体积：把空间一层一层地填满

上一章研究表面积和展开图时，我们关心的是一个立体外面那层“皮”有多大。到了体积，问题换了：这层皮围起来的空间到底有多大？

这两个问题看起来只差一个词，做题时却不能混。给鱼缸贴膜，要算表面积；问鱼缸能装多少水，要算内部体积。表面积用平方单位，体积用立方单位。一个答案如果把这两类单位写反了，哪怕数字算得再漂亮，也已经在回答另一个问题。

这一章不会把长方体、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥和球当成六套互不相干的公式。我们从“拿单位小方块去填”开始，先看柱体为什么是“底面积乘高”，再看锥体为什么多出三分之一，最后处理球、组合体、相似立体以及容量、密度和流量问题。这样一路走下来，每个公式都能找到它从哪里来，也知道什么时候不能用。

体积是在数单位立方体

一个“单位”必须有长、宽、高

想象一个边长为 $1\ \text{cm}$ 的小立方体。它在长、宽、高三个方向都占 $1\ \text{cm}$ ，体积就是 $1\ \text{cm}^3$ 。如果一个立体恰好能由 24 个这样的小立方体无重叠地拼成，它的体积就是 $24\ \text{cm}^3$ 。

这就是体积最朴素的意思：用选定的单位立方体去量一个空间，看它相当于多少个这样的单位立方体。

实物当然未必能被完整的小方块严丝合缝地填满。边界上可能只占半块、四分之一块，曲面旁边更会出现许多细小空隙。把单位立方体继续切小，这些零碎部分就能量得越来越细。体积可以是整数，也可以是小数或分数；“数方块”仍然是它背后的想法。

如果一个立体被切成几个互不重叠的部分，那么总体积等于各部分体积之和。反过来，从完整立体中挖掉一块，就用原体积减去被挖掉部分的体积。后面的组合体计算，全靠这条看似普通的规则。

立方单位为什么每跨一级是 1000 倍

长度从分米换成厘米，边长变成 10 倍。但一个立方体有三个互相垂直的方向，所以单位立方体的数量在三个方向都要乘 10：

10\times 10\times 10=1000

因此：

1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3

同样地：

1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3

1\ \text{cm}^3=1000\ \text{mm}^3

如果长度换算因子是 $q$ ，面积的换算因子就是 $q^2$ ，体积的换算因子就是 $q^3$ 。例如 $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$ ，所以：

1\ \text{m}^3=100^3\ \text{cm}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3

不要只看单位前面的数。把 $0.8\ \text{m}$ 、 $50\ \text{cm}$ 和 $4\ \text{dm}$ 直接相乘，会得到一个没有统一含义的结果。先把三个长度换成同一种长度单位，再相乘，答案的立方单位才说得通。

容量和体积数值相等，需要条件

升和毫升是容量单位，立方分米和立方厘米是体积单位。它们之间有精确关系：

1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3

1\ \text{mL}=1\ \text{cm}^3

所以，一个内部体积为 $2.4\ \text{dm}^3$ 的理想容器，内部空间是 $2.4\ \text{L}$ 。这里必须盯住“内部”两个字。容器有壁厚时，外部尺寸算出的是外轮廓体积，不是能装下的液体体积；瓶口上方留有空隙时，实际灌装量也会小于内部几何体积。商品标出的容量还可能是额定容量，不能看着外形就当成一个完整的数学圆柱或长方体。

排水法把不规则物体变成体积差

石块、螺栓这类物体不好直接套公式，却可以让它“替自己报体积”。先记录量筒读数 $V_1$ ，把物体完全浸没后再读 $V_2$ 。物体排开的水占了多少空间，物体体积就是多少：

V_{\text{物}}=V_2-V_1

例如，水面从 $125\ \text{mL}$ 上升到 $168\ \text{mL}$ ，物体体积就是：

168-125=43\ \text{mL}=43\ \text{cm}^3

这套方法有条件：物体要完全浸没，不能露出水面；表面不能附着明显气泡；物体不能吸水、溶解或与液体反应；量筒不能溢出；读数时视线要与液面刻度保持合适位置。会漂浮的物体如果靠手指往下按，手指也会排水，读数就不再只是物体的体积。

长方体先把“每层多少”说清楚

长、宽、高不是三个随便相乘的数

先看长、宽、高在同一单位下都是正整数的长方体：底面每一层相当于 $l\times w$ 个单位正方形；再沿高度叠 $h$ 层，就得到单位立方体的总数：

V_{\text{长方体}}=lwh

有限小数边长可以继续细分单位立方体来精确计数。对任意正实数边长，则用略小、略大的有限小数长方体从内外夹住；体积差可随尺寸误差一起变得任意小，因此公式延续到所有正实数尺寸。这里用到了体积的单调性与连续性公理，不是靠一次有限网格就覆盖了所有实数。

若底面积记作 $B=lw$ ，同一个公式也可以写成：

V_{\text{长方体}}=Bh

正方体只是长、宽、高都等于棱长 $a$ 的长方体：

V_{\text{正方体}}=a^3

“ $a$ 的立方”这个说法不是碰巧。 $a^3$ 正是在计算棱长为 $a$ 的立方体能容纳多少单位立方体。

例题：纸箱内部能装多少

一个纸箱的内部长 $40\ \text{cm}$ 、宽 $30\ \text{cm}$ 、高 $25\ \text{cm}$ 。求内部体积，并换算成升。

三个尺寸已经都是厘米，可以直接相乘。先算内部空间的立方厘米数：

V=40\times 30\times 25=30\,000\ \text{cm}^3

每 $1000\ \text{cm}^3$ 是 $1\ \text{L}$ ，所以：

30\,000\ \text{cm}^3=30\ \text{L}

数量级也合理：箱子底面是 $1200\ \text{cm}^2$ ，高 $25\ \text{cm}$ ，应有几万立方厘米，而不是几十或几百万立方厘米。

柱体都在重复同一个底面

从棱柱到圆柱

棱柱有两个全等、平行的多边形底面。沿着与底面平行的方向一层层切开，每个截面的形状和面积都与底面相同。圆柱虽然底面是圆、侧面是曲面，这个“每层一样大”的特点没有变。

如果底面积是 $B$ ，两个底面所在平面之间的垂直距离是 $h$ ，柱体体积统一为：

V_{\text{柱体}}=Bh

这里的 $B$ 是一个面积，单位应是 $\text{cm}^2$ 、 $\text{m}^2$ 之类； $h$ 是长度。面积乘长度得到立方单位：

\text{cm}^2\times \text{cm}=\text{cm}^3

这个单位检查很有用。如果你写出了 $B+h$ ，平方厘米和厘米根本不能相加，式子还没计算就已经暴露出问题。

直柱和斜柱都用垂直高

直棱柱的侧棱垂直于底面，看起来像端端正正地往上叠。斜棱柱像被从侧面推歪了，但只要底面积与垂直高不变，体积也不变。你可以把斜柱想成许多很薄的平行切片横向错开：每片没有变大或变小，只是换了位置。

更准确地说，我们使用卡瓦列里原理：两个立体夹在同一对平行平面之间；若对每一个高度，平行于底面的对应截面面积都相等，那么两立体体积相等。这条原理的严格证明要把截片细化并取极限，本章把它作为体积比较定理使用。用它把直柱“推斜”，每一层的截面积都还是 $B$ ，所以直柱和斜柱都使用 $Bh$ 。

斜圆柱也是同一个道理。把直圆柱的许多薄圆片逐层横向错开，就得到斜圆柱；圆片面积没有变，垂直总高度也没有变，因此体积仍是 $\pi r^2h$ 。

斜柱的侧棱通常比垂直高更长。体积公式中的 $h$ 是两个底面所在平面之间的垂直距离，不是顺着斜边量到的长度。

棱柱例题：先算底面，再乘柱高

一个三棱柱的底面是直角三角形，两条直角边分别是 $6\ \text{cm}$ 和 $8\ \text{cm}$ ；两个三角形底面之间的垂直距离是 $15\ \text{cm}$ 。

先算三角形底面积：

B=\frac12\times 6\times 8=24\ \text{cm}^2

再乘柱体的垂直高：

V=Bh=24\times 15=360\ \text{cm}^3

即使把这个棱柱推成斜棱柱，只要底面积仍是 $24\ \text{cm}^2$ 、垂直高仍是 $15\ \text{cm}$ ，体积仍为 $360\ \text{cm}^3$ 。

圆柱是圆形底面的柱体

半径为 $r$ 的圆，面积是 $\pi r^2$ 。把它代入 $V=Bh$ ：

V_{\text{圆柱}}=\pi r^2h

圆柱给直径时，要先除以 2 得到半径。比如一个圆柱形罐的内直径是 $8\ \text{cm}$ ，内部高是 $12\ \text{cm}$ ，那么 $r=4\ \text{cm}$ ：

V=\pi\times 4^2\times 12=192\pi\ \text{cm}^3\approx 603.2\ \text{mL}

这是内部几何体积。真实罐子如果有弧形顶底、罐壁和未装满的空间，标注容量会比这个数小。

锥体为什么是同底等高柱体的三分之一

装沙实验告诉我们该猜什么

准备一个圆柱容器和一个圆锥容器，让它们底面完全相同、垂直高也相同。用圆锥装满细沙，再倒进圆柱，连续三次会把圆柱填满。于是我们会猜：

V_{\text{圆锥}}=\frac13V_{\text{同底等高圆柱}}

同底等高的圆锥装满沙后连续倒三次，恰好装满一个圆柱的手绘实验图

同样的装填实验也能用棱柱和棱锥来做。这是非常好的直观，但它还不是数学证明。沙粒之间有空隙，容器有厚度，是否刮平也会影响实验读数。实验让我们发现稳定的关系，证明则要说明：不管尺寸怎样，只要同底等高，关系都必然成立。

三分之一是需要独立证明的体积定理

这里使用棱锥体积定理：底面积为 $B$ 、垂直高为 $h$ 的任意棱锥，体积为

V_{\text{棱锥}}=\frac13Bh

不能只说“三棱柱能切成三个棱锥”就算证明完了，因为切成三块以后，还必须独立证明三块体积相等。标准证明分两步：先沿恰当平面把三棱柱分成三个三棱锥，再用卡瓦列里原理比较这些棱锥在每一高度的截面积，证明它们等体积；最后把一般多边形底面三角剖分，各小棱锥有共同的垂直高，体积相加后底面积也加回 $B$ 。这条证明路线没有预先偷用 $\frac13Bh$ 。

斜棱锥也包含在定理中。顶点可以不在底面中心正上方，公式中的 $h$ 仍是顶点到底面所在平面的垂直距离。

圆锥可以看成底边越来越多的棱锥

在圆内作内接正多边形、圆外作外切正多边形，并以同一个圆锥顶点为顶点，可以得到一内一外两个多棱锥。圆锥体积被它们夹住；两者垂直高都是 $h$ ，底面积分别从小处和大处趋近 $\pi r^2$ 。由棱锥体积定理，两端体积都趋近 $\frac13\pi r^2h$ ，所以夹在中间的圆锥体积只能是：

V_{\text{圆锥}}=\frac13\pi r^2h

圆锥顶点在底面圆心的垂线上时叫直圆锥；顶点不在这条垂线上时叫斜圆锥。直圆锥和斜圆锥只要底面积与垂直高相同，对应高度处的截面积也相同，由卡瓦列里原理可知体积相同。基础题常画直圆锥，但“除以 3”和“用垂直高”并不只属于端正摆放的圆锥。

母线不直接进入体积公式

圆锥侧面从顶点到底面圆周的斜线叫母线，常记作 $l$ 。它会出现在圆锥侧面积里，却不直接出现在体积公式里。体积要的是垂直高 $h$ 。

斜棱柱和圆锥都用垂直高计算体积，圆锥母线不代入体积公式的手绘示意图

如果题目给的是直圆锥的半径 $r$ 和母线 $l$ ，先在轴截面中用勾股定理求高：

h=\sqrt{l^2-r^2}

例如，圆锥半径为 $5\ \text{cm}$ ，母线为 $13\ \text{cm}$ 。

轴截面里，半径、垂直高、母线组成直角三角形：

h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \text{cm}

把 $h=12\ \text{cm}$ 代入体积公式，而不是把 $13\ \text{cm}$ 当作高：

V=\frac13\pi\times 5^2\times 12=100\pi\ \text{cm}^3

近似值是 $314.2\ \text{cm}^3$ 。同底等高圆柱体积为 $300\pi\ \text{cm}^3$ ，正好是它的 3 倍，这也完成了一次关系检查。

“同底等高”缺一不可。两个锥体只有底面相同、高不同，体积不会相等；只有高相同、底面积不同，也不会相等。若比较的是圆柱与圆锥，三分之一关系还要求底面积和垂直高同时相同。

球的体积从许多小棱锥聚到球心

先得到一个有方向感的解释

球的体积公式不像长方体那样能直接靠整齐的小方块数出来。可以换一个角度：把球面分成很多非常小的面片，再把每个面片的边界都连到球心。球的内部就像被分成了许多尖端都在球心的小棱锥。

当面片足够小时，每个小棱锥的底面积就是那块小面片的面积，高接近球半径 $r$ 。把所有小棱锥的体积相加：

V\approx \frac13r\times \text{球的表面积}

上一章把球的表面积 $4\pi r^2$ 作为球面面积定理给出，代入后：

V\approx \frac13r\times 4\pi r^2=\frac43\pi r^3

随着面片越分越细，近似的多面体趋近于球，近似号也趋向精确等号：

V_{\text{球}}=\frac43\pi r^3

这段解释里最该留意的是“越来越细”。弯曲面片并不真是一个平面多边形，那些小块也不真是标准棱锥；严谨证明要借助极限。不过，它清楚说明了公式里的三分之一从哪里来，也说明了为什么球体积最后会含有 $r^3$ 。

用刚好套住球的圆柱检查数量级

半径为 $r$ 的球刚好放进一个半径为 $r$ 、高为 $2r$ 的圆柱。圆柱体积是：

V_{\text{圆柱}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3

球体积与这个圆柱的比是：

\frac{\frac43\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac23

所以球占外接圆柱体积的三分之二。这个关系很适合检查计算结果：球装在圆柱里面，体积当然应比圆柱小；如果你算出的球比外接圆柱还大，半径、直径或系数一定有地方用错了。

例题：从直径开始算球

一个球的直径是 $18\ \text{cm}$ 。求球的体积。

公式使用半径，所以先把直径除以 2：

r=18\div 2=9\ \text{cm}

代入球体积公式：

V=\frac43\pi\times 9^3=972\pi\ \text{cm}^3

取 $\pi\approx 3.1416$ ，得到：

V\approx 3053.6\ \text{cm}^3

也就是大约 $3.05\ \text{L}$ 。

半球体积是整球的一半：

V_{\text{半球}}=\frac23\pi r^3

别把“半球体积”与“半球表面积”混在一起。体积直接除以 2；表面积还要先问是否包括切开的圆形底面。

组合立体先认边界，再决定加减

拼起来就加，挖下去就减

组合体没有新公式。真正的难点是看清哪一部分属于目标，哪一部分是空气、孔洞或被切掉的材料。

一支理想化铅笔可以看成圆柱笔身加圆锥笔尖；一个上方恰好是半球的甜筒，可以看成圆锥加半球；空心水管则是外圆柱减去内圆柱。两个立体贴合处的公共截面没有厚度，体积为 0，不需要额外加一次或减一次。

计算前最好按这个顺序问：

求的是外轮廓、内部容量，还是材料本身？
哪些基本立体实际占据了空间？
各部分是否重叠？重叠体积有没有被重复计算？
挖空部分是否贯穿整个立体？它的高是否与外部立体相同？
图上的尺寸是半径、直径、垂直高，还是斜长？

例题：空心水管用了多少材料

一根水管外半径为 $5\ \text{cm}$ ，内半径为 $4\ \text{cm}$ ，长 $200\ \text{cm}$ 。求管壁材料体积。

把没有孔的整根外圆柱算出来：

V_{\text{外}}=\pi\times 5^2\times 200=5000\pi\ \text{cm}^3

内部孔洞贯穿全长，所以小圆柱的高也是 $200\ \text{cm}$ ：

V_{\text{内}}=\pi\times 4^2\times 200=3200\pi\ \text{cm}^3

用外圆柱减去内圆柱，并把相同部分提出来：

V_{\text{材料}}=\pi\times 200\times (5^2-4^2)=1800\pi\ \text{cm}^3

近似体积是 $5655\ \text{cm}^3$ ，约 $5.655\ \text{L}$ 。结果小于外圆柱的 $5000\pi\ \text{cm}^3$ ，且大于 0，加减方向合理。

外径和内径都给出时，可以直接使用两个直径的一半作半径。管壁厚度若为 $t$ ，应满足 $r=R-t$ ；不要把厚度从直径上只减一次，因为直径跨过左右两侧管壁。

相似立体把一次、平方和立方分开

相似要求所有对应长度按同一倍数变化

两个立体相似，意思是形状相同，所有对应长度都有同一个比。设从小立体到大立体的线性放大倍数为 $k$ 。长度变成原来的 $k$ 倍，底面积中的两个方向都放大，所以面积变成 $k^2$ 倍；体积中的三个方向都放大，所以体积变成 $k^3$ 倍：

\frac{L_2}{L_1}=k

\frac{S_2}{S_1}=k^2

\frac{V_2}{V_1}=k^3

这不是只对正方体有效。棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球只要确实相似，都遵守同样的平方、立方规律。

但“同类立体”不一定相似。任意两个球都相似，因为只需比较半径；任意两个正方体也相似。两个圆柱如果半径比是 $2:3$ 、高度比却是 $1:3$ ，比例不一致，就不相似，不能直接套 $k^3$ 。

为什么圆柱也会出现三次方

相似圆柱的半径和高都乘 $k$ ：

V'=\pi(kr)^2(kh)=k^3\pi r^2h=k^3V

相似圆锥同理，前面的 $\frac13$ 不改变倍数关系；球的半径乘 $k$ ，公式中的 $r^3$ 直接告诉我们体积乘 $k^3$ 。

例题：从体积比倒推长度比

两个相似棱锥的体积比为 $64:125$ 。求对应边长比和表面积比。

体积比是长度比的立方。因为：

64:125=4^3:5^3

所以对应边长比为 $4:5$ 。

表面积比是长度比的平方：

4^2:5^2=16:25

不要把 $64:125$ 直接开平方去求面积比。正确顺序是先开立方得到线性比，再平方得到面积比。

半径只翻一倍，球体积会翻八倍

球半径从 $r$ 变为 $2r$ ：

\frac{V'}{V}=\frac{\frac43\pi(2r)^3}{\frac43\pi r^3}=8

所以“长度看起来只大一点，容量却大很多”并不是错觉。线性尺寸变化会被三次方放大，这也是模型、储罐和包装尺寸设计中很容易低估的一步。

把体积放回真实问题里

密度题先让单位对上

密度是单位体积的质量：

\rho=\frac{m}{V}

因此：

m=\rho V

如果密度用 $\text{g/cm}^3$ ，体积就要用 $\text{cm}^3$ ，算出的质量才是克。继续用前面的钢管，若材料密度为 $7.85\ \text{g/cm}^3$ ：

m=7.85\times 1800\pi\approx 44\,391\ \text{g}\approx 44.4\ \text{kg}

量纲链条是：

\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\times \text{cm}^3=\text{g}

如果最后还留着 $\text{g}\cdot\text{cm}^3$ ，说明你把密度乘除方向写反了。

流量题是在算“每段水柱的体积”

截面积为 $A$ 的直水管中，若水以平均速度 $v$ 流动，一秒内通过的水可以看成一段长为 $v$ 的柱体。因此体积流量为：

Q=Av

圆管半径为 $r$ 时：

Q=\pi r^2v

这需要水管充满、截面不变，并把 $v$ 理解为截面上的平均流速。若半径是厘米、速度是厘米每秒，流量单位就是立方厘米每秒。

一根内半径 $3\ \text{cm}$ 的水管，平均流速为 $40\ \text{cm/s}$ 。每秒流量是：

Q=\pi\times 3^2\times 40=360\pi\ \text{cm}^3/\text{s}

每分钟通过的水量为：

360\pi\times 60=21\,600\pi\ \text{cm}^3\approx 67.9\ \text{L}

注满时间是容量除以流量

一个内部长 $2\ \text{m}$ 、宽 $1.5\ \text{m}$ 、高 $1.2\ \text{m}$ 的长方体水箱，内部体积是：

2\times 1.5\times 1.2=3.6\ \text{m}^3=3600\ \text{L}

若从空箱开始，以稳定的 $500\ \text{L/h}$ 注水：

t=\frac{3600\ \text{L}}{500\ \text{L/h}}=7.2\ \text{h}

也就是 7 小时 12 分钟。若流量会变、箱内原本有水或题目要求保留安全余量，就不能直接拿总容量除以标称流量。

装填数量不总等于总体积相除

用容器体积除以单件体积，只能给出“忽略缝隙时的理论上限”。球、圆柱罐和形状不规则的物品摆在一起会留下空隙，实际数量通常更少。即使装的是小正方体，也要检查容器三条边分别能排下几个，而不是只看总体积商。

例如内尺寸为 $50\ \text{cm}\times 32\ \text{cm}\times 25\ \text{cm}$ 的箱子，要把棱长 $6\ \text{cm}$ 的小正方体与箱边平行地整齐码放。三个方向分别只能排：

\left\lfloor\frac{50}{6}\right\rfloor=8,\quad \left\lfloor\frac{32}{6}\right\rfloor=5,\quad \left\lfloor\frac{25}{6}\right\rfloor=4

符号 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，也就是把放不下一个完整正方体的余量舍去。

所以能整齐码放：

8\times 5\times 4=160\ \text{个}

若只用总体积相除，会得到约 185 个，那个数字忽略了每个方向放不下整块的余量，不能当成实际答案。

公式是一张地图，不是代入清单

立体	体积	使用前先确认
长方体	$V=lwh$	三个尺寸是否统一单位，是否为内部尺寸
正方体	$V=a^3$	给的是棱长还是面对角线、体对角线
棱柱	$V=Bh$	$B$ 是底面积， $h$ 是垂直高
圆柱	$V=\pi r^2h$	给的是半径还是直径
棱锥	$V=\frac13Bh$	是否同底等高，是否漏除以 3
圆锥	$V=\frac13\pi r^2h$	$h$ 是垂直高，不是母线
球	$V=\frac43\pi r^3$	给的是半径还是直径

做题时可以固定走四步：先画清边界并判断加减；再统一长度单位；接着算底面积或半径；最后代入体积公式，并用立方单位、正负和数量级检查答案。

最可靠的自检不是“我好像背过这个公式”，而是问三件事：底面积算对了吗？用的是垂直高吗？面积单位乘长度单位后，答案是不是立方单位？

课后练习

练习 1：把 $0.035\ \text{m}^3$ 分别换算成立方厘米和升。

练习 2：量筒中原有 $120\ \text{mL}$ 水，一个金属零件完全浸没后读数为 $167.5\ \text{mL}$ 。零件体积是多少？还应检查哪些实验条件？

练习 3：一个斜棱柱的底面积为 $42\ \text{cm}^2$ ，侧棱长 $13\ \text{cm}$ ，两个底面之间的垂直距离为 $11\ \text{cm}$ 。求体积。

练习 4：一个圆柱的底面直径为 $10\ \text{cm}$ ，高为 $18\ \text{cm}$ 。求体积，结果保留 $\pi$ 。

练习 5：一个圆锥与一个圆柱同底等高，底面半径为 $6\ \text{cm}$ ，高为 $10\ \text{cm}$ 。分别求体积。

练习 6：一个直圆锥的半径为 $5\ \text{cm}$ ，母线为 $13\ \text{cm}$ 。求体积。

练习 7：一个球的直径为 $12\ \text{cm}$ 。求整球和半球的体积，结果保留 $\pi$ 。

练习 8：一个胶囊形立体由高 $10\ \text{cm}$ 、半径 $2\ \text{cm}$ 的圆柱和两端两个半球组成。求总体积。

练习 9：一个空心正方体的外棱长为 $12\ \text{cm}$ ，内部空腔也是正方体，棱长为 $10\ \text{cm}$ 。求材料体积。

练习 10：两个相似立体的对应边长比为 $3:7$ 。求表面积比和体积比。

练习 11：两个相似棱锥的体积比为 $8:27$ 。求对应边长比和表面积比。

练习 12：一根充满水的圆管内半径为 $2\ \text{cm}$ ，水的平均流速为 $50\ \text{cm/s}$ 。每分钟流过多少升水？取 $\pi\approx 3.1416$ 。

练习 13：一根实心圆柱金属棒半径为 $1.2\ \text{cm}$ ，长 $50\ \text{cm}$ ，材料密度为 $7.8\ \text{g/cm}^3$ 。求质量。

练习 14：一个封闭长方体容器的外部长、宽、高分别为 $30\ \text{cm}$ 、 $20\ \text{cm}$ 、 $15\ \text{cm}$ ，各处壁厚均为 $1\ \text{cm}$ 。忽略圆角，求内部容量。

每个方向都有两侧壁，所以内部尺寸都要减去 $2\ \text{cm}$ ：

28\ \text{cm}\times 18\ \text{cm}\times 13\ \text{cm}

内部体积是：

V=28\times 18\times 13=6552\ \text{cm}^3=6.552\ \text{L}

若用外部尺寸直接相乘，会把容器壁占据的空间也算进容量。

从体积走向几何变换

这一章真正串起来的是三个动作：用单位立方体量空间，用平行截面理解公式，再用加减和比例处理复杂情形。柱体的每层不变，所以是 $Bh$ ；锥体逐渐收向顶点，所以是同底等高柱体的三分之一；球可以由越来越细的小棱锥逼近，所以得到 $\frac43\pi r^3$ 。单位、边界和垂直高，是每一步都不能省的检查。

下一章进入平面几何变换后，我们会换一种方式观察图形。平移、旋转和反射只改变位置或朝向，不改变长度与面积；平面缩放则把长度和面积分别按 $|k|$ 、 $k^2$ 改变。本章见过的“长度按比例变化会带来更高次的度量变化”，会成为理解缩放的一把现成钥匙；体积按 $|k|^3$ 变化则是它在三维空间中的对应规律。