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数据分析与统计基础 | 自在学

数据分析与统计基础

一份成绩表里有 40 个分数。你当然可以从第一行看到最后一行，可看完之后，脑子里往往还是一团数字：这个班的典型水平在哪里？大多数人挤得紧不紧？那两个特别低的分数是录入错误，还是确实发生了什么？

统计要做的事，就是把这些问题拆开。先弄清数据从谁身上来，再用几个数和几张图压缩信息，最后判断眼前的规律到底可信到什么程度。

这里有个贯穿全章的习惯：先问数据怎么来的，再问公式怎么算。 一个平均数可以算得一位小数都不差，但如果样本只来自愿意回答的人，它仍然可能离真实情况很远。

先把研究对象说清楚

总体、个体、样本与变量

假设学校想了解“全校高一学生每天的课外阅读时间”，随机抽了 120 名高一学生填写一周阅读记录。

这句话里藏着四个容易混淆的角色：

名称	在例子中指什么	它回答的问题
总体	全校所有高一学生	我们最终想了解谁
个体	一名高一学生	一行数据对应谁
样本	被抽中的 120 名高一学生	我们实际观察了谁
变量	每天课外阅读时间	在每个个体身上记录什么

总体不一定是“所有人”。如果问题只关心高一学生，那么高二、高三学生就不在总体里。样本也不等于随手能找到的那群人，它应该尽量代表总体。

从总体得到的真值叫参数。例如全校高一学生的平均阅读时间，可以记成 $\mu$ 。由样本算出的量叫统计量，例如 120 名学生的样本平均数 $\bar{x}$ 。实际研究里，我们常常看不到参数，只能用统计量去估计它。

辨认这四个角色时，先抓动词。题目“想了解”的对象是总体，“实际记录”的对象是样本，“每一行”对应个体，“记录了什么”就是变量。

定性变量与定量变量

变量先分成两大类。

定性变量记录类别。例如交通方式、血型、选修课程、是否完成作业。类别可以用数字编码，但编码不等于数值。把“公交”记成 1、“步行”记成 2，并不表示步行是公交的两倍。

定量变量记录可以计算的数量。它还可以再分：

离散型变量通常来自计数，例如一周缺勤次数、家庭人口数。它的可能值往往一个一个分开。
连续型变量通常来自测量，例如身高、时间、温度。理论上两个测量值之间还可以继续细分。

这个区分会直接影响后面选图和选代表值。最喜欢的颜色没有平均数，运动项目也不能算标准差；身高和用时则可以。

一张表里，行和列分别在说什么

常见的数据表遵循一个简单结构：一行对应一个个体，一列对应一个变量。比如记录 5 名学生的睡眠和数学成绩：

学生	年级	睡眠时长（小时）	数学成绩
A	10	7.5	82
B	10	6.0	74
C	10	8.0	88
D	10	6.5	79
E	10	7.0	84

“学生”是个体标识，“年级”在这张小表里虽然写成数字，实际更接近有顺序的类别；睡眠时长和成绩是定量变量。后面画散点图时，每名学生贡献一个点，不能把睡眠来自 A、成绩却来自 B 的数据拼成一对。

数据先检查，再计算

真实数据很少像练习册那样整齐。空白单元格、重复记录、单位混用和录入错误都很常见。

拿到数据后，可以按这个顺序过一遍：

看单位。 2 小时和 120 分钟是同一件事，不能当成两个数量级。
看取值范围。 满分 100 的考试出现 108 分，先查记录，不要急着叫它“优秀的异常值”。
看缺失。 空白可能是忘填、拒答或设备故障，不同原因不能一概当成 0。
看重复。 同一个人被录了两遍，会让他的情况获得双倍权重。
保留原始数据。 清洗时另存一份，并记录改了什么。否则删错以后很难追回。

异常值不等于错误。某次配送用了 82 分钟，可能是输入时多按了一个 8，也可能是暴雨和道路封闭造成的真实延误。统计图只能提醒你“这里与大多数值不一样”，最终还要回到情境核查。

用一个数描述数据的中心

算术平均数：把总量重新均分

对 $n$ 个数据 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ，算术平均数是

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i

它最直观的解释是“先汇总，再均分”。如果 5 名同学一共完成了 140 道题，那么平均每人完成 $140\div5=28$ 道。平均数保留了总量信息，因为

x_1+x_2+\cdots+x_n=n\bar{x}

还有一个很有用的性质：所有数据对平均数的有符号偏差之和为 0。

\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0

平均数像一个平衡点。左边的负偏差与右边的正偏差正好抵消。

如果不同数据代表的人数或时长不同，就不能简单相加后除以项数。权重分别为 $w_1,w_2,\ldots,w_n$ 时，加权平均数是

\bar{x}_w= \frac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}

在通常的加权平均里，各个权重都应满足 $w_i\ge 0$ ，而且不能全是 0。这样分母才不会为 0，权重也才能表示人数、时长或占比这类实际份额。

例如平时成绩占 $40\%$ 、期末成绩占 $60\%$ ，平时 85 分、期末 75 分，那么总评是

0.4\times85+0.6\times75=79

这里不能把 85 和 75 直接平均成 80，因为两部分权重不同。

中位数：先排序，再找中间

中位数只看排序位置。

数据个数为奇数时，取正中间那个数。
数据个数为偶数时，取中间两个数的算术平均。

例如数据 $3,8,9,12,20$ 的中位数是 9；数据 $3,8,9,12$ 的中位数是

\frac{8+9}{2}=8.5

中位数把有序数据分成左右两部分。它不关心最远的数到底离中心 20 还是 2000，所以不容易被极端值拖走。

众数：出现最多的值或类别

众数是出现频数最高的值。它可能有一个，也可能有多个；如果每个值只出现一次，就没有明显众数。

众数的独特之处是它能处理类别数据。商店最常卖出的鞋码、问卷中选择最多的选项，都适合用众数。对连续测量数据，原始数值往往很少完全重复，这时通常先分组，再谈“频数最高的区间”，而不是硬找一个众数。

三者怎么选

可以先问自己：你希望“中心”保留什么信息？

数据情形	更常用的中心	原因
分布大致对称，没有突出极端值	平均数	使用了每一个数值，适合继续做方差与回归计算
分布偏斜，或有少量极端值	中位数	对极端值更稳健
变量是类别，或关心最常见选择	众数	平均数和中位数可能没有意义
不同数据代表的份额不同	加权平均数	让每项按实际份额参与

看一组具体数据会更清楚：

20,\ 24,\ 28,\ 30,\ 32,\ 36,\ 40,\ 80

它的平均数是 $36.25$ ，中位数是 31。把 80 去掉后，平均数变成 30，中位数也变成 30。一个点让平均数移动了 $6.25$ ，中位数只移动了 1。不能因此说平均数“错了”，它准确反映了总量被 80 增大；只是当问题问“普通情况”时，中位数更贴近多数数据。

“平均”在日常语言里可能泛指典型水平，数学里却要说清是哪一种平均。报告结果时写“平均数”“中位数”或“众数”，不要只写一个含糊的“平均”。

平均不只有一种

算术平均数最常见，但增长率、速度和能量尺度有自己的结构。用错平均方法，公式算得再熟也会偏。

几何平均数：平均连续的乘法变化

对 $n$ 个正数 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ ，几何平均数是

G=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}

它适合平均增长因子。某资产第一年增长 $20\%$ ，第二年下降 $20\%$ ，两年的变化因子是 1.2 和 0.8。算术平均增长率看起来是 0，但两年后的总因子其实是

1.2\times0.8=0.96

每年的等效增长因子应满足 $g^2=0.96$ ，所以

g=\sqrt{0.96}\approx0.9799

等效年增长率约为 $-2.01\%$ 。先涨 $20\%$ 再跌 $20\%$ 并没有回到原点，因为第二次的 $20\%$ 作用在已经变化的基数上。

几何平均要求输入有适合相乘的含义，通常使用正数。身高、考试分数这类加法型数据，一般不靠几何平均描述中心。

调和平均数：平均“单位量所需多少”

对 $n$ 个正数，调和平均数是

H= \frac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}}

它常出现在“相同路程下平均速度”这类问题里。

一辆车去程 60 千米，速度为 $60\ \mathrm{km/h}$ ；回程也是 60 千米，速度为 $40\ \mathrm{km/h}$ 。总路程是 120 千米，总时间是

\frac{60}{60}+\frac{60}{40}=2.5\ \mathrm{h}

所以平均速度为

\frac{120}{2.5}=48\ \mathrm{km/h}

这个 48 正是 60 和 40 的调和平均数，而不是算术平均数 50。慢速阶段花的时间更多，它对总时间的影响也更大。

二次平均：先平方，再平均，再开方

二次平均也叫均方根：

R= \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}

平方会让较大的绝对值获得更大权重，同时消除正负号。交流电的有效值、误差的均方根都使用这种想法。

如果 $x_1,\ldots,x_n$ 是正数，四种平均满足

H\leq G\leq \bar{x}\leq R

只有当所有数相等时，等号才同时成立。这条关系还能解决一些最值问题：若若干非负数的和固定，它们越均匀，乘积越大；若正数的乘积固定，它们越均匀，和越小。

对任意实数，几何平均和调和平均未必有意义，但下面这条仍成立：

|\bar{x}|\leq R

稍后会看到，均方根与方差之间只差一个“中心位置”。

用离散程度补上另一半信息

平均数告诉你中心在哪，却不告诉你数据挤得有多紧。两组数据

A:46,\ 48,\ 50,\ 52,\ 54

B:30,\ 40,\ 50,\ 60,\ 70

平均数都是 50，但 B 的波动显然大得多。只报“平均 50”，会把这个差别完全藏掉。

极差：最快的粗略检查

极差是最大值减最小值：

R_{\text{range}}=x_{\max}-x_{\min}

A 的极差为 $54-46=8$ ，B 的极差为 $70-30=40$ 。它简单，但只使用两端数据。中间的数据全部改变，只要最大值和最小值不变，极差就不变。

四分位数与四分位距

把数据排序后，中位数记为 $Q_2$ 。下半部分的中位数记为 $Q_1$ ，上半部分的中位数记为 $Q_3$ 。四分位距是

\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1

它描述中间 $50\%$ 数据横跨多宽。极端的最大值和最小值不直接进入 IQR，所以它比极差稳健。

小数据集的四分位数存在不止一种计算约定。有的软件在数据个数为奇数时把总中位数放进上下两半，有的软件不放。只要前后一致都可以，但做题或报告时最好说明约定。本章采用“总中位数不重复放入上下两半”的方法。

例如

2,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 25

中位数是 7。下半部分为 $2,4,5,6$ ，所以 $Q_1=4.5$ ；上半部分为 $8,9,10,25$ ，所以 $_{}$ 。于是

\mathrm{IQR}=9.5-4.5=5

常用的异常值检查围栏是

Q_1-1.5\mathrm{IQR}=-3

Q_3+1.5\mathrm{IQR}=17

25 超过上围栏，因此会在箱线图里单独标出。它只是“需要核查”的点，并不会因为超过围栏就自动从数据中消失。

箱线图与1.5倍IQR异常值规则：数据2、4、5、6、7、8、9、10、25，标出Q1等于4.5、中位数7、Q3等于9.5、IQR等于5、围栏负3和17，25为异常值，中文手绘彩色线条科学教育图

方差：把偏差平方后平均

直接把 $x_i-\bar{x}$ 相加没有用，因为正负偏差必然抵消为 0。方差先把偏差平方，再求平均。平方有两个作用：消除正负号，并让远离中心的点受到更大权重。

这里必须分清“总体”和“样本”。

如果手里的 $N$ 个值就是我们要描述的完整总体，总体平均数与总体方差写成

\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i

\sigma^2= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2

总体标准差是

\sigma= \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}

如果手里的 $n$ 个值是从更大总体中抽出的样本，并想用它估计总体离散程度，常用样本方差

s^2= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2

样本标准差为

s= \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

这里要求 $n\ge 2$ 。如果样本只有一个数据，分母 $n-1$ 就是 0，样本方差和样本标准差都不能按这两个公式计算。

为什么分母是 $n-1$ ？因为样本均值 $\bar{x}$ 也是用这批数据估出来的，而且所有偏差之和必须为 0。知道前 $n-1$ 个偏差后，最后一个偏差已经被确定，只剩 $n-1$ 个可以自由变化的量。用 $n-1$ 能修正“样本围着自己的均值看起来偏紧”的系统性低估。

同一串数除以 $n$ 还是 $n-1$ ，取决于你在回答什么问题。把这串数当作完整对象做描述，可以除以 $n$ ；把它当作样本并估计更大总体的方差，通常除以 $n-1$ 。不要只看符号习惯，先看数据角色。

标准差不是普通的平均距离

标准差的单位与原数据相同，但它不是绝对距离的普通平均。对完整总体而言，它准确的说法是：数据到总体均值的距离的均方根。样本标准差使用 $n-1$ 作分母，是为估计总体波动而作的修正，不能把它直接叫作这 $n$ 个距离的普通均方根。

对数据 A，均值为 50，平方偏差和是

(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2=40

若把 A 看成完整总体，则

\sigma_A^2=\frac{40}{5}=8

\sigma_A=\sqrt{8}\approx2.83

对数据 B，平方偏差和为

(-20)^2+(-10)^2+0^2+10^2+20^2=1000

所以

\sigma_B=\sqrt{\frac{1000}{5}} =\sqrt{200}\approx14.14

同样的均值不同的离散程度：数据A为46、48、50、52、54，总体标准差约2.83；数据B为30、40、50、60、70，总体标准差约14.14；两组平均数都为50，中文手绘彩色线条科学教育图

二次平均与总体方差之间有一个漂亮的关系：

\sigma^2= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2-\mu^2

如果把二次平均记作

R=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^2}

那么

R^2=\mu^2+\sigma^2

均方根同时包含“中心离 0 多远”和“数据围绕中心有多散”两部分。标准差则把中心位置拿掉，只看围绕均值的波动。

统计图表：让数据的形状先出现

选图不是审美题。变量类型和你想回答的问题，决定了哪种图最合适。

频数表、条形图与饼图

类别变量先数每个类别出现多少次，得到频数；频数除以总数得到相对频数。

条形图适合比较类别。柱子之间留空，提醒读者“这些是分开的类别”。纵轴最好从 0 开始，否则很小的差别可能被视觉上夸大。

饼图适合展示少量类别占一个整体的比例，但类别多、比例接近时，人眼很难比较扇形角度。遇到这种情况，按频数从大到小排列的条形图通常更清楚。

点图与茎叶图

小型定量数据可以用点图：每个观测值画一个点，重复值向上堆叠。它保留了原始数值，也能看出聚集和空缺。

茎叶图把数字拆成“茎”和“叶”。例如

32,\ 35,\ 35,\ 41,\ 46,\ 48

可以写成：

茎	叶
3	2 5 5
4	1 6 8

若约定茎是十位、叶是个位，那么 $3\mid5$ 表示 35。茎叶图保留每一个原始值，但数据量大时会变得拥挤。

直方图

直方图把连续数值分成相邻区间，再画出每个区间的频数或频率。因为区间连续，柱子通常挨在一起。

读直方图时，重点看四件事：

中心大致在哪里；
数据分散到多宽；
形状对称还是偏斜，有一个峰还是多个峰；
是否出现远离主体的孤立区间。

组距会改变画面。组距太宽会把细节抹掉，太窄又会让随机波动显得像规律。比较两组直方图时，应尽量使用相同区间和相同纵轴尺度。

箱线图

箱线图把分布压缩成四分位数和须。箱体从 $Q_1$ 到 $Q_3$ ，箱内的线是中位数；须通常延伸到围栏内最远的数据点，超过围栏的点单独标出。

这意味着标准的 1.5IQR 箱线图里，须的端点不一定是整组数据的最小值和最大值。把“最大值”直接写在右须上，有时会误导。

箱线图适合并排比较很多组数据：哪组中位数高，哪组箱体更宽，哪组偏斜或有异常点，一眼就能看到。它的代价是隐藏了峰形和具体数据，所以样本很小时，最好同时叠加原始点。

时间序列图

数据按时间顺序记录时，用折线图能保留先后关系。每天气温、月销售额、每分钟心率都适合。

别把时间顺序打乱后只算平均数。两个月平均温度相同，一个可能稳步升温，另一个可能先热后冷；这两种过程的故事完全不同。

想回答的问题	推荐图表
各类别谁多谁少	条形图
小型定量数据具体落在哪里	点图或茎叶图
一组定量数据的整体形状	直方图
多组分布的中位数和 IQR 如何比较	并列箱线图
一个量如何随时间变化	时间序列折线图
两个定量变量是否一起变化	散点图

两个变量放在一起看

散点图先看方向、形状、强度和异常点

一对定量变量来自同一个个体时，可以画散点图。每个点是 $(x_i,y_i)$ ，例如同一名学生的学习时长和测验成绩。

观察散点图时，不要只说“有相关”：

方向：点云整体向右上走是正相关，向右下走是负相关。
形状：关系接近直线，还是弯曲、分段或呈环形。
强度：点贴着某种趋势有多紧。
异常点：有没有远离点云，或对趋势线影响特别大的点。

三种相关性散点图：正相关、无明显线性相关和负相关三个中文坐标图，点云分别向右上、无明确方向和向右下分布，手绘彩色线条教育风

用直线描述近似线性关系

回归线与残差

如果散点图大致沿一条直线分布，可以用

\hat{y}=a+bx

描述趋势。 $\hat{y}$ 是给定 $x$ 后模型预测的值， $y$ 是实际观测值。两者之差叫残差：

e_i=y_i-\hat{y}_i

残差为正，表示点在回归线上方；残差为负，表示点在线下方。这里量的是竖直差，因为模型用 $x$ 预测 $y$ 。

最小二乘法选择 $a,b$ ，让残差平方和最小：

\mathrm{SSE}= \sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2

斜率和截距可以写成

b= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

这里要求 $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2>0$ ，也就是观测到的不能全都相同。否则分母为，数据根本无法告诉我们斜率是多少。

a=\bar{y}-b\bar{x}

回归线一定经过 $(\bar{x},\bar{y})$ 。斜率 $b$ 要连同单位解释： $x$ 每增加 1 个单位，模型预测的 $y$ 平均改变 $b$ 个单位。截距是时的预测值；如果 0 不在数据范围内，或现实中根本不可能出现，就不要给截距强行编一个情境解释。

一个完整计算

记录 5 次复习时长 $x$ 与测验分数 $y$ ：

$x$ （小时）	1	2	3	4	5
$y$ （分）	52	55	61	64	68

先算出

\bar{x}=3,\qquad \bar{y}=60

斜率分子为

(-2)(-8)+(-1)(-5)+0(1)+1(4)+2(8)=41

分母为

(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2=10

因此

b=\frac{41}{10}=4.1

a=60-4.1\times3=47.7

回归方程是

\hat{y}=47.7+4.1x

斜率的意思是：在这批数据覆盖的范围内，复习时长每增加 1 小时，模型预测分数平均增加约 4.1 分。

当 $x=3$ 时，预测值为 60，而实际值为 61，所以残差是

e=61-60=1

模型少预测了 1 分。

残差图会揭穿不合适的直线

把横轴仍设为 $x$ ，纵轴改画残差，就得到残差图。合适的线性模型通常让点在 0 上下没有明显规律地散开。

如果残差呈 U 形，原关系可能是弯曲的；如果越往右越散，误差波动可能随 $x$ 增大；如果某个残差特别大，应核查该点。回归线看着顺眼，不代表模型已经合格。

插值、外推与决定系数

在观测过的 $x$ 范围内预测叫插值。远远跑到范围外预测叫外推。上面的数据只覆盖 1 到 5 小时，用它预测 4.5 小时属于插值；预测每天复习 20 小时不仅是外推，情境本身也不合理。

决定系数可以写成

R^2= 1-\frac{\sum (y_i-\hat{y}_i)^2}{\sum (y_i-\bar{y})^2}

这个公式要求 $y$ 不是常数，否则分母 $\sum(y_i-\bar{y})^2$ 为 $0$ ，没有定义。在含截距的一元线性回归中，若与都不是常数，才有。它描述这条线相对于“永远预测 ”减少了多少平方误差。说“模型解释了多少样本内变异”可以，说“ 造成了这些变异”就越界了。高也不保证外推可靠，更不保证未来数据仍按同一规律变化。

异常值与抽样偏差：两种不同的风险

异常值是数据层面的提醒

一个点与大多数观测差得很远，可能来自：

录入或单位错误；
测量设备故障；
真实但少见的事件；
数据里混入了另一类对象；
原本选的模型不适合。

正确顺序是核查、解释、比较，而不是看到异常值就删。可以同时报告“保留异常值”和“排除确认错误值”两种分析，说明结论是否改变。若数据真实且属于总体，通常应保留，并考虑使用中位数、IQR 或更合适的模型。

抽样偏差是数据来源的问题

再漂亮的图也修不好有偏的样本。常见偏差包括：

偏差	发生了什么	例子
便利抽样	只调查最容易接触的人	在图书馆门口调查全校阅读时间
自愿回应偏差	意见强烈的人更愿意参加	网站公开投票代替随机调查
覆盖不足	总体中的一部分根本没机会入样	只用固定电话联系居民
无回应偏差	被抽中的一部分人没有回答	工作繁忙者更常忽略时间调查
测量偏差	问法或工具系统性推高、压低结果	“你是否也支持这项合理规定”

随机抽样的关键不是“看起来随意”，而是让总体中的个体有明确的抽中机会。分层抽样还可以先按年级、地区等重要类别分组，再在各层随机抽取，避免小群体被漏掉。

随机抽样主要帮助样本代表总体；随机分组主要帮助比较处理的因果效果。两个“随机”解决的不是同一个问题。

样本很大只能减少随机波动，不能自动消除系统偏差。一个有 10 万人参加的自愿网络投票，仍可能不如一个设计良好的小型随机样本可靠。

例题：从原始数据走到结论

配送时间该报平均数还是中位数

某站点记录 9 单配送时间，单位为分钟：

22,\ 24,\ 25,\ 27,\ 28,\ 30,\ 31,\ 33,\ 70

求平均数、中位数、极差、四分位数和 IQR，并判断怎样描述典型时间更合适。

数据已经从小到大排列。总和为 290，所以平均数是

\bar{x}=\frac{290}{9}\approx32.22

同一组数为什么有两个方差

观察值为

2,\ 4,\ 6,\ 8

分别把它看作完整总体和来自更大总体的样本，计算方差与标准差。

两种解释下，中心都先算为

\bar{x}=\mu=\frac{2+4+6+8}{4}=5

回归结果该怎样解释

继续使用复习时长与分数的模型

\hat{y}=47.7+4.1x

回答：预测 $x=3.5$ 时的成绩；解释斜率；判断能否据此证明多复习 1 小时会让每个人提高 4.1 分。

代入 $x=3.5$ ：

\hat{y}=47.7+4.1\times3.5=62.05

练习

识别研究对象

某市想估计所有初中生每周参加体育活动的时间，从 12 所学校随机抽取 600 名初中生填写记录。

请指出总体、样本、个体、变量，并判断变量类型。

选择中心与图表

某小区 12 套成交房屋的价格中，有一套是面积很大的独栋住宅，价格远高于其余房屋。若要描述普通购房者最可能遇到的价格水平，应优先报告什么中心量？若要展示整组价格分布，适合什么图？

计算平均数、中位数和 IQR

数据为

5,\ 6,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 26

求平均数、中位数、 $Q_1$ 、 $Q_3$ 和 IQR，并用 1.5IQR 围栏检查异常值。

区分总体与样本标准差

数据 $3,5,7$ 的均值为 5。分别计算总体方差与样本方差。

选对平均方法

回答下面两个问题。

一笔资金连续两年的增长因子为 1.10 和 0.90，等效年增长因子是多少？
一辆车走相同路程的两段，速度分别为 30 和 60 千米每小时，全程平均速度是多少？

固定和时乘积何时最大

两个非负数 $a,b$ 的和为 20。它们的乘积最大是多少？何时取得？

判断相关说法

某校样本中，鞋码与身高的相关系数为 $r=0.68$ 。判断下面三句话是否合理。

鞋码与身高在样本中呈正线性相关。
鞋码变大导致身高增加。
因为 $r$ 没有接近 1，所以鞋码与身高毫无关系。

第 1 句合理。 $r$ 为正，说明样本中鞋码较大的人，身高也倾向较高；“线性相关”没有越过相关系数的能力范围。

第 2 句不合理。相关不能单独证明因果，而且鞋码与身高都可能受年龄、性别和身体发育影响。

第 3 句也不合理。 $r=0.68$ 明明表示一定程度的正线性关系；即使 $r$ 接近 0，也只能说线性关系弱，仍要检查是否存在弯曲关系。

分析残差

某回归模型对三个观测的预测值分别为 12、15、18，实际值分别为 13、13、21。求残差和残差平方和。

找出抽样问题

学校想估计全校学生每天使用手机的时长，于是在“数字戒断兴趣小组”中发放问卷，收回 300 份。样本量不小，这个结果可靠吗？

主要问题是便利抽样和覆盖不足。兴趣小组成员对手机使用可能有特殊态度或经历，他们不能自然代表全校学生。300 份只能让这个特定群体的统计量更稳定，不能消除样本来源的系统偏差。

更好的方案是从全校学生名册中随机抽样；若不同年级使用习惯差异明显，可以按年级分层随机抽取。还应关注未回应者是否与回应者不同，并统一“每天使用时长”的记录口径。

把整套分析串起来

面对一份新数据，可以沿着一条固定但不僵硬的路线走：

明确总体、样本、个体和变量，检查样本怎么得到。
核对单位、缺失、重复和可疑值，保留清洗记录。
按变量类型选中心量和图表，不要对类别硬算平均数。
中心与离散一起报告。平均数配标准差，中位数常配 IQR。
两个定量变量先画散点图，再谈相关和回归。
用残差检查直线是否合适，谨慎对待外推。
遇到异常点先核查原因；看到相关关系先寻找其他解释。

统计不负责把不确定性变没。它真正提供的是一套诚实的表达方式：我们看到了谁，没看到谁；数据中心在哪里，波动有多大；哪些规律只是线索，哪些结论还需要更好的证据。

Q

3

=

9.5

Q_3=9.5