线性函数

上一章我们把函数看成一台“输入一个数，按规则给出一个数”的机器。现在先别急着往机器里塞复杂公式，我们只研究一种很守规矩的变化。

看这组数：$5,8,11,14,\ldots$。从一项走到下一项，每次都加 $3$。再看一张记录表：时间每增加 $2$ 秒，路程就增加 $10$ 米。两件事的外表不一样，骨子里却是同一条规则：输入走过相同的步长，输出也总是变化相同的量。

把数列的项编号记成 $n$，第一项记成 $a_1$，每次增加的固定数记成 $d$，那么第 $n$ 项是

稍微整理一下：

你看，项数 $n$ 和这一项的值 $a_n$ 之间，已经出现了我们这一页的主角：一个数乘输入，再加一个固定数。把离散的点 $(n,a_n)$ 标在坐标系里，它们会整整齐齐地落在一条直线上。

这就是线性变化最值得抓住的直觉。不是“图像碰巧很直”，而是它每走一步都不临时改主意。

从恒定差分走到直线

先看一张很普通的表：

$x$ 每增加 $1$，$y$ 都增加 $5$。单凭五个数据点，还不能保证后面的变化不会拐弯；这里再给一个建模前提：进水速度始终保持每小时 $5$ 升。这个前提才真正把变化方式锁定了。

从 $x=0$ 时的 $12$ 升出发，经过 $x$ 小时，一共增加 $5x$ 升，所以

把表中的点画出来，它们在一条直线上。由于我们已经假定进水速度恒定，时间细分成半小时、十分钟时，同一关系仍然成立。离散表格加上这个连续变化的前提，才得到整条直线；没有前提，几个共线的数据点只够支持一个候选模型。

一般地，如果输出总按固定变化率 $m$ 改变，而 $x=0$ 时输出是 $b$，那么

$m$ 管“每单位输入带来多少输出变化”，$b$ 管“输入为零时已经有多少”。这两个数一旦确定，整条直线就确定了。

表里不是每次都走 1 怎么办

只盯着 $y$ 的差，有时会被骗。看下面两段变化：

• 从 $(1,7)$ 到 $(3,15)$，$x$ 增加 $2$，$y$ 增加 $8$。
• 从 $($ 到 ， 增加 ， 增加 。

$8$ 和 $20$ 并不相同，但两段的“每单位变化”相同：

所以判断线性关系时，真正要比较的是

只在输入间隔完全相等时，才可以偷个懒，直接比较相邻输出的差。

恒定差与恒定倍数不是一回事

$3,6,9,12,\ldots$ 每次加 $3$，对应线性变化。$3,6,12,24,\ldots$ 每次乘 $2$，相邻两项的差越来越大，对应的是指数变化。一个看差，一个看倍数，千万别因为数列“很有规律”就把两种变化混在一起。

斜率：把方向、快慢和单位放进一个数

取直线上的两个不同点

从 $P$ 走到 $Q$，横向变化是 $x_2-x_1$，纵向变化是 $y_2-y_1$。只要 ，斜率就定义为

也可以用变化量来写：

这不是为了给“陡不陡”起一个听起来专业的名字。斜率把三个问题一次回答了。

符号告诉你方向

• $m>0$：$x$ 增大时，$y$ 增大，图像从左向右上升。
• $m<0$：$x$ 增大时，$y$ 减小，图像从左向右下降。
• $$： 不变，图像是一条水平线。

绝对值告诉你变化有多快

比较 $m=4$ 与 $m=\dfrac{1}{4}$。同样让 $x$ 增加 $1$，前者的 $y$ 增加 ，后者只增加 。所以 越大，图像通常越陡； 越接近 ，图像越平缓。

不过，“陡”会受到坐标轴刻度影响。纸面上看起来很陡，不一定代表现实中变化很快。真正稳定、不会被缩放骗到的是斜率的数值和单位。

单位告诉你它在现实里说什么

如果 $x$ 的单位是小时，$y$ 的单位是千米，那么斜率的单位就是“千米/小时”；它说的是速度。如果 $x$ 是件数，$y$ 是元，那么斜率是“元/件”；它可能表示每多生产一件增加的成本。

为什么选哪两个点都算出同一个斜率

对线性函数 $y=mx+b$，任取横坐标不同的两点。它们满足

两式相减：

再除以 $x_2-x_1$，就得到

所以斜率不是某一小段的偶然结果。直线上每一段的变化率都一样，这恰好就是“直”的代数含义。

水平线与竖直线要分开记

水平线 $y=c$ 的纵向变化永远是 $0$，所以斜率是 $0$。

竖直线 $x=c$ 上任意两点的横向变化都是 $0$。斜率公式的分母变成 $0$，因此斜率不存在。它也不是 $x$ 的函数，因为同一个输入 $x=c$ 对应了许多个 $y$ 值。

斜截式：直接读出变化率和初始值

线性函数最常见的形式是

它叫斜截式，因为 $m$ 是斜率，而 $b$ 是直线与 $y$ 轴交点的纵坐标。令 $x=0$，马上得到

所以直线一定经过 $(0,b)$。注意，“$y$ 轴截距是 $b$”说的是一个数；交点则是 $(0,b)$。题目问哪一个，就回答哪一个。

用斜截式画图

画

时，可以这样走：

负斜率也可以读成“向左走 $3$，向上走 $2$”。只要横向和纵向的方向配套，找到的仍是同一条线。

截距不总是现实中的“起点”

设水温在某段时间内近似满足

如果模型只记录 $10\leq t\leq 30$ 分钟，那么代数上 $T$ 轴截距是 $82$，但 $t=0$ 不在模型的定义域里。此时 $82$ 是直线向外延伸后的截距，未必是实际观测到的初始温度。

所以看到 $b$，先读出它的代数含义，再检查 $x=0$ 是否属于题目的有效范围。

三种直线形式怎么选

同一条直线可以换不同写法。没有哪一种永远最好，关键看题目把什么信息放到了你手边。

斜截式

它适合直接读斜率和 $y$ 轴截距，也适合画图、比较增长速度。

点斜式

已知斜率 $m$，并且知道直线经过 $(x_1,y_1)$ 时，用

最省事。它就是斜率公式的改写：

两边乘以 $x-x_1$，点斜式就出来了。它说得很直白：从已知点开始，$x$ 改变多少，$y$ 就按斜率的倍数改变多少。

标准式

直线方程也常写成

其中 $A$ 和 $B$ 不能同时为 $0$。这种形式对处理整数系数、求两个轴截距和联立方程很方便，而且竖直线 $x=c$ 也能写进去。

当 $B\neq 0$ 时，把 $y$ 解出来：

所以斜率和 $y$ 轴截距分别是

这里有个常见坑。对 $3x+2y=8$，斜率不是 $3$，也不是 $\dfrac{3}{2}$，而是 $-\dfrac{3}{2}$。负号来自把 移到等号另一边。

标准式怎样求两个轴截距

求 $x$ 轴交点时，点在 $x$ 轴上，所以令 $y=0$。求 $y$ 轴交点时，令 $x=0$。

以

为例，令 $y=0$ 得 $x=6$，所以 $x$ 轴交点是 $(6,0)$；令 $x=0$ 得 $$，所以 轴交点是 。只要标出这两个点，就能画出直线。

根据题目给的信息写出直线

真正做题时，公式通常不会自己站到你面前。你要先判断：题目给的是斜率和点、两个点、一张表，还是一段情境？

已知一个点和斜率

求斜率为 $-\dfrac{3}{4}$，且经过 $(8,1)$ 的直线。

已知两个点

求经过 $P(-2,5)$ 与 $Q(4,-7)$ 的直线。

如果两点的横坐标相同，例如 $(3,2)$ 和 $(3,-5)$，它们确定的是竖直线 $x=3$。此时不能写成 $y=mx+b$，也不能把分母为 的斜率硬算下去。

已知一张表

先挑相邻的两段检查变化率：

变化率一直是 $-2$，所以表中数据符合线性关系。再用点 $(2,3)$ 写点斜式：

整理得

如果只比较 $y$ 的差，会看到 $-6,-8,-8$，似乎不相等。问题不在数据，而在 $x$ 的间隔分别是 $3,4,4$。这就是为什么间隔不等时一定要算比值。

已知现实情境

一间工作室每月固定支出 $2400$ 元，每制作一件产品还要增加 $35$ 元材料与加工费。设产量为 $n$ 件，总成本为 $C$ 元。

“每件增加 $35$ 元”给出斜率，“即使一件不做也要付 $2400$ 元”给出截距，所以

这里 $n$ 只能取非负整数。代数图像是一条连续直线，现实模型却只使用直线上的离散点。函数公式、图像和定义域要一起看，不能只抄一个 $35n+2400$ 就结束。

先求变化率，再找截距

有些情境不会直接把固定量告诉你。某储水装置在第 $4$ 分钟有 $70$ 升水，第 $10$ 分钟有 $112$ 升水，并且水量按恒定速度增加。

先用两个数据点求变化率：

再用点斜式：

整理得到

$7$ 表示每分钟增加 $7$ 升，$42$ 表示按这个模型推回到 $t=0$ 时有 $42$ 升水。

平行与垂直：用斜率读方向

两条非竖直直线的斜率相同，说明它们向右走相同步长时，纵向变化也相同，所以方向一致。

• 斜率相同、截距不同：两条直线平行。
• 斜率和截距都相同：它们其实是同一条直线，不能说是两条不同的平行线。

例如

与

斜率都是 $2$，截距不同，所以平行。

垂直线的斜率关系

两条斜率都存在的直线互相垂直时，斜率互为负倒数：

“负倒数”要做两件事：倒过来，再变号。$\dfrac{3}{5}$ 的负倒数是 $-\dfrac{5}{3}$；$-4$ 可以写成 $-{\displaystyle }$，它的负倒数是 。

特殊方向别往乘积公式里硬塞

水平线斜率是 $0$，它的垂线是竖直线，而竖直线斜率不存在。此时没法计算 $0\times m=-1$，但它们仍然垂直。

同样，两条不同的竖直线形如 $x=c_1$ 与 $x=c_2$（$c_1\neq c_2$），方向一致，因此平行。若 ，两条式子表示的是同一条重合直线。我们不能说竖直线“斜率相等”，因为这些斜率都不存在；直接根据方向和位置判断更严谨。

经过一点作平行线或垂线

求经过 $(2,-1)$ 且与 $3x-2y=8$ 垂直的直线。

变化率在应用题里怎么落地

线性模型好用，是因为它把一段稳定变化压缩成两个数：变化率和基准值。但模型不是现实本身，使用前要问清楚适用范围。

匀速运动

一辆车在计时开始时已经位于距离观测点 $18$ 千米处，之后以每小时 $72$ 千米的速度远离。$t$ 小时后，它与观测点的距离为

斜率 $72$ 是速度，截距 $18$ 是计时开始时的距离。如果车辆掉头、停车或改变速度，这个函数就不能继续描述后面的运动。

固定费用加单位费用

某打印服务收取 $12$ 元文件处理费，之后每页 $0.4$ 元。打印 $p$ 页的费用是

这里 $p$ 是非负整数。若商家规定最低打印 10 页，定义域还要缩成 $p\geq 10$ 的整数。公式没变，能代入的值变了。

分段计费不能硬塞成一条直线

出租车起步价为 $11$ 元，包含前 $3$ 千米；超过 $3$ 千米后，每千米加收 $2.6$ 元。完整模型应写成

第二段可以整理成 $C=2.6x+3.2$，但 $3.2$ 不是“零千米车费”。这个式子只在 $x>3$ 的分段里使用，把它延伸到 $x=0$ 就超出了模型范围。

线性模型也可能只是近似

实验数据不会总落在同一条直线上。若每段变化率很接近，我们有时用一条直线近似整体趋势。这时斜率表示平均的每单位变化，不能把它说成每一瞬间都完全相同。是否适合线性模型，要结合数据波动和使用目的判断。

一套不容易漏条件的检查法

拿到线性函数题，可以按下面的顺序过一遍。

1. 先认输入和输出。 谁依赖谁？变量的单位是什么？定义域是所有实数、某个区间，还是整数点？
2. 再找变化率。 题目直接给了“每单位增加多少”，还是需要用两点算 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$？
3. 找一个可靠的点。 它可能是初始值 $(0,b)$，也可能是表格或情境给出的任意一组数据。
4. 选顺手的形式。 有斜率和一点就用点斜式；截距明显就用斜截式；整数系数和两个轴截距明显时，标准式常更方便。
5. 代回去检查。 已知点是否满足方程？斜率的正负是否符合情境？单位有没有写反？
6. 最后解释限制。 截距在定义域里吗？模型在哪个区间有效？变量能取小数还是只能取整数？

几个高频错误

• 斜率公式上下使用相反的减法顺序。例如分子写 $y_2-y_1$，分母却写 $x_1-x_2$，会把符号翻转。

练习与解析

练习一：从表格辨认线性关系

判断下表是否表示线性函数；如果是，写出函数式。

练习二：两点写方程

求经过 $(-3,-4)$ 和 $(5,8)$ 的直线方程，并写成斜截式与标准式。

练习三：平行还是重合

判断下面三条直线之间的关系。

练习四：经过一点作垂线

求经过点 $(6,-2)$，且与直线 $y=-\dfrac{2}{3}x+5$ 垂直的直线。

练习五：解释变化率与截距

某设备在投入使用 $200$ 小时后价值为 $46\,000$ 元，在投入使用 $800$ 小时后价值为 $37\,000$ 元。假设这段时间内价值按线性规律变化，建立价值 $V$ 关于使用时间 $t$ 的模型，并解释斜率与截距。

练习六：发现不能用一条直线的情境

某停车场前 $2$ 小时收费 $8$ 元，超过 $2$ 小时后每小时再收 $3$ 元。有人写出 $C=3t+2$，并说它适用于所有 $t\geq 0$。问题出在哪里？

把这条直线真正带走

线性函数承接了上一章的函数概念：它仍然是输入与唯一输出之间的对应，只是对应规则格外稳定。

看到 $y=mx+b$，不要只认字母。$m$ 是每单位输入带来的输出变化，决定方向与快慢；$b$ 是 $x=0$ 时的函数值，决定直线与 $y$ 轴在哪里相交。题目给一点和斜率，用点斜式；给两个点，先求斜率；给标准式，先整理或直接利用截距；遇到平行与垂直，就比较方向。

最后再回到开头那串等差变化。相邻项差固定，等于说“项数每增加 $1$，这一项的值就按同一个量改变”。线性函数把这个离散规律推广到了更广的输入范围。以后遇到更弯的图像，你也会继续问同一个问题：它的变化率还保持不变吗？如果不变，是直线；如果开始改变，新的函数类型就登场了。

把斜率 $-\dfrac{2}{3}$ 读成“横向增加 $3$，纵向减少 $2$”。从 $(0,4)$ 向右走 $3$ 格，再向下走 $2$ 格，得到第二个点 $(3,2)$。