电场强度、电场线与场强叠加
两只带电小球隔着一段空气，既没有细绳相连，也没有碰在一起，却能互相吸引或排斥。你可能会说：“库仑力本来就能隔空作用。”可这句话只说出了现象，还留下一个更难的问题：一个电荷怎样知道远处另一个电荷已经出现？
物理学处理这个问题的办法，是在电荷和受力物体之间放进一个真实存在的“中间角色”——电场。电荷在周围空间激发电场，进入这片空间的另一个电荷受到电场力。作用过程因此变得清楚：场源电荷先改变周围空间，电场再对其中的电荷施力。要继续研究，就需要知道某点的电场有多强、朝哪个方向，以及多个场源同时存在时该怎样合成。
电场强度的定义
想象同一个 P 点，先放入一颗带少量正电的微粒，再换成电荷量更大的正微粒。第二颗微粒受到的力更大。能不能据此说“第二次 P 点的电场更强”？
你可能会这样想：测到的力变大了，场当然更强。这里藏着一个陷阱——你同时换了“探针”。就像用更大的风帆去测同一阵风，帆受到的力更大，不代表风变强了。要描述 P 点电场本身，必须把检验电荷不同造成的影响除掉。
在电场中某点放入电荷量为 q₀ 的正检验电荷，它受到电场力 F。实验和推理都表明：在检验电荷足够小、不明显改变原电场分布时，同一点的 F 与 q₀ 成正比，比值 F/q₀ 不变。我们把这个比值定义为该点的电场强度：
E=F/q₀。
电场强度简称场强，单位是牛每库仑，符号为 N/C。为什么定义要强调“正检验电荷”？因为场强不仅有大小，还有方向；某点场强方向规定为正电荷在该点所受电场力的方向。这样无论实际放入正电荷还是负电荷，空间同一点的场强方向都有唯一答案。
E=F/q₀ 是定义式，适用于任何电场。它告诉我们怎样测量场强，却不表示场强由 F 和 q₀ 共同决定。场源和空间位置不变时，换一个足够小的检验电荷，F 随 q₀ 同比例变化，E 不变。
把公式换一个方向写，就得到电荷在已知电场中的受力关系。若只比较大小，可写 F=|q|E；若比较方向，正电荷受力与 E 同向，负电荷受力与 E 反向。不能把负电荷受到的反向力误说成“这里的场强反向了”——场是场源和位置的属性，受力方向还要看被放入电荷的正负。
同一 P 点依次放入 +q 和 +3q 的微小检验电荷，若前者受力为 F，后者会受到多大的力？两次测得的场强又是否相同？先在心里留一个判断，再到下面的实验台改变检验电荷量。
把检验电荷量调到 3q，受力随之变成 3F，但两次的比值都等于 F/q。于是“检验电荷越大，该点场强越大”这个说法就露出了问题：变大的是探针所受的力，不是原来的电场。书面表达时应说清“检验电荷改变，电场力同比变化，二者比值不变”。既然场强不依赖探针，遇到已知场源的情形，就可以直接从场源和位置求它。
点电荷的电场强度
在真空中固定一个电荷量为 Q 的点电荷，把探测位置放在离它 r 的地方。库仑定律给出检验电荷所受力的大小 F=k|Qq₀|/r²。再除以正检验电荷的电荷量 q₀，得到点电荷在该处产生的场强大小：
E=k|Q|/r²。
这里 k=9.0×10⁹ N·m²/C²。它是真空中点电荷电场的决定式：大小由场源电荷 Q 和到场源的距离 r 决定。正点电荷的场强方向沿半径向外，负点电荷的场强方向沿半径向内。
你可能已经发现，E=F/q₀ 和 E=k|Q|/r² 长得都像场强公式，却不能随便互换角色。前者是任何电场都能用的定义式，F 是某个检验电荷实际或假想受到的力；后者只用于真空中点电荷的电场，Q 是产生电场的场源电荷。把 Q 和 q₀ 混在一起，几乎一定会把“谁产生场、谁接受力”写反。
点电荷公式中的 r 是场源点电荷到研究点的距离。若带电体的大小和形状相对距离不能忽略，就不能擅自把它当点电荷；也不能令 r=0 再声称场强无穷大，因为点电荷模型在场源所在位置并不给出可直接使用的有限场强。
距离不变时，|Q| 变为原来的 2 倍，E 也变为 2 倍；场源不变时，距离变为原来的 2 倍，E 却只剩 1/4。这里的平方意味着场强随距离衰减得比简单反比更快，交互中的“倍距”会把这种变化直接显示出来。
把探测点从距正点电荷 r 的 A 点移到距它 3r 的 B 点，场强便由 E₀ 减小为 E₀/9，方向仍沿场源到 B 点的径向向外。计算中真正需要盯住的是距离的平方和矢量方向；只写一个 E₀/3，或只给数值不说方向，都没有完整描述 B 点的场。空间里每一点都能这样画出箭头，但箭头多到看不清时，就需要另一种表示方法。
电场线怎样表示方向和强弱
如果在许多位置都画出一个场强箭头，纸面很快会挤满。于是人们引入电场线：在电场中画一些有方向的曲线，使曲线上每一点的切线方向都与该点场强方向一致；在同一幅按统一规则绘制的图中，电场线越密的区域表示场强越大。
电场线是描述电场的工具，并不是空间里真实存在的丝线。它的规则不是为了好看，而是为了保证图像与场强这个矢量一一对应：
- 电场线从正电荷或无限远出发，终止于负电荷或无限远；
- 静电场的电场线不闭合，也不会在没有电荷的位置突然开始或中断；
- 任意两条电场线不相交，因为同一点的场强不可能同时有两个方向；
- 某点的方向看曲线在该点的切线，不能看“整条曲线大致朝哪边弯”；
- 疏密表示强弱，但只能在绘图标准一致的图内比较，不能数两张不同示意图各有几根线就判断场强。
平行、等距、同向的直电场线描述匀强电场：各点场强大小和方向都相同。注意“大小相等”还不够，矢量相同必须大小、方向都相同。两处箭头一样长却相反，场强并不相同。
还有一个特别容易混淆的问题：带正电粒子从静止释放后，初始加速度沿电场线切线方向，但它以后是否沿这条电场线运动，还取决于原有速度以及电场是否均匀。电场线描述的是各点场强方向，不是粒子预先铺好的运动轨道。只有在某些特殊条件下，轨迹才会和电场线重合。
“电场线弯，粒子的轨迹就一定沿着它弯”是错误的。场强决定的是瞬时电场力与加速度方向，轨迹由速度和加速度共同决定；负电荷的加速度还与场强方向相反。
假如两条电场线在 P 点相交，能不能把一条理解为正电荷的受力方向，另一条理解为负电荷的受力方向？不能。P 点的场强只有一个确定方向，负电荷受力反向并不会制造第二个场强方向。读图时抓住“切线定方向、疏密比强弱”就够了；若把曲线方向改说成负电荷受力方向，或把曲线当成轨迹，后面的判断都会失去依据。下面的判读器把几类常见电场放在同一套规则下，也为多个场源的合成做好准备。
场强的矢量叠加
把两个点电荷同时放进空间，P 点的场强由谁决定？关键事实是：每个场源仍独立地在 P 点产生自己的分场强，P 点的总场强等于各分场强的矢量和：
E=E₁+E₂+…。
这里的加号是矢量相加，不是见到两个数就直接相加。共线同向时大小相加，共线反向时大小相减；不共线时用平行四边形定则，或先分解成 x、y 分量，再分别求和：E_x=ΣE_ix、E_y=ΣE_iy，最后 E=sqrt(E_x²+E_y²)，方向由两个合分量确定。
例如两个相同的正点电荷分别固定在 (-a,0) 与 (a,0)，P 点坐标为 (0,sqrt(3)a)。P 到每个电荷的距离都是 2a，所以每个分场强大小为 kQ/(4a²)。两箭头关于纵轴对称，水平方向分量抵消，竖直方向分量相加；每个分场强与竖直方向夹角为 30°，故
E=2×kQ/(4a²)×cos30°=sqrt(3)kQ/(4a²)，方向沿 y 轴正方向。
这道例子真正省力的地方不是三角函数，而是先看出了对称性。面对多个场源，先圈出研究点，逐个只保留一个场源，用 E_i=k|Q_i|/r_i² 求出分场强大小；随后根据“离开正电荷、指向负电荷”画准方向。共线、对称或正交关系往往能直接简化合成，没有明显几何捷径时再建立坐标轴求分量。算完还要同时检查大小和方向：若本该因对称而抵消的分量没有抵消，通常是距离、正负号或投影角出了问题。
再把上例右侧的电荷改成等量负电荷。P 点的两个分场强大小都没有变，合场强会不会也不变？右侧电荷产生的分场强已经反向，原来抵消的水平分量现在同向相加，原来相加的竖直分量反而抵消。此时两支分场强的大小仍为 E₀=kQ/(4a²)，方向与 x 轴分别成 +60° 和 -60°，所以合场强沿 x 轴正方向，大小为 2E₀cos60°=E₀=kQ/(4a²)。改变前是 sqrt(3)E₀，改变后是 E₀，大小和方向都变了。可见，分场强的大小不变并不能保证矢量和不变；等量点电荷的对称电场正是这种方向关系最集中的例子。
等量点电荷的对称电场
把 +Q 与 -Q 相隔 2a 固定。连线中点 O 到两电荷距离都为 a，两个分场强大小都为 kQ/a²，方向却都由正电荷指向负电荷，所以
E_O=2kQ/a²。
在连线中垂线上，来自两电荷的分场强大小相等，垂直于两电荷连线的分量抵消，沿两电荷连线的分量同向相加；中垂线上各点合场强方向都从正电荷一侧指向负电荷一侧。越远处合场强最终趋近于零，但不是突然消失。
若改成两个 +Q，O 点的两个分场强等大反向，合场强为零。在中垂线上，沿两电荷连线的分量抵消，垂直分量相加；O 点上方的合场强向上，下方则向下。沿中垂线从 O 点出发，场强大小先由零增大，远处再逐渐减小到趋近于零。不要把“越远越弱”的单个点电荷结论生搬到合场中，因为刚离开 O 时，原来完全抵消的两个矢量正在变得不完全抵消。
判断对称点的场强是否“相同”，必须逐点比较矢量。等量异种电荷中垂线上关于 O 对称的两点，合场强大小相等、方向相同；等量同种正电荷中垂线上关于 O 对称的两点，大小相等、方向相反。
因此，只看到两个分场强大小相等，还不能断定合场强为零；两支箭头还必须方向相反。等量异种电荷的中点不为零，等量同种电荷的中点才为零。与其把这两个结论分开硬背，不如在中点各画两支分场强箭头，正负号一换，合成结果自然跟着改变。
两点电荷连线上的零场点
两点电荷连线上寻找 E=0 的位置时，最危险的做法是直接写 k|Q₁|/r₁²=k|Q₂|/r₂²。这个等式只保证两个分场强大小相等，还没有保证方向相反。正确顺序是先分区判断方向，再在可能抵消的区域列大小关系。
同种点电荷之间，两分场强方向相反，因此零场点在两者之间；若电荷量不等，零场点更靠近电荷量绝对值较小的一个。异种点电荷之间，两分场强方向相同，不可能抵消；若两者电荷量绝对值不等，零场点在连线外侧、靠近绝对值较小的电荷一边。若等量异种，连线上不存在有限的零场点。
例如 +4Q 放在 x=0，+Q 放在 x=3a。零场点应在两者之间并靠近 +Q。设它到 +4Q 的距离为 x，则到 +Q 的距离为 3a-x，由
k·4Q/x²=kQ/(3a-x)²
得 x=2a，确实离较小的 +Q 只有 a。如果算出另一个代数根落在预判区域之外，应结合分场强方向舍去，而不是把两个根都留下。
更复杂的分布有时可以用“补偿”简化：若题目已经给出完整对称带电体的场强结论，而实际分布缺少一部分，可以把实际分布看成“完整分布减去被挖去部分”，写成矢量关系 E_实际=E_完整-E_挖去。这里的减法仍是叠加原理，不意味着可以在必修阶段自行对任意连续带电体积分；没有题目给出的已知模型，就不要凭外形硬套。
用 +Q 与 -4Q 相距 d 的情形检验这套判断。两电荷之间场强同向，零场点只能在外侧；要让大小相等，它还应靠近较小的 +Q，所以位置在 +Q 外侧。设该点离 +Q 为 s，离 -4Q 为 s+d，由 kQ/s²=4kQ/(s+d)² 得 s=d。
这类题的可靠写法可以浓缩成一条推理链：划分区域并标方向，锁定可能抵消的位置，再列平方反比关系，最后检验代数解是否真的落在该区域。若只写大小等式，即使数值碰巧正确，也没有说明两个分场强为何能够抵消。至此，静电场的“力的地图”已经完整了：场强描述每一点的推拉能力，电场线把方向和相对强弱画出来，叠加原理则把多个场源合为一张总图。下一章将从力的角度转向能量，讨论电荷处在不同位置时具有的电势能。
课后练习：场强方向与矢量合成
1
在同一电场的P点先后放入电荷量为q和2q的微小正检验电荷，后者所受电场力为前者的2倍。关于P点场强，正确的是？
2
关于电场强度和电场力，下列说法正确的是哪些？
3
真空中正点电荷Q在距它r处产生的场强为E。若Q不变，研究点移到距它3r处，场强大小变为？
4
电场线在某点的切线方向表示正电荷在该点的受力方向，因此两条电场线不能相交。
5
带电粒子的运动轨迹一定与它所在电场中的电场线重合。
6
相距2a的+Q和−Q固定在同一直线上，O为连线中点。O点场强的大小和方向是？
7
两个等量正点电荷的连线中点处合场强为零。若把其中一个改为等量负点电荷，中点处合场强将怎样？
第 8 题： 两个相同的正点电荷分别固定在等边三角形底边两端，电荷量均为 Q，底边长为 a。求三角形顶点 P 的合场强大小和方向。
第 9 题： +4Q 固定在 x=0，+Q 固定在 x=3a。求 x 轴上的零场点，并说明为什么其他区域没有零场点。
第 10 题： +Q 与 -4Q 相距 d。在两电荷所在直线上求有限的零场点位置。
第 11 题： 某处场强大小为 2.0×10⁴ N/C、方向水平向右。分别求放入 +3.0×10⁻⁸ C 和 -3.0×10⁻⁸ C 电荷时所受电场力的大小与方向。
第 12 题： 一幅电场线图中，A处电场线比B处密；另一幅独立绘制的电场线图中，C处画了比A处更多的线。哪些场强强弱关系可以可靠判断？为什么？