线性方程与不等式

你面前有一只不透明的盒子，盒子里装着几枚相同的棋子。盒子和另外 $7$ 枚棋子放在天平左边，右边放着 $19$ 枚棋子，天平正好平衡。盒子里有多少枚？

你大概不会先背一句“移项变号”。更自然的想法是：两边都拿走 $7$ 枚，天平仍然平衡，于是盒子本身和 $12$ 枚棋子一样重。方程做的就是这件事。它把未知量暂时装进字母里，再利用“左右相等”一点点拆掉外面的包装。

不等式处理的是另一类问题。比如账户里有 $600$ 元，一项活动要先付 $120$ 元场地费，每个人再付 $18$ 元。这里没有一个唯一的参加人数，真正要问的是：人数最多可以到多少，才不会超支？答案是一段允许范围，而不是一个孤零零的数。

这一页要把这两种问题讲透。你会看到，方程和不等式共享很多操作，但它们并不是只差一个符号。尤其碰到负数、区间和绝对值时，规则背后的理由比口诀更值得抓牢。

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方程是一条带条件的等式

先分清两个很像的东西。

下面这个等式对任意实数 $a,b$ 都成立：

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

它叫恒等式。字母取什么值，两边都会相等。

再看：

$$3x-7=11$$

它只在某些 $x$ 下成立。把 $x=6$ 代进去，两边都是 $11$；换成 $x=5$，左边是 $8$，就不成立了。方程的任务，是找出所有能让等号成立的未知数取值。这样的取值叫方程的解。

“所有”两个字不能漏。解方程可能得到一个解，也可能得到许多个解，甚至一个也没有。证明无解，同样算把方程解完了。

什么叫线性

这一页主要讨论一元一次方程。最基本的外形是：

$$ax+b=0 \qquad (a\neq 0)$$

“一元”是只有一个未知数，“一次”是未知数的最高次数为 $1$。$5x-2=8$ 是一元一次方程，$x^2-2=0$ 不是，因为它含有 $x^2$； 也不是，因为未知数在分母里。

有时式子看起来并不像 $ax+b=0$，但展开、去括号、合并同类项后能变成这个形式，它仍然是线性方程。例如：

$$2(x-3)+5=4x-7$$

整理后只是一次项和常数项，没有更高次的未知数。

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等号像天平，等价变形是在保护解

假设某个 $x$ 让 $A=B$ 成立。两边同时加上同一个数 $c$，当然仍有：

$$A+c=B+c$$

两边同时减去同一个数，也是同一件事。更关键的是，这个过程能倒着走：如果 $A+c=B+c$，两边再同时减去 $c$，就回到 $A=B$。变形前后拥有完全相同的解，这叫等价变形。

解一元一次方程时，常用的等价变形有四种：

• 等式两边同时加上同一个式子；
• 等式两边同时减去同一个式子；
• 等式两边同时乘以同一个非零数；
• 等式两边同时除以同一个非零数。

为什么反复强调“非零”？因为乘以 $0$ 会把不同的信息压成同一句 $0=0$。例如 $x=2$ 与 $x=9$ 两边同时乘以 $0$ 后都变成 $0=0$，原来的区别彻底丢了。除以 更不行，这个运算根本没有定义。

所以“移项变号”不是一条凭空出现的规则。以

$$3x-7=11$$

为例，所谓把 $-7$ 移到右边，本质是两边同时加 $7$。

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解一元一次方程：先整理，再孤立未知数

方程稍微变长以后，不要盯着 $x$ 猛搬项。先把两边各自整理干净，再集中未知数，过程会清楚很多。

看这个例子：

$$5(2x-3)=4x+9$$

你可以把常见流程记成四个动作：

1. 去括号，注意括号前的系数要乘到每一项；
2. 合并等号两边各自的同类项；
3. 用等式性质把含未知数的项集中到一边，常数集中到另一边；
4. 除以未知数的非零系数，再代回原方程验解。

顺序不是死规定。有时先清分母更省事，有时先去括号更顺手。真正不能丢的是每一步的依据。

分数方程：最小公倍数帮你清场

如果分母都是已知的非零常数，可以让等式两边同时乘所有分母的最小公倍数。看起来杂乱的分数会立刻变成整数。

$$\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{1}{6}$$

分母 $3,2,6$ 的最小公倍数是 $6$。

这里有个常见坑：乘 $6$ 的对象是等号两边的整个表达式，整数项也不能漏。只给带分母的那几项乘 $6$，已经不是“两边同乘”了。

小数方程：先变成整数再算

有限小数可以通过乘 $10,100,1000$ 等变成整数。比如：

$$0.4(x-5)+1.2=0.1x$$

所有小数最多只有一位，因此两边同时乘 $10$：

$$4(x-5)+12=x$$

展开后得到 $4x-8=x$，于是 $3x=8$，所以：

$$x=\dfrac{8}{3}$$

把小数清掉只是换了一件更好算的外衣，方程的解没有改变。

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未知数消失以后，要看剩下什么

含未知数的项集中到一边后，通常会得到 $Ax=B$。真正决定答案个数的，是 $A$ 和 $B$。

系数不为零：唯一解

如果 $A\neq0$，两边可以除以 $A$，于是：

$$x=\dfrac{B}{A}$$

这时只有一个解。

系数为零、常数不为零：无解

看方程：

$$4(x-1)+3=4x+1$$

展开后是 $4x-1=4x+1$。两边同时减去 $4x$，只剩：

$$-1=1$$

这是不可能成立的矛盾句。无论 $x$ 取什么值，原方程都不成立，所以解集是空集，记作 $\varnothing$。

系数和常数同时为零：任意实数都是解

再看：

$$3(2x-1)+5=6x+2$$

左边展开后就是 $6x+2$，方程最后变成：

$$0=0$$

这是永远成立的恒真句。每个实数代入原方程都可以，因此解集是全体实数 $\mathbb{R}$。

如果原方程是 $ax+b=cx+d$，移项后就是：

$$(a-c)x=d-b$$

当 $a-c\neq0$ 时有唯一解；当 $a-c=0$ 时，再比较 $d-b$ 是否为 $$。这就是三种结局的统一来源。

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不等式说的是顺序，不只是“差一个等号”

方程问“哪一个值刚好合适”，不等式问“哪些值都合适”。

$$2x+5\leq17$$

它的解不是某一个数。$x=6$ 可以，$x=4$ 也可以，所有 $x\leq6$ 的实数都可以。我们把这些解合在一起，叫作不等式的解集。

不等式两边同时加上或减去同一个数，大小顺序不变。两边同时乘或除以正数，顺序也不变。唯独乘或除以负数时，不等号必须反向。

为什么？先看一个最小的例子：

$$3>1$$

两边同时乘 $-1$ 后得到 $-3$ 和 $-1$。在数轴上，$-3$ 位于 $-1$ 左边，所以正确关系是：

$$-3<-1$$

乘负数相当于把数轴关于 $0$ 镜像翻转。原来靠右的点跑到左边，大小顺序自然反过来。

不用翻号的例子

$$2(3x-1)-5<4x+7$$

展开并合并得到 $6x-7<4x+7$。两边减 $4x$，再加 $7$：

$$2x<14$$

最后除以正数 $2$，不等号方向不变，所以 $x<7$。

必须翻号的例子

$$-3x+6\geq12$$

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不等式也能用来证明和找极值

前面一直在“解不等式”，也就是找未知数的范围。可不等式还有另一种用法：比较两个式子谁大谁小。

直接盯着两个复杂式子看，往往看不出结果。一个很实用的办法是把它们相减。如果想证明 $P\leq Q$，可以改为研究：

$$Q-P\geq0$$

只要能把差写成一个显然非负的式子，比较就结束了。

两个非负数的算术平均不小于几何平均

设 $u,v\geq0$。它们的算术平均是 $\dfrac{u+v}{2}$，几何平均是 $\sqrt{uv}$。我们要比较：

$$\sqrt{uv} \quad \text{与} \quad \dfrac{u+v}{2}$$

两边都非负，所以比较它们的平方不会改变大小关系。计算平方之差：

$$\left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2-uv =\dfrac{u^2-2uv+v^2}{4} =\dfrac{(u-v)^2}{4}$$

平方不可能小于 $0$，因此：

$$\sqrt{uv}\leq\dfrac{u+v}{2}$$

这里不只要记住不等号，还要看什么时候取等号。上面的差等于 $0$，当且仅当 $(u-v)^2=0$，也就是 $u=v$。

等号条件会告诉你极值在哪里

假设两个非负数的和固定为 $S$，也就是 $u+v=S$。由刚才的不等式：

$$\sqrt{uv}\leq\dfrac{S}{2}$$

两边都是非负数，平方后得到：

$$uv\leq\dfrac{S^2}{4}$$

所以和固定时，乘积最大不会超过 $\dfrac{S^2}{4}$；当 $u=v=\dfrac{S}{2}$ 时正好达到这个值。换句话说，把固定总量平均分成两份，乘积最大。

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数轴和区间：把一整片答案写清楚

数轴上，右边的数更大，左边的数更小。表示不等式解集时，还要处理端点是否包含。

圆括号表示端点不在解集里，方括号表示端点在解集里。无穷大不是一个可以取到的数，所以 $\infty$ 与 $-\infty$ 旁边永远用圆括号。

回到刚才的 $x\leq-2$，区间记号是：

$$(-\infty,-2]$$

空集记作 $\varnothing$，全体实数可以写成 $\mathbb{R}$，也可以写成：

$$(-\infty,+\infty)$$

开口方向只是最后一步的检查

如果结果是 $x>4$，射线必须从 $4$ 向右；如果结果是 $x<-2$，射线必须向左。别靠箭头猜答案，应该先把不等式解出来，再让数轴帮助你检查方向和端点。

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复合不等式：同时满足，还是满足一个就够

一句现实限制经常有上下两道边界。比如“室温至少 $18$ 摄氏度，但低于 $26$ 摄氏度”，意思是两个条件必须同时成立：

$$18\leq T<26$$

这类问题可以写成连锁不等式。

“且”要取重叠部分

解：

$$-1\leq2x+3<9$$

三个部分要一起操作。

如果三边同除负数，两个不等号都要翻。例如：

$$-7\leq-2x+1<5$$

三边减 $1$ 后是 $-8\leq-2x<4$。再同除以 $-2$，顺序反转：

$$4\geq x>-2$$

按从小到大的习惯重写，就是 $-2<x\leq4$，区间为 $(-2,4]$。

“或”要保留各自的解

解：

$$3x-1<-7 \quad \text{或} \quad 2x+5>11$$

左边得到 $x<-2$，右边得到 $x>3$。题目说“或”，满足任何一边都可以，所以解集是：

$$(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$$

符号 $\cup$ 表示把两段集合合在一起。

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绝对值先当距离看

绝对值不是“去掉负号”的按钮。$|x|$ 表示数轴上 $x$ 到 $0$ 的距离，因此它永远不小于 $0$。更一般地：

$$|x-a|$$

表示 $x$ 到 $a$ 的距离。

距离刚好等于某个数

方程

$$|x-2|=3$$

问的是：哪些点到 $2$ 的距离正好是 $3$？一个在左边，一个在右边，所以 $x=-1$ 或 $x=5$。

一般地，当 $r>0$ 时：

$$|x-a|=r$$

等价于 $x=a-r$ 或 $x=a+r$。当 $r=0$ 时只有 $x=a$；当 时无解，因为距离不可能是负数。

例如：

$$|2x-1|=5$$

要分成 $2x-1=5$ 或 $2x-1=-5$，分别得到 $x=3$ 或 $x=-2$。

距离不超过某个数

$$|x-2|\leq3$$

表示 $x$ 到 $2$ 的距离不超过 $3$，所以 $x$ 被夹在 $2-3$ 与 $2+3$ 之间：

$$-1\leq x\leq5$$

这是一段闭区间 $[-1,5]$。一般地，当 $r>0$ 时：

$$|x-a|\leq r \iff a-r\leq x\leq a+r$$

如果是不带等号的 $|x-a|<r$，两端也不包含。

距离大于某个数

$$|x-2|>3$$

表示离 $2$ 超过 $3$ 个单位，点必须跑到中间区间的外面，因此：

$$x<-1 \quad \text{或} \quad x>5$$

一般地，当 $r>0$ 时：

$$|x-a|>r \iff x<a-r \quad \text{或} \quad x>a+r$$

“小于某个距离”得到中间一段，“大于某个距离”得到外侧两段。用数轴想一遍，比硬记两个模板更可靠。

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把文字关系翻译成方程或不等式

文字题最难的一步，通常发生在动笔写式子之前。先别搜关键词套模板，按下面四件事问自己：

1. 未知量是什么，它的单位是什么？
2. 已知量之间怎样组合，哪些量属于同一单位？
3. 题目给的是“正好相等”，还是上限、下限或一个范围？
4. 现实有没有额外限制，例如人数必须是整数、时间不能为负？

精确关系用方程

甲、乙两人从相距 $300$ 千米的两地同时相向而行，速度分别是 $60$ 千米每小时和 $90$ 千米每小时。设 $t$ 小时后相遇。

相遇时，两人走过的路程之和正好等于 $300$ 千米：

$$60t+90t=300$$

解得 $150t=300$，所以 $t=2$。代回现实检查：甲走 $120$ 千米，乙走 $180$ 千米，两段路程合计 $300$ 千米。因此两人在 $2$ 小时后相遇。

上限或下限用不等式

一项活动先收 $120$ 元场地费，每位参加者再收 $18$ 元，现有预算 $600$ 元。设参加人数为 $n$，要求总费用不超过预算：

$$120+18n\leq600$$

两边减 $120$，再除以 $18$：

$$n\leq\dfrac{80}{3}$$

$\dfrac{80}{3}$ 大约是 $26.67$，但人数必须是非负整数，所以不能直接回答“最多 $26.67$ 人”。最大的可行整数是 $26$。检查一下，$26$ 人需要 $588$ 元， 人需要 元，边界判断正确。

关键词有帮助，但不能替你理解句子

“至少”通常对应 $\geq$，“至多”“不超过”通常对应 $\leq$。可同一个词放进不同句子，主角可能变了。“甲至少比乙多 $5$ 分”应写成 $A\geq B+5$，并不是看见“至少”就在随便一边放 $\geq$。先确定比较的是谁，再落符号。

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验解不是礼节，它能抓住具体错误

线性题里的符号错误常常只差一笔。验解的价值，是让错误没有机会悄悄混过去。

方程怎样验

把求得的数代入原方程，而不是代入最后那行 $x=\cdots$。分别算左右两边；数值相同，才说明它是原方程的解。

如果方程含分数，优先代回清分母之前的原式。这样还能检查你有没有漏乘某一项。

不等式怎样验

不等式通常有一整段解，没法把每个数都代一遍。可以做三次有目的的抽查：

• 代一个解集内部的数，应该成立；
• 代一个解集外部的数，应该不成立；
• 如果有边界，再代边界值，检查它该不该包含。

抽查不能代替推导证明，但特别擅长发现翻号、方向和端点错误。例如你把 $-3x\geq6$ 错解成 $x\geq-2$，随手取 $x=0$ 代回原式，马上得到 $0\geq6$，错误当场暴露。

建模题还要做现实检查

答案的量级合理吗？单位一致吗？人数是不是整数？时间是否为负？题目问“至少”时，你给的是最小值还是整个范围？这些问题不属于额外装饰，它们是模型的一部分。

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练习：把每一步依据说出来

练习 1：解方程 $7-3(2x-1)=4x+20$。

显示答案

先展开括号：$7-6x+3=4x+20$，所以 $10-6x=4x+20$。两边同时减去 $4x$，再减去 ，得到 。两边除以 ，得到 。代回原式，左右两边都等于 。

练习 2：解方程 $\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{1}{6}$。

显示答案

三个分母的最小公倍数是 $6$。两边同时乘 $6$，得到 $2(2x-1)-3(x+2)=1$。展开后是 $4x-2-3x-6=1$，所以 ，最终 。代回原式，左边为 。

练习 3：判断方程 $5(2x+1)-3=10x+2$ 有多少个解。

显示答案

左边展开后是 $10x+5-3=10x+2$，与右边完全相同。继续整理会得到 $0=0$，这是恒真句，所以任意实数都是原方程的解，解集是 $\mathbb{R}$。

练习 4：判断方程 $4(2x-1)+3=8x$ 有多少个解。

显示答案

左边展开后是 $8x-4+3=8x-1$，方程成为 $8x-1=8x$。两边减去 $8x$ 后得到 ，这是矛盾句，所以方程无解，解集为 。

练习 5：解不等式 $-4(2x-3)\leq3x+1$，并写成区间。

显示答案

展开得到 $-8x+12\leq3x+1$。两边加 $8x$，再减去 $1$，得到 $11\leq11x$。两边除以正数 $11$，方向不变，所以 ，区间是 。这里虽然原式有负号，但整个过程中没有同乘或同除负数，因此不需要翻号。

练习 6：解复合不等式 $-5<3-2x\leq9$。

显示答案

三边同时减去 $3$，得到 $-8<-2x\leq6$。三边同时除以 $-2$，两个不等号都要反向，得到 $4>x\geq-3$。按从小到大重写为 $$，区间是 。

练习 7：解绝对值不等式 $|2x+1|<5$。

显示答案

它表示 $2x+1$ 到 $0$ 的距离小于 $5$，所以 $-5<2x+1<5$。三边减去 $1$ 得到 ，再除以正数 ，得到 。解集是 。

练习 8：小华前四次数学测验成绩为 $72,85,78,90$。她希望五次平均分至少达到 $83$ 分，第五次至少要考多少分？

显示答案

设第五次成绩为 $x$ 分。前四次总分是 $325$，所以条件是 $\dfrac{325+x}{5}\geq83$。两边乘以正数 $5$，得到 $325+x\geq415$，于是 。题目问最低分，因此答案是 分。代回后五次总分为 ，平均分正好是 。

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做完题，最后看这五件事

拿到线性方程或不等式，可以用下面这张检查单收尾：

1. 我是否先去括号、合并同类项，把式子整理清楚？
2. 方程变形时，两边是否做了同一个可逆操作？有没有除以可能为 $0$ 的数？
3. 不等式同乘或同除负数时，我是否翻转了方向？没有做这个动作时，有没有误翻？
4. 区间端点该用圆括号还是方括号？无穷大旁边是否始终用了圆括号？
5. 我有没有代回原题验算，并把单位、整数条件和现实限制放回答案？

真正熟练以后，你不会觉得自己在“搬项”。你是在不断换一种更清楚、但答案完全相同的说法，直到未知数单独站出来。方程靠平衡，不等式靠顺序；抓住这两个核心，后面的符号就不容易乱。