第7章　电源、电流、电阻与基本电路

按下手电筒开关，灯几乎立刻亮了。你可能会以为电子从电池高速冲到灯泡，又被一点点“消耗”掉。可导线里的电子为什么不会耗尽？如果电子移动得并不快，灯又为什么立即发光？

要回答这些问题，需要分清电源维持的是什么、电流量度的是什么，以及电压、电流和电阻之间到底是谁决定谁。本章只研究电源、电流、单个元件的伏安特性与电阻定律；串、并联电路和电表改装留到下一章，完整的电阻测量实验留到第9章，电功、电热与闭合电路则分别在第10、11章展开。

一、电源与持续电流：灯亮得快，不等于电子跑得快

把一只小灯泡、一节电池和开关连成回路。开关断开时，电池两极明明已有电势差，灯却不亮；开关闭合后，整条回路很快出现电流。若把电池理解成“电子仓库”，似乎是电池刚刚把电子发射出去，电子再排队跑到灯丝。可导线中原本就存在大量可以移动的自由电子，事实并不是电池临时造出一批电子。

没有电源，只把金属导线接成环，里面同样有自由电子，却不会自行形成持续的定向运动。“有自由电荷”只解决了谁能移动，还缺少维持定向运动的原因。

电源维持的是电势差

电源把其他形式的能量转化为电能，在内部把正电荷从低电势一端搬运到高电势一端，从而维持两端的电势差。干电池主要转化化学能，发电机主要转化机械能。电源并不是自由电子的生产线；电动势和电源内阻要到闭合电路中再精确定量。

开关闭合后，电路中的电场状态很快建立，自由电子在无规则热运动上叠加缓慢的定向移动，于是各处出现电流。这不表示某个电子已从电池跑到灯丝。

形成持续电流通常要有两个条件：导体中存在能够自由移动的电荷，导体两端存在持续的电势差。金属中的载流子主要是自由电子，电解质溶液中的载流子则有正、负离子。电源、导线、开关和用电元件组成闭合通路后，才有了自由电荷持续定向移动的条件。

开路、闭路与短路

开路不等于处处没有电压，闭路也不等于电荷被用电器消耗。 开关断开时，断口两端可以有电势差，只是没有完整的持续导电通路；闭合后，流入用电元件的电荷不会凭空消失，元件改变的是电荷能量，不是把电荷“吃掉”。

把电源说成“提供电荷”也不准确。普通金属电路本来就有大量自由电子，电源主要负责维持使它们定向运动的电场。

若把电源两端用极低电阻导线直接相连，就会短路，电流可能很大并造成危险。不要把短路理解成可直接代入计算的“电阻严格为零”。

现在把判断压缩到两句话：闭合手电筒开关后，哪一种解释更准确？

1. 电池刚放出的电子迅速跑过整根导线，到达灯丝后使它发光。
2. 电路各处的电场状态很快建立，导线中原有自由电子在电场作用下形成定向移动。

准确的是第二句。灯亮的响应速度不是电子漂移速度；开关断开时，断口两端也可能有电势差，所以“没有电流”不能推出“没有电压”。

这里其实有三个不同对象：自由电子的定向移动、电流方向、电场状态的传播。灯很快亮，是因为电场状态很快建立；金属中的载流子是自由电子；常规电流则按正电荷定向移动方向规定。把三者揉成一句“电子飞得很快”，后面的方向判断也会跟着错。

电流大小必须盯住一个截面

比较电流大小，不能数某一时刻导线里有多少电荷，而要盯住一个截面，统计单位时间内的通过量。

二、电流的定义与微观表达：盯住截面，不要追着一颗电子跑

甲导线在 $2\ \text{s}$ 内通过某截面的电荷量为 $6\ \text{C}$，乙导线在 $5\ \text{s}$ 内通过某截面的电荷量为 $10\ \text{C}$。乙通过的总电荷更多，但它的“流动强弱”一定更大吗？只比电荷量，会漏掉时间；只比时间，又不知道通过了多少电荷。

电流要比较的是电荷通过截面的快慢，所以必须把通过量和所用时间放在一起。

单位时间内通过截面的电荷量

在一段时间 $\Delta t$ 内，通过导体某一横截面的电荷量为 $\Delta q$，电流强度定义为

$I=\frac{\Delta q}{\Delta t}$

若电流大小和方向不随时间变化，就是恒定电流；这时也常写成 $I=q/t$。电流的国际单位是安培，简称安，符号 A，

$1\ \text{A}=1\ \text{C}/\text{s}$

甲导线电流为 $3\ \text{A}$，乙为 $2\ \text{A}$，所以乙通过的总电荷更多，电流却较小。

电流方向规定为正电荷定向移动的方向。金属中自由电子带负电，因此电子定向移动方向与电流方向相反。电流虽然有方向，却是标量；在选定参考方向后，可以用正、负号表示实际方向，但电流合成服从代数规则，不按平行四边形法则处理。

一段圆柱体里的载流子

把视线移到一段均匀导线。设单位体积内自由电荷数为 $n$，每个载流子电荷量的绝对值为 $q$，导线横截面积为 $S$，载流子定向移动的平均速率为 $v_{\text d}$。时间 $\Delta t$ 内，能穿过截面的载流子来自长度 $v_{\text d}\Delta t$ 的圆柱体，其中载流子数为 $nSv_{\text d}\Delta t$，通过的电荷量为

$\Delta q=nqSv_{\text d}\Delta t$

代回定义式，得到

$I=nqSv_{\text d}$

定义式和微观式各有条件

公式 $I=q/t$ 是定义式，不意味着电流“由 $q$ 和 $t$ 决定”。稳定电流的观察时间加倍，通过量也加倍，电流不变。

微观式中的 $v_{\text d}$ 是定向移动平均速率，不是电子无规则热运动的速率，也不是开关闭合后电场状态沿电路建立的速度。还要看清限制条件：只有在 $n$、$q$、$S$ 均未改变时，才能说 $I$ 与 $v_{\text d}$ 成正比；把其他因素藏起来后喊“速度越大电流一定越大”，条件就丢了。

对电解质溶液，正、负离子通常向相反方向移动，但二者形成的常规电流可能同向，因此对同一截面的电流贡献要相加，不能看到“运动方向相反”就相减为零。

漂移速度究竟有多慢

某金属导线中自由电子数密度为 $n=8.0\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$，横截面积 $S=1.0\ \text{mm}^2$，通过的电流为 $1.6\ \text{A}$。取电子电荷量大小 $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$。电子定向移动的平均速率是多少？结果会像你直觉中那么快吗？

面积必须先换成国际单位：$1.0\ \text{mm}^2=1.0\times10^{-6}\ \text{m}^2$。由 $I=neSv_{\text d}$ 得

$v_{\text d}=\frac{I}{neS}=\frac{1.6}{8.0\times10^{28}\times1.6\times10^{-19}\times1.0\times10^{-6}}=1.25\times10^{-4}\ \text{m/s}$

这个速度只有每秒约 $0.125\ \text{mm}$，和“电子瞬间跑遍电路”的想象相差很远。计算时最容易漏掉 $\text{mm}^2$ 到 $\text{m}^2$ 的平方换算，或者把电子带负电直接代出“负速率”。式中的 $q$ 取电荷量的绝对值，方向另由载流子种类和约定电流方向判断。

从漂移运动到电阻

自由电荷受电场力似乎应不断加速，可金属中的定向运动不断受晶格等因素阻碍，稳定后形成确定的平均漂移。宏观上，这种阻碍用电阻描述。

人工复核：该交互完成一轮 390px 窄屏修复并复验；“负载流子平均漂移方向”与中央说明仍局部叠压，不影响控件和计算，留待人工确认。

三、欧姆定律与基本回路：电阻不是电压“除出来”的副产品

把同一个定值电阻先接在 $3\ \text{V}$ 电压下，测得电流 $0.15\ \text{A}$；再接在 $6\ \text{V}$ 电压下，电流变为 $0.30\ \text{A}$。有人计算两次 $R=U/I$，发现都是 $20\ \Omega$，便说：“因为第二次电压和电流都变大，所以电阻刚好没变。”

这把因果关系说反了：正因为元件在温度等条件不变时电阻近似不变，电流才随电压成正比。

电阻的定义和欧姆定律

对一段导体，电压 $U$ 与电流 $I$ 的比值叫这段导体的电阻：

$R=\frac{U}{I}$

电阻表示导体对电流的阻碍作用，国际单位是欧姆，符号 $\Omega$，并有 $1\ \text{k}\Omega=10^3\ \Omega$、$1\ \text{M}\Omega=10^6\ \Omega$。

在温度等条件保持不变时，对服从欧姆定律的导体，通过导体的电流与两端电压成正比，与电阻成反比：

$I=\frac{U}{R}$

这叫部分电路欧姆定律。金属导体和电解质溶液在一定条件下通常可以按它处理；气体导电、半导体器件和工作温度明显变化的灯丝往往表现为非线性，不能把一个固定 $R$ 从头套到尾。

在最简单的单电阻回路里，先确认“电源—开关—电阻—回到电源”的闭合路径。开关断开时持续电流为零；闭合后，若题目给出电阻两端电压，就可用 $I=U/R$。多个电阻的分压分流留到下一章。

同一个比值背后的三层关系

把 $R$、$U$ 和 $I$ 放在同一个式子里，很容易误判因果。三层关系需要分开：

• $R=U/I$ 是电阻的定义和工作点计算方法；
• 对线性电阻，$R$ 在条件不变时近似恒定，才有 $I\propto U$；
• $R$ 真正受材料、长度、横截面积和温度等因素影响，不能由“电压大所以电阻大”来判断。

单位也会悄悄设下陷阱。若 $U$ 用伏特、$I$ 用安培，得到的 $R$ 才直接是欧姆；若电流用毫安，必须先换成安培。例如 $5.0\ \text{V}/20\ \text{mA}=250\ \Omega$，不是 $0.25\ \Omega$。

电压增大三倍，电阻会跟着变吗

一个 $30\ \Omega$ 的定值电阻两端电压从 $3.0\ \text{V}$ 增到 $9.0\ \text{V}$，温度可认为不变。电流变为原来的几倍？电阻又变为原来的几倍？

由 $I=U/R$，电阻不变而电压变为3倍，电流也变为3倍，从 $0.10\ \text{A}$ 变为 $0.30\ \text{A}$；电阻仍是 $30\ \Omega$。这个判断的关键不是算术，而是“同一线性电阻、温度不变”。一旦把 $R=U/I$ 误读成“$U$ 增大导致 $R$ 增大”，比例关系就会完全倒置。

电阻不再恒定时，图像会说话

换成小灯泡再重复实验，电压升高时灯丝温度也升高，$U/I$ 不再保持常量。此时死守一个电阻值会失败，但每一组 $U、I$ 数据仍然有意义。把它们画成图像，就能看出元件的导电特性怎样随工作状态改变。

四、伏安特性：先看坐标，再谈斜率

同一组数据既能画成 $I-U$ 图，也能交换坐标画成 $U-I$ 图。有人背下“斜率就是电阻”便到处照搬；还有人用曲线某点切线斜率计算 $U/I$。两个错误都来自没有先读坐标。

坐标决定斜率的物理意义

若画 $I-U$ 图像，横轴为 $U$、纵轴为 $I$。对服从欧姆定律且电阻不变的元件，图像是过原点的直线，其斜率

$k_{I-U}=\frac{I}{U}=\frac{1}{R}$

直线越陡，电阻越小。若画 $U-I$ 图像，斜率则是

$k_{U-I}=\frac{U}{I}=R$

直线越陡，电阻越大。只有先确认纵轴是谁，斜率才有物理意义。

对小灯泡、二极管等非线性元件，图线不是直线。求某工作点的电阻，要用该点坐标的比值 $R=U/I$，几何上对应原点与该点连线的斜率或其倒数，而不是该点切线斜率。切线反映工作点附近微小变化的关系，与这里求的工作点电阻不是同一个量。

小灯泡电压升高后灯丝温度升高，电阻通常增大，所以 $I$ 的增长逐渐跟不上 $U$；二极管有明显方向性，正向电流增长较快，反向电流很小。本章不展开半导体内部结构。

曲线弯了，不等于定律错了

“曲线弯了”不等于欧姆定律被实验推翻，而是说明这个元件在所考察范围内不能用一个不变的 $R$ 描述。欧姆定律本来就有适用条件。

比较两只定值电阻时，必须保证它们画在同一种坐标系中。在 $I-U$ 图里斜率大的电阻小，在 $U-I$ 图里斜率大的电阻大。若图像不是直线，比较某两个工作点电阻，就分别计算 $U/I$；不要凭“曲线看起来更陡”下结论。

交换坐标后的陡缓关系

在同一张 $I-U$ 图中，甲、乙都是过原点的直线，甲比乙更陡。哪只电阻更大？若把同一组数据改画成 $U-I$ 图，两条直线的陡缓关系会怎样？

$I-U$ 图的斜率是 $1/R$，甲更陡，所以 $R_\text{甲}<R_\text{乙}$。交换坐标后，斜率变为 $R$，乙线更陡。斜率始终是纵轴变化量除以横轴变化量；先写清坐标，再对照物理量，比背一句“斜率等于电阻”稳妥得多。

非线性曲线还要多一步：题目若给定工作点，就从原点连到该点，用坐标比值算电阻；不要擅自作切线。若题目研究的是该点附近电流随电压的变化快慢，才会关心切线斜率。

斜率为什么会随导线改变

改变导线长度或粗细后，伏安直线的斜率为什么变化？这要回到导体本身：材料、长度、横截面积和温度共同决定电阻。

五、电阻定律：同一根线被拉长，变化的不只有长度

取同种材料做成的两根均匀电阻丝，一根长而细，一根短而粗。凭直觉，你大概会说长而细的更难让电流通过。可“更长”和“更细”同时发生，怎样把两种影响分开？更有意思的是，把一根金属丝均匀拉到原长的2倍，它的电阻只是变成2倍吗？

金属丝被拉长时，若体积近似不变，横截面积还会变小，两种效应会一起增大电阻。

长度、截面积和材料怎样决定电阻

对材料和横截面积相同的均匀导体，长度越长，电阻越大；对材料和长度相同的均匀导体，横截面积越大，电阻越小。把实验规律合并，得到电阻定律

$R=\rho\frac{l}{S}$

其中 $l$ 是导体长度，$S$ 是横截面积，$\rho$ 是材料的电阻率。电阻率反映材料的导电性能，国际单位为欧姆·米，符号 $\Omega\cdot\text{m}$。在其他条件相同时，电阻率越小，材料导电性能越好。

电阻率与材料和温度有关。一般金属温度升高时电阻率增大；某些半导体的趋势可能相反。若题目未说明温度改变，通常认为 $\rho$ 不变；灯丝温度变化明显时则不能忽略。

若导线直径为 $d$，横截面积应写成

$S=\frac{\pi d^2}{4}$

所以直径变为原来的2倍，在材料、长度、温度不变时，面积变为4倍，电阻变为原来的 $1/4$。注意，截面积与直径成平方关系，不是一次关系。

定义式与决定式不能互相替代

$R=\rho l/S$ 是决定式，$R=U/I$ 是定义和测量式。前者告诉你电阻受哪些自身条件影响，后者告诉你怎样用某工作点的电压、电流计算电阻。把两式的角色分清，才不会得出“加电压会把均匀金属导体拉长”这种荒唐因果链。

判断形变后的电阻，要逐项清点 $\rho、l、S$。若一根均匀导线体积近似不变，原体积 $V=lS$。拉伸到原长的 $k$ 倍时，

$l'=kl,\qquad S'=\frac{S}{k}$

在材料和温度不变的条件下，

$R'=\rho\frac{l'}{S'}=\rho\frac{kl}{S/k}=k^2R$

你可能会只看到“长度变2倍”便写 $R'=2R$，可截面积此时也变为原来一半。体积守恒条件下，两种变化同时起作用，结果应是 $R'=4R$。

拉伸三倍与截取一半

一根均匀金属丝电阻为 $R$，材料和温度不变，将它均匀拉长到原来的3倍，并认为体积不变。新电阻是多少？若改成从中点截成相等两段，只取其中一段，它的电阻又是多少？

均匀拉伸到3倍时，$l'=3l$，由 $lS=l'S'$ 得 $S'=S/3$，所以 $R'=9R$。从中点截开只取一段时，材料和截面积不变，长度变为 $l/2$，所以该段电阻为 $R/2$。

处理这类变化，先查材料和温度，再写长度变化，最后由体积或直径判断截面积。若“对折后接入”还涉及两段连接，就已经进入下一章的串、并联分析了。

从单个电阻走向组合电路

到这里，我们已经能从微观载流子解释电流，从宏观电压—电流关系定义电阻，再从材料和几何形状决定电阻。下一章把多个电阻连接起来时，真正的新问题不再是单个电阻怎么算，而是电流怎样分流、电压怎样分配，以及表头怎样借助分流和分压扩大测量范围。

电源、电流与电阻的逻辑链

课后练习

1. 电源的作用

2. 电流定义

3. 方向与标矢性

4. 电流的微观表达式

5. 漂移速度辨析

6. 部分电路欧姆定律

7. 电阻的含义

8. 伏安特性斜率

9. 非线性元件的工作点电阻

某小灯泡伏安特性曲线上一个工作点的坐标为 $U=3.0\ \text{V}$、$I=0.25\ \text{A}$。求此工作点的电阻，并说明能否把这个值当作小灯泡在任意电压下的固定电阻。

10. 电阻定律

11. 均匀拉伸

12. 综合判断