线性函数

如果你愿意把数学想得生活一点，线性函数其实很像一类特别守规矩的变化。

比如打车。车多跑 1 公里，费用就按同一个单价增加。再比如兼职。你多干 1 小时，工资就多同样一笔。还有水杯接水，每过 1 秒水位上升差不多同样的高度。

这些场景背后都有一个共同点：每多走一步，变化量都是固定的。

线性函数讲的就是这件事。它不是为了让我们背一个公式，而是给“匀速变化”“固定单价”“稳定增长”这些现实关系，找一个最简单的数学外壳。

这个外壳长这样：

$$f(x)=mx+b$$

看起来只有两个字母，但信息量很大。$m$ 告诉你“每多一个 $x$，$y$ 会变多少”；$b$ 告诉你“还没开始变化时，$y$ 已经站在哪里”。

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先把线性函数认出来

线性函数的标准形式是

$$f(x)=mx+b$$

这里 $m$ 和 $b$ 是固定的数，$x$ 是输入。真正关键的是：$x$ 只能以一次方出现。

所以 $y=3x+5$ 是线性函数，$y=-\dfrac{1}{2}x$ 也是，$y=7$ 也算。最后这个看起来有点奇怪，因为它没有写出 ，但你可以把它理解成 ，斜率是 ，图像是一条水平线。

但 $y=x^2-4$ 就不是线性函数了，因为出现了 $x^2$。$y=\dfrac{1}{x}$ 也不是，因为 跑到分母里去了。线性函数不是“只要有 就行”，而是 的出现方式必须很规矩。

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斜率 m：这条线的性格

线性函数里最有存在感的数字，是斜率 $m$。

你可以把它理解成“每向右走 1 格，纵向要走多少”。如果 $m=2$，就是向右 1 格，向上 2 格。如果 $m=-\dfrac{1}{2}$，就是向右 1 格，向下半格。

所以斜率不是一个抽象符号。它其实在回答一个很朴素的问题：变化快不快？往哪个方向变？

用两点来算斜率时，公式是：

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

这里最怕的不是算错分数，而是上下顺序不一致。分子如果用“第二点减第一点”，分母也要用“第二点减第一点”。不要上面从 A 到 B，下面从 B 到 A，那样符号会被你自己翻掉。

斜率的符号很好读：

• $m>0$，线从左到右往上走。
• $m<0$，线从左到右往下走。
• $m=0$，线是水平的，函数值不变。

斜率的绝对值则决定陡不陡。$|m|=3$ 的线，比 $|m|=\dfrac{1}{4}$ 的线陡很多。因为同样向右走 1 格，前者的纵向变化是 3，后者只有 $\dfrac{1}{4}$。

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截距 b：直线从哪里出发

斜截式

$$y=mx+b$$

之所以好用，是因为它把两条最重要的信息直接摆在你面前。

$m$ 是斜率，告诉你变化速度。$b$ 是 $y$ 轴截距，告诉你当 $x=0$ 时，$y$ 等于多少。换句话说，直线一定会经过点 $(0,b)$。

画图时，你可以按一个很稳的流程来：

1. 先在 $y$ 轴上找到 $(0,b)$。
2. 把 $m$ 看成 $\dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$。
3. 从截距点出发，横向走 run 格，纵向走 rise 格，找到第二个点。
4. 连接两个点，直线就出来了。

比如

$$y=\dfrac{3}{2}x-1$$

它的截距是 $-1$，所以先标出 $(0,-1)$。斜率是 $\dfrac{3}{2}$，意思是向右 2 格、向上 3 格，于是第二个点是 $(2,2)$。

一般式要先整理

很多题不会一开始就把方程写成 $y=mx+b$。它可能给你：

$$2x+3y=6$$

这时不要直接盯着 $x$ 的系数说斜率是 $2$。先把 $y$ 解出来：

$$3y=-2x+6$$ $$y=-\dfrac{2}{3}x+2$$

所以斜率是 $-\dfrac{2}{3}$，截距是 $2$。

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点斜式：题目只给一个点时怎么办

有时候题目不会告诉你截距，只告诉你“这条线经过某个点，并且斜率是多少”。

这时斜截式不一定是最顺手的入口，点斜式更自然：

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

它其实不是凭空冒出来的公式，而是斜率定义的改写。既然直线经过 $(x_1,y_1)$，直线上另一个点是 $(x,y)$，那么：

$$m=\frac{y-y_1}{x-x_1}$$

两边乘上 $(x-x_1)$，就得到点斜式。

所以你可以把点斜式读成一句人话：现在这个点的 $y$，离已知点的 $y$ 差多少，取决于 $x$ 离已知点的 $x$ 差多少，再乘上斜率。

比如斜率 $m=3$，直线经过点 $(2,5)$。

先写点斜式：

$$y-5=3(x-2)$$

再展开：

$$y-5=3x-6$$

两边加 5：

$$y=3x-1$$

这就回到了斜截式。

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两点确定一条直线

如果题目只给两个点，也不用慌。两点已经足够确定一条直线。

解题路线很固定：

1. 先用两点公式求斜率。
2. 再选其中一个点，代入点斜式。
3. 最后整理成斜截式。

比如直线经过 $P(-2,3)$ 和 $Q(4,-9)$。

先算斜率：

$$m=\frac{-9-3}{4-(-2)}=\frac{-12}{6}=-2$$

再用点 $P(-2,3)$ 写点斜式：

$$y-3=-2(x-(-2))$$

也就是：

$$y-3=-2(x+2)$$

展开整理：

$$y=-2x-1$$

你如果选 $Q(4,-9)$ 来代，也会得到同一条直线。过程外形不一样，最后答案一样。

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平行与垂直：斜率在替你看方向

斜率还有一个很实用的功能：判断两条直线的关系。

两条线如果平行，方向必须一样，所以斜率相等。比如

$$y=2x+1$$

和

$$y=2x-4$$

它们斜率都是 $2$，截距不同，所以是两条平行线。

垂直就更有意思。两条非水平、非竖直的直线如果互相垂直，它们的斜率乘积是 $-1$。也可以说，它们的斜率互为负倒数。

比如 $\dfrac{1}{2}$ 的负倒数是 $-2$，所以斜率为 $\dfrac{1}{2}$ 的直线，和斜率为 $-2$ 的直线互相垂直。

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例题

例题 1：从一般式读出斜率和截距

已知方程

$$4x-2y=10$$

求斜率和 $y$ 轴截距。

例题 2：用点斜式写方程

直线斜率为 $-\dfrac{2}{3}$，经过点 $(6,1)$，求斜截式。

例题 3：两点求直线方程

直线经过 $P(-2,3)$ 和 $Q(4,-9)$，求方程。

例题 4：判断三条直线关系

给定：

$$l_1:y=\dfrac{1}{2}x+3$$ $$l_2:y=\dfrac{1}{2}x-7$$ $$l_3:y=-2x+1$$

判断它们的关系。

例题 5：把现实问题写成线性函数

某出租车起步价 8 元，包含 3 公里；超过 3 公里后，每公里 2.5 元。设行驶距离为 $x$ 公里，且 $x\geq3$，费用为 $y$ 元。

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自我练习

练习 1：直线方程 $-3x+5y=15$，求斜率、$y$ 轴截距，再求 $x$ 轴截距。

显示答案

整理为斜截式：$5y=3x+15$，所以 $y=\dfrac{3}{5}x+3$。斜率是 ${\displaystyle }$， 轴截距是 。求 轴截距时令 ，得到 ，所以 ，截距点是 。

练习 2：直线斜率为 $4$，经过点 $(-1,-3)$，写出方程，并判断点 $(2,9)$ 是否在这条线上。

显示答案

代入点斜式：$y-(-3)=4(x-(-1))$，也就是 $y+3=4(x+1)$。展开得 ，所以 。代入 ，右边是 ，和点的 坐标一致，所以它在直线上。

练习 3：经过点 $(3,7)$，且与直线 $y=-\dfrac{1}{3}x+2$ 垂直的直线方程是什么？

显示答案

原直线斜率是 $-\dfrac{1}{3}$，垂直直线的斜率是它的负倒数，也就是 $3$。代入点斜式：$y-7=3(x-3)$。展开得 ，所以 。

练习 4：某工厂的日生产成本 $C$ 与产量 $n$ 满足线性关系。当 $n=100$ 时，$C=3500$；当 $n=200$ 时，$C=6500$。建立 关于 的函数，并解释斜率和截距。

显示答案

两个点是 $(100,3500)$ 和 $(200,6500)$。斜率 $m=\dfrac{6500-3500}{200-100}=30$。用点斜式：，整理得 。斜率 表示每多生产 1 件，成本增加 30 元；截距 表示固定成本。

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小结

线性函数最值得记住的，不是“公式长什么样”，而是它在描述一种稳定变化：每多一个单位输入，输出都按同样的量改变。

$y=mx+b$ 里，$m$ 是变化速度，$b$ 是起始位置。会读这两个数，就能画图、建模、判断方向。

如果题目给的是一个点和斜率，用点斜式；如果给的是两个点，先求斜率再用点斜式；如果要判断两条线的关系，就看斜率是否相等，或者乘积是否为 $-1$。

后面学二次函数、指数函数、微积分里的切线时，你会反复遇到线性函数。因为很多复杂变化，放大到足够小的一段，本质上都要先问一句：它附近像不像一条直线？