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周长与面积计算

上一章我们认识了多边形：几条线段首尾相接，围出三角形、四边形、五边形……这一章要做的，是给这些图形量一量。

不过，“量一个图形”其实有两种完全不同的问法。给花坛围护栏，量的是边界；给花坛铺草皮，量的是内部。前者是周长，后者是面积。公式可以慢慢推，第一步一定要先听懂题目究竟在问哪一种量。

边界和内部是两回事

想象你沿着操场白线走一圈。你走过的总路程，就是操场的周长。周长只盯着边界看，所以最原始也最可靠的算法永远是：把外边界上每一段的长度加起来。

再想象工人要给整个操场铺一层塑胶。材料要盖住的大小，就是操场的面积。面积关心封闭图形内部能放下多少个单位小正方形，和你沿边走了多远不是一回事。

你可以在上面的图里把矩形拉长或压窄，再切换“看边框”和“看面积”。蓝色边框和绿色小方格是在回答两道不同的问题，不能拿同一组单位混着说。

判断一道实际问题时，可以先找动词：

“围、绕、镶边、走一圈、做边框”通常在问周长。
“铺、刷、覆盖、占地、裁一块面料”通常在问面积。
如果题目同时问围栏和草皮，就要分别算周长和面积，不能因为图形相同就只算一次。

组合图形里藏着一个常见陷阱：两块图形贴在一起以后，共用的那条边已经跑到内部去了。算总面积时可以把两块相加；算外周长时，共用边不能算进去。

单位为什么会“平方”

周长是一维的长度。用厘米量边，答案就是厘米；用米量边，答案就是米。矩形的长是 $8\text{ m}$ 、宽是 $5\text{ m}$ ，它的周长写成 $26\text{ m}$ ，不会多出一个平方。

面积是二维的。我们约定用边长为 $1$ 个长度单位的小正方形当“面积积木”。边长为 $1\text{ cm}$ 的单位正方形，面积叫作 $1\text{ cm}^2$ ；边长为 $1\text{ m}$ 的单位正方形，面积叫作 $1\text{ m}^2$ 。

这也解释了为什么面积单位换算不能只乘一次。因为

1\text{ m}=100\text{ cm}

所以一个边长为 $1\text{ m}$ 的正方形，换成厘米看，长和宽都要乘 $100$ ：

1\text{ m}^2 =100\text{ cm}\times100\text{ cm} =10000\text{ cm}^2

长度放大 $100$ 倍，面积就放大 $100^2$ 倍。这不是需要硬背的特殊规定，而是“长和宽各换算一次”的结果。

例如：

2.4\text{ m}^2=2.4\times10000\text{ cm}^2=24000\text{ cm}^2

反过来：

3500\text{ cm}^2=3500\div10000\text{ m}^2=0.35\text{ m}^2

做面积计算前，所有长度最好先统一单位。把 $2\text{ m}$ 和 $30\text{ cm}$ 直接相乘，会得到 $60\text{ m}\cdot\text{cm}$ 这样的混合单位；它虽然能继续换算，却很容易误读。可以先把它们都换成米，也可以都换成厘米，再计算面积。

周长就是把外边界加完

设周长为 $C$ 。任意多边形的周长，都等于各边长度之和。矩形、正方形的公式只是利用了相等边，把加法写短一些。

矩形和正方形

矩形有两条长和两条宽。设长为 $l$ ，宽为 $w$ ：

C_{\text{矩形}}=l+w+l+w=2(l+w)

正方形四边相等。设边长为 $a$ ：

C_{\text{正方形}}=4a

三角形、平行四边形和梯形

三角形的三边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ：

C_{\text{三角形}}=a+b+c

平行四边形的两组对边分别相等。相邻两边为 $a$ 、 $b$ ：

C_{\text{平行四边形}}=2(a+b)

梯形的上底、下底和两条腰分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ：

C_{\text{梯形}}=a+b+c+d

如果是等腰梯形，两条腰相等，才可以把最后两个加数合成 $2c$ 。普通梯形不能擅自这样做。

这里还要分清“腰”和“高”。腰是图形边界的一部分，会参加周长；高是两条平行线之间的垂直距离，通常藏在图形内部，用来算面积。除非图形刚好是矩形，否则腰一般不等于高。

矩形是面积公式的起点

先看同一长度单位下，长 $l$ 、宽 $w$ 都是正整数的矩形：每一行能排 $l$ 个单位方格，一共能排 $w$ 行，于是单位方格总数是 $l\times w$ ：

S_{\text{矩形}}=lw

这里用 $S$ 表示面积。若长和宽是有限小数，把单位方格继续等分就能精确数出面积；例如长 $2.5\text{ m}$ 、宽 $1.2\text{ m}$ 的矩形，面积是 $3\text{ m}^2$ 。对任意正实数边长，可以分别用略小和略大的有限小数矩形从内外夹住它；当边长误差任意小时，两边面积之差也任意小，因此同一公式延续到所有正实数边长。这一步用到面积随包含关系单调、且边界的无限小改动不会造成突然跳变的面积公理。

正方形只是长和宽相等的矩形。边长为 $a$ 时：

S_{\text{正方形}}=a\times a=a^2

“ $a$ 的平方”这个读法不是偶然，它本来就表示边长为 $a$ 的正方形面积。

剪一刀，平行四边形就变成矩形

先看从上方顶点向所选底边作垂线、垂足落在底边内部的常见图示：把一侧多出的直角三角形切下来，平移到另一侧缺少的位置，就能拼成矩形。剪下来的部分没有丢，拼接时也没有重叠，所以面积不变。

若平行四边形倾斜得更厉害，垂足落到底边延长线上，“一刀搬到另一侧”的画法就不适用。不过可以在两条平行边之间补作垂线，把图形与同底同高的矩形分别分割，再从一个更大的矩形中减去两侧全等的直角三角形，仍会得到相同面积。因此公式并不依赖某一幅特定剪拼图。

拼成的矩形，长正好是原平行四边形的底 $b$ ，宽正好是这条底对应的高 $h$ ：

S_{\text{平行四边形}}=bh

斜边长度和倾斜程度可以改变；只要底和垂直高度不变，面积就不变。这正是公式里没有斜边的原因。

“对应的高”到底对应什么

平行四边形任何一边都可以选作底，但底一换，高也必须跟着换。对某条底来说，高是从对边上的点向底所在直线作出的垂线段长度，也就是两条平行边之间的最短距离。

不要把斜边直接塞进 $S=bh$ 。只要那条线没有与所选的底垂直，它就不是这条底对应的高。图画得像不像“竖着”不算依据，直角标记或题目条件才算。

三角形面积为什么要除以二

把一个三角形复制一份，旋转后与原图拼在一起，可以得到一个平行四边形。新图的底和三角形的底相同，高也相同，而原三角形正好占这个平行四边形的一半：

S_{\text{三角形}}=\frac{1}{2}bh

这里的 $h$ 是从底边对面的顶点，到底边所在直线的垂直距离。

如果三角形有一个钝角，从某个顶点作高时，垂足可能落在底边的延长线上。高跑到图形外面并不奇怪；只要它垂直于底边所在的直线，仍然是合法的对应高。

同一个三角形可以轮流选三条边作底。三组“底和对应高”的数值可能不同，但它们的乘积相同，因此算出的面积必须相同。要是换了一条底却还沿用原来的高，结果通常就会变，这正好说明配错了。

梯形面积藏着“两底的平均”

把一个梯形复制一份，旋转 $180^\circ$ ，再把两份拼起来，会得到一个平行四边形。这个平行四边形的底是梯形两条平行边之和，高与原梯形相同。

设两底为 $a$ 、 $b$ ，高为 $h$ 。两个梯形的总面积是 $(a+b)h$ ，一个梯形占一半：

S_{\text{梯形}}=\frac{1}{2}(a+b)h

也可以把它写成：

S_{\text{梯形}}=\frac{a+b}{2}\times h

$\dfrac{a+b}{2}$ 是两条底的平均长度。因此可以把梯形想成“用两底的平均长度作底，再乘高”。两条腰长不参与面积公式，但求周长时必须用到。

菱形和筝形可以从对角线入手

菱形的两条对角线互相垂直，并且互相平分。筝形（也常说风筝形）的两条对角线也互相垂直，其中一条会平分另一条。正是这些垂直关系，让它们能被放进一个以两条对角线为长和宽的矩形框里。

框出的矩形面积是 $d_1d_2$ 。菱形或筝形占了这个矩形的一半，所以：

S_{\text{菱形或筝形}}=\frac{1}{2}d_1d_2

你也可以把图形沿两条对角线切开。得到的几个小三角形都以某段对角线为底，另一段对角线提供垂直高度；把这些三角形面积加起来，仍会得到上面的公式。

$\dfrac{1}{2}d_1d_2$ 不能套给任意四边形。这里真正起作用的条件是两条对角线互相垂直。菱形和筝形具备这个条件，普通平行四边形、矩形或梯形通常不具备。

正多边形也能拆成三角形

正多边形每条边相等、每个内角也相等。把中心与所有顶点连接起来，就会把它分成若干个全等的等腰三角形。

从中心向任意一边作垂线，这条垂线段叫边心距。它是每个小三角形对应那条边的高。设正多边形有 $n$ 条边，每条边长为 $s$ ，边心距为 $a$ ，周长为 $C$ ：

C=ns

每个小三角形的面积是 $\dfrac{1}{2}sa$ ，一共有 $n$ 个：

S=n\times\frac{1}{2}sa =\frac{1}{2}(ns)a =\frac{1}{2}Ca

所以正多边形面积可以记成：

S_{\text{正多边形}}=\frac{1}{2}\times\text{周长}\times\text{边心距}

边心距连到边的中点，并且垂直于这条边；从中心连到顶点的是外接圆半径。两者不是同一条线，不能看到“中心到边上某处”的长度就混用。

把公式串成一条线

下面这张图适合在做题前快速回忆，但最好连同推导一起记：矩形靠排格子，平行四边形靠剪拼，三角形和梯形靠复制，菱形和筝形靠垂直对角线。

矩形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积公式

图形	周长	面积	面积所需的关键长度
矩形	$2(l+w)$	$lw$	长和宽
正方形	$4a$	$a^2$	边长
三角形	$a+b+c$	$\dfrac{1}{2}bh$	一组对应的底和高
平行四边形	$2(a+b)$	$bh$	一组对应的底和高
梯形	四边之和	$\dfrac{1}{2}(a+b)h$	两条平行底和高
菱形、筝形	四边之和	$\dfrac{1}{2}d_1d_2$	两条互相垂直的对角线
正 $n$ 边形	$ns$	$\dfrac{1}{2}Ca$	周长和边心距

表里的字母只在各自那一行有效。尤其不要因为梯形的两条底常写成 $a$ 、 $b$ ，就以为它们与平行四边形的两条相邻边是同一种角色。

组合图形先决定加还是减

现实里的地板、窗框和园林平面很少刚好是一块标准图形。遇到组合图形，先画出辅助线，把陌生轮廓变成熟悉的矩形、三角形、梯形等，再决定使用哪一种账目。

分块相加

如果各块只沿边相接、内部没有重叠，总面积就是各块面积之和：

S_{\text{总}}=S_1+S_2+\cdots

大图减去缺口

如果图形像一个完整大图挖掉一块，先算大图，再减去缺口：

S_{\text{剩余}}=S_{\text{大图}}-S_{\text{缺口}}

有重叠时只算一次

两块区域叠在一起，直接相加会把重叠部分算两遍，所以要减回一次：

S_{\text{并在一起}}=S_1+S_2-S_{\text{重叠}}

挖空图形的周长要数内外两圈

一块板中间挖了孔，剩余面积是“外部面积减孔的面积”。但如果题目问所有切口的总长度，外边界和孔的内边界都要算。面积做减法，不代表周长也跟着做减法。

周长相同，面积未必相同

面积固定为 $36\text{ cm}^2$ 时，可以做出多种矩形：

长与宽	面积	周长
$6\text{ cm}\times6\text{ cm}$	$36\text{ cm}^2$	$24\text{ cm}$
$9\text{ cm}\times4\text{ cm}$	$36\text{ cm}^2$	$26\text{ cm}$
$12\text{ cm}\times3\text{ cm}$	$36\text{ cm}^2$	$30\text{ cm}$
$18\text{ cm}\times2\text{ cm}$	$36\text{ cm}^2$	$40\text{ cm}$

表格能让我们发现趋势，但还不能证明所有矩形都如此。设固定面积为 $A=lw$ ，则

(l+w)^2=(l-w)^2+4lw\ge 4A

因为 $l,w>0$ ，所以 $l+w\ge2\sqrt A$ ，周长

C=2(l+w)\ge4\sqrt A

等号只有在 $l=w$ 时成立。因此，在面积固定的所有矩形中，正方形的周长确实最短；这不是从几个例子外推出来的。

反过来也一样：周长相同，面积不一定相同。下面几个矩形的周长都是 $24\text{ cm}$ ：

长与宽	周长	面积
$6\text{ cm}\times6\text{ cm}$	$24\text{ cm}$	$36\text{ cm}^2$
$8\text{ cm}\times4\text{ cm}$	$24\text{ cm}$	$32\text{ cm}^2$
$10\text{ cm}\times2\text{ cm}$	$24\text{ cm}$	$20\text{ cm}^2$

因此，“边界一样长”和“内部一样大”之间没有自动的等号。只知道其中一个量，通常不能推出另一个量。

相似图形放大后，面积要平方

两个图形相似，意味着形状相同，只是整体按同一个比例放大或缩小。设从小图到大图的边长比为 $k$ 。

每一条对应边都乘 $k$ ，而周长是若干条边的和，所以周长也乘 $k$ ：

\frac{C_{\text{大}}}{C_{\text{小}}}=k

面积同时受两个方向影响。一个 $1\times1$ 的小方格放大后会变成 $k\times k$ ，它的面积变为原来的 $k^2$ 倍。因此：

\frac{S_{\text{大}}}{S_{\text{小}}}=k^2

比如边长放大到原来的 $3$ 倍，周长变成 $3$ 倍，面积却变成 $9$ 倍。边长缩小到原来的 $\dfrac{1}{2}$ ，周长也变为 $\dfrac{1}{2}$ ，面积则变为 $\dfrac{1}{4}$ 。

如果题目反过来给面积比，就要开平方找边长比。例如面积比为 $49:25$ ，对应边长比和周长比都是：

\sqrt{49}:\sqrt{25}=7:5

“边长比为 $k$ ”这句话只够推出周长比为 $k$ 、面积比为 $k^2$ ，前提是两个图形相似。两个形状完全不同的图形，即使碰巧有一组边长满足某个比例，也不能套用这条规律。

把方法放进真实问题

菜地的围栏和种植面积

题目：一块矩形菜地长 $15\text{ m}$ 、宽 $8\text{ m}$ 。四周围栅栏，并在中间加一道与宽边平行的隔栏。菜地全部用于种植。求栅栏总长和种植面积。

先分清两个问题。栅栏沿边界和隔栏铺设，用长度单位；种植面积覆盖内部，用平方单位。

四周栅栏是矩形周长：

C=2(15+8)=46\text{ m}

隔栏与宽边平行，所以它长 $8\text{ m}$ 。栅栏总长为：

46+8=54\text{ m}

菜地内部面积为：

S=15\times8=120\text{ m}^2

最后检查。 $15$ 和 $8$ 都是十米左右，面积在一百平方米左右合理；栅栏是几段长度相加，单位应为米。答案是栅栏总长 $54\text{ m}$ ，种植面积 $120\text{ m}^2$ 。

梯形展板既要贴纸也要包边

题目：一块等腰梯形展板的上底为 $0.8\text{ m}$ ，下底为 $1.7\text{ m}$ ，高为 $0.6\text{ m}$ ，两条腰都长 $0.75\text{ m}$ 。求贴纸面积和包边条长度。

贴纸覆盖内部，要用两底和高：

S=\frac{1}{2}(0.8+1.7)\times0.6=0.75\text{ m}^2

包边条绕四条边，要把两底和两腰都加上：

C=0.8+1.7+0.75+0.75=4\text{ m}

数量级也对得上：展板的平均底长是 $1.25\text{ m}$ ，乘 $0.6\text{ m}$ 正好是 $0.75\text{ m}^2$ ；四条边直接相加得到 $4\text{ m}$ 。面积单位和长度单位也各就各位。

菱形玻璃的尺寸

题目：一块菱形彩色玻璃的两条对角线分别长 $90\text{ cm}$ 和 $64\text{ cm}$ 。每 $1000\text{ cm}^2$ 玻璃重 $2.5\text{ kg}$ 。求这块玻璃的面积和质量。

菱形对角线互相垂直，可以使用对角线面积公式：

S=\frac{1}{2}\times90\times64=2880\text{ cm}^2

每 $1000\text{ cm}^2$ 重 $2.5\text{ kg}$ ，因此质量为：

2880\div1000\times2.5=7.2\text{ kg}

用外框作粗略检查： $90\times64=5760\text{ cm}^2$ ，菱形面积正好是这个数的一半，符合推导。答案是面积 $2880\text{ cm}^2$ ，质量 $7.2\text{ kg}$ 。

正六边形广场

题目：一个正六边形小广场，每条边长 $12\text{ m}$ ，边心距约为 $10.4\text{ m}$ 。求广场周长和面积。

正六边形有六条相等的边，周长为：

C=6\times12=72\text{ m}

把中心连到六个顶点，得到六个以边心距为高的小三角形。总面积为：

S\approx\frac{1}{2}\times72\times10.4=374.4\text{ m}^2

单位检查：周长乘边心距是 $\text{m}\times\text{m}=\text{m}^2$ 。数量级上，广场放在一个约 $24\text{ m}\times20.8\text{ m}$ 的矩形框内，框的面积约为 $499.2\text{ m}^2$ ，所以 $374.4\text{ m}^2$ 没有大到越出外框。

带缺口的房间

题目：一间 L 形房间可以看成一块 $8\text{ m}\times5\text{ m}$ 的大矩形，右下角挖去一块 $3\text{ m}\times2\text{ m}$ 的小矩形。求地板面积。如果只沿房间所有墙边安装踢脚线，门洞暂不扣除，求踢脚线总长。

地板面积用“大图减缺口”：

S=8\times5-3\times2=40-6=34\text{ m}^2

再看周长。挖去角上的矩形后，外边界少了两段长度 $3\text{ m}$ 和 $2\text{ m}$ ，同时新增两段同样长的凹口边。减少量与增加量相等，所以周长仍等于原大矩形周长：

C=2(8+5)=26\text{ m}

检查时不要把面积的减法照搬到周长。地板比 $40\text{ m}^2$ 小，得到 $34\text{ m}^2$ 合理；踢脚线沿新轮廓走，单位是米。答案是地板面积 $34\text{ m}^2$ ，踢脚线总长 $26\text{ m}$ 。

相似广告牌的材料变化

题目：两块矩形广告牌相似，大广告牌与小广告牌的对应边长比是 $5:3$ 。小广告牌边框长 $7.2\text{ m}$ ，画面面积为 $4.5\text{ m}^2$ 。求大广告牌的边框长和画面面积。

边框长是周长，按边长比的一次方变化：

C_{\text{大}}=7.2\times\frac{5}{3}=12\text{ m}

画面大小是面积，按边长比的平方变化：

S_{\text{大}}=4.5\times\left(\frac{5}{3}\right)^2 =4.5\times\frac{25}{9} =12.5\text{ m}^2

$\dfrac{5}{3}$ 大约是 $1.67$ ，所以周长从 $7.2$ 增到 $12$ 合理；面积倍率约为 $2.78$ ， $4.5\times2.78$ 约为 $12.5$ 。答案的长度单位和平方单位也没有混淆。

练习与完整答案

练习 1：把 $1.75\text{ m}^2$ 换算成平方厘米，再把 $6800\text{ cm}^2$ 换算成平方米。

练习 2：一块正方形地毯边长 $2.4\text{ m}$ 。给四周缝边需要多长的布条？地毯覆盖多大面积？

练习 3：一个平行四边形的底为 $14\text{ cm}$ ，对应高为 $8\text{ cm}$ ，斜边长 $10\text{ cm}$ 。求面积和周长。

练习 4：一个钝角三角形选定的底边长 $18\text{ cm}$ ，从对面顶点到底边所在直线的垂直距离为 $7\text{ cm}$ ，垂足落在底边延长线上。求面积。

练习 5：一个等腰梯形上底 $20\text{ m}$ 、下底 $30\text{ m}$ 、高 $12\text{ m}$ 、腰长 $13\text{ m}$ 。求面积和周长。

面积使用两底和高：

S=\frac{1}{2}(20+30)\times12=300\text{ m}^2

等腰梯形两腰都长 $13\text{ m}$ ，所以周长为：

C=20+30+13+13=76\text{ m}

答案是面积 $300\text{ m}^2$ ，周长 $76\text{ m}$ 。两底相差 $10\text{ m}$ ，左右各错开 $5\text{ m}$ ； $5$ 、 $12$ 、 $13$ 构成直角三角形，所以这些尺寸彼此相容。

练习 6：一块筝形装饰牌的两条对角线互相垂直，长度分别为 $1.2\text{ m}$ 和 $0.75\text{ m}$ 。求它的面积。

练习 7：一个正八边形平台边长 $5\text{ m}$ ，边心距约为 $6.04\text{ m}$ 。求周长和面积。

练习 8：一块 $10\text{ m}\times7\text{ m}$ 的矩形草坪中央有一个 $4\text{ m}\times3\text{ m}$ 的矩形沙坑。求草地面积。如果要分别沿草坪外边缘和沙坑边缘围一圈矮栏，求矮栏总长。

练习 9：两个相似三角形的对应边长比为 $2:5$ 。小三角形周长为 $18\text{ cm}$ 、面积为 $24\text{ cm}^2$ 。求大三角形的周长和面积。

从小图到大图的比例是 $\dfrac{5}{2}$ 。周长按一次方变化：

C_{\text{大}}=18\times\frac{5}{2}=45\text{ cm}

面积按平方变化：

S_{\text{大}}=24\times\left(\frac{5}{2}\right)^2 =24\times\frac{25}{4} =150\text{ cm}^2

所以大三角形周长为 $45\text{ cm}$ ，面积为 $150\text{ cm}^2$ 。

练习 10：判断并说明理由：“两个矩形的面积相等，它们的周长也一定相等。”

从多边形继续走向圆

这一章看似公式很多，其实所有公式都围着几个动作转：沿外边界相加，拿单位方格覆盖内部，再用切分、移动、复制和相减，把不熟悉的图形变成熟悉的图形。

遇到题目时，按这个顺序做会很稳：先判断求周长还是面积；再统一长度单位；接着认清对应的底、高、对角线或边心距；算完后检查数量级与单位。尤其要记住，图上的斜边不会因为“看起来像高”就自动变成高。

下一章研究圆时，我们还会用同一套眼光。把圆切成许多窄小的扇形，再重新排列，它会越来越像我们已经会算的图形；扇形面积也会从“整圆的一部分”自然长出来。今天练熟的切分与重排，会成为理解圆面积和扇形面积的桥梁。