多边形与对称

上一章讲圆时，我们见过一种很有意思的办法：在圆里画正六边形、正十二边形、正二十四边形……边数越多，多边形的边界就越贴近圆周。圆没有顶点，多边形却全是顶点；它们看起来完全不同，却能靠“不断增加边数”慢慢靠近。

这一章就把镜头转向这些由线段围成的图形。我们先弄清边、角和对角线怎么数，再研究一种更像“图形指纹”的性质：有些图形折一下还能重合，有些图形转一下还能重合。

这两条线最后会接到一起。正多边形的角之所以整齐，它的对称也一定整齐；而我们把多边形切成三角形的办法，下一章计算周长和面积时还会继续用。

多边形先是一条不打结的封闭边界

拿几根木条在桌面上首尾相接，最后一根再接回第一根，只要没有留下缺口，也没有让木条从中间互相穿过去，就围出了一条简单的多边形边界。

数学里说得更严密一些：简单多边形是由至少三条非零线段依次连接而成的平面封闭图形。相邻线段只在共同端点相交，不相邻线段彼此不相交；本课程还约定相邻两边不共线，排除把同一条直边硬拆成几段的退化写法。

这句话里每个条件都有用：

• 边必须是线段。只要边界含有圆弧或别的曲线，就不是多边形。
• 边界必须封闭。最后一个端点接不回起点，图形就没有围出内部。
• 图形必须在同一个平面内。立体框架不是平面多边形。
• 简单多边形的边界不能自交。两条不相邻的边从中间交叉，会把“里面是哪一块”这件事弄复杂。

边、顶点、角和对角线

把一个多边形依次记作 $A_1A_2\cdots A_n$，它有 $n$ 条边，也有 $n$ 个顶点。

• 边是组成边界的每一条线段，例如 $A_1A_2$。
• 顶点是相邻两条边共同的端点，例如 $A_2$。
• 内角是两条相邻边在多边形内部形成的角。
• 外角是在顶点处延长一条边后，与相邻边形成的外侧角。本章谈外角和时，会沿同一方向每个顶点只取一个。
• 对角线连接两个不相邻的顶点，例如五边形中的 $A_1A_3$。

“不相邻”不能漏掉。$A_1A_2$ 已经是边，不是对角线；$A_1$ 也不能和自己连出对角线。

按边数命名

数边和数顶点会得到同一个数。图形画得很密时，逐个数顶点常常比沿着边数更不容易重复。

凸多边形和凹多边形

“看起来鼓不鼓”只能当第一眼印象，真正稳妥的判断要看线段。

如果多边形内任意两点的连线段都不会跑到图形外面，这个多边形是凸多边形。只检查顶点也可以：凸多边形的任意一条对角线都在图形内部或边界上，而且每个内角都小于 $180^\circ$。

如果能找到两个内部点，使它们的连线有一段跑到外面，这个多边形是凹多边形。对没有退化直边的简单多边形来说，凹多边形至少有一个大于 $180^\circ$ 的内角；从某些顶点连出的对角线也会穿到图形外面。

注意，凹和自交不是同一回事。凹多边形只是往里陷了一块，边界仍然不打结；自交图形则是两条不相邻的边真的交叉了。

先做一次边界检查

判断下面四种图形是不是简单多边形：

1. 三条线段围成但留有一个小缺口。
2. 四条线段首尾相接围成的普通四边形。
3. 一条边是半圆弧的封闭图形。
4. 五条线段一笔画成、内部交叉的五芒星。

内角和来自一次有目的的切分

三角形的内角和是 $180^\circ$。多边形边数再多，只要能把它不重不漏地切成三角形，内角和就能交给三角形来算。

凸多边形的扇形剖分

先看凸 $n$ 边形 $A_1A_2\cdots A_n$。从顶点 $A_1$ 向所有不相邻顶点连对角线：

这些对角线都在凸多边形内部，彼此也不会交叉。它们把原图分成下面这些三角形：

一共会得到 $n-2$ 个三角形。所有小三角形没有重叠，也没有漏掉原多边形的一块；它们的角重新拼起来，正好就是原多边形的全部内角。因此：

这就是 $n$ 边形内角和公式。公式里的 $n-2$ 不是突然冒出来的，它数的是切出来的三角形个数。

凹多边形为什么也适用

凹多边形不能保证“任选一个顶点，再向所有不相邻顶点连线”都留在内部。要是从凹口附近乱连，有些线会跑到图形外面，这样就不能把图形解释成那些三角形的并集。

正确做法是只画完全落在内部的对角线，每画一条，就把一个多边形分成两个更小的简单多边形，再继续切。这里要用到一个独立结果，叫简单多边形三角剖分定理：任何简单多边形都至少有一条内部对角线，并能最终剖分成三角形。它的完整证明通常用“简单多边形一定有一个耳朵”来做归纳，本章把它作为已经建立的剖分工具。

设剖分共画了 $d$ 条内部对角线，得到 $t$ 个三角形。每加一条对角线，区域数增加 1，所以 $t=d+1$。再数所有小三角形的边：一共有 $3t$ 次；原多边形的 $n$ 条外边各数一次，$d$ 条内部对角线各被相邻两个三角形数两次，因此

把 $d=t-1$ 代入，得到 $3t=n+2t-2$，也就是 $t=n-2$。所以凹多边形的内角和也一样：

真正需要守住的条件是“简单多边形”。自交图形没有这种普通的内部剖分，不能不加说明就套这个公式。

为什么证明比看图可靠

把一个六边形画得很扁，有的角可能看着接近一条直线；把它画得很凹，有的角甚至会大过 $180^\circ$。但只要边界仍然是简单六边形，它总能切成四个三角形，内角和就一定是 $720^\circ$。

图形的样子可以变，三角形的数量没有变。证明抓住的正是这个不随画法改变的结构。

例题：一个凹七边形的未知内角

一个凹七边形的六个内角分别是 $110^\circ$、$125^\circ$、$140^\circ$、$95^\circ$、$130^\circ$、$220^\circ$，求最后一个内角。

外角和是走一圈留下的总转向

外角最适合用“沿边界走路”来理解。

想象你沿着一个凸多边形逆时针走。走完一条边，到顶点时，为了对准下一条边，你要向左转一个角。这个转过的角，就是那个顶点处与内角组成平角的外角。

如果内角是 $\alpha_i$，对应外角是 $e_i$，那么：

走完全部 $n$ 条边回到起点时，不只是位置回来了，朝向也恰好转过一整圈。因此：

这就是外角和不随边数改变的原因。三角形每次转得多一些，十二边形每次通常转得少一些，但一圈就是一圈，总转向仍是 $360^\circ$。

再用代数核一遍

每个顶点的一组“内角加外角”都是 $180^\circ$，$n$ 组一共是 $n\times180^\circ$。减去内角和：

两个解释说的是同一件事。行走解释告诉你为什么结果是一整圈，代数推导负责检查计算没有漏角。

例题：由外角求边数

一个正多边形的每个外角都是 $24^\circ$，求它的边数和每个内角。

对角线要防止重复计数

从一个顶点出发，一共有 $n$ 个顶点可考虑。不能连自己，也不能把左右两个相邻顶点算成对角线，所以要排除 3 个顶点：

如果每个顶点都这样数，会先得到 $n(n-3)$。但对角线 $A_iA_j$ 会从 $A_i$ 数一次，又从 $A_j$ 数一次，同一条线被数了两遍，所以总数是：

比如六边形从每个顶点能引出 3 条对角线，先数成 $6\times3=18$，除以 2 后得到 9 条。

例题：从对角线总数反推边数

一个多边形一共有 35 条对角线，它有多少条边？

正多边形把边和角都排得一样整齐

一个多边形只有同时满足下面两个条件，才叫正多边形：

• 所有边等长。
• 所有内角相等。

少一个条件都不行。菱形可以四边相等，却不一定四角相等；矩形可以四角相等，却不一定四边相等。只有两项都满足的四边形才是正方形，也就是正四边形。

本章的正多边形默认是凸多边形。我们要用到正多边形中心定理：它有唯一的中心，所有顶点到中心等距，中心到各边的垂直距离也相等。因此所有顶点落在同一个圆上，内部还能放入一个与每条边相切的圆。

这条定理不是从“画得很整齐”猜出来的。标准证明从连续几个顶点组成的全等三角形出发，逐段证明相邻边的垂直平分线在同一点相交；边和角的相等又让这个交点到每个顶点、每条边的距离依次相等。本章后面只使用这条定理的结论，不把图像观察当成证明。

从中心连向每个顶点，正 $n$ 边形会被分成 $n$ 个全等的等腰三角形。这个画法同时解释了中心角、旋转和后面的面积公式。

中心角、外角和内角

$n$ 个相等的中心角围着中心排成一整圈，所以每个中心角是：

正多边形的 $n$ 个外角也相等，因此每个外角同样是：

每个内角与外角互补：

把它通分，就得到常见的另一个写法：

所以对正多边形来说，每个中心角和每个外角大小相等，每个内角与它们互补。

边数增加时，为什么会越来越像圆

把正多边形内接在固定的圆里。边数增加后，相邻顶点之间的中心角 $360^\circ/n$ 变小，每条边对应的短弧也变短。于是直线边与圆弧之间的空隙越来越小，多边形的周长逐渐靠近圆周长，面积也逐渐靠近圆面积。

这不是说“边很多的多边形就是圆”。无论边数多大，只要仍是有限数，它就还有直边和顶点。这里说的是一个逼近过程：边数不断增加，差距可以变得任意小。

例题：正十二边形的全部基本量

求正十二边形的内角和、每个内角、每个外角、每个中心角和对角线总数。

轴对称不是“左右看着差不多”

把一张纸沿直线 $l$ 折过去。如果图形上的每一点都能落到图形上的另一点，折后的整个图形与原图完全重合，那么这个图形是轴对称图形，直线 $l$ 是它的一条对称轴。

“完全重合”比“轮廓差不多”严格得多。边要落回边，顶点要落回顶点，图形内部的每个位置也要有对应位置。

对应点和对称轴的关系

如果轴外点 $A$ 关于直线 $l$ 的对应点是另一个点 $A'$，那么：

而且 $A$、$A'$ 到直线 $l$ 的距离相等。换句话说，直线 $l$ 经过线段 $AA'$ 的中点，并且垂直于 $AA'$：

对称轴是每一对不同对应点连线的垂直平分线。

若点本来就在对称轴上，它反射后仍是自己，此时 $A=A'$，所谓“线段 $AA'$”退化成一个点，不能再谈垂直平分线。这样的点叫不动点。

要作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点，可以按三步走：

反射不会改变长度和角度。一个线段反射后仍与原线段等长，一个角反射后角度也不变；图形的朝向会翻转，就像左手套不能只靠平移盖到右手套上。

“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”

这两个说法很像，研究对象却不同。

• 说“一个图形是轴对称图形”，是在问这个图形关于某条直线反射后，能不能回到自己。
• 说“图形 $F$ 与图形 $F'$ 关于直线 $l$ 成轴对称”，是在说 $F$ 反射后的像是 $F'$。它们可以位于直线两侧，是两个对应图形。

例如，把一个不等边三角形画在直线左边，再把它关于直线反射到右边，这两个三角形成轴对称；但每个不等边三角形单独拿出来，通常都不是轴对称图形。

例题：关于水平直线的对称点

点 $P(3,-1)$ 关于直线 $y=2$ 的对称点是 $P'$，求 $P'$ 的坐标。

旋转对称要排除“转一整圈”

选定一个点 $O$，让图形上每一点都绕 $O$ 转过同一个角度。如果转后的图形与原图完全重合，这个图形就有旋转对称，$O$ 是旋转中心。

任何图形转 $360^\circ$ 都会回到原位，所以只说“能转一圈重合”没有提供任何对称信息。判断旋转对称时，要找满足下面条件的非平凡旋转角：

例如，正方形绕中心转 $90^\circ$、$180^\circ$、$270^\circ$ 都会重合；非正方形的矩形通常只有转 $180^\circ$ 才会重合。

最小旋转角和阶数

如果一个图形在一整圈内只有有限个离散的重合位置，那么其中最小的正旋转角叫最小旋转角，记作 $\theta_{\min}$；一整圈里能出现多少次同样的位置，叫旋转对称的阶数：

反过来：

正方形的最小旋转角是 $90^\circ$，阶数是 4。这里把起始位置也算作一个位置，所以一圈中对应 $0^\circ$、$90^\circ$、$180^\circ$、$270^\circ$ 四种重合状态。

圆是一个重要例外：绕圆心转任意角度都能重合，所以不存在“最小的正旋转角”，也不能套用上面的有限阶公式。

中心对称就是转半圈

如果图形绕点 $O$ 旋转 $180^\circ$ 后与自己重合，它是中心对称图形，点 $O$ 是对称中心。

若 $A$ 转半圈后落到 $A'$，那么 $A$、$O$、$A'$ 三点共线，并且：

也就是说，$O$ 是线段 $AA'$ 的中点。轴对称里，对应点连线被一条直线垂直平分；中心对称里，对应点连线被一个点平分。这是两类题最方便的区分方法。

中心对称是旋转对称的一种特殊情形，但有旋转对称不一定有中心对称。正三角形转 $120^\circ$ 能重合，所以有旋转对称；它转 $180^\circ$ 不能重合，所以没有中心对称。

例题：用对称中心求坐标

点 $A(-2,5)$ 关于点 $O(1,1)$ 中心对称到点 $A'(x,y)$，求 $A'$。

正多边形的对称规律由中心控制

正 $n$ 边形的边和角按同样的节奏绕中心排列。把一个顶点转到相邻顶点，整个图形就回到同一种位置，因此它的最小旋转角是：

它的旋转阶数是 $n$。一圈内所有能重合的旋转角都是最小旋转角的整数倍：

再转到 $360^\circ$ 就是回到起始位置。

对称轴总数

正 $n$ 边形一共有 $n$ 条对称轴，但奇数边和偶数边的轴穿过图形的方式不同。

当 $n$ 是奇数时，每条对称轴都穿过一个顶点和这个顶点正对面那条边的中点。每个顶点给出一条轴，所以共有 $n$ 条。

当 $n$ 是偶数时，对称轴分成两类：

• 有 $n/2$ 条穿过一对相对顶点。
• 有 $n/2$ 条穿过一对相对边的中点。

两类相加仍是：

正八边形就有 4 条“顶点—顶点”轴和 4 条“边中点—边中点”轴，一共 8 条。

哪些正多边形有中心对称

中心对称要求转 $180^\circ$ 后顶点仍落到顶点。正 $n$ 边形每跨过一个顶点转 $360^\circ/n$，所以要满足：

也就是 $k=n/2$。只有 $n$ 为偶数时，$n/2$ 才是整数。

因此：

• 正偶数边形都有中心对称，对称中心就是多边形中心。
• 正奇数边形都没有中心对称，但仍然有旋转对称。

例题：正十五边形与正十二边形

比较正十五边形和正十二边形的轴对称、旋转对称与中心对称。

常见图形的对称要看附加条件

“一般平行四边形没有对称轴”中的“一般”不能删，因为矩形、菱形和正方形也是平行四边形，却有额外的边角条件，也就有了对称轴。

同样，“矩形有两条对称轴”通常说的是非正方形矩形。正方形属于矩形，但它还有两条对角线方向的对称轴，总数是 4。

综合例题

由内角判断正多边形

一个正多边形的每个内角是 $165^\circ$。求边数、对角线总数、对称轴条数、最小旋转角，并判断它是否中心对称。

找出推理中偷加的条件

有人说：“一个四边形四条边都相等，所以它是正方形，也有 4 条对称轴。”这段推理错在哪里？

从旋转阶数反推角度

一个图形有 8 阶旋转对称。求最小旋转角，并写出一圈内所有小于 $360^\circ$ 的非零重合角。它一定中心对称吗？

课后练习

多边形与角

练习一：一个简单十一边形的内角和是多少？如果它是正十一边形，每个内角和每个外角各是多少？

练习二：一个简单八边形可以三角剖分成多少个三角形？从一个顶点能引出多少条对角线？整个八边形共有多少条对角线？

练习三：一个多边形的内角和是 $1980^\circ$，求它的边数和对角线总数。

练习四：一个正多边形每个外角为 $20^\circ$。求边数、每个内角、对称轴数和旋转阶数。

对称与变换

练习五：点 $B(-4,3)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B'$，再把 $B'$ 关于原点中心对称到 $B''$。求两个像点的坐标。

练习六：判断下列说法是否正确，并说明理由。

1. 有旋转对称的图形一定有中心对称。
2. 有中心对称的图形一定有旋转对称。
3. 一条直线把图形面积分成相等两份，它就一定是对称轴。

练习七：正九边形有多少条对称轴？这些轴怎样穿过图形？最小旋转角是多少？它有中心对称吗？

练习八：非正方形矩形、非正方形菱形、一般平行四边形、正六边形分别有多少条对称轴？哪些有中心对称？

从角和对称走向周长与面积

现在我们已经能从一条封闭边界读出很多东西：有多少条边，有多少条对角线，角的总和是多少，折叠或旋转后会不会回到自己。

下一章会问两个更具体的问题：沿这条边界走一圈有多长，边界围住的内部有多大。前一个问题是周长，后一个问题是面积。

这一章的两种切分会在那里再次出现。普通多边形可以切成三角形来算面积；正多边形从中心连向顶点后得到 $n$ 个全等三角形，中心到边的垂线会成为每个小三角形的高。到那时，今天的“数角”就会自然变成“算长度和面积”。