只会打出一个亮点。可示波器显示的却是一条曲线。秘密不在于同时有无数束电子，而在于光点移动得足够快：竖直偏转板让它按待测电压上下移动，水平偏转板让它从左向右近似匀速扫描，视觉暂留使一连串位置连成波形。

示波管中电子枪、加速电场、偏转电极和荧光屏

电子枪、偏转板与荧光屏

示波管的基本结构可以按电子运动顺序理解：电子枪发射电子；加速电场提高电子速率；偏转电极在两个互相垂直的方向建立电场；荧光屏把电子落点变成可见亮点。

电子带负电，所以它所受电场力方向与偏转板间的电场方向相反。若一对偏转板电压恒定，光点停在偏离中心的某处；若竖直偏转电压随时间变化，光点上下移动；再配合水平方向的周期扫描，就能把“某时刻的电压”依次排在屏幕横向位置上。

先看极性，再判电子受力

判断光点往哪边移，仍按三步走：先由两板电势高低画电场方向，再由电子带负电判断电场力反向，最后由加速度方向判断光点偏移。不要靠“上板正，所以光点向上”之类口号记忆，换一个电性或极性就会翻车。

教材中的示波管模型通常忽略电子重力、板外边缘电场和电子间相互作用，把板内电场视为匀强电场、板外视为无电场。真实仪器还有聚焦、亮度和电路细节，但本章只需要理解电场加速、正交偏转以及光点与电压的对应关系。

把水平扫描关闭，只给竖直偏转板加正弦电压，屏上的光点只会沿一条竖直线往复运动，并不会自动展开成“横轴为时间”的正弦曲线。要看到稳定波形，还需要水平方向随时间扫描，并让扫描周期与信号周期形成合适关系。看到“正弦电压”就断言“正弦轨迹”，其实漏问了屏幕横坐标从哪里来；光点的空间轨迹由两组偏转共同决定。

加速、偏转和示波管各有自己的图景，但综合起来仍要按粒子经过的区域分段。与其靠装置外形“认公式”，不如把每一段的受力、方法和边界接清楚。

九、方法总收束：先画力，再选坐标，最后查边界

综合题真正难在不同阶段混账

带电粒子题常把两段或三段电场接在一起：先直线加速，再进入偏转区，最后飞向屏幕。若一上来就寻找“总公式”，很容易把不同阶段的电场、位移和速度混在一起。更可靠的做法是让每一段只回答自己的问题。

分段、选法、连接和校验

先分段并画受力图。电场方向变了、粒子离开极板或进入另一片区域，都可能是分段点；每一段都重新判断电场力方向以及是否考虑重力。

再选方法。匀强电场中的直线匀变速过程可用牛顿第二定律和运动学；只关心首尾速度或面对非匀强静电场时，先写 $qU+W_{\text{其他}}=\Delta E_k$ ，确认只有电场力做功后才简化为；垂直入射匀强电场则用正交分解。

$E$ 与 $U$ 、速度与速率、板内与屏上

第一组是 $E$ 与 $U$ ： $E$ 描述某处单位正电荷受力， $U_{AB}$ 描述两点电势差；只有在沿匀强电场方向、距离为 $d$ 时，才可用 $U=Ed$ 。第二组是速度与速率：返回同一点可能速率相同、速度相反。第三组是板内偏移与屏上偏移：前者在电场内积累，后者还包括板外匀速段。

用一个比例变化收尾：粒子先经 $U_1$ 从静止加速，再垂直进入电压为 $U_2$ 的偏转板，最后打到屏幕。若质量和电荷量都加倍，比荷 $|q|/m$ 不变，加速后的速度不变，偏转加速度 $|q|E/m$ 也不变，因此整条轨迹和屏上位置不变；若二者不是同比变化，就必须重新比较比荷。完整推理仍落在“加速段动能定理—偏转段运动分解—板外直线几何”这条链上，每一段先写依据，再把末状态交给下一段，过程会比一步跳到结论更可靠。

至此，电场已经能让一个电荷获得速度、改变方向。可要让大量电荷持续、定向地穿过导体，还需要电源维持电势差，也要弄清导体为什么会阻碍电流。下一章，我们把视线从“一个粒子怎样运动”转向“许多电荷怎样形成电流”。

本章小结

电场力为 $\boldsymbol F=q\boldsymbol E$ ；正电荷受力顺电场，负电荷受力逆电场。是否考虑重力取决于题意、情境与力的数量级。
匀强电场中加速度恒定，可用牛顿第二定律和匀变速运动公式；非匀强静电场一般不能套匀变速公式。
电场力做功满足 $W_{\mathrm e}=qU_{AB}=-\Delta E_p$ 。有其他力做功时，；只有电场力做功时，守恒。

课后练习

一个电子在匀强电场中由静止释放，若只受电场力，则它开始运动的方向是

关于带电粒子在静电场中的运动，下列说法正确的是

电荷量为q的粒子从A点运动到B点，若只有电场力做功，则动能变化量ΔEk等于 ____。

一个带电粒子由静止经过电压大小为U的加速电场，忽略重力，末速度大小应写为

带电粒子只受电场力，以与电场力反向共线的初速度进入匀强电场且未碰边界。速度减为零后，它会沿电场力方向反向加速。

粒子以速度v0垂直电场方向进入匀强电场，只受电场力。若在电场中的水平位移为l，则运动时间为

保持粒子的比荷、偏转板电压、板长和板间距不变，把垂直入射速度变为原来的2倍，且粒子仍能飞出板端。下列结论正确的是

粒子从两平行板中线垂直电场方向射入，按飞出板端计算得到出口偏移大小大于板间距的一半。这说明

在理想匀强偏转电场中，粒子从板端飞出时，其速度反向延长线与入射直线交于 ____。

两个粒子从静止经过同一加速电压，再进入同一偏转装置，只要理想条件相同，它们的偏转方向也一定相同。

示波管中电子束进入一对偏转板，板间电场竖直向上。电子束的偏转方向是

处理‘先加速、再偏转、最后打到屏幕’的问题时，下列做法正确的是

粒子竖直初速度为零，先以竖直加速度+a运动时间τ，再以竖直加速度−a运动时间τ。第二段结束时的竖直速度和总竖直位移分别为

带电粒子在匀强电场和地球表面附近的重力场中只受电场力、重力。下列说法正确的是

v\propto\sqrt{|q|/m}