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函数概念

上一章里，我们解方程、解不等式，常常是在追问一个结果：哪个数能让等式成立，哪些数落在允许的范围里。

可很多问题并不会停在一个答案上。往水箱里注水，时间变了，水量也在变；正方形边长换一个数，面积就跟着换；把不同的数代入同一个多项式，每次都会得到一个确定的值。我们真正想弄清楚的是：一个量改变时，另一个量怎样随它改变。

函数就是描述这种依赖关系的语言。

先别急着背定义。你可以把函数想成一套明确的处理规则：输入一个允许的对象，规则就给出一个确定的输出。输入可以是数，也可以是日期、商品编号或某种状态；输出也不一定非得是数。不过在这门代数课里，我们主要研究实数之间的函数。

这章要练的，不只是“会代公式”。我们会从输入与输出出发，把定义域、值域、函数记号、表格、图像、分段规则和平均变化率连在一起。下一章的线性函数，正是这套语言遇到“均匀变化”以后得到的第一个重要模型。

先抓住底线：一个输入只能有一个输出

假设一台饮料机的按钮上写着“温水”。你按一次，它出温水；过一会儿再按，还是按这条固定规则处理。可如果同一次按键既被记成温水，又被记成冰水，我们就没法说“按钮状态决定了出水结果”。同一个输入对应了两个互相冲突的输出，规则失去了确定性。

函数的正式定义说的就是这件事。

设 $A$ 、 $B$ 是两个集合。如果一条对应规则 $f$ 能让 $A$ 中的每一个元素 $x$ ，都在 $B$ 中找到恰好一个对应元素，那么 $f$ 就是从 $A$ 到 $B$ 的函数，写成

f:A\to B.

这里有三个词不能省：

每一个：定义域里的输入不能被漏掉。
恰好一个：同一个输入不能同时得到两个不同输出。
允许重复：不同输入可以得到相同输出。

比如 $f(x)=x^2$ 。输入 $2$ 得到 $4$ ，输入 $-2$ 也得到 $4$ 。这是“多对一”，完全符合函数规则。函数没有要求你从输出 $4$ 反推出唯一输入，它只要求你从每个输入出发时，结果是唯一的。

反过来，如果一条关系规定 $x=2$ 时既输出 $3$ 又输出 $5$ ，它就不是函数。问题不在于两个输出都不好，而在于规则没有告诉我们到底该选哪一个。

判断函数时，视线要站在输入这一边：定义域里的每个输入有没有结果？结果是不是唯一？输出重复并不违规，同一个输入分叉才违规。

函数与非函数的映射图：左图每个输入恰好发出一条箭头，允许多个输入指向同一输出；右图输入2同时指向7和9，因此不是函数

关系、函数与有序数对

一条数值关系常写成若干有序数对 $(x,y)$ 。第一项是输入，第二项是输出。例如

\{(1,4),(2,7),(3,4),(4,9)\}

表示 $1$ 对应 $4$ ， $2$ 对应 $7$ ， $3$ 又对应 $4$ ， $4$ 对应 $9$ 。第一坐标没有重复着指向不同结果，所以它是函数。

再看

\{(1,4),(2,7),(2,9),(3,4)\}.

输入 $2$ 同时配了 $7$ 和 $9$ ，这条关系就不是函数。

这里有个容易钻牛角尖的地方：完全相同的有序数对写两遍，并不会制造两个不同输出。真正破坏函数的是同一个第一坐标配上了不同的第二坐标。

“一个公式”不自动等于“一个完整函数”

平时我们经常写 $f(x)=2x+1$ ，看起来只给了一条公式。严格说，一个函数还要说明允许哪些输入。比如同样的公式

f(x)=2x+1,

如果定义域是全体实数，它描述一条完整直线；如果定义域只有 $\{0,1,2\}$ ，它只包含三个输入输出对。公式相同，定义域不同，函数也不同。

所以函数不是一串算式的别名。它至少包含“输入从哪里来”和“输入按什么规则得到输出”这两部分。

函数记号：括号里装的是整个输入

把函数命名为 $f$ 后， $f(x)$ 表示“输入 $x$ 经过函数 $f$ 得到的输出”。这里的括号不是乘号， $f(x)$ 也不是 $f\cdot x$ 。

设

f(x)=x^2-3x+2.

输入 $4$ 时，函数值是

f(4)=4^2-3\cdot4+2=6.

输入 $-1$ 时，每个 $x$ 都要换成 $-1$ ：

f(-1)=(-1)^2-3(-1)+2=6.

你会发现 $f(4)=f(-1)$ 。这再次说明，不同输入得到同一输出很正常。

输入也可以是一整个表达式

如果题目问 $f(t+1)$ ，就把公式里的每一个 $x$ 都替换成整个 $(t+1)$ ：

f(t+1)=(t+1)^2-3(t+1)+2.

化简后得到

f(t+1)=t^2-t.

最常见的错误，是只替换一部分，或者擅自把输入拆开。一般来说，

f(t+1)\neq f(t)+1

也不能默认

f(t+1)=f(t)+f(1).

函数是否能把加法拆开，要看它有没有额外性质。普通函数没有这条保证。

字母只是输入位置的名字

下面三种写法描述的是同一条规则：

f(x)=x^2+1,

f(t)=t^2+1,

f(u)=u^2+1.

$x$ 、 $t$ 、 $u$ 都只是输入位置的临时名字。真正不变的是“把输入平方，再加 $1$ ”。不过一旦代入具体表达式，括号里的整体就要保持完整，不能因为字母能改名就随意拆算。

从“多项式的值”过渡到函数值

给定多项式 $P(x)$ ，把 $x=0,1,2,3$ 依次代入，得到 $P(0),P(1),P(2),P(3)$ 。这不只是四次孤立计算，它们是同一条规则在四个输入上的输出记录。

例如

P(x)=x^2-2x-3.

它的一部分取值表是：

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(x)$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

表格里的每一列都对应平面上的一个点 $(x,P(x))$ 。把更多输入的点画出来，整体轮廓就逐渐出现。这正是从“求多项式的值”走向“研究函数图像”的桥。

同一个函数的四种表示

函数不一定非要写成公式。同一条输入输出关系，常见有四种表示：语言描述、表格、解析式和图像。它们不是四种不同的函数，而是看同一件事的四个角度。

语言描述：先把规则说成人话

“输出等于输入的两倍再减 $1$ ”，这已经定义了一条规则。语言描述适合保留情境和单位，例如“骑行时间每增加 $1$ 小时，按当前匀速计算的路程增加 $18$ 千米”。

它的弱点也明显：描述一长，边界条件容易藏在句子里。因此读题时要主动找输入、输出、单位和限制。

表格：只摆出已经观察到的配对

输入 $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
输出 $f(x)$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

表格的好处是直接，适合实验记录、票价档位和有限数据。判断表格是不是函数，只要检查同一个输入有没有对应不同输出。

但要注意：如果定义域是全体实数，这张表只展示了几个样本，并没有自动告诉你样本之间怎样变化。经过这五个点的曲线有很多条。除非题目额外限定函数类型，否则不能只凭有限数据就断定唯一公式。

解析式：适合计算与变形

上表中的数据符合

f(x)=2x-1.

解析式把处理规则压得很紧凑。它便于代入、化简，也方便我们研究零点和变化率。不过公式不会自动提醒你现实限制，定义域仍要单独检查。

图像：把所有配对放进坐标系

函数图像由所有点 $(x,f(x))$ 组成。横坐标记录输入，纵坐标记录输出。图像最擅长展示整体：哪里上升，哪里下降，是否有转折，输出有没有上界或下界。

图像也不是装饰。图上的一个点 $(3,5)$ ，说的是 $f(3)=5$ ；图像没有覆盖某个横坐标，通常表示那个输入不在定义域里。

在无限定义域上，有限表格通常只是样本，不是完整函数。把表格中的点顺手连成直线，等于额外假设了点与点之间按线性规律变化；题目没有给出这个条件时，不能自己补上。

映射图放在哪一类

把输入写在左边、输出写在右边，再用箭头连接的映射图，是“对应关系”的直观画法。它特别适合检查唯一输出，也可以看成有限表格的图形版本。左边每个输入必须恰好发出一条箭头；几支箭头汇到同一个输出没有问题。

定义域、陪域和值域不是一回事

函数写成 $f:A\to B$ 时， $A$ 是定义域，也就是全部合法输入； $B$ 是事先指定的陪域，表示输出被安置在哪个集合里；真正被函数取到的输出组成值域。

值域一定包含在陪域中，但不一定把陪域装满。比如

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2.

陪域是全体实数，可平方的实际结果不会小于 $0$ ，所以值域是 $[0,+\infty)$ 。

基础题里经常只问定义域和值域。即便题目没强调陪域，也要知道“允许输出所在的大集合”和“实际取到的输出集合”有区别。

公式的自然定义域：把不合法输入排出去

如果题目只给一个实变量公式，没有另说定义域，我们通常找它的自然定义域：让公式在实数范围内有意义的所有输入。

当前阶段最常见的限制有两类：

分母不能为 $0$ 。
偶次根号里的式子不能小于 $0$ 。

看一个同时包含两种限制的例子：

h(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}.

根号要求

x+3\geq0,

所以 $x\geq-3$ 。分母又要求 $x\neq2$ 。两个条件要同时满足，因此定义域是

[-3,2)\cup(2,+\infty).

先把每个限制分别写出来。根号给出 $x\geq-3$ ，分母给出 $x\neq2$ 。

再取限制的交集。不是从两个条件里任选一个，而是合法输入必须同时过关。

用区间写答案时， $-3$ 能让根号为 $0$ ，所以包含； $2$ 会让分母为 $0$ ，所以挖掉。

情境会把定义域进一步缩小

公式有意义，不代表情境允许。例如某停车场前 $t$ 小时的费用写成 $C(t)=4t+6$ 。纯代数公式允许任意实数 $t$ ，可“已停车时间”不能是负数。如果按整小时计费，输入还可能只取非负整数。

所以找定义域时要问两遍：式子算不算得出来？情境允不允许这个输入？

值域要看“实际能吐出什么”

定义域是横向入口，值域是纵向结果。求值域没有一条包打天下的口诀，可以按表示方式选方法：

有限表格：收集所有输出，重复值只写一次。
图像：看图像覆盖了哪些纵坐标。
解析式：利用平方非负、根号非负等性质，或者反过来问哪些 $y$ 能解出合法 $x$ 。

例如

q(x)=(x-1)^2-4.

因为 $(x-1)^2\geq0$ ，所以 $q(x)\geq-4$ ；当 $x=1$ 时，恰好取到 $-4$ 。而平方项可以任意大，于是值域是

[-4,+\infty).

再看

r(x)=\dfrac{1}{x-2}+3.

分式部分永远不等于 $0$ ，所以 $r(x)$ 永远不等于 $3$ 。反过来，任意 $y\neq3$ 都能通过

x=2+\dfrac{1}{y-3}

找到对应输入。因此值域是

(-\infty,3)\cup(3,+\infty).

图像在说什么：每个点都是一次输入输出

若 $y=f(x)$ ，那么图像上的点一定形如 $(x,f(x))$ 。这句话把代数与几何接在了一起。

例如 $f(2)=5$ ，图像就经过点 $(2,5)$ ；如果图像经过 $(-1,3)$ ，我们也能反过来读出 $f(-1)=3$ 。

从完整图像读定义域和值域时，可以想象两束光：

把图像向横轴投影，覆盖到的 $x$ 是定义域。
把图像向纵轴投影，覆盖到的 $y$ 是值域。

端点是否包含也要看清。实心点表示取到，空心点表示只靠近但不取到。箭头通常表示图像还会沿那个方向继续。

竖线检验为什么有效

固定一个输入 $x=a$ ，在坐标系里就是画竖线 $x=a$ 。如果这条竖线与图像交于两个不同点 $(a,y_1)$ 、 $(a,y_2)$ ，那就意味着同一个输入 $a$ 对应两个输出，违反函数定义。

因此：一幅图像表示 $y$ 是 $x$ 的函数，当且仅当任意竖线与图像至多相交一次。

竖线检验示意：左侧曲线中每条竖线至多与图像相交一次，所以是函数；右侧横向抛物线存在竖线交于两点，所以不是函数

完整的圆

x^2+y^2=9

不能通过竖线检验。取 $x=0$ 时，既有 $y=3$ ，也有 $y=-3$ 。但只保留上半圆

y=\sqrt{9-x^2},\qquad -3\leq x\leq3,

每个输入只剩一个非负输出，它就是函数。

竖线检验只回答“ $y$ 是否是 $x$ 的函数”。不要把它和横线混在一起。横线与图像交几次，讨论的是不同输入会不会得到相同输出，那是另一个问题。

分段函数：先看输入落在哪一段

有些规则不会用一条公式管到底。快递费可能按重量分档，水费可能按用量分级，停车费也可能前半小时和之后采用不同标准。这样的关系适合写成分段函数。

例如

f(x)= \begin{cases} -x-2, & x<-1, \\ 1, & -1\leq x<2, \\ 2x-3, & x\geq2. \end{cases}

读这种式子时，顺序一定是：先判断输入属于哪段，再用那段公式。

分段函数图像：蓝色第一段在负一处为空心点，绿色第二段从负一的实心点延伸到二的空心环，橙色第三段在二处用实心点取值并向右上延伸

求几个边界附近的函数值：

f(-2)=-(-2)-2=0,

f(-1)=1,

f(2)=2\cdot2-3=1,

f(3)=2\cdot3-3=3.

$x=-1$ 不能用第一段，因为第一段写的是 $x<-1$ ，没有等号；它属于第二段。 $x=2$ 又不属于第二段，因为第二段是 $x<2$ ；它属于第三段。

这两个边界刚好给出相同高度，并不代表空心点、实心点可以乱画。空实心记录的是“这个分支在边界上是否生效”，不是只看最终坐标有没有别的分支补上。

分段规则仍然要守函数底线

上面三段的条件合起来覆盖全体实数，又没有让同一输入得到两个冲突输出，所以它是函数。

如果分段条件漏了一块，例如只写 $x<0$ 和 $x>0$ ，那么 $x=0$ 没有定义；这不一定让整个规则失去函数身份，但 $0$ 不能被算进定义域。

如果两个条件重叠，也要小心。比如一段写 $x\leq1$ ，另一段写 $x\geq1$ ，那么 $x=1$ 同时落在两段。只有两段在 $x=1$ 给出相同结果，唯一性才没有被破坏。更稳的写法，是让分段区间边界清楚、不冲突。

分段函数的定义域和值域要分别合并

求定义域时，把各段允许的输入区间取并集。求值域时，先求每一段在自己区间上的输出范围，再把这些范围取并集。

对上面的 $f$ ：

第一段 $x<-1$ 时， $-x-2>-1$ ，值域是 $(-1,+\infty)$ 。
第二段恒等于 $1$ ，没有带来新范围。
第三段 $x\geq2$ 时， $2x-3\geq1$ ，也包含在 $(-1,+\infty)$ 中。

所以整个函数的定义域是 $\mathbb{R}$ ，值域是 $(-1,+\infty)$ 。这里 $-1$ 只能无限接近，不能取到。

变化率入门：输出平均每一步变多少

函数告诉我们“输入变，输出跟着变”。再往前一步，自然会问：变得有多快？

设输入从 $x_1$ 变到 $x_2$ ，输出从 $f(x_1)$ 变到 $f(x_2)$ 。输出的变化量是

\Delta f=f(x_2)-f(x_1),

输入的变化量是

\Delta x=x_2-x_1.

只要 $x_1\neq x_2$ ，这段区间上的平均变化率就是

\dfrac{\Delta f}{\Delta x} =\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.

它读成一句话就是：输入平均每增加 $1$ 个单位，输出改变多少个单位。

例子：同一个二次函数，不同区间变化得不一样

设

s(t)=t^2-2t.

求 $t=1$ 到 $t=4$ 的平均变化率。

先算两个端点的函数值： $s(1)=1-2=-1$ ， $s(4)=16-8=8$ 。

输出变化量是 $8-(-1)=9$ ，输入变化量是 $4-1=3$ 。

平均变化率是 $\dfrac{9}{3}=3$ 。也就是说，从 $t=1$ 到 $t=4$ 这整段看，输入平均每增加 $1$ ，输出增加 $3$ 。

如果改看 $t=2$ 到 $t=3$ ，平均变化率会变成

\dfrac{s(3)-s(2)}{3-2} =\dfrac{3-0}{1}=3.

这次碰巧也等于 $3$ 。再看 $t=0$ 到 $t=1$ ：

\dfrac{s(1)-s(0)}{1-0}=-1.

区间不同，平均变化率可能不同。图像上，它等于连接两个端点的直线斜率。

符号、单位与顺序

平均变化率为正，说明终点输出高于起点；为负，说明终点输出低于起点；为 $0$ ，说明两个端点输出相同。但它只比较端点，不能保证中间一直上升、一直下降或完全不动。

如果输入单位是小时，输出单位是千米，变化率单位就是“千米每小时”。单位不是附属品，它告诉你这个比值在情境里是什么意思。

分子、分母的顺序必须一致。你可以都用“终点减起点”，也可以都反过来，结果相同；不能分子正着减、分母倒着减，那会凭空改掉符号。

下一章研究的线性函数有一个特别规整的性质：无论选哪两个不同输入，平均变化率都相同。那个固定值就是直线的斜率。现在先把“输出变化量除以输入变化量”这层意思抓牢。

常见误区：错的往往不是计算，而是读法

把 $f(x)$ 当成 $f$ 乘 $x$

$f$ 是函数名， $f(x)$ 是函数值。除非题目另外把 $f$ 定义为一个数，否则不能按乘法拆开。

认为每个输出也只能对应一个输入

函数只要求“输入到输出”唯一。 $x^2$ 中的 $2$ 和 $-2$ 都对应 $4$ ，并不违规。

一看到式子就默认定义域是全体实数

分母、偶次根号和真实情境都可能限制输入。求值前先查输入是否合法，能省掉很多无意义计算。

把陪域直接当成值域

写 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 只说明输出被放在实数集合里，不代表每个实数都能被取到。 $f(x)=x^2$ 的值域仍然只有非负实数。

看分段函数时先代公式，后看条件

顺序正好相反。先找输入落在哪个区间，再使用对应公式。边界上的等号尤其不能跳过。

用竖线检验判断“有没有重复输出”

竖线检验查的是同一个 $x$ 有没有多个 $y$ 。一条水平线碰到图像多次，只说明多个输入共享输出，不会让它自动变成非函数。

把平均变化率当成每一刻都按这个速度变化

平均变化率只用到两个端点。中间可能先升后降，也可能忽快忽慢。只有遇到线性函数时，这个平均值才会在所有区间保持一致。

例题：把判断过程说完整

例题一：一组配对是否构成函数

判断关系

R=\{(-2,1),(-1,3),(0,3),(2,7)\}

是否表示函数，并写出定义域和值域。

依次查看第一坐标： $-2,-1,0,2$ ，每个输入只对应一个第二坐标，因此这条关系表示函数。

定义域收集所有输入，得到 $\{-2,-1,0,2\}$ 。

值域收集实际输出。输出 $3$ 虽然出现两次，但集合里只写一次，所以值域是 $\{1,3,7\}$ 。

例题二：定义域的两个条件要取交集

求函数

g(x)=\dfrac{\sqrt{5-2x}}{x+1}

的自然定义域。

根号要求 $5-2x\geq0$ ，解得 $x\leq\dfrac{5}{2}$ 。

分母要求 $x+1\neq0$ ，所以 $x\neq-1$ 。

在 $x\leq\dfrac{5}{2}$ 的范围里挖掉 $-1$ ，得到定义域 $(-\infty,-1)\cup\left(-1,\dfrac{5}{2}\right]$ 。

例题三：函数记号必须整体代入

设

p(x)=2x^2-x-3.

求 $p(-2)$ 和 $p(a-1)$ 。

$p(-2)=2(-2)^2-(-2)-3=8+2-3=7$ 。

计算 $p(a-1)$ 时，把每个 $x$ 都替换成 $(a-1)$ ： $p(a-1)=2(a-1)^2-(a-1)-3$ 。

展开并合并同类项： $2(a^2-2a+1)-a+1-3=2a^2-5a$ 。

例题四：分段函数的边界归谁

设

k(x)= \begin{cases} x+4, & x\leq0, \\ x^2+1, & 0<x<3, \\ 10, & x\geq3. \end{cases}

求 $k(0)$ 、 $k(2)$ 、 $k(3)$ 。

$0$ 属于第一段，因为第一段含等号，所以 $k(0)=0+4=4$ 。

$2$ 满足 $0<2<3$ ，使用第二段，得到 $k(2)=2^2+1=5$ 。

$3$ 不属于第二段，而属于第三段，所以 $k(3)=10$ 。

例题五：从图像描述读定义域和值域

某函数图像从实心点 $(-3,1)$ 出发，连续延伸到空心点 $(4,6)$ ，中间所有纵坐标都在 $1$ 到 $6$ 之间，而且每个高度都出现过。求定义域和值域。

横坐标从 $-3$ 延伸到 $4$ 。 $-3$ 是实心点，包含； $4$ 是空心点，不包含。因此定义域是 $[-3,4)$ 。

纵坐标最低取到 $1$ ，最高只能靠近 $6$ 。题目说明中间高度都出现，因此值域是 $[1,6)$ 。

若图像在中间有断裂，仅凭两个端点不能断定值域覆盖整个区间。这里能写成完整区间，是因为题目明确说所有中间高度都取到。

例题六：平均变化率带着单位解释

一辆车离出发地的距离用 $D(t)$ 表示， $t$ 的单位是小时。已知 $D(1)=42$ 千米， $D(4)=210$ 千米。求这段时间的平均变化率。

距离变化量是 $210-42=168$ 千米。

时间变化量是 $4-1=3$ 小时。

平均变化率是 $\dfrac{168}{3}=56$ 千米每小时。它描述这三小时整体上的平均距离变化，不保证车辆每一刻都以 $56$ 千米每小时行驶。

自我练习

练习一：函数判定

下列三种对应中，哪些是函数？

每位学生对应自己的学号。
每个正整数对应它的所有正因数。
每个实数 $x$ 对应 $|x|$ 。

练习二：表格中的重复输入

判断下表是否表示函数。

$x$	$-1$	$0$	$2$	$2$
$y$	$4$	$1$	$5$	$7$

练习三：求定义域

求

f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2-16}

的自然定义域。

练习四：求值域

求 $g(x)=3-(x+2)^2$ 的值域。

练习五：函数记号

设 $h(x)=x^2+2x$ ，计算 $h(-3)$ 、 $h(a+1)$ ，并判断 $h(a+1)=h(a)+h(1)$ 是否恒成立。

练习六：竖线检验

关系 $x=y^2$ 是否表示 $y$ 是 $x$ 的函数？如果限制 $y\geq0$ 呢？

练习七：分段函数

已知

q(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<1, \\ 4-x, & x\geq1. \end{cases}

求 $q(0)$ 、 $q(1)$ 、 $q(5)$ ，并判断两段在边界处是否给出同一个高度。

练习八：平均变化率

设 $m(x)=x^2+1$ ，求它在区间 $[-2,1]$ 上的平均变化率。

收束一下：以后拿到函数先问什么

面对一个新函数，可以按这个顺序检查：

输入和输出分别是什么，单位是什么？
每个合法输入是否恰好得到一个输出？
定义域有哪些公式限制或情境限制？
用表格、公式、语言还是图像看它最清楚？
值域实际覆盖哪些输出？端点取不取到？
如果是分段函数，输入究竟落在哪一段？
两个输入之间，输出平均每一步改变多少？

函数最核心的规矩其实不复杂：输入要合法，输出要唯一。真正需要练的是把不同表示互相翻译——从 $f(a)$ 读出一个点，从图像读出定义域和值域，从表格看配对，从情境里找限制。

下一章会把目光集中在线性函数上。到那时，平均变化率不再随区间改变，图像也会变成直线。斜率、截距这些新名字，都会从本章的输入、输出和变化率自然长出来。

函数概念

上一章里，我们解方程、解不等式，常常是在追问一个结果：哪个数能让等式成立，哪些数落在允许的范围里。

函数就是描述这种依赖关系的语言。

先抓住底线：一个输入只能有一个输出

函数的正式定义说的就是这件事。

f:A\to B.

这里有三个词不能省：

每一个：定义域里的输入不能被漏掉。
恰好一个：同一个输入不能同时得到两个不同输出。
允许重复：不同输入可以得到相同输出。

反过来，如果一条关系规定 $x=2$ 时既输出 $3$ 又输出 $5$ ，它就不是函数。问题不在于两个输出都不好，而在于规则没有告诉我们到底该选哪一个。

判断函数时，视线要站在输入这一边：定义域里的每个输入有没有结果？结果是不是唯一？输出重复并不违规，同一个输入分叉才违规。

函数与非函数的映射图：左图每个输入恰好发出一条箭头，允许多个输入指向同一输出；右图输入2同时指向7和9，因此不是函数

关系、函数与有序数对

一条数值关系常写成若干有序数对 $(x,y)$ 。第一项是输入，第二项是输出。例如

\{(1,4),(2,7),(3,4),(4,9)\}

表示 $1$ 对应 $4$ ， $2$ 对应 $7$ ， $3$ 又对应 $4$ ， $4$ 对应 $9$ 。第一坐标没有重复着指向不同结果，所以它是函数。

再看

\{(1,4),(2,7),(2,9),(3,4)\}.

输入 $2$ 同时配了 $7$ 和 $9$ ，这条关系就不是函数。

这里有个容易钻牛角尖的地方：完全相同的有序数对写两遍，并不会制造两个不同输出。真正破坏函数的是同一个第一坐标配上了不同的第二坐标。

“一个公式”不自动等于“一个完整函数”

平时我们经常写 $f(x)=2x+1$ ，看起来只给了一条公式。严格说，一个函数还要说明允许哪些输入。比如同样的公式

f(x)=2x+1,

如果定义域是全体实数，它描述一条完整直线；如果定义域只有 $\{0,1,2\}$ ，它只包含三个输入输出对。公式相同，定义域不同，函数也不同。

所以函数不是一串算式的别名。它至少包含“输入从哪里来”和“输入按什么规则得到输出”这两部分。

函数记号：括号里装的是整个输入

把函数命名为 $f$ 后， $f(x)$ 表示“输入 $x$ 经过函数 $f$ 得到的输出”。这里的括号不是乘号， $f(x)$ 也不是 $f\cdot x$ 。

设

f(x)=x^2-3x+2.

输入 $4$ 时，函数值是

f(4)=4^2-3\cdot4+2=6.

输入 $-1$ 时，每个 $x$ 都要换成 $-1$ ：

f(-1)=(-1)^2-3(-1)+2=6.

你会发现 $f(4)=f(-1)$ 。这再次说明，不同输入得到同一输出很正常。

输入也可以是一整个表达式

如果题目问 $f(t+1)$ ，就把公式里的每一个 $x$ 都替换成整个 $(t+1)$ ：

f(t+1)=(t+1)^2-3(t+1)+2.

化简后得到

f(t+1)=t^2-t.

最常见的错误，是只替换一部分，或者擅自把输入拆开。一般来说，

f(t+1)\neq f(t)+1

也不能默认

f(t+1)=f(t)+f(1).

函数是否能把加法拆开，要看它有没有额外性质。普通函数没有这条保证。

字母只是输入位置的名字

下面三种写法描述的是同一条规则：

f(x)=x^2+1,

f(t)=t^2+1,

f(u)=u^2+1.

从“多项式的值”过渡到函数值

给定多项式 $P(x)$ ，把 $x=0,1,2,3$ 依次代入，得到 $P(0),P(1),P(2),P(3)$ 。这不只是四次孤立计算，它们是同一条规则在四个输入上的输出记录。

例如

P(x)=x^2-2x-3.

它的一部分取值表是：

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(x)$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

同一个函数的四种表示

语言描述：先把规则说成人话

它的弱点也明显：描述一长，边界条件容易藏在句子里。因此读题时要主动找输入、输出、单位和限制。

表格：只摆出已经观察到的配对

输入 $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
输出 $f(x)$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

表格的好处是直接，适合实验记录、票价档位和有限数据。判断表格是不是函数，只要检查同一个输入有没有对应不同输出。

解析式：适合计算与变形

上表中的数据符合

f(x)=2x-1.

解析式把处理规则压得很紧凑。它便于代入、化简，也方便我们研究零点和变化率。不过公式不会自动提醒你现实限制，定义域仍要单独检查。

图像：把所有配对放进坐标系

图像也不是装饰。图上的一个点 $(3,5)$ ，说的是 $f(3)=5$ ；图像没有覆盖某个横坐标，通常表示那个输入不在定义域里。

映射图放在哪一类

定义域、陪域和值域不是一回事

值域一定包含在陪域中，但不一定把陪域装满。比如

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2.

陪域是全体实数，可平方的实际结果不会小于 $0$ ，所以值域是 $[0,+\infty)$ 。

基础题里经常只问定义域和值域。即便题目没强调陪域，也要知道“允许输出所在的大集合”和“实际取到的输出集合”有区别。

公式的自然定义域：把不合法输入排出去

如果题目只给一个实变量公式，没有另说定义域，我们通常找它的自然定义域：让公式在实数范围内有意义的所有输入。

当前阶段最常见的限制有两类：

分母不能为 $0$ 。
偶次根号里的式子不能小于 $0$ 。

看一个同时包含两种限制的例子：

h(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}.

根号要求

x+3\geq0,

所以 $x\geq-3$ 。分母又要求 $x\neq2$ 。两个条件要同时满足，因此定义域是

[-3,2)\cup(2,+\infty).

先把每个限制分别写出来。根号给出 $x\geq-3$ ，分母给出 $x\neq2$ 。

再取限制的交集。不是从两个条件里任选一个，而是合法输入必须同时过关。

用区间写答案时， $-3$ 能让根号为 $0$ ，所以包含； $2$ 会让分母为 $0$ ，所以挖掉。

情境会把定义域进一步缩小

所以找定义域时要问两遍：式子算不算得出来？情境允不允许这个输入？

值域要看“实际能吐出什么”

定义域是横向入口，值域是纵向结果。求值域没有一条包打天下的口诀，可以按表示方式选方法：

有限表格：收集所有输出，重复值只写一次。
图像：看图像覆盖了哪些纵坐标。
解析式：利用平方非负、根号非负等性质，或者反过来问哪些 $y$ 能解出合法 $x$ 。

例如

q(x)=(x-1)^2-4.

因为 $(x-1)^2\geq0$ ，所以 $q(x)\geq-4$ ；当 $x=1$ 时，恰好取到 $-4$ 。而平方项可以任意大，于是值域是

[-4,+\infty).

再看

r(x)=\dfrac{1}{x-2}+3.

分式部分永远不等于 $0$ ，所以 $r(x)$ 永远不等于 $3$ 。反过来，任意 $y\neq3$ 都能通过

x=2+\dfrac{1}{y-3}

找到对应输入。因此值域是

(-\infty,3)\cup(3,+\infty).

图像在说什么：每个点都是一次输入输出

若 $y=f(x)$ ，那么图像上的点一定形如 $(x,f(x))$ 。这句话把代数与几何接在了一起。

例如 $f(2)=5$ ，图像就经过点 $(2,5)$ ；如果图像经过 $(-1,3)$ ，我们也能反过来读出 $f(-1)=3$ 。

从完整图像读定义域和值域时，可以想象两束光：

把图像向横轴投影，覆盖到的 $x$ 是定义域。
把图像向纵轴投影，覆盖到的 $y$ 是值域。

端点是否包含也要看清。实心点表示取到，空心点表示只靠近但不取到。箭头通常表示图像还会沿那个方向继续。

竖线检验为什么有效

因此：一幅图像表示 $y$ 是 $x$ 的函数，当且仅当任意竖线与图像至多相交一次。

竖线检验示意：左侧曲线中每条竖线至多与图像相交一次，所以是函数；右侧横向抛物线存在竖线交于两点，所以不是函数

完整的圆

x^2+y^2=9

不能通过竖线检验。取 $x=0$ 时，既有 $y=3$ ，也有 $y=-3$ 。但只保留上半圆

y=\sqrt{9-x^2},\qquad -3\leq x\leq3,

每个输入只剩一个非负输出，它就是函数。

竖线检验只回答“ $y$ 是否是 $x$ 的函数”。不要把它和横线混在一起。横线与图像交几次，讨论的是不同输入会不会得到相同输出，那是另一个问题。

分段函数：先看输入落在哪一段

例如

f(x)= \begin{cases} -x-2, & x<-1, \\ 1, & -1\leq x<2, \\ 2x-3, & x\geq2. \end{cases}

读这种式子时，顺序一定是：先判断输入属于哪段，再用那段公式。

分段函数图像：蓝色第一段在负一处为空心点，绿色第二段从负一的实心点延伸到二的空心环，橙色第三段在二处用实心点取值并向右上延伸

求几个边界附近的函数值：

f(-2)=-(-2)-2=0,

f(-1)=1,

f(2)=2\cdot2-3=1,

f(3)=2\cdot3-3=3.

$x=-1$ 不能用第一段，因为第一段写的是 $x<-1$ ，没有等号；它属于第二段。 $x=2$ 又不属于第二段，因为第二段是 $x<2$ ；它属于第三段。

分段规则仍然要守函数底线

上面三段的条件合起来覆盖全体实数，又没有让同一输入得到两个冲突输出，所以它是函数。

如果分段条件漏了一块，例如只写 $x<0$ 和 $x>0$ ，那么 $x=0$ 没有定义；这不一定让整个规则失去函数身份，但 $0$ 不能被算进定义域。

分段函数的定义域和值域要分别合并

求定义域时，把各段允许的输入区间取并集。求值域时，先求每一段在自己区间上的输出范围，再把这些范围取并集。

对上面的 $f$ ：

第一段 $x<-1$ 时， $-x-2>-1$ ，值域是 $(-1,+\infty)$ 。
第二段恒等于 $1$ ，没有带来新范围。
第三段 $x\geq2$ 时， $2x-3\geq1$ ，也包含在 $(-1,+\infty)$ 中。

所以整个函数的定义域是 $\mathbb{R}$ ，值域是 $(-1,+\infty)$ 。这里 $-1$ 只能无限接近，不能取到。

变化率入门：输出平均每一步变多少

函数告诉我们“输入变，输出跟着变”。再往前一步，自然会问：变得有多快？

设输入从 $x_1$ 变到 $x_2$ ，输出从 $f(x_1)$ 变到 $f(x_2)$ 。输出的变化量是

\Delta f=f(x_2)-f(x_1),

输入的变化量是

\Delta x=x_2-x_1.

只要 $x_1\neq x_2$ ，这段区间上的平均变化率就是

\dfrac{\Delta f}{\Delta x} =\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.

它读成一句话就是：输入平均每增加 $1$ 个单位，输出改变多少个单位。

例子：同一个二次函数，不同区间变化得不一样

设

s(t)=t^2-2t.

求 $t=1$ 到 $t=4$ 的平均变化率。

先算两个端点的函数值： $s(1)=1-2=-1$ ， $s(4)=16-8=8$ 。

输出变化量是 $8-(-1)=9$ ，输入变化量是 $4-1=3$ 。

平均变化率是 $\dfrac{9}{3}=3$ 。也就是说，从 $t=1$ 到 $t=4$ 这整段看，输入平均每增加 $1$ ，输出增加 $3$ 。

如果改看 $t=2$ 到 $t=3$ ，平均变化率会变成

\dfrac{s(3)-s(2)}{3-2} =\dfrac{3-0}{1}=3.

这次碰巧也等于 $3$ 。再看 $t=0$ 到 $t=1$ ：

\dfrac{s(1)-s(0)}{1-0}=-1.

区间不同，平均变化率可能不同。图像上，它等于连接两个端点的直线斜率。

符号、单位与顺序

如果输入单位是小时，输出单位是千米，变化率单位就是“千米每小时”。单位不是附属品，它告诉你这个比值在情境里是什么意思。

分子、分母的顺序必须一致。你可以都用“终点减起点”，也可以都反过来，结果相同；不能分子正着减、分母倒着减，那会凭空改掉符号。

常见误区：错的往往不是计算，而是读法

把 $f(x)$ 当成 $f$ 乘 $x$

$f$ 是函数名， $f(x)$ 是函数值。除非题目另外把 $f$ 定义为一个数，否则不能按乘法拆开。

认为每个输出也只能对应一个输入

函数只要求“输入到输出”唯一。 $x^2$ 中的 $2$ 和 $-2$ 都对应 $4$ ，并不违规。

一看到式子就默认定义域是全体实数

分母、偶次根号和真实情境都可能限制输入。求值前先查输入是否合法，能省掉很多无意义计算。

把陪域直接当成值域

写 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 只说明输出被放在实数集合里，不代表每个实数都能被取到。 $f(x)=x^2$ 的值域仍然只有非负实数。

看分段函数时先代公式，后看条件

顺序正好相反。先找输入落在哪个区间，再使用对应公式。边界上的等号尤其不能跳过。

用竖线检验判断“有没有重复输出”

竖线检验查的是同一个 $x$ 有没有多个 $y$ 。一条水平线碰到图像多次，只说明多个输入共享输出，不会让它自动变成非函数。

把平均变化率当成每一刻都按这个速度变化

平均变化率只用到两个端点。中间可能先升后降，也可能忽快忽慢。只有遇到线性函数时，这个平均值才会在所有区间保持一致。

例题：把判断过程说完整

例题一：一组配对是否构成函数

判断关系

R=\{(-2,1),(-1,3),(0,3),(2,7)\}

是否表示函数，并写出定义域和值域。

依次查看第一坐标： $-2,-1,0,2$ ，每个输入只对应一个第二坐标，因此这条关系表示函数。

定义域收集所有输入，得到 $\{-2,-1,0,2\}$ 。

值域收集实际输出。输出 $3$ 虽然出现两次，但集合里只写一次，所以值域是 $\{1,3,7\}$ 。

例题二：定义域的两个条件要取交集

求函数

g(x)=\dfrac{\sqrt{5-2x}}{x+1}

的自然定义域。

根号要求 $5-2x\geq0$ ，解得 $x\leq\dfrac{5}{2}$ 。

分母要求 $x+1\neq0$ ，所以 $x\neq-1$ 。

在 $x\leq\dfrac{5}{2}$ 的范围里挖掉 $-1$ ，得到定义域 $(-\infty,-1)\cup\left(-1,\dfrac{5}{2}\right]$ 。

例题三：函数记号必须整体代入

设

p(x)=2x^2-x-3.

求 $p(-2)$ 和 $p(a-1)$ 。

$p(-2)=2(-2)^2-(-2)-3=8+2-3=7$ 。

计算 $p(a-1)$ 时，把每个 $x$ 都替换成 $(a-1)$ ： $p(a-1)=2(a-1)^2-(a-1)-3$ 。

展开并合并同类项： $2(a^2-2a+1)-a+1-3=2a^2-5a$ 。

例题四：分段函数的边界归谁

设

k(x)= \begin{cases} x+4, & x\leq0, \\ x^2+1, & 0<x<3, \\ 10, & x\geq3. \end{cases}

求 $k(0)$ 、 $k(2)$ 、 $k(3)$ 。

$0$ 属于第一段，因为第一段含等号，所以 $k(0)=0+4=4$ 。

$2$ 满足 $0<2<3$ ，使用第二段，得到 $k(2)=2^2+1=5$ 。

$3$ 不属于第二段，而属于第三段，所以 $k(3)=10$ 。

例题五：从图像描述读定义域和值域

某函数图像从实心点 $(-3,1)$ 出发，连续延伸到空心点 $(4,6)$ ，中间所有纵坐标都在 $1$ 到 $6$ 之间，而且每个高度都出现过。求定义域和值域。

横坐标从 $-3$ 延伸到 $4$ 。 $-3$ 是实心点，包含； $4$ 是空心点，不包含。因此定义域是 $[-3,4)$ 。

纵坐标最低取到 $1$ ，最高只能靠近 $6$ 。题目说明中间高度都出现，因此值域是 $[1,6)$ 。

若图像在中间有断裂，仅凭两个端点不能断定值域覆盖整个区间。这里能写成完整区间，是因为题目明确说所有中间高度都取到。

例题六：平均变化率带着单位解释

一辆车离出发地的距离用 $D(t)$ 表示， $t$ 的单位是小时。已知 $D(1)=42$ 千米， $D(4)=210$ 千米。求这段时间的平均变化率。

距离变化量是 $210-42=168$ 千米。

时间变化量是 $4-1=3$ 小时。

平均变化率是 $\dfrac{168}{3}=56$ 千米每小时。它描述这三小时整体上的平均距离变化，不保证车辆每一刻都以 $56$ 千米每小时行驶。

自我练习

练习一：函数判定

下列三种对应中，哪些是函数？

每位学生对应自己的学号。
每个正整数对应它的所有正因数。
每个实数 $x$ 对应 $|x|$ 。

练习二：表格中的重复输入

判断下表是否表示函数。

$x$	$-1$	$0$	$2$	$2$
$y$	$4$	$1$	$5$	$7$

练习三：求定义域

求

f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2-16}

的自然定义域。

练习四：求值域

求 $g(x)=3-(x+2)^2$ 的值域。

练习五：函数记号

设 $h(x)=x^2+2x$ ，计算 $h(-3)$ 、 $h(a+1)$ ，并判断 $h(a+1)=h(a)+h(1)$ 是否恒成立。

练习六：竖线检验

关系 $x=y^2$ 是否表示 $y$ 是 $x$ 的函数？如果限制 $y\geq0$ 呢？

练习七：分段函数

已知

q(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<1, \\ 4-x, & x\geq1. \end{cases}

求 $q(0)$ 、 $q(1)$ 、 $q(5)$ ，并判断两段在边界处是否给出同一个高度。

练习八：平均变化率

设 $m(x)=x^2+1$ ，求它在区间 $[-2,1]$ 上的平均变化率。

收束一下：以后拿到函数先问什么

面对一个新函数，可以按这个顺序检查：

输入和输出分别是什么，单位是什么？
每个合法输入是否恰好得到一个输出？
定义域有哪些公式限制或情境限制？
用表格、公式、语言还是图像看它最清楚？
值域实际覆盖哪些输出？端点取不取到？
如果是分段函数，输入究竟落在哪一段？
两个输入之间，输出平均每一步改变多少？

函数概念

先抓住底线：一个输入只能有一个输出

关系、函数与有序数对

“一个公式”不自动等于“一个完整函数”

函数记号：括号里装的是整个输入

输入也可以是一整个表达式

字母只是输入位置的名字

从“多项式的值”过渡到函数值

同一个函数的四种表示

语言描述：先把规则说成人话

表格：只摆出已经观察到的配对

解析式：适合计算与变形

图像：把所有配对放进坐标系

映射图放在哪一类

定义域、陪域和值域不是一回事

公式的自然定义域：把不合法输入排出去

情境会把定义域进一步缩小

值域要看“实际能吐出什么”

图像在说什么：每个点都是一次输入输出

竖线检验为什么有效

分段函数：先看输入落在哪一段

分段规则仍然要守函数底线

分段函数的定义域和值域要分别合并

变化率入门：输出平均每一步变多少

例子：同一个二次函数，不同区间变化得不一样

符号、单位与顺序

常见误区：错的往往不是计算，而是读法

把 f(x)f(x)f(x) 当成 fff 乘 xxx

认为每个输出也只能对应一个输入

一看到式子就默认定义域是全体实数

把陪域直接当成值域

看分段函数时先代公式，后看条件

用竖线检验判断“有没有重复输出”

把平均变化率当成每一刻都按这个速度变化

例题：把判断过程说完整

例题一：一组配对是否构成函数

例题二：定义域的两个条件要取交集

例题三：函数记号必须整体代入

例题四：分段函数的边界归谁

例题五：从图像描述读定义域和值域

例题六：平均变化率带着单位解释

自我练习

收束一下：以后拿到函数先问什么

函数概念

先抓住底线：一个输入只能有一个输出

关系、函数与有序数对

“一个公式”不自动等于“一个完整函数”

函数记号：括号里装的是整个输入

输入也可以是一整个表达式

字母只是输入位置的名字

从“多项式的值”过渡到函数值

同一个函数的四种表示

语言描述：先把规则说成人话

表格：只摆出已经观察到的配对

解析式：适合计算与变形

图像：把所有配对放进坐标系

映射图放在哪一类

定义域、陪域和值域不是一回事

公式的自然定义域：把不合法输入排出去

情境会把定义域进一步缩小

值域要看“实际能吐出什么”

图像在说什么：每个点都是一次输入输出

竖线检验为什么有效

分段函数：先看输入落在哪一段

分段规则仍然要守函数底线

分段函数的定义域和值域要分别合并

变化率入门：输出平均每一步变多少

例子：同一个二次函数，不同区间变化得不一样

符号、单位与顺序

常见误区：错的往往不是计算，而是读法

把 f(x)f(x)f(x) 当成 fff 乘 xxx

认为每个输出也只能对应一个输入

一看到式子就默认定义域是全体实数

把陪域直接当成值域

看分段函数时先代公式，后看条件

用竖线检验判断“有没有重复输出”

把平均变化率当成每一刻都按这个速度变化

例题：把判断过程说完整

例题一：一组配对是否构成函数

例题二：定义域的两个条件要取交集

把 $f(x)$ 当成 $f$ 乘 $x$

把 $f(x)$ 当成 $f$ 乘 $x$