透镜与成像

透镜是光学仪器的核心元件，照相机、投影仪、眼镜、望远镜的成像都依赖透镜对光线的折射作用。玻璃镜片看似简单，却能将远处的景物缩小投影，也能将细微的文字放大数倍，背后遵循的正是光的折射规律。理解透镜的成像原理，是学习所有光学仪器的基础。

凸透镜与凹透镜的特点

透镜是由透明玻璃（或其他透明材料）制成的光学元件，其两个表面至少有一个是球面。根据形状不同，透镜分为两大类：凸透镜和凹透镜。

• 凸透镜的中间厚、边缘薄，常见形状有双凸、平凸和凸凹三种。阳光通过凸透镜后会向中央汇聚，因此凸透镜也称为汇聚透镜或会聚透镜。日常生活中，放大镜、老花眼镜（远视眼镜）、照相机镜头中的正镜片都是凸透镜。

• b凹透镜的中间薄、边缘厚，光线通过后向外散开，因此也称为发散透镜。近视眼镜的镜片就是凹透镜。

例1　将凸透镜和凹透镜分别正对太阳，在镜片背面放一张白纸，慢慢调整纸的距离，观察白纸上的亮斑变化。

凸透镜背面的白纸在某个特定距离时，会出现一个非常亮的小光点，这正是太阳光汇聚的焦点。继续移近或移远白纸，光点都会变大变暗。凹透镜背面的白纸上，无论放在哪个距离，都只会出现一个逐渐扩大的光斑，光线被发散，无法汇聚成点。

凸透镜对光线的会聚作用与其弯曲程度（曲率）有关。镜片越厚、表面弯曲越大，会聚能力越强，焦距越短；镜片越薄，会聚能力越弱，焦距越长。这也是为什么度数高的老花镜镜片更厚、度数低的相对较薄。

凸透镜的焦点与焦距

描述凸透镜的光学特性时，需要了解几个重要概念：光心、主光轴、焦点和焦距。

通过透镜中心的一条假想直线叫做主光轴（简称光轴），透镜的几何中心叫做光心（用字母 $O$ 表示）。通过光心的光线传播方向不改变，这是光心的重要性质。

平行于主光轴的光线通过凸透镜折射后，会汇聚于主光轴上的一点，这个点就是凸透镜的焦点（用字母 $F$ 表示）。凸透镜两侧各有一个焦点，两个焦点关于透镜对称，均称为实焦点。

从光心到焦点的距离称为焦距，用字母 $f$ 表示。焦距是描述凸透镜会聚能力的核心参数：

$f = \text{光心到焦点的距离}$

例2　用焦距为 $10\ \text{cm}$ 的凸透镜正对太阳光，测量白纸上最亮光点到透镜的距离，应该得到多少？改换焦距为 $20\ \text{cm}$ 的凸透镜，光点到透镜的距离又是多少？

太阳距离地球极远，射来的光线可近似看作平行光。平行光经凸透镜折射后汇聚于焦点，因此白纸到透镜的距离就等于焦距。焦距为 $10\ \text{cm}$ 的凸透镜，光点距离为 $10\ \text{cm}$；焦距为 $20\ \text{cm}$ 的凸透镜，光点距离为 $20\ \text{cm}$。这是测量凸透镜焦距的常用方法，称为平行光聚焦法。

光心与焦点、双焦点的位置关系是分析凸透镜成像的基础。在画光路图时，通常以光心为原点，以主光轴为横轴建立坐标，两侧各标出一倍焦距 $f$ 和两倍焦距 $2f$ 的位置，这四个特殊位置将主光轴分成若干区间，每个区间对应不同的成像情况。

凸透镜的成像规律

凸透镜成像时，物体到透镜的距离称为物距，用 $u$ 表示；像到透镜的距离称为像距，用 $v$ 表示；焦距用 $f$ 表示。三者之间满足薄透镜公式：

$\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$

物距 $u$ 不同，成像的性质（大小、正倒、虚实）会随之改变。以下是凸透镜成像的完整规律：

例3　一个凸透镜的焦距为 $15\ \text{cm}$，将一支蜡烛放在距透镜 $40\ \text{cm}$ 处。判断成像的性质，并用薄透镜公式求像距。

物距 $u = 40\ \text{cm}$，焦距 $f = 15\ \text{cm}$。

由于 $u = 40\ \text{cm} > 2f = 30\ \text{cm}$，按成像规律，应得到倒立、缩小的实像。

代入薄透镜公式：

$\frac{1}{40} + \frac{1}{v} = \frac{1}{15}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{15} - \frac{1}{40} = \frac{8}{120} - \frac{3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$

$v = 24\ \text{cm}$

像距 $24\ \text{cm}$ 处于 $f$ 到 $2f$（即 $15\ \text{cm}$ 到 $30\ \text{cm}$）之间，与规律一致。

例4　将同一支蜡烛从距透镜（焦距 $f = 15\ \text{cm}$）很远处逐渐向透镜移近，描述成像的变化过程。

这个过程有一个规律性结论：实像时，物近像远像变大；物远像近像变小。虚像时，物越近像越小，物越近焦点像越大。

例5　使用焦距 $f = 10\ \text{cm}$ 的凸透镜，要将一张幻灯片投影到屏幕上，屏幕上的像要求是实物大小的5倍（放大5倍）。求幻灯片到透镜的距离和屏幕到透镜的距离。

放大倍数为5，说明 $v = 5u$。代入薄透镜公式：

$\frac{1}{u} + \frac{1}{5u} = \frac{1}{10}$

$\frac{5}{5u} + \frac{1}{5u} = \frac{1}{10}$

$\frac{6}{5u} = \frac{1}{10}$

$5u = 60 \implies u = 12\ \text{cm}$

$v = 5u = 60\ \text{cm}$

幻灯片距透镜 $12\ \text{cm}$（处于 $f$ 到 $2f$ 之间，符合投影仪成像条件），屏幕距透镜 $60\ \text{cm}$。

实像与虚像的区别

实像和虚像是光学中两个重要概念，二者在形成原理、能否在屏幕上显示等方面有本质区别。

实像是由实际光线会聚而成的像。折射后的光线确实在像的位置交会，因此在该位置放一张白纸或光屏，就能在屏上看到清晰的像。凸透镜在物距大于焦距（$u > f$）时所成的像都是实像。实像相对于物体而言是倒立的。

虚像是由折射光线的反向延长线相交而成的像。实际光线并不经过像的位置，只是人眼沿折射光线向后追溯，感觉光线像是从那个位置发出的。在虚像的位置放光屏，屏上不会出现像。凸透镜在物距小于焦距（$u < f$）时，以及凹透镜成像，都是虚像。虚像相对于物体而言是正立的。

例6　用放大镜看书时，看到的字比实际更大，这个像是实像还是虚像？如何验证？

用放大镜看到的放大文字是虚像。放大镜的工作条件是物距小于焦距（$u < f$），折射后的光线是发散的，实际光线并不汇聚，只是延长线相交于放大镜后方形成虚像。验证方法：在放大镜和眼睛之间放一张白纸，白纸上不会出现文字的像，说明该处确实没有实际光线汇聚，从而证明是虚像。

实像和虚像的区别，在光学仪器的设计中非常关键。照相机需要在底片（或感光元件）上形成实像，投影仪需要在幕布上形成实像，因此都要求物距大于焦距。而放大镜只需要人眼观察虚像，不需要光屏，所以物距小于焦距即可工作。

练习题

选择题

第1题（考查凸透镜与凹透镜的光学特性）

下列关于凸透镜和凹透镜的说法，正确的是：

A. 凸透镜只能成放大的像，凹透镜只能成缩小的像

B. 凸透镜对光线有会聚作用，凹透镜对光线有发散作用

C. 透过凸透镜看到的像一定是虚像

D. 凸透镜的焦点在透镜内部，无法测量

第2题（考查凸透镜成像规律）

用凸透镜（焦距 $f = 10\ \text{cm}$）拍照时，物体到透镜的距离应满足：

A. $u < 10\ \text{cm}$　　B. $10\ \text{cm} < u < 20\ \text{cm}$　　C. $u > 20\ \text{cm}$　　D. $u = 10\ \text{cm}$

第3题（考查实像与虚像的区别）

下列关于实像和虚像的说法，正确的是：

A. 实像一定比物体大，虚像一定比物体小

B. 实像可以用光屏接收，虚像不能用光屏接收

C. 虚像是不真实存在的，用眼睛无法看到

D. 平面镜成的像是实像，放大镜成的像是虚像

第4题（考查物距变化对成像的影响）

用凸透镜（焦距 $f = 12\ \text{cm}$）做成像实验，将蜡烛从距透镜 $30\ \text{cm}$ 处向透镜移近至 $20\ \text{cm}$ 处，下列描述正确的是：

A. 像变小，像距变小　　B. 像变大，像距变大　　C. 像变小，像距变大　　D. 成虚像，像在物体同侧

计算题

第5题（考查薄透镜公式的综合应用）

一台投影仪使用焦距为 $f = 20\ \text{cm}$ 的凸透镜。幻灯片放在距透镜 $25\ \text{cm}$ 处。

（1）求投影屏幕到透镜的距离（像距 $v$）。

（2）屏幕上的像与幻灯片相比，放大了多少倍？

（3）若要将放大倍数增加到原来的2倍，幻灯片应移到距透镜多远处？此时屏幕应移到什么位置？

第6题（考查凸透镜焦距的测量与成像判断）

一次实验中，将一个发光物体放在凸透镜前 $60\ \text{cm}$ 处，在透镜另一侧 $30\ \text{cm}$ 处的光屏上出现了清晰的像。

（1）求该凸透镜的焦距 $f$。

（2）此时光屏上像的大小与物体相比如何？（放大、缩小还是等大？）

（3）将物体移到距透镜 $25\ \text{cm}$ 处，光屏上还能否出现清晰的像？说明原因，并判断此时成像的性质。