二次方程

上一章画二次函数时，我们一直在看一条抛物线：它开口朝哪边，顶点在哪里，会不会穿过 $x$ 轴。

现在把问题收紧一点。给你一条抛物线

究竟哪些 $x$ 会让它的高度变成 $0$？

这就是二次方程要解决的事。

你可能会觉得，这不过是把函数式后面添了一个“$=0$”。可这个等号一加，问题的重心就变了：我们不再描述整条曲线，而是在寻找曲线与 $x$ 轴相遇的时刻。它可能相遇两次，可能只轻轻碰一下，也可能一次都碰不到。

这一章不会把几种解法排成一串让你硬背。我们会盯住每种方法背后的同一个动作：

把复杂的二次关系，变成已经会解的简单关系。

有时变成两个因式相乘，有时变成一个平方，有时把配方过程打包成求根公式。路不同，终点是同一个。

先把对象认准：什么才叫二次方程

一元二次方程的标准形式是

$a,b,c$ 是给定的实数，$x$ 是未知数。让等号成立的 $x$ 叫方程的解，在讨论多项式方程时也常叫根。

条件 $a\neq0$ 不是装饰。要是 $a=0$，二次项整个消失，方程会退化成

这时要分清三种情况：

• $b\neq0$：它是一次方程，唯一解为 $x=-\dfrac cb$。
• $b=0,\ c\neq0$：方程变成 ，没有解。

所以拿到含参数的方程，别一看见 $x^2$ 就立刻套求根公式。先确认二次项系数在题目允许的范围里确实不为 $0$。

还有一个看似小、其实很关键的习惯：先整理成右边为 $0$。

例如

要先写成

为什么非得这样？因为因式分解后的“零积法”、判别式和求根公式，都是围绕“某个式子等于 $0$”建立的。

解方程时，我们允许做什么

解方程不是随意改写。每走一步，都要尽量保证新方程和原方程有完全相同的解。

常用的安全操作有：

• 等式两边加上或减去同一个式子；
• 等式两边乘以或除以同一个确定不为 $0$ 的数；
• 把一边按乘法公式展开或因式分解；
• 在满足相应条件时，使用平方根规则。

这里有个很容易丢根的动作：

有人会两边直接除以 $x$，得到 $x=3$。看着干净，但少了一个答案。因为 $x$ 也可能是 $0$，而除以 $x$ 暗中假设了 $x\neq0$。

正确做法是

所以

一句话记住：

可以除以确定不为零的数；不要随手除以一个可能为零的含未知数式子。

平方根规则：先把正负号说清楚

很多二次方程最后都会走到

这里的 $u$ 可能是 $x$，也可能是 $x-3$、$2x+1$ 之类的整体。我们只在实数范围内讨论时，答案取决于 $m$ 的符号：

为什么 $m<0$ 时没有实数解？因为任何实数的平方都不小于 $0$。一个非负数不可能等于负数。

来看一个最直接的例子：

不是只写 $x-4=3$，而是

于是

这里要把两个概念分开：

只表示 $9$ 的非负平方根；而

问的是所有平方等于 $9$ 的实数，所以答案有 $u=\pm3$。

再看一个经典陷阱：

不能一概写成 $u$。比如 $u=-5$ 时，

而不是 $-5$。

利用平方根规则，像下面这种方程几乎可以直接处理：

先除以 $3$：

再开平方：

所以

这条路通常叫平方根法。它特别适合已经写成

的方程。前提也很清楚：先把平方项单独留下，再根据右边的正、零、负判断实数解。

零积法：把一个难问题拆成两个简单问题

另一个核心事实更朴素：

意味着

这叫零积法则。它成立的原因是：两个都不为 $0$ 的实数相乘，不可能突然变成 $0$。

例如

分别令两个因式为 $0$：

得到

请注意，零积法只对“乘积等于 $0$”直接有效。

如果是

不能说 $x-2=6$ 或 $x+1=6$。右边不是 $0$，没有这种分叉规则。要先展开并整理：

再选择合适的方法。

因式分解一：$x^2+px+q=0$

当二次项系数为 $1$ 时，

如果能写成

展开后就是

所以我们要找的两个数满足

这不是一个孤零零的口诀。和对应一次项系数，积对应常数项，正是展开两个括号后自然出现的结果。

例如

我们需要两个数，和为 $-7$，积为 $12$。$-3$ 与 $-4$ 正好满足：

于是

方程变成

所以

符号可以这样判断：

• $q>0$ 时，$m,n$ 同号，再由 $p$ 判断它们同为正还是同为负；
• $q<0$ 时，$m,n$ 异号，绝对值较大的那个数与 $$ 同号；

比如

积是 $-12$，所以两个数异号；和是 $1$，所以正数的绝对值更大。$4$ 和 $-3$ 正好合适：

得到

因式分解二：$ax^2+bx+c=0$

首项系数不是 $1$ 时，仍然可以分解，只是要同时照顾括号里的首项。

先看一个能直接试出的例子：

二次项 $2x^2$ 可能来自 $2x\cdot x$，常数 $3$ 可能来自 $1\cdot3$。试着组合：

展开检查：

所以

答案是

系数更难看时，可以用“乘积 $ac$、拆开中间项”的办法。仍看同一个式子：

找两个数，使它们的积为 $6$、和为 $7$，得到 $1$ 和 $6$。于是把 $7x$ 拆成 $x+6x$：

分组提取公因式：

你会发现，这个方法本质上是在寻找正确的括号结构，并不是每道题都能用整数漂亮地拆开。如果试了几组还不顺，不必和它较劲。配方法和求根公式正是为这种情况准备的。

配方法：把散开的三项收进一个平方

方程

不容易用整数因式分解。可前两项很接近一个完全平方：

原式少了 $9$，那就把它补出来。先把常数移到右边：

两边同时加 $9$：

左边变成

现在用平方根规则：

所以

为什么补的是一次项系数一半的平方？把一般式展开就看得很清楚：

因此

图里的面积直觉默认边长取正，帮助你看见“为什么是一半再平方”；真正做代数时，公式对任意实数 $p$ 都成立。

对

完整配方如下：

于是实数解的情况已经一眼可见：

• 如果 $\dfrac{p^2}{4}-q>0$，有两个不同实数根；
• 如果 $\dfrac{p^2}{4}-q=0$，有一个重根 ；

有实数根时，可以写成

首项系数不是 $1$ 怎么办？先除以 $a$，把

化成

再配方。求根公式就是把这套过程对一般系数一次做完。

求根公式不是咒语，它是配方压缩包

从

出发，我们用一种不容易在绝对值上出错的方式推导。

两边乘以 $4a$：

把常数项移到右边，并在两边加上 $b^2$：

左边正好是一个平方：

把右边记作

当 $\Delta\ge0$ 时，平方根规则给出

移项并除以 $2a$：

这就是求根公式。你真正需要记住的不只是长相，还要记住它的使用条件：

1. 方程已经整理为 $ax^2+bx+c=0$；
2. $a\neq0$；
3. 如果只在实数范围内求解，根号里的 $\Delta$ 必须非负。

来看一题：

先把系数连符号一起写下来：

计算判别式：

代入公式：

分成两个答案：

最常见的错误往往发生在代入之前：把 $b=-5$ 抄成 $5$，或者把 $c=-2$ 的负号落下。一个很实用的做法是先单独写一行 $a,b,c$，再碰公式。

判别式：还没算根，先知道有几个

求根公式里的

叫判别式。它控制的是根号下的数，所以也控制实数根的个数。

例如

不必急着把整个公式写完。先算

所以它在实数范围内无解。

从配方也能看见同一件事：

因为 $(x+1)^2\ge0$，左边始终至少为 $3$，当然不可能等于 $0$。

判别式还藏着根之间的距离。若 $\Delta>0$，由求根公式可得

$\Delta$ 越接近 $0$，两个实根越靠近；到 $\Delta=0$ 时，它们就在顶点处合成一个重根。

一个补充公式：什么时候值得换一种写法

标准求根公式已经足够解决所有二次方程。还有一个从它变形而来的写法：

注意上下符号要交叉对应。它来自分子有理化，例如

这个补充式有时能让计算更顺，也能帮助我们看见“倒数根”的关系。不过它不是新的万能公式：

• 分母为 $0$ 时不能使用对应的写法；
• 当 $c=0$ 时，方程本来就能直接写成 $x(ax+b)=0$，优先用零积法；
• 手算基础题时，标准公式通常更清楚。

若 $c\neq0$，方程

的非零根取倒数后，会成为

的根。因为令 $y=\dfrac1x$，把原方程除以 $x^2$ 就能得到

这是一个很漂亮的结构观察，但做题时仍要先检查 $x\neq0$，不能把除法条件藏起来。

根与系数：不必每次都把根单独算出来

假设

有两个实数根 $x_1,x_2$，重根时允许 $x_1=x_2$。那么

展开右边：

比较同次项系数，得到

这就是根与系数的关系，也常叫韦达关系。

它和因式分解其实是同一件事的正反两面。知道因式，就知道根；知道根，也能把二次式写回因式乘积。

例如方程

的两个根满足

如果题目只问 $x_1^2+x_2^2$，完全不必先求出两个根：

反过来，若想构造一个以 $4-\sqrt7$ 和 $4+\sqrt7$ 为根的首项系数为 的方程，先算

所以方程是

这里还有几个可以快速读出的信息：

• 若 $\dfrac ca<0$，两根乘积为负，两个实根必然异号；
• 若 $\dfrac ca>0$ 且确有实根，两根同号，再由 $$ 判断它们整体偏正还是偏负；

为什么第一条不必额外担心根是否存在？因为 $ac<0$ 时，

实际上一定有两个不同实数根。

根、对称轴和顶点其实站在同一条线上

有两个实数根时，

两边除以 $2$：

右边正是抛物线的对称轴。也就是说：

对称轴经过两个根的中点。

这件事很符合图像直觉。抛物线左右对称，两个横截距自然也关于对称轴成对出现。

把二次式配成顶点式，还能得到

顶点纵坐标因此是

这又把判别式和图像连起来了：

• $a>0$ 时抛物线开口向上；若 $\Delta>0$，顶点纵坐标为负，曲线会穿过 $x$ 轴两次；
• $\Delta=0$ 时顶点恰好在 $x$ 轴上；
• $a>0$ 且 时，顶点在 轴上方，整条曲线都不碰轴。

$a<0$ 时上下关系反过来，但“交两次、相切、不相交”仍由 $\Delta$ 的符号决定。

方法怎么选：先看结构，不要先看老师讲到哪一节

同一道二次方程常常能用不止一种方法。选择的标准不是“哪种最高级”，而是哪种最顺。

已经是平方等于常数

看到

优先用平方根法。先把平方单独留在一边，再判断右侧正负。

已经有公因式或容易分解

看到

直接提取 $x$：

能一眼拆开的三项式，也优先因式分解。它通常最快，而且答案清楚。

题目关心顶点、最值或参数

配方法更有信息量。它不仅能求根，还能直接暴露平方项、顶点和最小值或最大值。

系数杂乱，或分解不明显

求根公式最稳。先算判别式，既能判断实根个数，也能避免无效计算。

可以把流程压缩成四个问题：

1. 整理成 $ax^2+bx+c=0$ 了吗？
2. 能提公因式或直接看出平方结构吗？
3. 能在很短时间内因式分解吗？
4. 如果都不顺，就配方或用求根公式。

方法之间没有围墙。你完全可以先提取公因式，再对剩下的二次因式用公式；也可以用判别式判断根的情况，再决定是否继续求精确根。

应用题：方程给出候选答案，情境负责筛选

二次方程在现实题里经常给出两个代数解，但两个解未必都符合题目背景。解完方程只是第一轮，最后还要回到单位、范围和题意。

矩形面积

一块矩形地面，长比宽多 $3$ 米，面积为 $40$ 平方米。设宽为 $x$ 米，那么长为 $x+3$ 米：

整理：

因式分解：

所以

代数上两个数都让方程成立，但宽度不能是负数，因此舍去 $-8$。最终宽为 $5$ 米，长为 $8$ 米。

高度随时间变化

在近似模型中，物体的高度可能写成

如果高度 $h$ 用米表示、时间 $t$ 用秒表示，那么 $v_0$ 的单位是米每秒，$h_0$ 的单位是米。二次项系数 $-5$ 的单位是米每二次方秒，它是在近似取重力加速度 时得到的 。因此，这不是一个脱离单位的纯代数式，而是一份带着物理量含义的近似模型。

什么时候落地？地面对应 $h=0$，所以要解

比如

令 $h(t)=0$：

除以 $-5$：

分解：

得到

$t=-1$ 是模型向过去延伸时的代数交点，不属于“发射后的时间”。所以物体在 $4$ 秒后落地。

最高点则发生在

代回可得

也就是在 $1.5$ 秒时达到 $31.25$ 米。

检验：别让正确方法败在最后一行

二次方程的答案最好经过两层检查。

第一层：代回原方程

不是代回你中途整理出的式子，而是尽量代回题目最初的方程。这样能同时检查移项、符号和计算。

例如对

得到 $x=2$ 与 $x=-\dfrac13$ 后：

两个都通过。

第二层：用根与系数做总检查

这两个根的和为

积为

也与 $-\dfrac ba$、$\dfrac ca$ 对上。

如果你得到两个根，只检查其中一个是不够的；如果题目有取值限制，代数检验通过后还要检查情境条件。

练习：先选路线，再看解析

下面的题故意混在一起。别急着统一套公式，先观察结构。

练习一：平方根法

解方程

练习二：提取公因式

解方程

练习三：首项系数为 $1$ 的分解

解方程

练习四：一般三项式分解

解方程

练习五：配方法

解方程

练习六：求根公式

解方程

练习七：判断实数根

判断方程

在实数范围内有几个解。

练习八：参数与重根

已知

有重根，求 $k$ 与重根。

练习九：只用根与系数

方程

的两个根为 $x_1,x_2$。不单独求根，计算

练习十：面积与取值限制

一个矩形面积为 $54$ 平方厘米，长比宽多 $3$ 厘米。求长和宽。

练习十一：高度模型

物体高度满足

求落地时间，并说明另一个代数根为什么舍去。

练习十二：找出丢掉的根

有人解

时，两边除以 $x$，得到 $x=6$。他的答案完整吗？

把整章收进一个判断框架

二次方程的标准形式是

但真正值得带走的，不是一行公式，而是一套判断顺序：

1. 先看范围。 题目是在实数里求解吗？变量还有没有时间、长度之类的额外限制？
2. 再整理。 把所有项移到一边，让另一边为 $0$。
3. 看结构。 平方结构用平方根法，乘积结构用零积法，能漂亮分解就先分解。
4. 结构不明显时配方或用公式。 求根公式来自配方，不是凭空出现的规则。
5. 先算判别式。 它会告诉你有两个实根、一个重根，还是没有实数根。
6. 用根与系数和代回检查。 算对只是第一步，还要确认没有漏根、增根或违反情境。

图像上，根是抛物线与 $x$ 轴的交点；代数上，根是让二次式变成 $0$ 的数。因式分解、配方法、求根公式、判别式和根与系数，并不是五块互不相干的知识。它们都在描述同一条抛物线，只是观察角度不同。

等你习惯先看结构再动手，二次方程就不再是一串要背的招式。它更像一张有路标的地图：你知道自己站在哪里，也知道为什么要走这条路。

这里最容易漏掉负的平方根。

如果一开始两边除以 $x$，就会把 $x=0$ 丢掉。

所以

拆开中间项：

分组：

所以

得到

开平方：

所以

代入公式：

所以

检查根的积：

符号和数值都对。

它对任何实数 $x$ 都不可能等于 $0$。

得到

当 $k=8$ 时，

重根为 $x=-4$。

当 $k=-8$ 时，

重根为 $x=4$。

于是