有理表达式与函数：分母说了算的世界

“为什么我明明把 $(x+3)$ 约掉了，老师还说 $x=-3$ 不能取？它不是已经没了吗？”

这个问题特别好，因为它正好戳中了有理表达式最容易让人困惑的地方：你看到的是化简后的样子，题目记住的却是它最开始的样子。

有理表达式就像一张带门禁的入场券。分子可以热闹，分母才是门卫。只要某个 $x$ 会让分母变成 $0$ ，不管后面这个因子有没有被约掉，它都已经上了黑名单。

所以这一章我们不从“公式大全”开始，而从一个很朴素的问题开始：

一个代数分式，到底什么时候能算，什么时候不能算？

把这个问题想清楚，后面的化简、四则运算、函数图像、解方程，就都会顺很多。

有理表达式是什么？

有理表达式的标准样子是：

\frac{P(x)}{Q(x)}

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，而且 $Q(x) \neq 0$ 。

这里的“有理”不是“讲道理”的意思。它来自 ratio，也就是“比值”。简单说，有理表达式就是两个多项式做成的分数。

比如这些都是有理表达式：

\frac{x+3}{x-2},\quad \frac{x^2-9}{x^2+5x+6},\quad \frac{5}{x}

最后一个 $\frac{5}{x}$ 也算，因为 5 本身就是一个零次多项式。

但这个就不算：

\frac{\sqrt{x}}{x+1}

因为分子里有根号， $\sqrt{x}$ 不是多项式。

你可以把多项式看成代数里的“整块积木”，有理表达式就是拿两块积木做成一个分数。它能表达更复杂的关系，也会带来一个更麻烦的规则：分母绝对不能为 0。

第一步不是算，是查门禁

很多同学一看到有理表达式，第一反应是化简。其实老手第一眼看的是分母。

拿这个例子来说：

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}

你先别急着拆分子。先问分母：

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

它什么时候等于 0？

(x+2)(x+3)=0

所以：

x=-2 \quad \text{或} \quad x=-3

这两个数一代进去，分母就变成 0。分母为 0 的分式没有意义，所以它们必须从定义域里排除。

换句话说，这个表达式的定义域是：

x \neq -2,\quad x \neq -3

这一步像进门前查票。只要票上写了“禁止进入”，后面就不能装作没看见。

有理表达式定义域：数轴上标出被排除的 x 值，用空心圆圈标注 x=-3 和 x=-2 两个禁止点，两侧用箭头表示合法区域，旁边写"分母≠0"，中文标注，手绘教科书风格

这里最值得养成的习惯是：

每看到一个有理表达式，先找分母为 0 的值。

不是因为老师喜欢刁难你，而是因为后面所有运算都要站在这个前提上。

化简：像约分，但别把历史记录删了

有理表达式的化简，其实和普通分数约分很像。

比如：

\frac{12}{18}=\frac{2\times 6}{3\times 6}=\frac{2}{3}

能约掉 6，是因为它作为一个完整因子，同时出现在分子和分母里。

有理表达式也一样：

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}

先因式分解：

x^2 - 9=(x-3)(x+3)

x^2 + 5x + 6=(x+2)(x+3)

所以：

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)}

分子分母都有完整因子 $(x+3)$ ，可以约掉：

\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x-3}{x+2}

但注意，结果后面还要带上：

x \neq -3,\quad x \neq -2

为什么 $x \neq -3$ 还在？因为原式的分母里曾经有 $(x+3)$ 。当 $x=-3$ 时，原式根本没有意义。化简式只是长得更简单，不是重新发了一张没有门禁的新票。

化简有理表达式：展示 (x²-9)/(x²+5x+6) 因式分解为 (x-3)(x+3)/((x+2)(x+3))，用删除线划去公因子(x+3)，得到 (x-3)/(x+2)，旁边标注"限制条件依然保留"，中文标注，手绘风格

这里还有一个常见到离谱的坑：

\frac{x+3}{x+5}

不能把上面的 $x$ 和下面的 $x$ 划掉，变成 $\frac{3}{5}$ 。

原因很简单：这里的 $x$ 是加法里面的一项，不是乘法里的完整因子。你能约掉的是“整块相乘的因子”，不是看着像的字母。

再看一个小技巧：

\frac{x-5}{5-x}

因为：

5-x=-(x-5)

所以：

\frac{x-5}{5-x} = \frac{x-5}{-(x-5)} = -1,\quad x \neq 5

这种“顺序反过来”的式子，很多时候只差一个负号。看见 $a-b$ 和 $b-a$ ，先想到：

b-a=-(a-b)

乘除法：先拆开，再动手

有理表达式乘法规则本身很直接：

\frac{P}{Q}\cdot \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}

但真正做题时，不建议一上来就展开相乘。那样很容易把式子越搞越大。

更稳的顺序是：

分子分母全部因式分解。
先约掉能约的公因子。
最后再写结果。
别忘了保留原来的限制条件。

比如：

\frac{x^2-4}{x^2+3x}\cdot \frac{x^2+x-6}{x-2}

先拆：

x^2-4=(x-2)(x+2)

x^2+3x=x(x+3)

x^2+x-6=(x+3)(x-2)

于是：

\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+3)} \cdot \frac{(x+3)(x-2)}{x-2}

能约的先约，最后得到：

\frac{(x+2)(x-2)}{x} = \frac{x^2-4}{x}

限制条件来自所有原始分母：

x\neq 0,\quad x\neq -3,\quad x\neq 2

除法只多一个动作：把第二个分数倒过来。

\frac{P}{Q}\div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\cdot \frac{S}{R}

然后就回到乘法流程：拆、约、写结果、查限制。

加减法：先找共同桌面

乘法可以直接横着乘，加减法不行。

普通分数里， $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ 不能直接等于 $\frac{2}{5}$ 。你得先通分。有理表达式也是同一个道理，只不过分母从数字变成了多项式。

如果分母一样，就直接合并分子：

\frac{3x}{x+2}+\frac{6}{x+2} = \frac{3x+6}{x+2} = \frac{3(x+2)}{x+2} = 3,\quad x\neq -2

如果分母不同，就要找最小公分母，也就是 LCD。

看这个：

\frac{2}{x^2-x}-\frac{1}{x^2-1}

先把分母拆开：

x^2-x=x(x-1)

x^2-1=(x-1)(x+1)

LCD 要同时覆盖两个分母，所以取：

x(x-1)(x+1)

通分：

\frac{2}{x(x-1)}-\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x}{x(x-1)(x+1)}

合并分子：

\frac{2(x+1)-x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x+2}{x(x-1)(x+1)}

限制条件是：

x\neq 0,\quad x\neq 1,\quad x\neq -1

LCD 通分过程：以两个分母 x(x-1) 和 (x-1)(x+1) 为例，用韦恩图风格展示各因子，中间重叠部分是公因子 (x-1)，LCD 标注为 x(x-1)(x+1)，旁边写出通分步骤，中文标注，手绘风格

找 LCD 的时候可以这样想：你要搭一张公共桌子，让每个原来的分母都能完整坐上去。桌子要够用，但不要多拿没必要的因子。

有理函数：图像为什么像在绕墙走？

当有理表达式变成函数：

f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

我们就得关心它的图像。

有理函数最有辨识度的地方，是它经常有渐近线。所谓渐近线，就是图像越来越靠近，却通常不会真的撞上的线。

最常见的有两类。

垂直渐近线来自没有被约掉的分母零点。

比如化简之后分母里还剩 $(x-a)$ ，那 $x=a$ 附近函数值可能会冲向正无穷或负无穷。图像像遇到一堵竖墙，只能往上或往下逃。

水平渐近线看的是 $x$ 越来越大时，函数大致靠近哪条水平线。

设分子次数是 $m$ ，分母次数是 $n$ ：

如果 $m<n$ ，水平渐近线是 $y=0$ 。
如果 $m=n$ ，水平渐近线是首项系数之比。
如果 $m>n$ ，一般没有水平渐近线；当 $m=n+1$ 时会出现斜渐近线，这是下一阶段的话题。

还有一种很容易和渐近线混淆的东西：空洞。

空洞来自被约掉的公因子。它不是一堵墙，而是图像上少了一个点。

比如：

f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2-x-2}

先拆：

3x^2-12=3(x-2)(x+2)

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

约掉 $(x-2)$ ：

f(x)=\frac{3(x+2)}{x+1},\quad x\neq 2,\ x\neq -1

这里 $x=2$ 对应的是空洞，因为 $(x-2)$ 被约掉了。空洞的纵坐标用化简后的式子算：

y=\frac{3(2+2)}{2+1}=4

所以空洞在 $(2,4)$ 。

而 $x=-1$ 对应的是垂直渐近线，因为化简后分母里还剩 $(x+1)$ 。

有理函数图像渐近线示意：画一个有理函数的图像，垂直渐近线用虚线标注"x=a，趋向±∞"，水平渐近线用虚线标注"y=k，x趋向无穷"，曲线在渐近线附近弯曲但不相交，中文标注，手绘教科书风格

最基础的有理函数是：

f(x)=\frac{k}{x}

它的垂直渐近线是 $x=0$ ，水平渐近线是 $y=0$ 。当 $k>0$ 时，图像在第一、三象限；当 $k<0$ 时，图像在第二、四象限。

平移版本：

f(x)=\frac{1}{x-h}+k

会把垂直渐近线移到 $x=h$ ，把水平渐近线移到 $y=k$ 。

解有理方程：清分母以后一定要验根

有理方程就是方程里出现了有理表达式。

它的常用办法很爽：两边同乘 LCD，把分母一次性清掉。

但爽的地方也有风险。你把分母清掉以后，有些原来不能代入的值，可能会假装成答案混进来。这种东西叫增根。

所以有理方程的流程是：

先写限制条件。
找 LCD。
两边同乘 LCD。
解得到的新方程。
把答案拿回原来的限制条件里验一遍。

看一个很典型的例子：

\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}

先拆分母：

x^2-4=(x-2)(x+2)

限制条件：

x\neq 2,\quad x\neq -2

LCD 是：

(x-2)(x+2)

两边同乘 LCD：

x(x+2)-2(x-2)=8

整理：

x^2+2x-2x+4=8

x^2=4

x=\pm 2

看起来有两个答案，但别高兴太早。 $2$ 和 $-2$ 都在限制条件里，全部不能要。

所以这个方程的答案是：

\text{无解}

这就是有理方程很有意思的地方：你算出来的“答案”，可能只是清分母时混进来的路人。

两边同乘 LCD 时，一定要乘遍方程的每一项，包括常数项。乘完以后还必须验根。漏乘会算错，不验根会把增根当答案。

例题与解答

例题一：化简有理表达式

化简：

\frac{2x^2+x-6}{4x^2-9}

先拆分子。 $2x^2+x-6$ 可以拆中间项：

2x^2+4x-3x-6 = 2x(x+2)-3(x+2) = (2x-3)(x+2)

再拆分母。 $4x^2-9$ 是平方差：

4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)

约掉共同因子 $(2x-3)$ ：

\frac{(2x-3)(x+2)}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{x+2}{2x+3}

限制条件来自原分母：

x\neq \frac{3}{2},\quad x\neq -\frac{3}{2}

例题二：有理表达式加法

计算：

\frac{x}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}

先拆分母：

x^2-4=(x-2)(x+2)

所以 LCD 是：

(x-2)(x+2)

第二个分式缺少 $(x-2)$ ，所以通分：

\frac{x}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}

合并分子：

\frac{x+x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x-2}{(x-2)(x+2)}

分子提取公因子：

\frac{2x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x-1)}{(x-2)(x+2)}

限制条件：

x\neq 2,\quad x\neq -2

例题三：解有理方程

解方程：

\frac{2}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{6}{x^2-9}

先拆：

x^2-9=(x-3)(x+3)

限制条件：

x\neq 3,\quad x\neq -3

LCD 是：

(x-3)(x+3)

两边同乘 LCD：

2(x+3)+1(x-3)=6

整理：

2x+6+x-3=6

3x+3=6

x=1

验根： $x=1$ 不在限制条件中。

代回去：

\frac{2}{1-3}+\frac{1}{1+3} = -1+\frac14 = -\frac34

右边：

\frac{6}{1^2-9} = \frac{6}{-8} = -\frac34

所以：

x=1

例题四：有理函数的渐近线与空洞

分析：

f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2-x-2}

因式分解：

3x^2-12=3(x-2)(x+2)

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

约掉公因子 $(x-2)$ ：

f(x)=\frac{3(x+2)}{x+1},\quad x\neq 2,\ x\neq -1

$x=2$ 对应的是空洞。把 $x=2$ 代入化简后的表达式：

y=\frac{3(2+2)}{2+1}=4

所以空洞是：

(2,4)

$x=-1$ 对应的是垂直渐近线：

x=-1

化简后分子分母次数相同，首项系数比是 $3/1$ ，所以水平渐近线是：

y=3

有理函数空洞与渐近线：画一条有理函数曲线，垂直渐近线 x=-1 用虚线标注，水平渐近线 y=3 用虚线标注，在点(2,4)处画一个空心圆圈表示空洞，标注"空洞 (2,4)"和"垂直渐近线 x=-1"，中文标注，手绘教科书风格

例题五：实际应用——平均速度

小明驾车郊游。去时速度是 $v$ km/h，回时速度是 $(v+20)$ km/h，单程 60 km。求全程平均速度的有理表达式，并计算 $v=60$ 时的平均速度。

这道题最容易错在一个地方：很多人会直接算速度平均数。

但平均速度不是“两个速度加起来除以 2”，而是：

\text{平均速度}=\frac{\text{总路程}}{\text{总时间}}

去程时间：

t_1=\frac{60}{v}

回程时间：

t_2=\frac{60}{v+20}

总路程是 120 km。

所以：

\bar v = \frac{120}{\frac{60}{v}+\frac{60}{v+20}}

分母里的 LCD 是 $v(v+20)$ 。通分化简：

\bar v = \frac{120\cdot v(v+20)}{60(v+20)+60v}

= \frac{120v(v+20)}{120(v+10)}

= \frac{v(v+20)}{v+10}

代入 $v=60$ ：

\bar v = \frac{60\cdot 80}{70} = \frac{4800}{70} \approx 68.57

所以平均速度约为：

68.57\text{ km/h}

它比 $\frac{60+80}{2}=70$ 小一点。原因是回程速度更快，花的时间更短，所以它在“总时间”里的权重没有去程那么大。这就是有理表达式的现实感：它不只是符号游戏，它在描述真正的比例关系。

练习

练习一：化简 $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$ ，并指出定义域限制条件。

练习二：计算 $\frac{3}{x-2}+\frac{5}{x+1}$ 。

两个分母没有公因子，LCD 是 $(x-2)(x+1)$ 。

\frac{3}{x-2}+\frac{5}{x+1} = \frac{3(x+1)+5(x-2)}{(x-2)(x+1)}

= \frac{3x+3+5x-10}{(x-2)(x+1)} = \frac{8x-7}{(x-2)(x+1)}

限制条件：

x\neq 2,\quad x\neq -1

练习三：判断 $f(x)=\frac{4x^2-1}{2x^2+3}$ 的水平渐近线。

练习四：解方程 $\frac{3}{x}+2=\frac{5}{x}$ 。

小结

有理表达式看起来像分式，其实最重要的角色是分母。分母决定哪些 $x$ 不能取，也决定后面哪些点可能变成渐近线或空洞。

化简时，先因式分解，再约掉共同因子；但原来的限制条件必须保留。乘除法先拆再约，加减法先找 LCD 再通分。解有理方程时，两边同乘 LCD 可以清掉分母，但最后一定要验根。

如果只记一句话，就记这句：

有理表达式不是“约完就完了”，而是“先查分母，再放心运算”。

有理表达式与函数：分母说了算的世界

“为什么我明明把 $(x+3)$ 约掉了，老师还说 $x=-3$ 不能取？它不是已经没了吗？”

这个问题特别好，因为它正好戳中了有理表达式最容易让人困惑的地方：你看到的是化简后的样子，题目记住的却是它最开始的样子。

所以这一章我们不从“公式大全”开始，而从一个很朴素的问题开始：

一个代数分式，到底什么时候能算，什么时候不能算？

把这个问题想清楚，后面的化简、四则运算、函数图像、解方程，就都会顺很多。

有理表达式是什么？

有理表达式的标准样子是：

\frac{P(x)}{Q(x)}

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式，而且 $Q(x) \neq 0$ 。

这里的“有理”不是“讲道理”的意思。它来自 ratio，也就是“比值”。简单说，有理表达式就是两个多项式做成的分数。

比如这些都是有理表达式：

\frac{x+3}{x-2},\quad \frac{x^2-9}{x^2+5x+6},\quad \frac{5}{x}

最后一个 $\frac{5}{x}$ 也算，因为 5 本身就是一个零次多项式。

但这个就不算：

\frac{\sqrt{x}}{x+1}

因为分子里有根号， $\sqrt{x}$ 不是多项式。

第一步不是算，是查门禁

很多同学一看到有理表达式，第一反应是化简。其实老手第一眼看的是分母。

拿这个例子来说：

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}

你先别急着拆分子。先问分母：

x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

它什么时候等于 0？

(x+2)(x+3)=0

所以：

x=-2 \quad \text{或} \quad x=-3

这两个数一代进去，分母就变成 0。分母为 0 的分式没有意义，所以它们必须从定义域里排除。

换句话说，这个表达式的定义域是：

x \neq -2,\quad x \neq -3

这一步像进门前查票。只要票上写了“禁止进入”，后面就不能装作没看见。

这里最值得养成的习惯是：

每看到一个有理表达式，先找分母为 0 的值。

不是因为老师喜欢刁难你，而是因为后面所有运算都要站在这个前提上。

化简：像约分，但别把历史记录删了

有理表达式的化简，其实和普通分数约分很像。

比如：

\frac{12}{18}=\frac{2\times 6}{3\times 6}=\frac{2}{3}

能约掉 6，是因为它作为一个完整因子，同时出现在分子和分母里。

有理表达式也一样：

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}

先因式分解：

x^2 - 9=(x-3)(x+3)

x^2 + 5x + 6=(x+2)(x+3)

所以：

\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)}

分子分母都有完整因子 $(x+3)$ ，可以约掉：

\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x-3}{x+2}

但注意，结果后面还要带上：

x \neq -3,\quad x \neq -2

这里还有一个常见到离谱的坑：

\frac{x+3}{x+5}

不能把上面的 $x$ 和下面的 $x$ 划掉，变成 $\frac{3}{5}$ 。

原因很简单：这里的 $x$ 是加法里面的一项，不是乘法里的完整因子。你能约掉的是“整块相乘的因子”，不是看着像的字母。

再看一个小技巧：

\frac{x-5}{5-x}

因为：

5-x=-(x-5)

所以：

\frac{x-5}{5-x} = \frac{x-5}{-(x-5)} = -1,\quad x \neq 5

这种“顺序反过来”的式子，很多时候只差一个负号。看见 $a-b$ 和 $b-a$ ，先想到：

b-a=-(a-b)

乘除法：先拆开，再动手

有理表达式乘法规则本身很直接：

\frac{P}{Q}\cdot \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}

但真正做题时，不建议一上来就展开相乘。那样很容易把式子越搞越大。

更稳的顺序是：

分子分母全部因式分解。
先约掉能约的公因子。
最后再写结果。
别忘了保留原来的限制条件。

比如：

\frac{x^2-4}{x^2+3x}\cdot \frac{x^2+x-6}{x-2}

先拆：

x^2-4=(x-2)(x+2)

x^2+3x=x(x+3)

x^2+x-6=(x+3)(x-2)

于是：

\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+3)} \cdot \frac{(x+3)(x-2)}{x-2}

能约的先约，最后得到：

\frac{(x+2)(x-2)}{x} = \frac{x^2-4}{x}

限制条件来自所有原始分母：

x\neq 0,\quad x\neq -3,\quad x\neq 2

除法只多一个动作：把第二个分数倒过来。

\frac{P}{Q}\div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\cdot \frac{S}{R}

然后就回到乘法流程：拆、约、写结果、查限制。

加减法：先找共同桌面

乘法可以直接横着乘，加减法不行。

普通分数里， $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ 不能直接等于 $\frac{2}{5}$ 。你得先通分。有理表达式也是同一个道理，只不过分母从数字变成了多项式。

如果分母一样，就直接合并分子：

\frac{3x}{x+2}+\frac{6}{x+2} = \frac{3x+6}{x+2} = \frac{3(x+2)}{x+2} = 3,\quad x\neq -2

如果分母不同，就要找最小公分母，也就是 LCD。

看这个：

\frac{2}{x^2-x}-\frac{1}{x^2-1}

先把分母拆开：

x^2-x=x(x-1)

x^2-1=(x-1)(x+1)

LCD 要同时覆盖两个分母，所以取：

x(x-1)(x+1)

通分：

\frac{2}{x(x-1)}-\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x}{x(x-1)(x+1)}

合并分子：

\frac{2(x+1)-x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x+2}{x(x-1)(x+1)}

限制条件是：

x\neq 0,\quad x\neq 1,\quad x\neq -1

找 LCD 的时候可以这样想：你要搭一张公共桌子，让每个原来的分母都能完整坐上去。桌子要够用，但不要多拿没必要的因子。

有理函数：图像为什么像在绕墙走？

当有理表达式变成函数：

f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

我们就得关心它的图像。

有理函数最有辨识度的地方，是它经常有渐近线。所谓渐近线，就是图像越来越靠近，却通常不会真的撞上的线。

最常见的有两类。

垂直渐近线来自没有被约掉的分母零点。

比如化简之后分母里还剩 $(x-a)$ ，那 $x=a$ 附近函数值可能会冲向正无穷或负无穷。图像像遇到一堵竖墙，只能往上或往下逃。

水平渐近线看的是 $x$ 越来越大时，函数大致靠近哪条水平线。

设分子次数是 $m$ ，分母次数是 $n$ ：

如果 $m<n$ ，水平渐近线是 $y=0$ 。
如果 $m=n$ ，水平渐近线是首项系数之比。
如果 $m>n$ ，一般没有水平渐近线；当 $m=n+1$ 时会出现斜渐近线，这是下一阶段的话题。

还有一种很容易和渐近线混淆的东西：空洞。

空洞来自被约掉的公因子。它不是一堵墙，而是图像上少了一个点。

比如：

f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2-x-2}

先拆：

3x^2-12=3(x-2)(x+2)

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

约掉 $(x-2)$ ：

f(x)=\frac{3(x+2)}{x+1},\quad x\neq 2,\ x\neq -1

这里 $x=2$ 对应的是空洞，因为 $(x-2)$ 被约掉了。空洞的纵坐标用化简后的式子算：

y=\frac{3(2+2)}{2+1}=4

所以空洞在 $(2,4)$ 。

而 $x=-1$ 对应的是垂直渐近线，因为化简后分母里还剩 $(x+1)$ 。

最基础的有理函数是：

f(x)=\frac{k}{x}

它的垂直渐近线是 $x=0$ ，水平渐近线是 $y=0$ 。当 $k>0$ 时，图像在第一、三象限；当 $k<0$ 时，图像在第二、四象限。

平移版本：

f(x)=\frac{1}{x-h}+k

会把垂直渐近线移到 $x=h$ ，把水平渐近线移到 $y=k$ 。

解有理方程：清分母以后一定要验根

有理方程就是方程里出现了有理表达式。

它的常用办法很爽：两边同乘 LCD，把分母一次性清掉。

但爽的地方也有风险。你把分母清掉以后，有些原来不能代入的值，可能会假装成答案混进来。这种东西叫增根。

所以有理方程的流程是：

先写限制条件。
找 LCD。
两边同乘 LCD。
解得到的新方程。
把答案拿回原来的限制条件里验一遍。

看一个很典型的例子：

\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}

先拆分母：

x^2-4=(x-2)(x+2)

限制条件：

x\neq 2,\quad x\neq -2

LCD 是：

(x-2)(x+2)

两边同乘 LCD：

x(x+2)-2(x-2)=8

整理：

x^2+2x-2x+4=8

x^2=4

x=\pm 2

看起来有两个答案，但别高兴太早。 $2$ 和 $-2$ 都在限制条件里，全部不能要。

所以这个方程的答案是：

\text{无解}

这就是有理方程很有意思的地方：你算出来的“答案”，可能只是清分母时混进来的路人。

两边同乘 LCD 时，一定要乘遍方程的每一项，包括常数项。乘完以后还必须验根。漏乘会算错，不验根会把增根当答案。

例题与解答

例题一：化简有理表达式

化简：

\frac{2x^2+x-6}{4x^2-9}

先拆分子。 $2x^2+x-6$ 可以拆中间项：

2x^2+4x-3x-6 = 2x(x+2)-3(x+2) = (2x-3)(x+2)

再拆分母。 $4x^2-9$ 是平方差：

4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)

约掉共同因子 $(2x-3)$ ：

\frac{(2x-3)(x+2)}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{x+2}{2x+3}

限制条件来自原分母：

x\neq \frac{3}{2},\quad x\neq -\frac{3}{2}

例题二：有理表达式加法

计算：

\frac{x}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}

先拆分母：

x^2-4=(x-2)(x+2)

所以 LCD 是：

(x-2)(x+2)

第二个分式缺少 $(x-2)$ ，所以通分：

\frac{x}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}

合并分子：

\frac{x+x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x-2}{(x-2)(x+2)}

分子提取公因子：

\frac{2x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x-1)}{(x-2)(x+2)}

限制条件：

x\neq 2,\quad x\neq -2

例题三：解有理方程

解方程：

\frac{2}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{6}{x^2-9}

先拆：

x^2-9=(x-3)(x+3)

限制条件：

x\neq 3,\quad x\neq -3

LCD 是：

(x-3)(x+3)

两边同乘 LCD：

2(x+3)+1(x-3)=6

整理：

2x+6+x-3=6

3x+3=6

x=1

验根： $x=1$ 不在限制条件中。

代回去：

\frac{2}{1-3}+\frac{1}{1+3} = -1+\frac14 = -\frac34

右边：

\frac{6}{1^2-9} = \frac{6}{-8} = -\frac34

所以：

x=1

例题四：有理函数的渐近线与空洞

分析：

f(x)=\frac{3x^2-12}{x^2-x-2}

因式分解：

3x^2-12=3(x-2)(x+2)

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

约掉公因子 $(x-2)$ ：

f(x)=\frac{3(x+2)}{x+1},\quad x\neq 2,\ x\neq -1

$x=2$ 对应的是空洞。把 $x=2$ 代入化简后的表达式：

y=\frac{3(2+2)}{2+1}=4

所以空洞是：

(2,4)

$x=-1$ 对应的是垂直渐近线：

x=-1

化简后分子分母次数相同，首项系数比是 $3/1$ ，所以水平渐近线是：

y=3

例题五：实际应用——平均速度

小明驾车郊游。去时速度是 $v$ km/h，回时速度是 $(v+20)$ km/h，单程 60 km。求全程平均速度的有理表达式，并计算 $v=60$ 时的平均速度。

这道题最容易错在一个地方：很多人会直接算速度平均数。

但平均速度不是“两个速度加起来除以 2”，而是：

\text{平均速度}=\frac{\text{总路程}}{\text{总时间}}

去程时间：

t_1=\frac{60}{v}

回程时间：

t_2=\frac{60}{v+20}

总路程是 120 km。

所以：

\bar v = \frac{120}{\frac{60}{v}+\frac{60}{v+20}}

分母里的 LCD 是 $v(v+20)$ 。通分化简：

\bar v = \frac{120\cdot v(v+20)}{60(v+20)+60v}

= \frac{120v(v+20)}{120(v+10)}

= \frac{v(v+20)}{v+10}

代入 $v=60$ ：

\bar v = \frac{60\cdot 80}{70} = \frac{4800}{70} \approx 68.57

所以平均速度约为：

68.57\text{ km/h}

练习

练习一：化简 $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$ ，并指出定义域限制条件。

练习二：计算 $\frac{3}{x-2}+\frac{5}{x+1}$ 。

两个分母没有公因子，LCD 是 $(x-2)(x+1)$ 。

\frac{3}{x-2}+\frac{5}{x+1} = \frac{3(x+1)+5(x-2)}{(x-2)(x+1)}

= \frac{3x+3+5x-10}{(x-2)(x+1)} = \frac{8x-7}{(x-2)(x+1)}

限制条件：

x\neq 2,\quad x\neq -1

练习三：判断 $f(x)=\frac{4x^2-1}{2x^2+3}$ 的水平渐近线。

练习四：解方程 $\frac{3}{x}+2=\frac{5}{x}$ 。

小结

有理表达式看起来像分式，其实最重要的角色是分母。分母决定哪些 $x$ 不能取，也决定后面哪些点可能变成渐近线或空洞。

如果只记一句话，就记这句：

有理表达式不是“约完就完了”，而是“先查分母，再放心运算”。