角的概念与测量

上一章里，我们把点、直线、线段和射线分清了，也第一次碰到了公理：有些话看起来再自然，也要先明确写成推理的起点。这一章正好接着往前走。我们会让两条射线从同一个点出发，看它们怎样组成角；再把“张开了多少”变成可以计算的数。

角看起来简单，真正容易混淆的地方却不少。边画得更长，角会不会变大？量角器上为什么有两圈数字？对顶角看着相等，为什么还要证明？两条直线看着平行，凭什么能下结论？这些问题其实都指向同一件事：图只能帮我们观察，定义、公理和推理才负责保证结论。

同一个角的两种看法

先拿两支激光笔想一想。两束光从同一个位置射出去，一束朝右，一束朝右上方。我们把每一束光想成一条射线，它们共同的出发点记作 $O$ ，射线上再各取一点 $A$ 、 $B$ 。射线 $OA$ 和射线 $OB$ 合在一起，就组成了一个角。

从同一个端点出发的两条射线组成一个角。共同端点叫角的顶点，两条射线叫角的边。

这是一种“静止的”看法：角是一个由两条射线组成的几何图形。

还有一种“动起来”的看法。先让射线 $OA$ 固定，再把另一条射线从 $OA$ 的方向绕顶点 $O$ 转到 $OB$ 的方向。它转过的量，就是角的大小。此时 $OA$ 叫始边， $OB$ 叫终边。

角由同一顶点出发的始边和终边组成，中文标出顶点、始边、终边和内部弧线

这两种看法并不打架。第一种告诉我们“角由什么组成”，第二种告诉我们“角的大小究竟在量什么”。

现在就能回答一个常见问题：把两条边画长一些，角会变大吗？不会。边画多长只是纸上的示意，射线的方向没有变，旋转量就没有变。角的大小取决于两边的方向差，不取决于边长，也不取决于弧线画得有多粗。

下面的实验把终边转起来。先试试 $30°$ 、 $135°$ 和 $240°$ ，尤其留意终边相同时，选取的旋转方向和旋转范围会怎样影响角的大小。

方向为什么要说清楚

两条射线会把顶点周围分成两块。比如从 $OA$ 逆时针转到 $OB$ 是 $50°$ ，沿另一边绕过去就是 $310°$ 。两者的始边、终边一样，走的方向和范围却不同。

在初等平面几何里，如果图上没有旋转箭头，也没有特别标出大于 $180°$ 的那一侧，我们通常说的是不超过 $180°$ 的那个角。因此，普通语境下 $\angle AOB$ 与 $\angle BOA$ 表示同一个较小的角。

一旦题目谈“从哪条边转到哪条边”，次序就不能随便换。逆时针从 $OA$ 转到 $OB$ 与逆时针从 $OB$ 转到 $OA$ ，一般不是同一个旋转量。最稳妥的习惯是先问三件事：始边是谁，终边是谁，按哪一方向转。

角怎样命名才不会认错

角最常见的名字由三个大写字母组成，例如：

\angle AOB

中间的 $O$ 是顶点，两旁的 $A$ 、 $B$ 分别在角的两边上。顶点字母必须放在中间。 所以 $\angle AOB$ 的顶点是 $O$ ，而 $\angle OAB$ 的顶点是 $A$ ，它们不是同一个角。

如果一个顶点周围只有一个角，不会产生歧义，也可以只写顶点字母，例如 $\angle O$ 。可是一旦点 $O$ 周围有三条或更多射线， $\angle O$ 就说不清指哪一个，必须改用三个字母，或者使用图中标出的数字，如 $\angle 1$ 。

我们还要把“角”和“角的度数”分开：

$\angle AOB$ 指那个几何图形；
$m\angle AOB$ 指这个角的度数；
若 $m\angle AOB=50°$ ，就是在说这个角量得 $50°$ 。

这和“线段”与“线段长度”的区别很像。图形本身可以全等，数值则用等号比较。后面为了让式子读起来简洁，我们会直接写 $m\angle AOB=50°$ 。

一个命名检查

假设射线 $OA$ 水平向右，射线 $OB$ 斜向右上，射线 $OC$ 竖直向上。那么：

小角 $\angle AOB$ 的两边是 $OA$ 、 $OB$ ；
小角 $\angle BOC$ 的两边是 $OB$ 、 $OC$ ；
大一些的 $\angle AOC$ 包含前面两个小角；
只写 $\angle O$ 会有歧义，因为顶点 $O$ 周围不止一个角。

读三个字母的角名时，先圈出中间字母，再找从顶点出发的两条射线。不要把三个字母当成沿图形随便走的一条路线。

度、分、秒怎样把旋转变成数

长度要先选单位，角度也一样。我们约定把一整圈平均分成 $360$ 份，其中一份就是 $1°$ 。这是一种沿用已久、使用方便的单位约定，不是从某个几何定理推出来的。

$360$ 的因数很多。半圈可以直接分成 $180$ 份，四分之一圈是 $90$ 份，三分之一圈是 $120$ 份，六分之一圈是 $60$ 份。许多常见的等分都能得到整数，这正是它好用的地方。

于是几个关键角度自然出现了：

\text{周角}=360°,\qquad \text{平角}=180°,\qquad \text{直角}=90°.

平角为什么是 $180°$ ？因为终边从始边转半圈，正好指向相反方向。直角为什么是 $90°$ ？因为它转了整圈的四分之一，也是平角的一半。

角度还可以继续细分。 $1°$ 分成 $60$ 份，每份叫 $1$ 分； $1$ 分再分成 $60$ 份，每份叫 $1$ 秒：

1°=60^{\prime},\qquad 1^{\prime}=60^{\prime\prime}.

这里的“分、秒”是角度单位，不是时间。它们都使用六十进制：大单位变小单位乘 $60$ ，小单位变大单位除以 $60$ 。

例如：

18.5°=18°30^{\prime}

因为 $0.5\times 60=30$ 。再如：

27°18^{\prime}=27+\frac{18}{60}=27.3°.

分秒计算也会“进位”和“借位”

计算 $28°47^{\prime}35^{\prime\prime}+16°28^{\prime}50^{\prime\prime}$ 时，先从秒加起：

35^{\prime\prime}+50^{\prime\prime}=85^{\prime\prime}=1^{\prime}25^{\prime\prime}.

这个 $1^{\prime}$ 要进到分的位置：

47^{\prime}+28^{\prime}+1^{\prime}=76^{\prime}=1°16^{\prime}.

最后再把 $1°$ 进到度的位置，所以：

28°47^{\prime}35^{\prime\prime}+16°28^{\prime}50^{\prime\prime} =45°16^{\prime}25^{\prime\prime}.

做减法时也一样。求 $37°53^{\prime}49^{\prime\prime}$ 的余角，要算 $90°-37°53^{\prime}49^{\prime\prime}$ 。可以把 $90°00^{\prime}00^{\prime\prime}$ 借位写成 $89°59^{\prime}60^{\prime\prime}$ ，于是结果为：

52°06^{\prime}11^{\prime\prime}.

量角器为什么有内外两圈

半圆量角器只能覆盖半圈，所以它通常标出从 $0°$ 到 $180°$ 。麻烦在于，角的基准边可能朝右，也可能朝左。为了让两种放法都能从 $0°$ 开始读，量角器就在同一条刻度线上印了两圈数：

一圈从右边的 $0°$ 往左增加；
另一圈从左边的 $0°$ 往右增加。

所以两圈不是两个答案。它们是在替两个不同方向的基准边服务。

标准读法

先把量角器的中心点压在角的顶点上。中心错开，所有刻度都会跟着偏。

再把角的一条边与量角器的水平基线重合。看看这条边指向左端还是右端，并找到那一端的 $0°$ 。

从刚找到的 $0°$ 所在那一圈开始读，沿角的内部走到另一条边。另一条边穿过的数字就是角度。

最后用角的类型做一次估计检查。图上明显是锐角却读出 $130°$ ，通常说明读了另一圈；明显是钝角却读出 $50°$ ，也要回头检查。

下面这个互动把同一条刻度线上的两个数同时显示出来。切到“误读另一圈”，观察错误答案为什么恰好与正确答案相加得到 $180°$ 。

量角器还有一种不必把某条边对准 $0°$ 的读法。如果两条边分别穿过同一圈的 $a°$ 和 $b°$ ，普通角的度数就是：

|a-b|.

例如两条边分别指向 $18°$ 和 $143°$ ，角度是：

|143°-18°|=125°.

这也解释了量角器在做什么：它先给每个方向分配一个读数，再用两个方向读数的差表示旋转量。

普通半圆量角器直接量到的是 $0°$ 到 $180°$ 的角。若图中特别标出大于 $180°$ 的优角，可以先量出另一侧的小角，再用 $360°$ 减去它。

角的分类先抓住三个锚点

分类不需要靠“看起来尖不尖”。把度数与 $90°$ 、 $180°$ 、 $360°$ 比较，结论最可靠。

名称	度数条件	直观理解
零角	$\alpha=0°$	还没有转，始边与终边重合
锐角	$0°<\alpha<90°$	比直角小
直角	$\alpha=90°$	四分之一圈
钝角	$90°<\alpha<180°$	比直角大、比平角小
平角	$\alpha=180°$	半圈，两边方向相反
优角	$180°<\alpha<360°$	超过半圈但没有转满
周角	$\alpha=360°$	转一整圈回到原方向

零角不是锐角，因为锐角的范围不包含 $0°$ 。同样，直角和钝角都不包含边界以外的数； $90°$ 只能叫直角， $180°$ 只能叫平角。

平角与直线画出来都像一条直线，但它们不是同一个概念。平角有指定的顶点和两条方向相反的射线，度数是 $180°$ ；直线则向两个方向无限延伸，没有规定哪一点是角的顶点。

两条直线相交成直角时，我们说它们互相垂直，记作 $l\perp m$ 。只要其中一个角是 $90°$ ，邻角与它组成平角，也是 $90°$ ；对面的角稍后会由对顶角定理得到 $90°$ 。所以四个角全是直角。

大角可以拆成小角

假设射线 $OC$ 位于 $\angle AOB$ 的内部。沿角的内部从 $OA$ 转到 $OB$ ，会先经过 $OC$ ，那么整个旋转量正好是两段旋转量之和：

m\angle AOB=m\angle AOC+m\angle COB.

这叫角加法。它看起来像普通加法，但“ $OC$ 在角的内部”是不能漏掉的条件。如果 $OC$ 在另一侧，直接相加就可能算到错误的旋转路径上。

例如：

m\angle AOC=37°,\qquad m\angle COB=58°,

那么：

m\angle AOB=37°+58°=95°.

反过来，已知整体和其中一部分，就用减法：

m\angle COB=m\angle AOB-m\angle AOC.

角平分线给出的是“相等”

若射线 $OC$ 把 $\angle AOB$ 分成两个度数相等的角，那么 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的角平分线。定义立刻给出：

m\angle AOC=m\angle COB.

再配合角加法：

m\angle AOB=m\angle AOC+m\angle COB,

就能得到：

m\angle AOC=m\angle COB=\frac{1}{2}m\angle AOB.

“平分线”在这里是一条从顶点出发的射线，不是随手画的一小段线。图上两边看着差不多，也不能自动认定它是角平分线；题目必须明确给出“平分”，或者给出足以证明两边角相等的条件。

下面的互动把角平分线、余角和补角放在一起。它们经常出现在同一张图里，但逻辑完全不同：平分线说明两个角相等，余角和补角说明两个角的和等于固定值。

余角、补角与邻补角

两个角的度数和为 $90°$ ，它们互为余角：

\alpha+\beta=90°.

两个角的度数和为 $180°$ ，它们互为补角：

\alpha+\beta=180°.

互余、互补说的是度数关系，不要求两个角相邻，也不要求它们出现在同一张图里。 $35°$ 和 $55°$ 就互余； $35°$ 和 $145°$ 就互补。

若两个角共用顶点和一条边，而且内部不重叠，它们叫邻角。若一对邻角的另外两条边方向相反，连成一条直线，那么这对角叫邻补角，也常叫线性角对。

邻补角一定互补。理由就在图形结构里：它们相邻，所以可以用角加法；两条外侧边方向相反，所以两角合起来是一个平角：

\alpha+\beta=180°.

注意正反方向的差别：

已知两个角是邻补角，可以推出它们的和为 $180°$ ；
已知两个角相邻且和为 $180°$ ，也可以推出它们的外侧边方向相反；
只知道两个角和为 $180°$ ，却不知道它们相邻，就不能说它们是邻补角。

同角的余角或补角为什么相等

假设 $\angle A$ 与 $\angle B$ 都是 $\angle C$ 的余角。那么：

m\angle A+m\angle C=90°,

m\angle B+m\angle C=90°.

两式右边相同，所以：

m\angle A+m\angle C=m\angle B+m\angle C.

等式两边减去同一个 $m\angle C$ ，便得到：

m\angle A=m\angle B.

这就是“同角的余角相等”。把上面的 $90°$ 换成 $180°$ ，同样能证明“同角的补角相等”。如果被余、被补的是两个相等的角，结论也成立。

对顶角相等不是量出来的

两条直线 $AB$ 、 $CD$ 相交于点 $O$ ，会产生四个角。 $\angle AOC$ 与 $\angle BOD$ 隔着交点相对，彼此不相邻，它们叫一对对顶角； $\angle AOD$ 与 $\angle BOC$ 是另一对。

拿量角器去量，确实会发现对顶角相等。可这只能说明你画的这一张图，在测量误差范围内差不多相等。我们要的是更强的结论：无论两条直线怎样相交，只要它们真的是两条直线，对顶角都必定相等。

证明从邻补角开始。我们证明 $\angle AOC$ 与 $\angle BOD$ 相等。

因为射线 $OA$ 与 $OB$ 方向相反， $\angle AOC$ 和 $\angle COB$ 是邻补角，所以：

m\angle AOC+m\angle COB=180°.

因为射线 $OC$ 与 $OD$ 方向相反， $\angle BOD$ 和 $\angle COB$ 也是邻补角，所以：

m\angle BOD+m\angle COB=180°.

两个等式都等于 $180°$ ，于是：

m\angle AOC+m\angle COB =m\angle BOD+m\angle COB.

等式两边同时减去共同的 $m\angle COB$ ，得到：

m\angle AOC=m\angle BOD.

因此 $\angle AOC$ 与 $\angle BOD$ 相等。另一对对顶角可以用完全相同的步骤证明。

这条证明的骨架很值得记：两个对顶角分别与同一个角组成平角；总和相同，共同的那个角也相同；减去共同部分，剩下的就相等。

“对顶角相等”的逆命题不成立。两个角相等，不代表它们一定是对顶角。比如正方形的四个角都相等，却没有哪两个因此变成对顶角。逆命题能不能用，必须单独判断。

量出来像真的，为什么还要证明

第一次学证明时，很多人会觉得别扭：图上明明一眼就看出来，为什么要多写四行？问题在于，图只是某一个例子，而且绘图和测量都有误差。

你画两条“平行线”，它们可能只是纸面范围内没有相交，延长以后其实会碰上。你量出两个角都是 $60°$ ，也可能一个是 $59.7°$ ，另一个是 $60.3°$ ，只是量角器看不出差别。测量能帮我们猜结论、检查计算，却不能替所有可能的图形作保证。

几何证明通常靠四类东西搭起链条：

定义规定词语是什么意思，例如“互补”就是两角和为 $180°$ ；
公理或公设是共同接受的起点，例如角加法、过直线外一点有且只有一条平行线；
已知条件只对当前题目有效，例如 $l\parallel m$ ；
已经证明的定理可以继续使用，例如对顶角相等。

证明不是把“显然”写得更长，而是让每一步都能回答“凭什么”。公理为什么不用证明？因为推理总得有起点。如果每句话都必须靠更早的话证明，就会一直追问下去，没有第一块地基。公理就是大家先约定的地基，定理则是从地基上一层层搭出来的结果。

以后做题时，可以把“看图得到的感觉”先写在草稿上，再问一句：题目给了这个条件吗？定义能推出吗？有定理保证吗？如果三者都没有，就不能把感觉写进证明。

平行线被截线切出八个角

同一平面内两条永不相交的直线叫平行线，记作 $l\parallel m$ 。另一条直线 $t$ 先后与 $l$ 、 $m$ 相交， $t$ 就叫这两条直线的截线。两个交点一共产生八个角。

这里也有一块不能省略的“地基”：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。它叫平行公设。“有”保证我们确实能作出那条平行线，“只有一条”保证不会从同一点作出两个不同方向却都平行的答案。下一章作三角形的辅助线时，我们会直接用到它。

要从这条公设完整推出所有平行线角关系，还需要一组作图和全等证明；而我们要到下一章才正式建立三角形全等。为了不把尚未建立的工具偷偷塞进证明，本课程在这里把下面两句与平行公设一起列为本模块的基本结果：

两条平行线被同一条截线所截，同位角相等；
两条直线被同一条截线所截，若一对同位角相等，则这两条直线平行。

后面的内错角、外错角和同旁内角关系，都会从这两句基本结果与对顶角、邻补角一步步推出，不靠图形外观。

为了不靠模糊的“左边那个角”说话，我们固定一套编号。让 $l$ 、 $m$ 水平且 $l$ 在上方，截线 $t$ 从左上斜向右下。上方交点叫 $P$ ，下方交点叫 $Q$ ：

在 $P$ 处，左上、右上、右下、左下依次记为 $\angle1$ 、 $\angle2$ 、 $\angle3$ 、 $\angle4$ ；
在 $Q$ 处，左上、右上、右下、左下依次记为 $\angle5$ 、 $\angle6$ 、 $\angle7$ 、 $\angle8$ 。

两条平行线被截线所截的八角编号图，中文标出同位角、内错角和同旁内角示例

这里“内部”指两条直线 $l$ 、 $m$ 之间的带状区域，“外部”指带状区域以外。先判断内外，再判断在截线同侧还是异侧，比硬背字形可靠。

四类常见位置关系

同位角位于两个交点的相同相对位置，像把上交点的角原样平移到下交点。四对同位角是：

(1,5),\quad(2,6),\quad(3,7),\quad(4,8).

内错角都在两条直线内部，并且位于截线两侧。两对内错角是：

(4,6),\quad(3,5).

同旁内角也都在内部，但位于截线同一侧。两对同旁内角是：

(4,5),\quad(3,6).

外错角都在外部，并且位于截线两侧。两对外错角是：

(1,7),\quad(2,8).

先别急着说这些角相等。上面的名称只描述“它们站在哪里”。只有再加上 $l\parallel m$ ，才会出现下面的度数关系：

\begin{aligned} &\text{同位角相等},\\ &\text{内错角相等},\\ &\text{外错角相等},\\ &\text{同旁内角互补}. \end{aligned}

内错角相等怎样从已有结论推出

已知 $l\parallel m$ ，证明 $\angle4=\angle6$ 。

$\angle4$ 与 $\angle8$ 是同位角。平行线被截线所截，同位角相等，所以：

m\angle4=m\angle8.

在交点 $Q$ ， $\angle8$ 与 $\angle6$ 是对顶角，所以：

m\angle8=m\angle6.

两个等式首尾接起来，得到：

m\angle4=m\angle6.

因此这对内错角相等。

同旁内角互补也能从同位角和邻补角得到。 $\angle4=\angle8$ ，而 $\angle8$ 与 $\angle5$ 是邻补角，所以：

m\angle4+m\angle5=180°.

这条关系会在下一章证明三角形内角和时出现。过三角形一个顶点作对边的平行线，目的就是借助内错角或同位角，把另外两个内角“搬”到这个顶点附近，再拼成一个平角。

正向求角，逆向判平行

关于平行线的题，最容易犯的错是把推理方向弄反。我们把两条路线分开看。

正向：先有平行，再得到角关系

已知 $l\parallel m$ ，截线 $t$ 与它们相交。此时可以用：

同位角相等；
内错角相等；
外错角相等；
同旁内角的和为 $180°$ 。

例如已知 $m\angle4=118°$ ，就有：

m\angle6=118°

因为 $\angle4$ 与 $\angle6$ 是内错角；同时：

m\angle5=180°-118°=62°

因为 $\angle4$ 与 $\angle5$ 是同旁内角。

逆向：先有角关系，再证明两线平行

反过来，两条直线先不假定平行。如果截线产生的角满足下面任意一个条件，就能证明两条直线平行：

一对同位角相等；
一对内错角相等；
一对外错角相等；
一对同旁内角互补。

为什么内错角相等能推出平行？仍用前面的编号。若已知 $\angle4=\angle6$ ，而 $\angle6=\angle8$ 是对顶角关系，那么 $\angle4=\angle8$ 。这时一对同位角相等，于是可以判定 $l\parallel m$ 。

为什么同旁内角互补也能推出平行？若已知：

m\angle4+m\angle5=180°,

而 $\angle8$ 与 $\angle5$ 本来就是邻补角，所以：

m\angle8+m\angle5=180°.

两个角都与 $\angle5$ 互补，因此 $\angle4=\angle8$ 。它们是同位角，同位角相等便能推出 $l\parallel m$ 。

“看起来平行”不是条件，“同位角”这个位置名称本身也不保证相等。求角时要先确认题目给了平行；判平行时要先证明某一对角相等或互补。

例题：把定义和理由写进步骤里

角的命名与旋转方向

射线 $OA$ 水平向右，射线 $OB$ 位于其逆时针方向 $42°$ 处。回答：普通几何语境下这个角怎样命名？若从 $OB$ 逆时针转回 $OA$ ，旋转量是多少？

顶点是 $O$ ，所以三个字母命名时 $O$ 放中间。这个角可写作 $\angle AOB$ ，也可写作 $\angle BOA$ 。

普通语境下，两种写法都指两条射线之间的较小角，度数是 $42°$ 。

题目第二问指定“从 $OB$ 逆时针转回 $OA$ ”。这次走的是整圈剩余部分，所以：

360°-42°=318°.

旋转量是 $318°$ 。

不从零刻度开始量角

量角器同一圈上，两条边分别经过 $27°$ 与 $146°$ 。求角的度数并分类。

两条边都在同一圈读数，可以取两数之差：

|146°-27°|=119°.

$119°$ 大于 $90°$ 且小于 $180°$ ，所以这个角是钝角。

图形若确实张得比直角大，分类与计算互相吻合；若图上明显是锐角，就要检查是否把两条边读到了不同圈。

角加法与角平分线合在一起

射线 $OC$ 在 $\angle AOB$ 内部， $OD$ 平分 $\angle COB$ 。已知 $m\angle AOC=34°$ ， $m\angle AOB=110°$ ，求 $m\angle COD$ 。

因为 $OC$ 在 $\angle AOB$ 内部，先用角加法：

m\angle AOC+m\angle COB=m\angle AOB.

代入已知数：

34°+m\angle COB=110°,

所以 $m\angle COB=76°$ 。

$OD$ 平分 $\angle COB$ ，因此两半相等：

m\angle COD=\frac{76°}{2}=38°.

互补关系中的方程

两个角互补，其中较大的角比较小角的 $2$ 倍多 $15°$ 。求这两个角。

设较小角为 $x°$ ，较大角就是 $(2x+15)°$ 。

互补说明和为 $180°$ ：

x+(2x+15)=180.

解方程：

3x=165,\qquad x=55.

较大角是 $2\times55°+15°=125°$ 。检查： $55°+125°=180°$ ，条件满足。

从平行求出八个角

沿用前面的八角编号。已知 $l\parallel m$ ， $m\angle2=67°$ 。求其余七个角。

在交点 $P$ ， $\angle2$ 与 $\angle4$ 是对顶角，所以 $m\angle4=67°$ 。

$\angle1$ 与 $\angle2$ 是邻补角，所以：

m\angle1=180°-67°=113°.

$\angle3$ 与 $\angle1$ 是对顶角，所以 $m\angle3=113°$ 。

平行线被截线所截，同位角相等，因此：

m\angle5=113°,\quad m\angle6=67°,\quad m\angle7=113°,\quad m\angle8=67°.

检查每个交点：相邻两角一锐一钝，和为 $180°$ ；对顶角相等。所有关系一致。

用角关系证明两条直线平行

两条直线 $l$ 、 $m$ 被截线 $t$ 所截。沿用前面的编号，已知 $m\angle4=3x+12°$ ， $m\angle5=5x-8°$ ，且 $x=22$ 。证明 $l\parallel m$ 。

先求两个角：

m\angle4=3\times22°+12°=78°,

m\angle5=5\times22°-8°=102°.

$\angle4$ 与 $\angle5$ 位于两直线内部、截线同侧，是一对同旁内角。

两角之和为：

78°+102°=180°.

一对同旁内角互补，可以用逆向判定两条直线平行，因此 $l\parallel m$ 。

练习题

基础辨认

练习一：点 $B$ 是角的顶点，点 $A$ 、 $C$ 分别在两边上。写出这个角的两种三字母名称。为什么不能写成 $\angle BAC$ ？

练习二：把 $43°18^{\prime}36^{\prime\prime}$ 化成小数度数。

练习三：把 $12.725°$ 化成度、分、秒。

练习四：量角器的一条边对着右端 $0°$ ，另一条边所在刻度线上标有 $64°$ 和 $116°$ 。应读哪一个数？这个角是什么角？

计算与证明

练习五：射线 $OD$ 在 $\angle AOB$ 内部。已知 $m\angle AOD=48°$ ， $m\angle DOB=2m\angle AOD-7°$ ，求 $m\angle AOB$ 。

练习六： $OC$ 是 $\angle AOB$ 的角平分线， $OD$ 在 $\angle COB$ 内部。已知 $m\angle AOB=124°$ ， $m\angle COD=19°$ ，求 $m\angle DOB$ 。

练习七：一个角的补角比它的余角大多少度？说明理由，不要只举一个数值例子。

练习八：两条直线相交，其中一个角是 $128°$ 。求另外三个角，并写出每一步理由。

平行线与截线

练习九：沿用本章的八角编号。已知 $l\parallel m$ 且 $m\angle3=41°$ ，求 $m\angle5$ 、 $m\angle6$ 和 $m\angle8$ 。

练习十：两条直线 $l$ 、 $m$ 被截线 $t$ 所截。沿用本章编号，已知 $m\angle3=74°$ ， $m\angle5=74°$ 。能否证明 $l\parallel m$ ？

练习十一：判断正误：“只要两个角相等，它们就是对顶角；只要两个同位角相等，两条直线就平行。”

带着这条逻辑链进入三角形

这一章表面上在学角度，真正建立的是一条可以反复使用的推理链：先用射线和旋转说清角，再用度数计算；遇到相交线，用邻补角证明对顶角相等；遇到平行线与截线，再把同位角、内错角、同旁内角接进来；需要判定平行时，反过来检查角关系。

下一章开始研究三角形时，这些工具会立刻派上用场。三角形的三条边会产生三个内角；为了证明三个内角的和是 $180°$ ，我们会在一个顶点作平行线，把另外两个角借助内错角“搬”过来。到那时你会看到，三角形内角和并不是量角器量出来的巧合，而是这一章整条逻辑链自然推出的结果。