三角形

上一章里，我们认识了角，也学会了用平行线搬运角。现在把三条线段首尾接起来，这些知识终于有了一个能反复施展的舞台：三角形。

三角形看着简单，真正有意思的地方却不是“它有三条边”。我们要问的是：怎样的三条边才能封口？为什么三个内角总是 $180°$？只知道几条边、几个角，什么时候足以锁定整个三角形？这些问题不能靠量一量、看一看来回答，因为图可能画歪，测量也总有误差。我们需要把结论一层一层证明出来。

这也是几何学习的一次转折。以前算出一个数就结束了；从这里开始，你还要说明每一步凭什么成立。先别怕“证明”这两个字。证明不是故意把显然的事说复杂，而是把一条可以复查、可以重复使用、不会被示意图欺骗的推理链搭起来。

三条线段怎样成为一个三角形

在同一平面内取三个不共线的点 $A$、$B$、$C$，再连接 $AB$、$BC$、$CA$。三条线段首尾相接，围成的图形叫作三角形，记作 $\triangle ABC$。

“不共线”这三个字不能省。如果三个点排在同一条直线上，三条线段只会叠在一起，围不出内部区域。这样的图形可以看作被压扁到极限的三角形，但它不是我们这一章讨论的普通三角形。

其中 $A$、$B$、$C$ 是三个顶点，$AB$、$BC$、$CA$ 是三条边，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 是三个内角。三角形的名字还暗含着一个顺序：写 $\triangle ABC$，就是沿着边从 $A$ 走到 $B$，再走到 $C$。以后写全等或相似关系时，这个顺序会直接告诉我们哪些顶点互相对应。

为了少写几个字母，常把 $\angle A$ 对面的边 $BC$ 记作 $a$，把 $\angle B$ 对面的边 $CA$ 记作 $b$，把 $\angle C$ 对面的边 $AB$ 记作 $c$。要记的是“角与它对面的边配对”，不是机械背字母。

三条边为什么必须满足不等式

给你三根长度分别为 $3$、$4$、$15$ 厘米的小棍，把最长的一根平放。另两根就算从两端同时向中间伸，也只能合起来够到 $7$ 厘米，两个自由端还隔着很远。问题不在于摆放技巧，而在于它们根本没有足够的长度封口。

这背后用到的是一个很朴素的事实：两点之间，线段最短。从 $A$ 绕道 $B$ 再走到 $C$，路程 $AB+BC$ 一定比直接从 $A$ 走到 $C$ 的线段 $AC$ 更长。因此，任何三角形都满足：

换一条边当“直达路线”，还会得到另外两条不等式。

上面证明了“能围成三角形，就必须满足不等式”。反过来也成立。先画长为 $c$ 的线段 $AB$，再分别以 $A$、$B$ 为圆心，以 $b$、$a$ 为半径画圆。三个不等式等价于 $|a-b|<c<a+b$，它保证两圆有两个交点。取任一交点作 $C$，就有 $AC=b$、$BC=a$，因而三条线段确实能围成非退化三角形。这补上了“当且仅当”的反方向。

如果已经把三边排成 $x\le y\le z$，只检查 $x+y>z$ 就够了。因为最长边是最难被另外两边“够到”的那一条；至于 $x+z>y$ 和 $y+z>x$，有 $z\ge y\ge x>0$ 就一定成立。

三角不等式还有一种常用写法。由 $b+c>a$ 与 $a+c>b$ 分别移项，可以得到 $c>a-b$ 和 $c>b-a$，于是 $c>|a-b|$；再把 $a+b>c$ 写成 $c<a+b$，合起来就是：

这句话适合处理“已知两边，第三边能取多长”的题。第三边既不能长到超过另外两边之和，也不能短到不够填平另外两边的长度差。

例题：第三边的取值范围

一个三角形的两边长分别为 $7$ 和 $12$，第三边长为整数 $x$。$x$ 可以取哪些值？

两套分类可以同时使用

按边长看，三边都不相等的是不等边三角形；至少有两边相等的是等腰三角形；三边都相等的是等边三角形。按照“至少有两边相等”的定义，等边三角形其实是等腰三角形的特殊情形。

按角看，三个角都小于 $90°$ 的是锐角三角形；有一个角等于 $90°$ 的是直角三角形；有一个角大于 $90°$ 的是钝角三角形。直角三角形中，直角对面的边叫斜边，夹着直角的两条边叫直角边。

这两套分类互不冲突。一只三角形可以同时被叫作“等腰直角三角形”，前半句描述边，后半句描述角。等边三角形的三个角都是 $60°$，所以它一定也是锐角三角形。

三个内角为什么正好是一百八十度

把一个纸三角形的三个角剪下来，角尖对着同一点拼一拼，它们确实会排成一条直线。这个实验很有说服力，却还不是证明：剪裁会有误差，而且我们不可能剪遍所有三角形。

上一章的平行线恰好给了我们一条不依赖测量的路。设有 $\triangle ABC$。过顶点 $A$ 作直线 $l$，使 $l\parallel BC$。为什么偏偏在这里画平行线？因为我们想把 $\angle B$ 和 $\angle C$ 搬到 $\angle A$ 身边，而平行线被 $AB$、$AC$ 截过后，正好能产生与它们相等的内错角。

设直线 $l$ 在 $\angle A$ 左右形成的两个角分别是 $\angle 1$、$\angle 2$。由平行线性质：

直线 $l$ 上方的 $\angle 1$、$\angle A$、$\angle 2$ 首尾相接，组成一个平角，所以：

把 $\angle 1$、$\angle 2$ 换回与它们相等的 $\angle B$、$\angle C$，便得到：

这就是三角形内角和定理。辅助线不是凭空冒出来的装饰，它是为了完成一次明确的“搬角”：把三个分散的角放到同一条直线上比较。

无论测量或拖动多少个三角形，都只能积累例子；上面的平行线证明才一次覆盖了所有欧氏平面中的非退化三角形。

外角把两个远处的内角合在一起

把 $BC$ 经过 $C$ 延长到 $D$，$\angle ACD$ 叫作 $\triangle ABC$ 在顶点 $C$ 处的一个外角。它和相邻的内角 $\angle ACB$ 组成平角，因此：

另一方面，三角形内角和给出：

两式右边相同，再减去共同的 $\angle ACB$，得到外角定理：

$\angle A$ 和 $\angle B$ 不挨着这个外角，常叫它的两个不相邻内角。因为三角形内角都大于 $0°$，外角是两个不相邻内角之和，所以它一定大于其中任何一个。

例题：把外角和内角和串起来

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=48°$，$\angle B=67°$，延长 $BC$ 到 $D$。求 $\angle C$ 和 $\angle ACD$。

内角和还立刻告诉我们：三角形里最多只有一个直角或钝角；直角三角形的两个锐角之和是 $90°$；如果两个三角形已经有两组对应角相等，那么第三组对应角也一定相等。这最后一句会在全等和相似中反复出现。

全等把整个图形锁定下来

两个三角形能够经过平移、旋转或翻折后完全重合，就说它们全等。全等既要求形状相同，也要求大小相同。

如果写：

字母顺序表示 $A\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow E$、$C\leftrightarrow F$。因此对应边是 $AB$ 与 $DE$、$BC$ 与 $EF$、$CA$ 与 $FD$。顺序写错，后面即使算对了，也可能把不对应的边硬凑在一起。

按定义，要确认全等似乎得检查三组边和三组角，一共六组关系。三角形的特殊之处是，只要某些关键条件相等，其余部分就被迫确定。下面五种判定就是常用的“最少信息包”。

边边边

若三个对应边分别相等，两个三角形全等，简称 SSS。

想象先固定一条边 $AB$。第三个顶点 $C$ 既要离 $A$ 某个固定距离，又要离 $B$ 某个固定距离，所以它必须落在两个定圆的交点上。交点至多有上下两个，而上下两个位置互为翻折，得到的三角形仍然全等。三条边一旦定下，角没有继续变化的余地。

边角边

若两组对应边相等，并且这两边的夹角相等，两个三角形全等，简称 SAS。

“夹角”是关键。两根固定长度的杆像铰链一样张开时，开口不同，第三条边就不同；把铰链张开的角也固定，第三个顶点才被锁住。等腰三角形底角定理的证明用的正是 SAS。

角边角与角角边

若两组对应角相等，并且两角之间的夹边相等，两个三角形全等，简称 ASA。

若两组对应角相等，并且一组对应的非夹边相等，两个三角形也全等，简称 AAS。它为什么不用另立一套完全不同的道理？因为两角相等时，第三角由内角和自动相等；原来的“非夹边”换个角度看，就成了另两角之间的夹边，于是可以归入 ASA。

斜边直角边

对两个直角三角形，若斜边和一组对应直角边分别相等，两个三角形全等，简称 HL。

HL 只允许在已经确定为直角三角形的前提下使用。普通三角形里，“一条较长边和一条别的边相等”不能冒充斜边、直角边条件。

为什么 AAA 不能判定全等

拿一张三角形图片等比例放大。三个角完全没变，三条边却都变长了。三个角只锁定形状，没有锁定尺寸，所以 AAA 通常只能得到相似，不能得到全等。

为什么 SSA 通常也不够

固定 $\angle A=30°$，在一条角边上取 $AC=8$。再要求 $BC=5$，相当于让点 $B$ 同时落在另一条角边上，并落在“以 $C$ 为圆心、半径为 $5$”的圆上。这个圆可能与那条射线相交两次，于是会出现两个不同位置的 $B$。它们有相同的一个角、相同的两条边，却是两个不同的三角形。

问题就出在给出的角不是两条已知边的夹角，活动的一边还可能向内摆或向外摆。SSA 有时碰巧只有一个解，有时没有解，有时有两个解，所以它不是一般的全等判定。HL 是其中一个额外加入“两个都是直角三角形”后才可靠的特殊情形。

例题：从条件中选判定

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DCE$ 中，已知 $AC=DC$，$BC=EC$，并且 $\angle ACB=\angle DCE$。证明 $AB=DE$。

稳定性是直观，SSS 才是理由

用三根长度固定的木条在端点铰接成三角形，它不能在不改变边长的前提下随意歪斜；用四根木条围成四边形，却常能推成不同形状。在四边形中补一根对角撑杆，相当于把它拆成两个三角形，结构会更难变形。

这个小实验解释了“三角形稳定性”的直觉，也提醒我们工程结构为何常见三角支撑。但在几何证明中，不能写“因为三角形很稳定，所以这两个三角形全等”。真正可用的逻辑是：三组对应边相等，所以由 SSS 得到全等。现实结构还受材料弯曲、接头松动和受力方式影响，几何模型只是其中的一层。

等腰三角形怎样把对称变成定理

在 $\triangle ABC$ 中，若 $AB=AC$，那么它是以 $BC$ 为底边的等腰三角形。$AB$、$AC$ 叫腰，$\angle A$ 叫顶角，$\angle B$、$\angle C$ 叫底角。

图形看上去左右对称，于是我们很想直接说 $\angle B=\angle C$。但“看上去对称”仍然不是理由。要把这份直觉变成结论，可以从顶点 $A$ 作 $\angle A$ 的角平分线，交 $BC$ 于 $D$。

为什么选角平分线？我们想比较 $\angle B$ 和 $\angle C$，最自然的办法是把原三角形切成两个三角形，再设法证明它们全等。已有的 $AB=AC$ 提供一组边，公共边 $AD$ 提供第二组边，角平分线恰好补上两边之间的一组相等角：

因此 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 由“边—角—边”全等。全等三角形的对应角相等，于是：

这条结论叫作等腰三角形底角定理，也常说“等边对等角”。

全等还送给我们两个结论：$BD=DC$，并且 $\angle ADB=\angle ADC$。后面这两个角又组成平角，所以它们都是 $90°$。原本只规定为角平分线的 $AD$，同时成了底边上的中线和高。

逆命题也成立

把“等边对等角”反过来问：如果 $\angle B=\angle C$，是否一定有 $AB=AC$？答案是肯定的，但不能因为原命题成立就自动认定逆命题成立。比如“下雨会让地面湿”的逆命题“地面湿就一定下了雨”显然不可靠。逆命题要单独证明。

仍从 $A$ 作角平分线 $AD$。现在两个小三角形满足：

它们由“角—角—边”全等，于是对应边 $AB=AC$。因此：

左推右是“等角对等边”，右推左是“等边对等角”。做题时先看条件给的是边还是角，再决定使用哪个方向。

等边与等角其实是一回事

若三边都相等，连续使用“等边对等角”，可知三个角相等。再结合内角和：

反过来，若三个角都相等，使用“等角对等边”，三边也都相等。所以对三角形而言，“等边”和“三个角都是 $60°$”是等价的描述。

例题：等腰三角形里的辅助线

在等腰三角形 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，顶角 $\angle A=40°$，$D$ 是 $BC$ 的中点。求 $\angle B$、$\angle BAD$ 和 $\angle ADB$。

三角形里的特殊线和中心

一条线段画进三角形里，不能只凭它“大概从顶点伸向对边”就给它起名字。名字取决于它满足的条件。

中线、高、角平分线和垂直平分线

从顶点连到对边中点的线段叫中线。若 $D$ 是 $BC$ 的中点，那么 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的一条中线，它保证的是 $BD=DC$。

从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫高。若 $AD\perp BC$，那么 $AD$ 是 $BC$ 边上的高。钝角三角形的某些高会落在三角形外面，此时要先延长对边，不能因为“高跑出去了”就认为画错。

把一个顶角分成两个相等角的射线，在三角形内部截出的一段叫角平分线。若 $\angle BAD=\angle DAC$，那么 $AD$ 是 $\angle A$ 的角平分线。它管的是角相等，并不自动保证 $BD=DC$。

一条边的垂直平分线经过这条边的中点，并且与它垂直。它通常不经过三角形顶点，因此和“高”不是同一个概念。点 $P$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上，当且仅当 $PB=PC$。这个结论可以用两个直角三角形全等来证明。

为什么三条同类线会交在一点

三角形有三条中线，它们交于重心。重心总在三角形内部，并把每条中线按“靠顶点的一段 : 靠边中点的一段 $=2:1$”分开。一个简短的坐标验算可以把共点说清：若三顶点坐标为 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$，则

在从每个顶点到对边中点的线段上，而且都按 $2:1$ 分点，所以三条中线必然交在同一个 $G$ 上。纸片平衡实验只是这个定理的直观图像。

三条内角平分线交于内心。内心到三条边的垂直距离相等，所以以它为圆心、以这个共同距离为半径，可以画出与三边都相切的内切圆。这里的“到边的距离”必须沿垂线量，不能随便连一条斜线。

三边的垂直平分线交于外心。外心到三个顶点的距离相等，所以以它为圆心、到任一顶点的距离为半径，可以画出经过三个顶点的外接圆。锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在外部。

三条高所在的直线交于垂心。锐角三角形的垂心在内部；直角三角形的两条直角边本身就是高，所以垂心在直角顶点；钝角三角形要延长边才能看到三条高相交，垂心在外部。

这些交点不是靠图“碰巧撞在一起”。先补一条会用到的结论：在一个角的内部，一点到两边的垂直距离相等，当且仅当它在该角的内角平分线上。从点向两边作垂线，比较共用角平分线那段斜边的两个直角三角形，用 HL 就能证明这个双向结论。

现在让前两条内角平分线交于三角形内的 $I$。由第一条平分线，$I$ 到 $AB$、$AC$ 等距；由第二条，$I$ 到 $AB$、$BC$ 等距。因此 $I$ 到 $AC$、$BC$ 也等距。又因为 $I$ 在 $\angle C$ 内部，刚证的反方向保证 $I$ 在 $\angle C$ 的内角平分线上。这才证明三条内角平分线共点。

外心的证明同样是一条距离链：前两条边的垂直平分线交于 $O$，依次得到 $OA=OB$ 与 $OB=OC$，所以 $OA=OC$，线段垂直平分线的逆定理保证 $O$ 也在 $AC$ 的垂直平分线上。

垂心也能做一次坐标对账。把 $B=(0,0)$、$C=(c,0)$、$A=(u,v)$，其中 $v\ne0$。从 $A$ 出发的高是 $x=u$；从 $B$ 出发的高斜率为 $-(u-c)/v$，两高的交点 $H$ 满足 $y=-u(u-c)/v$。于是 $CH$ 的斜率为 $-u/v$，它与 $AB$ 的斜率 $v/u$ 互为负倒数，所以 $CH\perp AB$。第三条高也经过 $H$。遇到竖直边时换用水平、竖直关系核对，结论不变。

例题：认清线，中心才不会认错

在 $\triangle ABC$ 中，三条边的垂直平分线交于点 $O$。已知 $OA=7$，求 $OB$、$OC$。若 $\triangle ABC$ 是直角三角形，斜边 $AB=14$，点 $O$ 在哪里？

相似让形状留下，尺寸改变

全等要求同形同大，相似只要求形状相同。更准确地说，两个三角形相似，意味着对应角分别相等，并且对应边成同一比例。

若：

那么对应关系是 $A\leftrightarrow D$、$B\leftrightarrow E$、$C\leftrightarrow F$，并且：

这个共同的比叫相似比或缩放因子。比值的方向要统一：若第一项都写 $\triangle ABC$ 的边，第二项就都写 $\triangle DEF$ 的对应边，不能一会儿“大比小”，一会儿“小比大”。

两个角就够了

判断两个三角形相似，最常用的是 AA：只要两组对应角相等，两个三角形就相似。

为什么不用检查第三个角？因为三角形内角和都是 $180°$，两组角已经相等，剩下的一组也必然相等。为什么三个角相等能够锁定三角形的形状，却锁不定大小？因为你还可以把所有边同时放大同一个倍数，角度不会改变。

平行线是制造 AA 的常用工具。如果在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上，并且 $DE\parallel BC$，那么 $\angle ADE=\angle B$、$\angle AED=\angle C$。于是：

随之得到：

这条推理链值得记住：看见平行线，先找相等角；有两组相等角，先证相似；证明相似后，再放心地列对应边比例。不要一看图形长得像，就直接列比例。

例题：用影长测高度

同一时刻，一根竖直标杆高 $1.5$ 米，影长 $2$ 米；一棵树的影长 $8$ 米。假设地面水平、太阳光线彼此平行，求树高。

这里最关键的不是交叉相乘，而是先说明两个三角形为什么相似，并把对应边排对。没有“同一时刻、光线平行、物体竖直、地面水平”这些条件，两个角未必对应相等，比例也就失去根据。

勾股定理怎样从相似中长出来

在直角三角形中，设两条直角边长为 $a$、$b$，斜边长为 $c$。勾股定理说：

公式不难记，难的是别把 $c$ 随便安在某一条边上。$c$ 必须是直角对面的斜边，也是直角三角形的最长边。

为什么平方和会出现

设 $\triangle ABC$ 在 $C$ 处为直角，$BC=a$、$CA=b$、$AB=c$。从直角顶点 $C$ 向斜边 $AB$ 作高 $CD$，并设 $AD=m$、$DB=n$。

为什么要向斜边作这条高？它把一个直角三角形切成两个更小的直角三角形。每个小三角形除了有一个直角，还与原三角形共用一个锐角，因此三个三角形两两由 AA 相似。我们正需要相似带来的比例，把边长的平方和斜边上的两段联系起来。

由 $\triangle ACD\sim\triangle ABC$，可列出：

所以：

由 $\triangle CBD\sim\triangle ABC$，同理得到：

所以：

两式相加：

而 $m+n=AD+DB=AB=c$，于是：

这次辅助线的目的也很明确：制造相似三角形，再把两条直角边的平方分别改写成“斜边乘投影”，最后相加。

逆定理把边长关系变成直角

勾股定理说“直角三角形一定满足平方关系”。反过来，如果一个三角形的三边 $a\le b\le c$ 满足：

那么这个三角形一定是直角三角形，且 $c$ 对面的角是直角。这叫勾股定理的逆定理。

证明也能接在我们已有的工具上。另作一个以 $a$、$b$ 为直角边的直角三角形，设它的斜边为 $d$。由勾股定理：

长度为正，所以 $d=c$。新作的直角三角形与原三角形三边分别相等，由 SSS 全等。原三角形中 $a$、$b$ 的夹角便与新三角形的直角对应相等，所以也是 $90°$。

注意这不是把定理“倒过来读”就算证明，而是先造出一个确定的直角三角形，再借勾股定理和 SSS 把原三角形拉过去比较。

例题：求边和判直角是两个方向

一个直角三角形的斜边长 $13$，一条直角边长 $5$，求另一条直角边。

另有一个三角形三边长为 $8$、$15$、$17$。题目没有说它是直角三角形，这时使用的是逆定理。先找最长边 $17$，再检查：

所以它是直角三角形，直角在长度为 $17$ 的边的对面。

目前我们已经严格建立的是等号情形：三边排成 $a\le b\le c$ 且 $a^2+b^2=c^2$ 时，三角形是直角三角形。用平方关系进一步区分锐角和钝角，还需要余弦定理或等价的“勾股不等式”，本课程没有在这里偷用它。无论做哪种边长判断，都要先确认三条边满足三角不等式，否则连三角形都不存在。

把整条证明链用起来

一道几何题很少在题面上写着“请使用 SAS”或者“现在该画平行线”。真正要练的是从目标倒推：缺角，就想内角和或平行线；要证明边相等，就想等角对等边或先证全等；出现成比例的长度，就先找相似；直角三角形中出现两条已知边，就检查能否用勾股。

例题：从角平分线走到边相等

在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 平分 $\angle A$，$D$ 在 $BC$ 上，且 $\angle ADB=\angle ADC$。证明 $AB=AC$。

例题：平行线制造相似，再求长度

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上，且 $DE\parallel BC$。已知 $AD=6$、$AB=10$、$DE=9$，求 $BC$。

例题：等腰、勾股和面积连用

一个等腰三角形的两腰长都是 $13$，底边长 $10$，求它的高和面积。

这道题里，那条高不是为了“图上多一条线”，而是为了同时得到底边中点和直角，从而把等腰三角形变成两个可以使用勾股定理的直角三角形。

练习

练习一：长度为 $4$、$9$、$x$ 的三条线段能围成三角形。若 $x$ 是整数，它有哪些可能值？

练习二：$\triangle ABC$ 中，$\angle A:\angle B:\angle C=2:3:7$。求三个角，并按角分类。

练习三：$\triangle ABC$ 的边 $BC$ 延长到 $D$，$\angle A=72°$，$\angle B=38°$。求外角 $\angle ACD$。

练习四：等腰三角形的一个底角是 $52°$。求顶角。

练习五：判断下列条件分别可以使用哪一种全等判定。

甲：三组对应边相等。乙：两组对应角和它们的夹边相等。丙：两个直角三角形的斜边和一条对应直角边相等。丁：两组对应边和其中一边的对角相等。

练习六：为什么“三个角分别相等”不能推出两个三角形全等？它能推出什么？

练习七：$\triangle ABC\cong\triangle PQR$。已知 $AB=6$、$BC=8$、$CA=9$，写出 $PQ$、$QR$、$RP$ 的长度。

练习八：三角形的一条中线长 $15$，重心把它分成两段。求顶点到重心的距离以及重心到对边中点的距离。

练习九：点 $P$ 到线段 $AB$ 两端点的距离相等，即 $PA=PB$。点 $P$ 必在线段 $AB$ 的哪条特殊直线上？

练习十：两个相似三角形的相似比为 $3:5$。较小三角形的一条边长 $12$，它在较大三角形中的对应边多长？

练习十一：三边长分别为 $7$、$24$、$25$ 的三角形是不是直角三角形？

练习十二：一个等边三角形边长为 $8$。求它的高。

接下来用三角形读懂四边形

走到这里，三角形的主线已经连起来了：平行线帮助我们证明内角和；内角和支撑外角、AAS 和 AA；全等把局部条件扩展成整组边角关系；相似把角的关系变成边的比例；直角三角形里的相似又推出勾股定理。

下一章研究四边形时，这些工具不会被收起来。相反，我们常会画一条对角线，把一个四边形拆成两个三角形。平行四边形的对边为什么相等，矩形的对角线为什么相等，菱形的对角线为什么平分角，许多证明都从“先找到两个三角形”开始。三角形不是多边形家族里最小的一员而已，它还是后面拆图和证明的基本单位。