有理表达式与函数：先看分母，再谈化简

把下面这个式子化简，很多人都能做：

真正容易丢分的不是约分，而是约完之后忘了补一句：

你可能会问：$(x+3)$ 已经约掉了，为什么 $x=-3$ 还不能回来？因为化简只改变表达式的写法，没有改写原题的定义域。原式在 $x=-3$ 时分母为 $0$，这个值从一开始就不属于它。

这一章会反复抓住这条线索：每次动手运算前，先把不能取的值记下来。 有了这份“原始记录”，化简、通分、解方程和画图就不容易混在一起。

从多项式到有理表达式

多项式只使用加、减、乘和非负整数次幂。例如：

如果再允许除法，就会出现有理表达式。任何能整理成下面形式的代数式，都可以看成有理表达式：

其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是多项式，$Q(x)$ 不能是零多项式。多项式本身也属于有理表达式，因为可以把它写成 $P(x)/1$。

这里要分清两件事。说 $Q(x)$ 不能是零多项式，意思是它不能对所有 $x$ 都等于 $0$；当我们把表达式当作实变量的函数时，还要进一步排除所有让 $Q(x)=0$ 的具体数值。

例如：

它的实数定义域是：

复杂外表最后仍能归成一个分式

有理表达式不一定一眼就是“一个分子除以一个分母”。它可能有好几层分数：

先别急着把上下两层同时乱乘。先记限制：小分母要求 $x\ne 0$；整个大分式的分母还不能等于 $0$，所以

由此还要排除 $x=1$。在这些限制下，分子和分母同时乘 $x$：

注意，化简式本身允许代入 $x=0$，原式却不允许。这和约掉公因子留下“洞”是同一种现象：新旧表达式只在原式有定义的地方取值相同。

单变量多项式、次数与有理分式

研究有理函数的远处走势之前，先要会看多项式的次数。单变量多项式按指数从高到低排列，例如：

最高的非零项是 $7x^4$，所以次数是 $4$，首项系数是 $7$。非零常数的次数是 $0$；零多项式的次数不定义。

若非零多项式 $P,Q$ 的次数分别为 $m,n$，那么：

而和式只满足：

这里之所以不是总能写等号，是因为最高次项可能互相抵消。例如 $(x^2+1)+(-x^2+x)=x+1$，两个二次多项式相加，结果只有一次。

真分式与假分式

对有理分式

如果 $\deg P<\deg Q$，它叫真分式；如果 $\deg P\ge \deg Q$，它叫假分式。这个名字和普通分数很像：$3/7$ 是真分数，$11/7$ 可以写成整数加真分数；多项式分式也能做同样的事。

例如：

分子的次数比分母高，所以可以用多项式除法，把它写成“多项式 + 真分式”。这一步既能化简计算，也直接告诉我们图像在远处靠近哪条线。

多项式除法与余式

整数除法里有“被除数 = 商 × 除数 + 余数”。多项式也一样。只要除式 $S(x)$ 不是零多项式，就能找到唯一的商 $Q(x)$ 和余式 $R(x)$，使得：

并且余式为 $0$，或者满足：

两边再除以 $S(x)$，假分式便被拆开：

长除法怎么做

把 $x^3+2x^2+3x+4$ 除以 $x+1$。

所以：

也就是：

这里有个很实际的小坑：如果某一项缺失，要把它的位置留出来。比如除 $x^4+2x-1$ 时，最好写成 $x^4+0x^3+0x^2+2x-1$。不留空位，下一行很容易错位。

定义域先记账，约分再动手

回到开头的例子：

先从原分母得到：

因此 $x\ne -2,-3$。然后再因式分解并约分：

为什么能约？因为在原式允许的范围内，$x+3\ne 0$，所以分子分母同除以 $x+3$ 是合法的。为什么限制还在？因为这一步只证明了两个式子在 $x\ne -2,-3$ 时相等，没有替原式补上 处的值。

只能约因子，不能约加法中的一项

下面这种做法是错的：

分子里的 $x$ 和分母里的 $x$ 都是和式中的一项，不是共同乘上的完整因子。约分的结构必须像这样：

再看一个常见符号坑：

所以：

负号没有消失，它只是被提到了分式前面。

乘法与除法：先拆因子，后做乘法

乘法规则很短：

但真正好用的顺序不是先展开，而是先把四个多项式都因式分解，约掉共同因子，最后才整理结果。

例如：

先写原分母限制：

然后分解：

约分后得到：

结果的分母只看得出 $x\ne -2$，另外两个限制必须从原式带下来。

除法还要防止“除数等于零”

有理分式相除时，把第二个分式乘倒数：

除了要求 $Q\ne 0$、$S\ne 0$，还要要求整个除数 $R/S$ 不等于 $0$。在 的前提下，这等价于 。因此，倒数以后新出现在分母里的 也必须检查。

加法与减法：LCD 不是分母的机械乘积

有理分式相加减必须先通分：

$QS$ 一定是公分母，但往往不是最小公分母。更省事的做法是先分解各个分母，再把每种不可约因子的最高次幂各拿一次。

例如：

分母分解为：

所以最小公分母是：

通分并合并：

原式限制为：

如果分母带有重复因子，例如 $x(x-1)^2$ 和 $(x-1)(x+1)$，LCD 要保留 $(x-1)^2$，不能只拿一次 。判断标准很直接：每个原分母都必须能整除 LCD。

有理复合式：先圈出最外层结构

看到分数套分数时，最容易犯的错是从中间随便约。稳一点的办法是先把整个式子看成：

然后分别整理 $A$ 和 $B$，或者找出所有小分母的 LCD，让大分式的分子与分母同时乘它。

再看一次：

所有小分母的 LCD 是 $x$。大分式上下同时乘 $x$：

但答案仍要写：

$x=0$ 来自小分母，$x=1$ 来自“大分母不能为零”。复杂分式的限制经常藏在不同层级，最好按“所有小分母”和“最外层除数”两轮检查。

有理方程：清分母只是中场，不是终点

方程里出现有理表达式时，常用方法是两边同乘 LCD，把分母清掉。但清分母会把原来不能取的值暂时带回计算过程，所以最后必须验根。

解方程：

为什么不能只验化简后的方程？因为乘 LCD 这一步只有在 LCD 不为 $0$ 时才能反向还原。那些让 LCD 为 $0$ 的数，可能满足清分母后的方程，却从未属于原方程。

一个有有效解的例子

解：

限制是 $x\ne 3,-3$。两边同乘 $(x-3)(x+3)$：

$1$ 不违反限制，代回原方程两边都等于 $-3/4$，所以它是有效解。

有理函数的图像：先化简，再区分墙和空洞

有理函数写成：

画图前先因式分解、约去公因子，同时保存原定义域。约分后的分子负责零点和 $x$ 轴交点，约分后的分母负责垂直渐近线。若某个原分母零点对应的因子被完全约掉，化简式在该处得到有限值，原函数却没有定义，这才是可去间断点，也就是“空洞”。如果只约掉一部分重因子，化简后的分母在该处仍为 $0$，它依旧是垂直渐近线。

考虑：

因式分解：

被约掉的 $(x-2)$ 告诉我们 $x=2$ 是空洞。把 $x=2$ 代入化简式，得到：

所以空洞在 $(2,4)$。没有被约掉的 $(x+1)$ 在 $x=-1$ 时为 $0$，而化简后的分子不为 $0$，因此 $x$ 是垂直渐近线。

垂直渐近线的条件

先把分子分母的公因子约掉。若化简后的分母在 $x=a$ 处为 $0$，化简后的分子在 $x=a$ 处不为 $0$，那么 $x=a$ 是垂直渐近线。

靠近 $a$ 时函数究竟冲向 $+\infty$ 还是 $-\infty$，要看分子和分母在左右两侧的符号。两边不一定同向，不能只写“都是正无穷”。

水平渐近线的条件

设化简后分子次数为 $m$，分母次数为 $n$。

• 若 $m<n$，水平渐近线是 $y=0$。
• 若 $m=n$，水平渐近线是两边首项系数之比。
• 若 $m>n$，没有水平渐近线，需要做多项式除法看是否存在斜渐近线或更高次的多项式渐近线。

例如 $3(x+2)/(x+1)$ 的分子分母同为一次，首项系数之比是 $3$，所以水平渐近线是 $y=3$。

斜渐近线来自多项式除法

当 $m=n+1$ 时，把分子除以分母：

这里的商 $L(x)$ 是一次式，而余式次数低于分母。随着 $|x|$ 变大，$R(x)/Q(x)$ 趋近 $0$，图像就靠近直线 $y=L(x)$。

例如：

多项式除法给出：

所以斜渐近线是：

同时 $x=1$ 是垂直渐近线。若分子次数比分母高两次或更多，商会是二次或更高次多项式，图像在远处靠近的是那条多项式曲线。

一套不容易漏项的画图顺序

拿到一个有理函数，可以按下面的顺序检查：

1. 从原分母写定义域限制。
2. 因式分解并约分，标出空洞。
3. 用化简后的分子找 $x$ 轴交点，用 $f(0)$ 找 $y$ 轴交点；前提是相应的点在定义域内。
4. 用化简后的分母找垂直渐近线。
5. 比较次数或做多项式除法，找水平、斜或多项式渐近线。
6. 在各个关键点分隔出的区间内试符号，再画出每一支曲线。

应用：比例关系往往不是简单平均

一辆车去程速度是 $v$ km/h，回程速度是 $v+20$ km/h，单程都是 $60$ km。全程平均速度不能直接算两个速度的算术平均，因为两段路花的时间不同。

平均速度要从定义出发：

去程和回程时间分别为：

所以：

把分母通分：

在现实情境中速度为正，所以 $v>0$。当 $v=60$ 时：

它小于 $(60+80)/2=70$，因为较慢的去程花了更多时间，因而在全程平均里占的权重更大。

同样的结构也会出现在共同工作问题里。若两根水管单独注满水池分别需要 $a$ 小时、$b$ 小时，它们每小时完成的比例是 $1/a$ 和 $1/b$，一起工作所需时间 $T$ 满足：

于是：

这里必须有 $a>0,b>0$。代数式的定义域给出形式限制，实际情境还会进一步缩小合理范围。

容易踩的坑

约掉因子后忘记原限制

错误想法：化简后分母没有 $(x-a)$，所以 $x=a$ 可以取。

正确处理：限制来自原式，先写下来；若该因子被约掉，图像上留下空洞，不是自动补点。

把项当作因子约掉

$x+3$ 里的 $x$ 不能和 $x+5$ 里的 $x$ 约掉。只有乘法连接的完整公因子才能约。

找 LCD 时漏掉最高次幂

分母里若出现 $(x-1)^2$，LCD 至少也要含 $(x-1)^2$。拿一次 $(x-1)$ 不够。

清分母时漏乘某一项

等式两边的每一项都要乘 LCD。常数项没有分母，也不能跳过。

把每个分母零点都叫垂直渐近线

先约分。被约掉的零点通常是空洞；化简后仍留在分母中的实零点才是垂直渐近线。

认为图像不能穿过水平渐近线

水平渐近线只描述 $x$ 趋向正负无穷时的趋势，图像在中间完全可能穿过它。

练习与解析

化简、定义域与空洞

化简下面的表达式，并说明若把它看成函数，图像是否有空洞：

乘法与原始限制

计算：

通分

计算：

有理复合式

化简并写出全部限制：

多项式除法

把下面的假分式写成“多项式 + 真分式”：

解有理方程

解：

空洞、截距与渐近线

分析函数：

斜渐近线

求：

的垂直渐近线和斜渐近线。

共同工作

甲管单独注满水池需要 $6$ 小时，乙管需要 $4$ 小时。两管同时打开，多久能注满？

一张最后检查表

看到有理表达式时，先问四句话：原分母什么时候为 $0$？现在约掉的是不是完整因子？做除法时除数会不会为 $0$？化简结果是否还带着原定义域？

看到有理方程，再补一句：清分母后的候选值有没有违反原限制？

看到有理函数，则把被排除的点分成两类：被约掉的因子留下空洞，化简后仍在分母里的实零点形成垂直渐近线。远处走势交给次数比较和多项式除法。

真正把这些题串起来的，不是某个孤立公式，而是同一个习惯：分母先记账，运算后对账。

从被除式减去这部分，剩下 $x^2+3x+4$。

LCD 是 $(x-2)(x+2)$。

只约掉了一个 $(x+1)$，化简后的分母仍然含有 $(x+1)$，所以 $x=-1$ 是垂直渐近线，不是空洞。

所有因子约掉后结果为：

结果虽然只是常数 $1$，原式仍在这三个点没有定义。

分子 $8x-7$ 与分母没有公因子，所以不能继续约分。

所以还要排除 $x=1/2$。上下同时乘 $x$：

化简后的式子看不出 $x\ne 0$，因此原始限制必须单独保留。

所以：

分母判别式为 $(-1)^2-4=-3<0$，在实数范围内没有零点，因此定义域是全体实数。

$x=2$ 对应空洞，纵坐标为 $(2+2)/(2+1)=4/3$，所以空洞是 $(2,4/3)$。$x=-1$ 是垂直渐近线。分子分母次数相同，水平渐近线为 $y=1$。

化简后的分子在 $x=-2$ 时为 $0$，所以 $x$ 轴交点是 $(-2,0)$。代入 $x=0$ 得 $f(0)=2$，所以 $y$ 轴交点是 $(0,2)$。

当 $|x|$ 很大时，$5/(x-2)$ 趋近 $0$，所以斜渐近线是：

所需时间是效率的倒数：

也就是 $2$ 小时 $24$ 分钟。答案小于单独工作所需的 $4$ 小时，符合实际。