几何变换，图形不是只能站着

前面一路学下来，我们认识了角、三角形、全等、相似、圆，也算过面积和体积。除了刚结束的立体与体积章节，前面大多数时候都把图形放在纸上研究：边有多长，角有多大，两条线是什么关系。

这一章换一个问法。假如把整张图挪一挪、转一转、翻一面，它原来的性质还在不在？

你可以拿一块硬纸板试试。把它从桌子左边推到右边，边长当然不会变；让它绕图钉转半圈，角也不会变；把它翻到背面，大小还是原来的大小。图形的位置和朝向变了，可它并没有被拉长、压扁。

几何变换研究的就是这种“动”。真正要抓住的不是图形最后站在哪儿，而是：它怎样从原来的位置到达新位置，又有哪些关系在运动中一直没变。

先把“变换”说准确

原像、像和对应点

一条变换规则会告诉平面上每个点该到哪里去。变换前的图形叫原像，变换后的图形叫像。

如果原来的点 $A$ 经过变换到了新位置，我们通常把新点记成 $A'$，读作“A 撇”。于是 $A$ 和 $A'$ 是一对对应点。同样，$B$ 对应 $B'$，线段 $AB$ 对应线段 $A'B'$，角 $\angle ABC$ 对应角 $\angle A'B'C'$。

撇号不是装饰。写对应关系时，字母必须对齐：

因此，如果我们写

就已经说明了哪几个顶点互相对应。不能只凭“图上离得近”临时换对应点。

刚体变换和等距变换

平移、旋转和反射都像搬动一块没有弹性的硬纸板。这三类变换统称刚体变换。从数学定义看，它们都保持任意两点之间的距离，所以也叫等距变换。

设任意两点 $P,Q$ 的像是 $P',Q'$。等距变换满足：

这一个条件会带来一串结果：

为什么保持距离还能管住角和面积？你可以这样想：取一个角，在两条边上各选一点，角就被装进了一个三角形。三角形的三条边经过等距变换都没有变，由 SSS 可知前后两个三角形全等，夹角当然相等。再把一个多边形分成若干个三角形，每一块都全等，面积相加以后也不会变。

共线性也不是“看起来还在一条线上”这么简单。如果 $Q$ 在线段 $PR$ 上，那么

三个距离经过刚体变换都不变，所以

这说明 $Q'$ 仍在 $P'R'$ 上，而且还在对应的中间位置。

朝向是另一件事

把三角形的顶点按 $A\to B\to C$ 依次走一圈。如果原来是顺时针，变换后仍是顺时针，我们就说图形的定向或朝向没有改变。

平移和旋转不改变朝向。反射像把纸翻到背面，会把顺时针变成逆时针。

朝向不是边长，也不是角度，所以两个朝向相反的图形仍然可能全等。这个区别以后很有用：只用平移和旋转无法把一个普通三角形变成它的镜像，加入一次反射就可以。

平移：每个点收到同一条指令

平移不是随便搬到另一个位置

假设你对图形上的每个点都说：“向右走 $4$ 格，再向下走 $2$ 格。”所有点走的方向相同，距离也相同，这才是一次平移。

用向量写，这条指令是 $(4,-2)$。一般地，平移向量 $(a,b)$ 表示横向移动 $a$ 个单位、纵向移动 $b$ 个单位：

$a>0$ 表示向右，$a<0$ 表示向左；$b>0$ 表示向上，$b<0$ 表示向下。不要再额外背四套规则，坐标里的正负号已经把方向说完了。

若 $A$ 的像是 $A'$，$B$ 的像是 $B'$，那么

所以所有对应点的连线方向相同、长度相等。平移后的对应线段也保持平行：

这行式子把平移的本质说得很干净：同一个位移在作差时抵消了，原来的边向量完整保留下来。

例题：把整个三角形平移

题目：三角形的三个顶点是 $A(2,1)$、$B(5,1)$、$C(4,4)$。沿向量 $(-3,2)$ 平移，求像的三个顶点。

为什么平移一定保持距离

这里值得真正证一次，因为它让“硬纸板没变形”从直觉变成结论。

取任意两点 $P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$。沿 平移以后：

比较前后距离的平方：

长度都是非负数，所以 $P'Q'=PQ$。注意，$P,Q$ 是随便选的，不是某一张图里的特殊点，因此这个证明管住了整个平面。

一次记录许多点

如果多边形顶点很多，可以把每个点的横、纵坐标排成一个坐标矩阵。例如：

沿 $(a,b)$ 平移，就是给每一行加同一个向量：

矩阵没有创造新规则，它只是让“所有点都做同一件事”写得更紧凑。

平移也很容易撤销。沿 $(a,b)$ 平移的逆变换，就是沿 $(-a,-b)$ 平移。

旋转：中心、角度、方向缺一不可

说“把图形转 $90^\circ$”还不够。你得说明绕哪个点转，是顺时针还是逆时针。一次旋转由三件事确定：旋转中心、旋转角、旋转方向。

如果点 $P$ 绕中心 $O$ 转到 $P'$，那么：

并且从射线 $OP$ 到射线 $OP'$ 的转角，就是规定的旋转角。所有点绕的是同一个中心，也转过同一个角。

旋转中心自己不会动，所以它是旋转的不动点。图上其他点各自在以 $O$ 为圆心的圆周上运动；离中心近的点走过的弧短，离中心远的点走过的弧长，但转过的角相同。

绕原点的常用坐标规则

以下规则默认旋转中心是原点 $O(0,0)$：

逆时针 $270^\circ$ 和顺时针 $90^\circ$ 是同一个动作。因为转满一圈是 $360^\circ$：

记规则时别只背“交换再变号”。先拿 $(1,0)$ 试方向最稳。它逆时针转 $90^\circ$ 应该到 $(0,1)$，所以正确规则只能是 $(x,y)\mapsto(-y,x)$。一秒钟的方向检查，能挡住很多符号错误。

例题：绕原点连续旋转

题目：点 $P(4,-2)$ 绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $P'$，再旋转 $180^\circ$ 得到 。求两个像点。

中心不是原点怎么办

设旋转中心是 $O(h,k)$。最稳的办法不是另背一大张公式，而是“搬走中心—旋转—搬回来”。

对点 $P(x,y)$：

这一步得到 $P$ 相对中心的位置。按原点规则旋转以后，再把 $(h,k)$ 加回来。

例如，点 $P(5,3)$ 绕 $O(2,1)$ 逆时针转 $90^\circ$。先看相对向量：

逆时针转 $90^\circ$ 后：

再加回中心：

检查 $OP=OP'=\sqrt{13}$，距离正确。

用对应点的轨迹找旋转中心

现在把问题倒过来：图上只给了原像和像，旋转中心藏在哪里？

因为中心 $O$ 到对应点 $A,A'$ 的距离相等，$O$ 一定在线段 $AA'$ 的垂直平分线上。可是一条垂直平分线上有无数个点，只用一对对应点通常还不能确定中心。

再找一对对应点 $B,B'$。同理，$O$ 也在线段 $BB'$ 的垂直平分线上。若两条垂直平分线有唯一交点，这个交点只是旋转中心的唯一候选点；还要验证从 $OA$ 到 $$ 与从 到 的有向转角相同，才能确认两对点真的来自同一次旋转。

这正是“轨迹”思想：到 $A,A'$ 距离相等的所有点组成 $AA'$ 的垂直平分线；中心既属于第一条轨迹，也属于第二条轨迹，所以要找它们的交点。

例题：把旋转中心找出来

题目：旋转把 $A(4,1)$ 送到 $A'(3,2)$，把 $B(4,3)$ 送到 $B'(1,2)$。求旋转中心。

如果两条垂直平分线平行且不重合，说明给出的对应关系不可能来自同一次旋转；如果两条垂直平分线重合，候选中心仍有无数个，也必须增加另一对不退化的对应点或旋转角信息。原像和像完全相同时同样可能有多个解释。

反射：对称轴站在对应点正中间

反射可以想成沿一条直线把纸翻过去。这条直线叫对称轴。

若轴外点 $P$ 关于直线 $l$ 的反射像是另一个点 $P'$，那么 $l$ 是线段 $PP'$ 的垂直平分线。换成可以逐项检查的话，就是：

• $PP'\perp l$；
• $PP'$ 的中点在 $l$ 上；
• $P$ 和 到 的距离相等。

这三个说法讲的是同一件事。反射不是“把点移到轴的另一边差不多远”，而是对称轴必须正好从对应点连线的中点垂直穿过。

如果点本来就在对称轴上，它到轴的距离是 $0$，反射后仍是自己，此时 $P=P'$，连线退化成一个点，不能再套“垂直平分线”的说法。所以对称轴上的每个点都是不动点。

四条常见对称轴的坐标规则

关于 $y=-x$ 的规则最容易漏负号。拿轴上的点 $(2,-2)$ 检查，它反射后应该不动：

这就说明规则经得住不动点检查。

为什么关于 $y=x$ 反射会交换坐标

设 $P(h,k)$，我们猜它的像是 $P'(k,h)$。要证明这个猜想，只需证明 $y=x$ 是 $PP'$ 的垂直平分线。

$PP'$ 的中点是：

中点的两个坐标相等，所以 $M$ 在 $y=x$ 上。

当 $h\ne k$ 时，$PP'$ 的斜率是：

而 $y=x$ 的斜率是 $1$，两条线垂直。如果 $h=k$，点本来就在 $y=x$ 上，交换坐标以后仍然不动。两种情况都说明：

例题：一次比较四种反射

题目：点 $M(-3,5)$ 分别关于 $x$ 轴、$y$ 轴、$y=x$、$y=-x$ 反射，求四个像点。

反射保持距离、角度和面积，却会改变朝向。一个最直接的检查办法是按顺序读三角形的顶点：如果原来 $A\to B\to C$ 是逆时针，反射后 $A'\to B'\to C'$ 会变成顺时针。

组合变换：下一步永远接着上一步

实际图形很少只动一下。脚印图案可能先翻面，再沿地面向前平移；花纹可能围绕中心转一下，再把这个动作重复许多次。这就是组合变换。

组合时最重要的不是算得快，而是别把顺序改掉。若 $F$ 表示反射，$T$ 表示平移，那么“先做 $T$，再做 $F$”写成：

右边的 $T$ 先发生。这个书写习惯和函数代入一样：后写在外面的变换最后做。

为什么顺序通常不能交换

取点 $P(3,-1)$，比较下面两个过程。

先关于 $y$ 轴反射，再沿 $(2,-4)$ 平移：

先沿 $(2,-4)$ 平移，再关于 $y$ 轴反射：

终点一个是 $(-1,-5)$，一个是 $(-5,-5)$。材料、操作都相同，只交换顺序，结果就变了。

有些组合可以认成一个熟悉动作

虽然顺序通常不能乱换，但一些组合有很漂亮的整体效果：

• 先关于一条直线反射，再沿这条直线的方向作一次非零平移，叫滑移反射；若平移量为 0，就退化为普通反射；
• 依次关于两条平行线反射，整体效果是一次垂直于两轴的平移，平移距离是两轴间距的 $2$ 倍，方向从第一条轴指向第二条轴；交换反射次序会反向；
• 依次关于两条相交直线反射，整体效果是绕交点旋转，旋转角是“从第一条轴转向第二条轴”的有向角的 $2$ 倍；交换次序会让旋转方向反向；
• 关于两条互相垂直的直线连续反射，整体效果是绕交点旋转 $180^\circ$。

这些结论不是额外的魔术。每次反射都让点到轴的垂直距离原样跑到另一侧。把两次轨迹连起来，平移距离或旋转角就会出现一个“加两次”的结果。

组合了几个刚体变换，最后仍是刚体变换。原因可以一环一环地看：第一次保持距离，第二次又保持第一次所得图形的距离，最终距离仍和最初相等。

朝向也可以按反射次数判断。平移、旋转不翻面；每做一次反射，朝向翻转一次。因此，组合中有奇数次反射时朝向改变，有偶数次反射时朝向恢复。

全等，就是能够刚好重合

我们以前说两个图形全等，是说它们大小和形状完全相同。变换语言把这句话变成一个可检验的定义：

“完全重合”不是只让一个顶点碰上，也不是让一条边叠住，而是每个点都落到对应点上。刚体变换保存所有对应距离，所以对应边相等；它也保存角度，所以对应角相等。图形没有被伸缩，自然是全等的。

对三角形，还能从 SSS 看见这个定义为什么与旧判定相容：先把一个顶点和一条对应边用平移、旋转对齐，第三个顶点由它到两个已对齐端点的距离唯一确定；若朝向相反，再关于这条边反射一次即可。对任意多边形，仅仅对齐一个顶点和一条边并不足以证明其余点必然重合，因此这里不把那一步当作一般证明。

用变换代替一部分全等证明

设 $ABCD$ 是平行四边形，两条对角线交于 $O$。平行四边形的对角线互相平分，所以：

绕 $O$ 旋转 $180^\circ$ 时，$A$ 到 $C$，$B$ 到 $D$。因此线段 $AB$ 的像是 ，线段 的像是 。旋转保持长度，于是：

这和用全等三角形证明平行四边形对边相等得到同一个结论，但变换把“为什么这两条边是一对”表现得更直接。这里是在对第 4 章已经证明的“对角线互相平分”作重新解释，不是用旋转去倒过来证明它自身。

回到前面学过的对称

第六章里，我们把对称看成图形左右、上下或绕中心重复。现在可以给它一个统一说法：如果某个不是什么都没做的刚体变换把图形送回它自己，这个图形就具有相应的对称性。

• 关于直线反射后图形不变，是轴对称；
• 绕某点旋转一个小于 $360^\circ$ 的角后图形不变，是旋转对称；
• 绕某点旋转 $180^\circ$ 后图形不变，也叫中心对称。

比如等腰三角形关于顶角平分线反射后回到自己。顶点在轴上不动，两个底角顶点互换。因此两条腰互相对应、两个底角也互相对应。反射保持长度和角度，于是“等腰三角形两底角相等”也可以从对称变换的角度理解。

正 $n$ 边形每旋转

就与原图重合一次。这里的对称不是只看外轮廓“差不多一样”，而是要求整个点集准确回到自身。

位似和缩放：形状留下，大小改变

到这里，三种基本动作都没有改变大小。现在故意把硬纸板换成一张可以均匀放大的照片。

选一个中心 $O$ 和一个非零比例因子 $k$。点 $P$ 的像 $P'$ 满足：

这种变换叫位似，在坐标和图像处理中也常说缩放或伸缩。

当中心是原点时，规则很简单：

当中心是 $C(h,k_0)$ 时，还是“先把中心搬到原点，缩放，再搬回来”：

这里把中心纵坐标写成 $k_0$，是为了不和比例因子 $k$ 混在一起。

比例因子到底控制什么

• $k>1$ 时，图形放大；
• $0<k<1$ 时，图形缩小；
• $k<0$ 时，像点在中心另一侧，同时距离按 $|k|$ 倍变化；
• $$ 时，所有点不动；

对本章定义的 $k\ne0$ 位似，它保持角度，也保持图形的形状，但线段长度会乘 $|k|$：

周长同样乘 $|k|$。面积有两个独立方向都在缩放，所以会乘：

例如边长都放大 $3$ 倍，一个原来能铺 $1$ 块小正方形的位置，现在横向能排 $3$ 块、纵向也能排 $3$ 块，总共就是 $9$ 块。面积放大 $3^2=9$ 倍，不是 $3$ 倍。

例题：长度、周长和面积分别怎样变

题目：一个三角形的三边长为 $4,5,7$。由海伦公式可得它的面积为 $4\sqrt6$。以任意一点为中心，按比例因子 $k=-\dfrac32$ 位似。求像三角形的三边、周长和面积。

位似后的对应角相等，对应边成比例，所以原像和像相似。若一条直线不经过位似中心，它的像与原直线平行；若直线经过中心，它的像仍在同一条直线上。这些关系会让位似成为证明相似、寻找比例线段的好工具。

铺砌：把一个图形的变换重复下去

地砖、棋盘和蜂窝图案都在做同一件事：复制一个基本图形，再通过平移、旋转或反射把副本接到旁边。若这些副本能覆盖整个平面，既不留空隙也不互相重叠，就形成了平面铺砌。

判断顶点附近能不能铺满，最先检查的是围绕一点的角度能否正好凑成：

本章讨论副本边对边贴合的正多边形铺砌。若每个顶点围着 $m$ 个正 $n$ 边形，则

整理为

因为 $m,n$ 都是至少为 3 的整数，只有 $n=3,4,6$ 三种可能。它们也确实能铺：正三角形每个内角 $60^\circ$，六个围一圈；正方形每个内角 $90^\circ$，四个围一圈；正六边形每个内角 ，三个围一圈。因此，只用同一种正多边形作边对边铺砌时，恰好只有这三种。

正五边形每个内角是 $108^\circ$。三个只到 $324^\circ$，四个又超过 $360^\circ$，所以普通正五边形单独铺不满。

任意简单四边形却都能铺砌。先把一个副本绕某条边的中点旋转 $180^\circ$，两块会沿整条边吻合，并组成一个具有两组平行等长外边的基本组合；再沿这两组外边方向反复平移复制这个组合，就能覆盖整个平面而不留缝、不重叠。四个角之和为 $360^\circ$ 解释了顶点处为何吻合，旋转加两组平移才给出了全局铺法。

铺砌把本章的几个概念连在一起：角度决定能否围住一点，变换决定副本怎样到位，对称描述整个图案重复以后为什么仍然保持同样的样子。

综合判断：先看不变量，再认动作

例题：这究竟是哪一种变换

题目：三角形 $ABC$ 的顶点为 $A(1,1)$、$B(4,1)$、$C(2,3)$，像三角形的顶点为 $A^{\mathrm{\prime }}(-1,$、、。判断变换，并说明为什么不是旋转。

例题：用变换证明共线关系仍然成立

题目：点 $B$ 在线段 $AC$ 上，且 $AB:BC=2:3$。一次刚体变换把 $A,B,C$ 分别送到 。证明 在线段 上，并且 。

例题：判断组合后是否还是刚体变换

题目：先关于 $x$ 轴反射，再绕原点逆时针旋转 $90^\circ$，最后沿 $(3,-2)$ 平移。这个组合是否保持距离和面积？是否改变朝向？

课后练习

练习一：点 $P(-4,3)$ 沿向量 $(6,-5)$ 平移到 $P'$。求 $P'$，并写出逆变换。

练习二：三角形顶点为 $A(1,-2)$、$B(4,0)$、$C(2,3)$。求它绕原点逆时针旋转 $90^\circ$ 后的三个顶点，并说明朝向是否改变。

练习三：点 $Q(5,-2)$ 分别关于 $y=x$ 和 $y=-x$ 反射。求两个像点，并各用“中点在轴上”检查一次。

练习四：点 $R(2,1)$ 先沿 $(3,0)$ 平移，再关于 $y$ 轴反射。求最终坐标。交换顺序再算一次。

练习五：一次旋转把 $A(3,-1)$ 送到 $A'(1,1)$，把 $B(2,2)$ 送到 $B'(-2,0)$。用垂直平分线求旋转中心，再判断旋转角。

练习六：一个长方形长 $10$、宽 $6$、面积 $60$。按比例因子 $k=-0.4$ 位似后，求像的长、宽、周长和面积。

练习七：判断下面说法是否正确，并说明理由。

（1）反射会改变图形面积。

（2）任何位似都是刚体变换。

（3）两次关于互相垂直直线的反射等价于一次 $180^\circ$ 旋转。

（4）刚体变换会保持三点的共线关系。

练习八：为什么正八边形不能单独组成正多边形铺砌？正八边形能否和正方形一起铺砌？

练习九：已知两个三角形全等，但对应顶点的绕行方向相反。只用平移和旋转能否让它们按给定对应关系重合？应该怎样做？

把变换带进综合题

这一章不需要把每条坐标规则孤零零地背下来。做题时可以按一个稳定的顺序检查：

1. 先写清原像、像和对应点；
2. 再判断动作是平移、旋转、反射，还是位似；
3. 如果是旋转，补齐中心、角度和方向；如果是反射，检查对称轴是否垂直平分对应点连线；
4. 组合变换逐步写像点，不擅自交换顺序；
5. 最后用不变量验答案：距离、角度、面积、共线性是否应该保持，朝向是否应该翻转。

到了下一章的几何综合题，变换会从“研究对象”变成“证明工具”。看到等长线段，可以试着寻找把一条线段送到另一条的刚体变换；看到成比例线段，可以寻找位似中心；看到重复图案或对称结构，可以问图形经过什么动作回到自己。

那时，辅助线也不再只是凭感觉添加。你会开始用“我想让哪个点对应哪个点”“我希望哪个变换把这部分搬到那部分”来决定下一步。图形可以动，而证明正是在追踪这些运动中始终没有动摇的关系。

旋转保持朝向，所以原来按 $A\to B\to C$ 绕行的顺、逆时针方向不会改变。

关于 $y=-x$：

$QQ_2$ 的中点是 $\left(\dfrac72,-\dfrac72\right)$，满足纵坐标等于横坐标的相反数，确实在 $y=-x$ 上。

两个结果不同，说明这两个变换在本题中不能交换顺序。

$BB'$ 的中点是 $(0,1)$，$BB'$ 的斜率是 $\dfrac12$，所以垂直平分线是：

联立得 $x=1$、$y=-1$，旋转中心是 $O(1,-1)$。此时

所以旋转角是逆时针 $90^\circ$。再检查 $\overrightarrow{OB}=(1,3)$ 逆时针转 $90^\circ$ 后为 $(-3,1)=\overrightarrow{OB'}$，吻合。

负号只说明像在位似中心的另一侧，不会让长度或面积为负。

但两个正八边形角和一个正方形角可以组成：

角度相加只说明局部没有角缝，还要给出可重复的排法：取同边长的正方形，在它四边各贴一个正八边形；相邻正八边形之间留下的方形空位继续由正方形填入，重复这个结构。这样每个顶点依次出现“正方形—正八边形—正八边形”，因此确实得到一种铺砌。