光学仪器

凸透镜能够折射光线，在不同的条件下形成大小、位置各不相同的像。将这一原理运用到实际装置中，就诞生了种类繁多的光学仪器。放大镜帮助人们看清微小的物体，照相机将瞬间的景象永久定格，投影仪把图像放大投射到屏幕上，眼镜则帮助视力有问题的人重新看清世界。这些装置看似用途各异，但它们的成像原理都遵循同一套凸透镜成像规律。

放大镜

放大镜是最简单也是最常见的光学仪器，其核心部件是一片凸透镜。将物体放在凸透镜焦点以内，即物距 $u < f$ 时，透过透镜观察，看到的是一个正立、放大的虚像。这个虚像无法投射到光屏上，只能用眼睛直接观察，但它比原物体显得更大，因此能帮助人们辨认细小的结构。

使用放大镜时，物体越靠近焦点（但不超过焦距），虚像越大；若物体超过焦距，像就会消失，继续移远则会看到倒立的实像，放大镜的放大效果消失。下表总结了凸透镜在不同物距下的成像规律：

例1　用一块焦距为 $5\ \text{cm}$ 的放大镜观察一枚邮票，将邮票放在距透镜 $3\ \text{cm}$ 处。说明此时的成像类型及像的特征。

物距 $u = 3\ \text{cm}$，焦距 $f = 5\ \text{cm}$，$u < f$，满足放大镜的使用条件。此时凸透镜形成正立、放大的虚像，位于邮票的同侧，只能用眼睛观察，无法用光屏接收。邮票上的细节在虚像中被放大显示，便于观察。

例2　同一块放大镜（焦距 $f = 5\ \text{cm}$），先将物体放在距透镜 $2\ \text{cm}$ 处，再移到 $4\ \text{cm}$ 处。两次观察到的虚像，哪次更大？

两次物距均小于焦距，都能看到放大的虚像。物距越大（越靠近焦点），虚像越大。$u = 4\ \text{cm}$ 比 $u = 2\ \text{cm}$ 更接近焦点，因此在 $u = 4\ \text{cm}$ 时观察到的虚像更大。

放大镜在日常生活和科学研究中有广泛用途，不同场合对放大倍数和焦距的要求各不相同：

照相机

照相机的镜头是一组凸透镜的组合，其成像原理与单片凸透镜相同。拍摄时，景物到镜头的距离（物距）远大于两倍焦距，即 $u > 2f$，此时在胶片或感光元件上形成倒立、缩小的实像。这个实像被记录下来，经过数字处理后成为照片。照片上的像虽然成像时是倒立的，但显示时已自动翻转，因此看到的照片是正立的。

当拍摄近处的物体时，需要将镜头向前推出（增大像距），才能使物体清晰成像；拍摄远处的物体时，像距减小，镜头向后缩回。这就是相机对焦的实质——通过改变像距，使不同距离的物体在感光元件上清晰成像。

例3　用一台相机拍摄一棵距镜头 $10\ \text{m}$ 远的大树，相机镜头的焦距为 $50\ \text{mm}$。用薄透镜公式计算此时的像距，并判断像的性质。

焦距 $f = 50\ \text{mm} = 0.05\ \text{m}$，物距 $u = 10\ \text{m}$，远大于 $2f = 0.1\ \text{m}$，满足 $u > 2f$，形成倒立、缩小的实像。由薄透镜公式：

$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$

代入数据：

$\frac{1}{0.05} = \frac{1}{10} + \frac{1}{v}$

$\frac{1}{v} = 20 - 0.1 = 19.9$

$v \approx 0.0503\ \text{m} \approx 50.3\ \text{mm}$

像距略大于焦距，说明在拍摄远景时，感光元件位置几乎就在焦平面处，这也是镜头标注的焦距与感光元件到镜头距离基本一致的原因。

例4　接上题，摄影师转身拍摄距镜头 $0.5\ \text{m}$ 处的花朵（焦距仍为 $50\ \text{mm}$）。求此时的像距，并计算需要将镜头向前推出多少距离。

$u' = 0.5\ \text{m}$，代入薄透镜公式：

$\frac{1}{0.05} = \frac{1}{0.5} + \frac{1}{v'}$

$\frac{1}{v'} = 20 - 2 = 18$

$v' \approx 0.0556\ \text{m} \approx 55.6\ \text{mm}$

拍摄远景时像距约为 $50.3\ \text{mm}$，拍摄近处花朵时像距约为 $55.6\ \text{mm}$，需要将镜头向前推出约 $55.6 - 50.3 \approx 5.3\ \text{mm}$。物距越小，像距越大，镜头需要推出越多，这是相机对焦调节的物理本质。

投影仪

投影仪的成像原理与照相机恰好相反：它将一个放置在靠近焦点处的幻灯片，通过凸透镜投射到远处的屏幕上，形成倒立、放大的实像。幻灯片放置的位置满足 $f < u < 2f$，此时像距 $v > 2f$，像在透镜的另一侧较远处，且比原物体大。为了使投影到屏幕上的图像是正立的，幻灯片要倒插入投影仪中。

下表将放大镜、照相机、投影仪三种常见光学仪器的成像条件对比如下：

例5　一台投影仪的镜头焦距为 $f = 20\ \text{cm}$，将幻灯片放在距镜头 $25\ \text{cm}$ 处。计算像距，并求投影图像相比幻灯片放大了多少倍。

物距 $u = 25\ \text{cm}$，满足 $f < u < 2f$（即 $20\ \text{cm} < 25\ \text{cm} < 40\ \text{cm}$）。由薄透镜公式：

$\frac{1}{20} = \frac{1}{25} + \frac{1}{v}$

$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = \frac{5 - 4}{100} = \frac{1}{100}$

$v = 100\ \text{cm}$

像距为 $100\ \text{cm}$，远大于 $2f = 40\ \text{cm}$，形成倒立、放大的实像。放大倍数为：

$m = \frac{v}{u} = \frac{100}{25} = 4$

幻灯片上的图像被放大了 $4$ 倍投射到屏幕上。投影仪距屏幕越远，像越大，但亮度也会随之降低，这是使用投影仪时需要权衡的实际问题。

近视眼与远视眼的矫正

人眼中的晶状体相当于一个焦距可以自动调节的凸透镜，视网膜相当于光屏。正常眼睛无论看远处还是近处，晶状体都能通过肌肉的伸缩来改变自身的厚薄，调节焦距，使物体的像恰好落在视网膜上，形成清晰的图像。

近视眼和远视眼的共同问题是：像不能准确落在视网膜上，而是落在视网膜的前方或后方，导致看到的图像模糊。

矫正近视眼需要在眼前放置凹透镜（发散透镜）。凹透镜能使入射光线先发散，再进入眼睛，相当于将远处物体的像向后移动，使其从视网膜前方移到视网膜上。矫正远视眼则需要凸透镜（汇聚透镜），凸透镜使光线先汇聚，相当于将像从视网膜后方拉回到视网膜上。

例6　小明患有近视眼，裸眼只能看清 $1\ \text{m}$ 以内的物体，现在想看清 $5\ \text{m}$ 外黑板上的文字。需要佩戴什么类型的眼镜？说明矫正的原理。

小明患近视眼，晶状体折射能力过强，来自远处的光线在到达视网膜之前就已汇聚，像落在视网膜前方，因此看远处模糊。需要佩戴凹透镜（近视眼镜）。凹透镜对光线有发散作用，将来自 $5\ \text{m}$ 远处的近平行光线先发散，使其变为好像从 $1\ \text{m}$ 以内发出的发散光，随后眼睛再对该光线成像，像就能准确落在视网膜上，看清黑板上的文字。

眼镜的度数与透镜焦距有关，换算关系为：

$D\ (\text{度}) = \frac{100}{f\ (\text{m})}$

近视眼镜度数为负值，远视眼镜度数为正值。

练习题

选择题

第1题（考查放大镜的成像原理）

用放大镜观察昆虫标本时，看到的像是：

A. 倒立、放大的实像　　B. 正立、放大的虚像　　C. 倒立、缩小的实像　　D. 正立、缩小的虚像

第2题（考查照相机的成像原理）

用相机拍摄远处的山峰，下列说法正确的是：

A. 山峰的像是正立、缩小的虚像　　B. 山峰的像是倒立、放大的实像　　C. 山峰的像是倒立、缩小的实像　　D. 拍摄远景时应将镜头向前推出

第3题（考查投影仪的成像原理）

投影仪将幻灯片上的图像放大投射到屏幕上，此时幻灯片到镜头的物距满足：

A. $u > 2f$　　B. $u = 2f$　　C. $f < u < 2f$　　D. $u < f$

第4题（考查近视眼与远视眼的矫正）

下列关于视力矫正的说法，正确的是：

A. 近视眼需要佩戴凸透镜矫正，远视眼需要佩戴凹透镜矫正　　B. 近视眼是因为眼轴过短，像落在视网膜后方　　C. 矫正近视眼的凹透镜能使光线发散，使像后移至视网膜　　D. 远视眼镜和放大镜都是凸透镜，使用原理完全相同

计算题

第5题（考查薄透镜公式在照相机中的应用）

一台相机镜头的焦距为 $f = 4\ \text{cm}$。

（1）用此相机拍摄距镜头 $1\ \text{m}$ 远的人像，求成像的像距 $v$，并判断像的性质。

（2）若需拍摄距镜头 $20\ \text{cm}$ 近处的小物件，求此时的像距 $v'$，并比较两次像的大小。

第6题（考查近视眼的矫正与度数计算）

小华的近视眼镜度数为 $-250$ 度。

（1）根据度数与焦距的关系 $D = \frac{100}{f}$，计算该眼镜镜片的焦距（以米为单位）。

（2）来自远处的平行光经过该镜片折射后，变为好像从多远处发出的发散光？（即求凹透镜对平行光所成虚像的位置）

（3）说明该眼镜帮助小华看清远处物体的原理。

由薄透镜公式：

$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$

$\frac{1}{0.04} = \frac{1}{1} + \frac{1}{v}$

$\frac{1}{v} = 25 - 1 = 24$

$v = \frac{1}{24}\ \text{m} \approx 0.0417\ \text{m} \approx 4.17\ \text{cm}$

像距约为 $4.17\ \text{cm}$，略大于焦距，成倒立、缩小的实像。

（2）$u' = 20\ \text{cm} = 0.2\ \text{m}$，仍满足 $u' > 2f$（$0.2\ \text{m} > 0.08\ \text{m}$）：

$\frac{1}{0.04} = \frac{1}{0.2} + \frac{1}{v'}$

$\frac{1}{v'} = 25 - 5 = 20$

$v' = \frac{1}{20}\ \text{m} = 0.05\ \text{m} = 5\ \text{cm}$

第（1）问像距约为 $4.17\ \text{cm}$，第（2）问像距为 $5\ \text{cm}$，像距更大，说明像更大。这与规律一致：物体越近，像距越大，像也越大，拍摄近处物体时需要向前推出镜头（增大像距）才能对焦清晰。

$f = \frac{100}{-250} = -0.4\ \text{m}$

该镜片焦距为 $-0.4\ \text{m}$，负号表示凹透镜。

（2）来自无穷远处的平行光，物距 $u \to \infty$，代入薄透镜公式（$f = -0.4\ \text{m}$）：

$\frac{1}{-0.4} = \frac{1}{\infty} + \frac{1}{v}$

$\frac{1}{v} = -\frac{1}{0.4}$

$v = -0.4\ \text{m}$

平行光经凹透镜折射后，变为好像从镜片前方 $0.4\ \text{m}$ 处发出的发散光（虚像在入射侧）。

（3）小华的眼睛只能看清 $0.4\ \text{m}$ 以内的物体（即裸眼的远点约为 $0.4\ \text{m}$）。佩戴 $-250$ 度凹透镜后，来自远处的平行光先经凹透镜发散，变为好像从 $0.4\ \text{m}$ 处发出的发散光，眼睛再对这束发散光成像，像就能准确落在视网膜上。凹透镜相当于将无限远处的物体“搬近”到小华能看清的距离，从而实现对近视眼的矫正。