二次函数

你把球向上抛，球不会沿着直线一直升高。它先上升，越升越慢，到最高点后又落下来。把每个时刻的高度记在坐标系里，那些点会排成一条弯曲的轨迹。

再换一个画面。你有一段固定长度的围栏，想靠墙围出一块长方形空地。一条边加长，面积一开始会变大；可它太长以后，剩给另一条边的围栏又不够了，面积反而缩小。这里也有一个“先变好、再变差”的转折。

二次函数最擅长描述的，就是这种带转折的变化。它的图像不是直线，而是一条抛物线；它最会说话的位置，是最高点或最低点。

这一章要做的事很具体：从式子读出抛物线的样子，把一般式改写成更好读的形式，找到零点、顶点和最值，再把这些信息用到作图、不等式和实际问题里。

先认清二次函数

二次函数的一般式是

$a,b,c$ 是常数。真正决定它“二次”身份的是 $ax^2$，所以 $a$ 不能等于 $0$。一旦 $a=0$，二次项消失，函数就退化成 $$，那已经是一次函数了。

这里有两个容易误判的地方。

• $b$ 可以为 $0$，例如 $f(x)=3x^2-5$。
• $c$ 也可以为 $0$，例如 。

只要整理之后最高次项确实是二次项，而且它的系数不为 $0$，就是二次函数。

如果题目只说“函数 $f(x)=ax^2+bx+c$”，没有分母、根号或现实条件限制，那么它的定义域是全体实数：

实际问题会另外缩小定义域。时间通常不能为负，长度不能小于 $0$，销量也不会取任意实数。公式能算，不等于那个结果在情境里有意义。

为什么图像会弯起来

先看最朴素的 $y=x^2$。当 $x$ 依次取 $0,1,2,3,4$ 时，函数值是 $0,1,4,9,16$。相邻函数值的增加量依次是 ，并不固定。

一次函数的变化量稳定，所以画出来是直线。二次函数每向前一步，变化量还会继续变化，于是轨迹弯了起来。一般地，

右边还含有 $x$。这句话说得很直接：你所在的位置不同，下一步变化多少也不同。

从母函数看开口、宽窄和平移

所有二次函数都可以从一条最基本的抛物线开始理解：

它的顶点是 $(0,0)$，对称轴是 $y$ 轴，开口向上。因为 $x^2\ge 0$，它永远不会跑到 $x$ 轴下方。

$a$ 控制开口和宽窄

先只改二次项系数：

当 $a>0$ 时，函数值向两边走会越来越大，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，图像上下翻转，开口向下。

$|a|$ 决定的是竖直方向的伸缩，也就表现成我们看到的“宽窄”：

• $|a|>1$ 时，同一个 $x$ 对应的 $|y|$ 更大，曲线显得更窄、更陡。
• $0<|a|<1$ 时，函数值增长得慢一些，曲线显得更宽、更平缓。

注意比较的是绝对值。$a=-4$ 和 $a=4$ 一样窄，只是开口方向相反。

顶点式把平移写在明面上

把函数写成

就得到二次函数的顶点式。它的顶点是 $(h,k)$，对称轴是

你可以把它看成对 $y=ax^2$ 做了两次平移：先水平移动到 $x=h$，再竖直移动到 $y=k$。

这里最容易被符号骗一下。$(x-3)^2$ 向右移 $3$ 个单位，$(x+3)^2$ 才是向左移 $3$ 个单位。括号里的符号和顶点横坐标看起来正好相反，因为要让平方项变成 ，必须解 。

对称轴和顶点从哪里来

一般式看不见顶点，但可以用配方法把它找出来。对

先从前两项提取 $a$：

括号里 $x$ 的系数是 $\frac ba$，取一半得到 $\frac{b}{2a}$。加上它的平方再减去同一个数，式子的值没有改变：

于是顶点坐标直接出现了：

对称轴是

顶点纵坐标也常写成

这两个写法完全一样。计算题里，先求横坐标再代回函数，往往比直接背纵坐标公式更不容易错。

对称不只是“看起来差不多”

设顶点横坐标为 $h$，函数已经写成

从对称轴向左、向右各走 $t$，得到

所以横坐标到 $h$ 距离相同的两个点，函数值一定相同。这就是抛物线左右对称的代数原因。

$b$ 和 $c$ 各在做什么

在 $a$ 固定时，$b$ 会改变对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点也会跟着移动。但只说“$b$ 控制左右平移”还不够准确，因为它的效果要和 $a$ 一起看。

$c$ 更直观。令 $x=0$，就有

所以图像一定经过 $(0,c)$，$c$ 是 $y$ 轴截距。保持 $a,b$ 不变而改变 $c$，整条抛物线会竖直移动。

三种形式是在回答三类问题

同一个二次函数经常会换一种写法。形式变了，图像和函数没有变；变的是哪条信息最容易被读出来。

一般式转成顶点式

我们把

一步一步配方。

配方最常见的失误，是忘了括号外还有一个 $2$。括号里的 $-4$ 乘出去变成 $-8$，再和 $+3$ 合并，最后才是 $-5$。

顶点式转回一般式

这一步没有新技巧，直接展开即可：

因式式什么时候存在

如果函数在实数范围有两个零点 $p,q$，就能写成

两个零点重合时，写成 $a(x-p)^2$。如果没有实数零点，就不能在实数范围把它分解成两个一次因式。这不是你“不会分解”，而是这样的实因式本来就不存在。

从因式式回到一般式，用展开；从一般式去因式式，可以先因式分解，也可以先解方程找到零点。到底走哪条路，看数字是否好分解。

零点、截距和判别式其实在说同一件事

函数的零点是满足

的 $x$。画在图上，它们就是抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标。

对一般式 $ax^2+bx+c$，判别式是

它把“图像怎样碰到 $x$ 轴”分成三种情况：

• $\Delta>0$：有两个不同的实数零点，抛物线穿过 $x$ 轴两次。
• $\Delta=0$：有一个二重零点，顶点恰好落在 $x$ 轴上。
• $\Delta<0$：没有实数零点，整条抛物线不与 $x$ 轴相交。

当两个零点 $p,q$ 都存在时，对称轴正好从它们中间穿过：

这和 $x=-\frac{b}{2a}$ 并不矛盾。把 $a(x-p)(x-q)$ 展开，就会得到 。

$x$ 轴截距和 $y$ 轴截距别混在一起

$y$ 轴截距只需令 $x=0$，得到点 $(0,c)$。

$x$ 轴截距要令 $y=0$，解 $ax^2+bx+c=0$，得到的点是 $(p,0)$、。一个是函数值，一个是方程的解，写坐标时位置不能放反。

用图像看二次不等式的正负

解二次不等式，说白了是在问：抛物线的哪些部分位于 $x$ 轴上方，哪些部分位于下方。

例如

先分解：

零点是 $1$ 和 $2$，并且 $a=1>0$，图像开口向上。于是抛物线在两个零点之间位于 $x$ 轴下方，在外侧位于上方。因此

如果题目改成 $x^2-3x+2\le 0$，两个零点也要包括进去：

开口向下时，符号分布会反过来。比起死背“内负外正”，更稳的办法是先看 $a$ 的正负，再画一个开口草图。若没有实数零点，函数不会穿过 $x$ 轴，它的符号始终和 $a$ 相同。

一张可靠的抛物线怎样画出来

作图不需要把几十个点都算一遍。二次函数结构很强，抓住几类关键点就够了。

作图顺序

例子：画出 $y=x^2-6x+5$

先配方：

所以顶点是 $(3,-4)$，对称轴是 $x=3$，开口向上。再分解：

零点是 $(1,0)$ 和 $(5,0)$，正好关于 $x=3$ 对称。令 $x=0$，得到 $y=5$，所以图像经过 ；对称点是 。

顶点、两个零点和这一对对称点放好以后，曲线的整体位置已经很清楚了。

定义域和值域要分开看

对没有额外限制的二次函数，定义域是全体实数。值域则由开口方向和顶点纵坐标决定。

若

那么：

• 当 $a>0$ 时，$f(x)\ge k$，值域是 $[k,+\infty)$。
• 当 $a<0$ 时，$$，值域是 。

原因就在 $(x-h)^2\ge 0$。平方项最小只能到 $0$，顶点因此成了函数值的边界。

限定区间后，答案可能变

考虑

在全体实数上，它的最小值是 $-1$。如果限制 $x\in[4,7]$，顶点横坐标 $2$ 根本不在区间里，函数在这段区间上一直增大。最小值出现在左端点 $x=4$，最大值出现在右端点 $x=7$。

所以在闭区间 $[u,v]$ 上找二次函数最值时，稳定做法是：比较两个端点；若顶点横坐标落在区间内，再把顶点也放进候选名单。这里强调闭区间，是因为开区间、半开区间或无界区间不一定包含端点，函数可能只能无限接近某个值，却取不到它。

最大值和最小值藏在顶点里

顶点式已经把全局最值写出来了：

当 $a>0$ 时，顶点给出最小值 $k$；当 $a<0$ 时，顶点给出最大值 $k$。两种情况都在 $x=h$ 时取到。

固定和时，乘积什么时候最大

两个数的和是 $1$。设其中一个数为 $x$，另一个就是 $1-x$，乘积为

配方得到

平方项前面是负号，所以 $P(x)$ 的最大值是 $\frac14$，在 $x=\frac12$ 时取到。换句话说，和固定时，两数越接近，乘积越大；完全相等时到达最大值。

靠墙围栏的最大面积

有 $60$ 米围栏，靠墙围一块长方形地，只需围三条边。设两条垂直墙的边都为 $x$ 米，外侧那条边就是 $60-2x$ 米。

面积函数为

几何条件还告诉我们

顶点横坐标是

所以外侧边长为 $30$ 米，最大面积为

上抛高度的最大值

若球从地面竖直上抛，高度函数是

顶点时刻为

最大高度是

令 $h(t)=0$，得到 $t=0$ 或 $t=4$。前者是出发时刻，后者才是再次落地的时刻。方程给了两个解，情境告诉我们每个解代表什么。

因此这个模型描述球在空中的有效时段是 $0\leq t\leq4$。代数式当然还能把 $t=5$ 代进去，但那会得到“地下高度”，已经超出这段运动模型的物理范围。

建模时别只顾着算顶点

碰到“最多”“最少”问题，可以按下面这条线走：

1. 设一个变量，并写清它表示什么。
2. 用条件表示其他量，建立目标函数。
3. 根据长度、时间、数量等实际含义写出定义域。
4. 求顶点或比较端点，得到数学最值。
5. 把结果翻译回原问题，补上单位并检查是否可行。

最后一步不能省。比如计算出围栏边长为负数、时间落在实验开始之前，就算代数过程没错，也不是情境的答案。

这个模拟器把围栏、上抛和定价三个场景放在一起。切换场景或拖动参数时，先预测顶点会往哪里走，再看图像验证。别只盯着最后的数字，真正值得观察的是“条件变了，函数和顶点怎样一起变”。

综合例题

从一般式读完整信息

已知

求开口方向、对称轴、顶点、最值、$y$ 轴截距以及零点个数。

由顶点和一点求解析式

某二次函数的顶点是 $(1,-4)$，并且经过点 $(3,8)$。求解析式。

顶点已经给出，先用顶点式最省事：

代入 $(3,8)$：

解得 $a=3$，所以

若题目需要一般式，再展开：

区间上的最值

求

在 $x\in[-1,5]$ 上的最大值和最小值。

顶点横坐标是 $x=2$，它在区间内。于是比较顶点和两个端点：

最大值是 $5$，在 $x=2$ 时取到；最小值是 $-4$，在两个端点 $x=-1$ 和 $x=5$ 时都能取到。这里也能看出区间关于对称轴 $x=2$ 对称，所以两个端点函数值相同。

常见的坑

把 $a=0$ 也当二次函数

$a=0$ 时没有抛物线、顶点和二次函数最值公式。先确认 $a\ne0$，再使用后面的工具。

顶点横坐标读反

$a(x-h)^2+k$ 的顶点是 $(h,k)$。看到 $(x+2)^2$，要把它理解成 ，顶点横坐标是 。

配方时漏乘括号外的 $a$

在 $2[(x-2)^2-4]+3$ 中，$-4$ 要先乘 $2$。直接写成 $2(x-2)^2-4+3$，值已经被改掉了。

以为所有二次函数都有两个实数零点

零点个数由 $\Delta$ 决定。像 $x^2+1$ 这样的函数在实数范围没有零点，也就没有实数因式式。

求现实最值却不写定义域

顶点可能落在可行范围外。价格、时间、长度、数量都有自己的限制，最后必须回到限制中判断。

解 $h(t)=0$ 后把两个时刻都叫“落地”

上抛模型里 $t=0$ 常常是起点，不是再次落地。代数解要结合问题语言解释。

把“最值”只写成一个点

“顶点是 $(2,-5)$”和“最小值是 $-5$，在 $x=2$ 时取到”不是同一句话。题目问值，就答纵坐标；问取值位置，再补横坐标。

自我练习

练习一：读图像骨架

已知

求对称轴、顶点、开口方向和值域。

练习二：三种形式互相翻译

把

分别写成顶点式和因式式，并说出顶点与零点。

练习三：解二次不等式

解

练习四：受限区间最值

求

在 $x\in[2,5]$ 上的最大值和最小值。

练习五：围栏模型

有 $80$ 米围栏靠墙围一块长方形地，只围三边。怎样围面积最大？

练习六：从运动回到方程

某物体的高度为

求最高点出现的时刻和最大高度，并写出求落地时刻所需解的方程。

函数图像与二次方程在这里接上了

二次函数和二次方程不是两套分开的知识。

问的是函数 $y=ax^2+bx+c$ 在哪里等于 $0$，也就是抛物线在哪里碰到或穿过 $x$ 轴。因式分解、配方、求根公式和判别式，都是在找这些位置；图像则把解的个数、大小关系和对称性画了出来。

下一次再遇到二次方程，先别急着把它看成一串等待变形的符号。脑子里放上一条抛物线：它开口朝哪边，顶点在哪里，会不会碰到 $x$ 轴？很多公式会因此多出一层直觉，而不再只是硬背。

所以零点是 $1$ 和 $3$。两零点中点为 $2$，与对称轴 $x=2$ 一致。

最小值是 $-3$，在 $x=2$ 时取到；最大值是 $12$，在 $x=5$ 时取到。若不检查区间，误写全局最小值 $-4$，就把区间外的顶点当成答案了。

顶点横坐标是

外侧边长为 $80-2\times20=40$ 米，最大面积是

所以 $3$ 秒时达到 $55$ 米。落地时高度为 $0$，需要解

再从方程的两个解中选取符合 $t\ge0$ 的时刻。这里暂时不必展开求根，下一步正好会系统处理这类二次方程。