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四边形：把两块三角形拼成一个系统

上一章我们一直在研究三角形。到了四边形，最顺手的第一步不是另背一套公式，而是画一条对角线——一个四边形立刻变成两个三角形。

这件事几乎贯穿整章。四边形内角和为什么是 $360°$ ，靠三角形；平行四边形的对边为什么相等，靠两个三角形全等；梯形中位线为什么等于两底和的一半，也可以用上一章的相似三角形把关系推出来。

所以这章真正要学的，不是一串图形名称，而是一种推理办法：先看定义给了什么，再问这些条件能推出什么；反过来，还要分清哪些条件足以认定图形的身份。

先把四边形的边界画清楚

四条线段首尾顺次相接，围成一个不自交的封闭图形，就得到一个四边形。给四个顶点命名时，要沿着边界依次写。例如 $ABCD$ 表示四条边是 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ ，而不是把四个字母随便排在一起。

连接不相邻顶点的线段叫对角线。四边形 $ABCD$ 有两条对角线： $AC$ 和 $BD$ 。

“首尾顺次相接”和“不自交”都不能省。四条线段如果交成蝴蝶结，中间会出现交叉点，它不属于本章讨论的普通四边形。相邻三点也不能共线，否则有一条边只是另一条边的延续，图形已经退化了。

凸四边形和凹四边形

你可以把四边形想成一块硬纸板。如果四个顶点都朝外，任意一条对角线都留在纸板内部，它是凸四边形。

如果有一个顶点像被手指按了进去，那个内角会大于 $180°$ ，图形就是凹四边形。凹四边形仍然有四条边，也仍然有 $360°$ 的内角和，只是不能再把每个内角都想成小于 $180°$ 的角。

本章讨论平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形时，它们都是凸四边形。讲一般四边形时，我们会明确说明凹凸差别。

图画得像矩形，不代表它就是矩形；图画得左右对称，也不代表它就是等腰梯形。几何图只是帮助我们看关系，真正能用的是题目写出的条件、图上的等长刻痕、平行符号和直角符号。

内角和为什么是 $360°$

先看凸四边形 $ABCD$ 。画对角线 $AC$ ，它把图形分成 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACD$ 。两个三角形没有重叠，也没有遗漏四边形内部。

第一个三角形的内角和是 $180°$ ，第二个也是 $180°$ 。对角线只把顶点 $A$ 、 $C$ 处的角分成两份，合起来仍是四边形原来的四个内角。因此：

\angle A+\angle B+\angle C+\angle D =180°+180° =360°

凹四边形也一样。选那条落在图形内部、能够把它分成两个三角形的对角线，两个三角形的角仍然恰好拼回四个内角，其中被按进去的那个角会由两个角相加得到一个大于 $180°$ 的角。

上面的实验只让凸四边形变形。拖动以后，四个角的大小一直在变，但总和不变。别把这个现象当成测量得到的结论：真正保证它永远成立的，是刚才那条“拆成两个三角形”的证明。

外角和为什么又是 $360°$

本章说四边形外角和时，默认研究凸四边形，并且在每个顶点只取一个外角，四个外角的转向要一致。

设四个外角依次为 $e_A,e_B,e_C,e_D$ 。每个外角都和相邻内角组成一对邻补角，所以：

e_A+\angle A=180°

四个顶点一起相加：

e_A+e_B+e_C+e_D +(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D) =4\times180°

刚才用两个三角形已经证明内角和是 $360°$ ，代入便得到：

e_A+e_B+e_C+e_D =720°-360° =360°

你也可以沿四边形外沿走一圈来理解：每到一个顶点转一次弯，最后回到起点时朝向也回到原方向，所有转角合起来正好是一整圈。

凹四边形如果也想用“转一圈”的说法，就必须给转向规定正负号。现阶段做无符号外角和题时，默认对象是凸四边形。

性质和判定是两支相反的箭头

四边形这章第一次大量出现“性质”和“判定”。它们常常写着相似的词，但推理方向正好相反。

如果已经知道 $ABCD$ 是平行四边形，再推出“对角线互相平分”，这是在用性质：

\text{平行四边形}\Longrightarrow\text{对角线互相平分}

如果题目只告诉你一个四边形的对角线互相平分，由此认定它是平行四边形，这是在用判定：

\text{对角线互相平分}\Longrightarrow\text{平行四边形}

这两句话碰巧都成立，但后一句不是把前一句倒过来念一遍就自动成立。它需要单独证明。数学里有很多命题的反方向并不成立：矩形的对角线相等，可“对角线相等的四边形是矩形”就是错的，等腰梯形已经给出了反例。

做题前先看箭头从哪边指向哪边。题目已经给出图形身份，通常调用性质；题目要求证明图形身份，通常寻找判定。把方向弄反，是四边形证明中最常见的失误之一。

平行四边形：从一条对角线开始证明

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。在平行四边形 $ABCD$ 中：

AB\parallel CD,\qquad AD\parallel BC

“分别”表示对应关系不能串： $AB$ 对着 $CD$ ， $AD$ 对着 $BC$ 。

对边、对角为什么会相等

画对角线 $AC$ 。现在图中有 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDA$ 。

因为 $AB\parallel CD$ ，对角线 $AC$ 是截线，所以：

\angle BAC=\angle DCA

因为 $BC\parallel AD$ ，同理：

\angle BCA=\angle DAC

两个三角形还共用边 $AC$ 。两角及其夹边分别相等，于是：

\triangle ABC\cong\triangle CDA

全等以后，对应边和对应角都相等，因此：

AB=CD,\qquad BC=AD

\angle ABC=\angle CDA

另外一组对角也相等。你可以继续用全等三角形中的两个小角相加，也可以利用邻角互补来得到：

\angle BAD=\angle BCD

这段证明值得慢慢看。定义只给了“平行”，我们借平行线找到相等角，再用对角线提供公共边，最后通过三角形全等把“平行”翻译成“等边、等角”。辅助线并不是随手一画，它是专门来搭建推理桥梁的。

邻角为什么互补

$AB\parallel CD$ ，边 $AD$ 可以看成截线。同旁内角互补，所以：

\angle A+\angle D=180°

沿着其他边看也一样。平行四边形中任意两个相邻内角都互补。于是只要知道一个角，另外三个角就全确定了：对角复制它，两个邻角用 $180°$ 减去它。

对角线为什么互相平分

设对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于 $O$ 。来看 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 。

平行线给出：

\angle BAO=\angle DCO,\qquad \angle ABO=\angle CDO

刚才已经证明平行四边形的对边相等，所以 $AB=CD$ 。两角及其夹边分别相等，两个三角形全等，于是：

AO=CO,\qquad BO=DO

这就是“对角线互相平分”。注意它只说交点把每一条对角线各自分成两半，并没有说两条对角线彼此相等。一般的平行四边形完全可能一条对角线长、一条短。

平行四边形的性质账本

已经确认一个图形是平行四边形后，可以使用这些结论：

两组对边分别平行；
两组对边分别相等；
两组对角分别相等；
任意两个邻角互补；
两条对角线互相平分；
面积等于任取一边作底时的“底乘高”。

最后一条里的高，是两条平行边之间的垂直距离，不是斜着的邻边。把一侧多出的直角三角形剪下，搬到另一侧，平行四边形正好能拼成同底同高的矩形，所以：

S=bh

怎样判定一个四边形是平行四边形

下面五条都是可用的判定。它们分别从平行关系、边、角和对角线识别同一种图形：

两组对边分别平行；
两组对边分别相等；
一组对边平行且相等；
两组对角分别相等；
两条对角线互相平分。

第一条就是定义。其余四条都在说：条件虽然没有直接给全两组平行线，但已经把四边形“锁”成了平行四边形。

我们挑“对角线互相平分”证明一次。设 $AC$ 、 $BD$ 交于 $O$ ，已知：

AO=CO,\qquad BO=DO

又因为 $\angle AOB$ 和 $\angle COD$ 是对顶角，所以它们相等。由边角边：

\triangle AOB\cong\triangle COD

因此 $\angle ABO=\angle CDO$ 。这一对内错角相等，说明 $AB\parallel CD$ 。

只证出一组平行还不够。再比较 $\triangle AOD$ 与 $\triangle COB$ ： $AO=CO$ 、 $DO=BO$ ， $\angle AOD=\angle COB$ 是对顶角，所以两三角形由 SAS 全等。于是 $\angle ADO=\angle CBO$ ，这一对内错角相等，得到 $AD\parallel BC$ 。两组对边分别平行，这时才能根据定义判定 $ABCD$ 是平行四边形。

“一组对边平行，另一组对边相等”不够。这样的四边形可能是等腰梯形。判定要求的是同一组对边既平行又相等，两个条件必须落在同一对边上。

矩形、菱形和正方形：附加条件会带来什么

平行四边形像一副可以推歪的活动框架。加上一个直角，角度被锁住，得到矩形；加上一组邻边相等，边长被锁住，得到菱形；两类条件同时满足，就得到正方形。

这里的“家族”不是为了背标签。真正有用的是追问：新加的条件让哪些原本不一定成立的事情变成了必然？

矩形把角锁成直角

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

为什么只加“一个”直角就够？平行四边形的邻角互补，一个角是 $90°$ ，邻角只能也是 $90°$ ；对角又相等，于是四个角全是直角。

你也可以从普通四边形出发，把“四个角都是直角”当作矩形的等价定义。甚至只要证明三个角是直角，第四个角就会被四边形内角和逼成 $90°$ 。

矩形继承平行四边形的全部性质，并新增一条关键性质：两条对角线相等。

证明并不神秘。在矩形 $ABCD$ 中比较 $\triangle ABC$ 与 $\triangle BAD$ ：

BC=AD,\qquad AB=BA

\angle ABC=\angle BAD=90°

由边角边，两三角形全等，所以斜边 $AC=BD$ 。

再结合平行四边形的“对角线互相平分”，若两条对角线交于 $O$ ，就有：

AO=BO=CO=DO

这四段相等不是一般平行四边形的性质。矩形先有 $AC=BD$ ，再各自被平分，四个半段才会一样长。

常用的矩形判定有：

有一个直角的平行四边形是矩形；
有三个直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

最后一条其实分两步：互相平分先判出平行四边形，相等再把它升级为矩形。

菱形把四条边锁成一样长

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

平行四边形原本就有两组对边相等。只要再告诉你一组邻边相等，四条边就被串成：

AB=BC=CD=DA

因此“四条边都相等的四边形”也是菱形的等价定义。

菱形继承平行四边形的性质，还增加两类对角线性质：

两条对角线互相垂直；
每条对角线平分它所连接的那一组对角。

设菱形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$ 。平行四边形先保证 $AO=CO$ 。在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COB$ 中：

AB=CB,\qquad AO=CO,\qquad BO=BO

由边边边，两三角形全等，所以 $\angle AOB=\angle COB$ 。这两个角又组成邻补角，相等且相加为 $180°$ ，因此每个都是 $90°$ ：

AC\perp BD

再看对角线平分角。比较 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ ，四条边相等， $BD$ 又是公共边，由边边边全等，于是：

\angle ABD=\angle DBC,\qquad \angle ADB=\angle BDC

所以 $BD$ 平分 $\angle B$ 和 $\angle D$ 。对角线 $AC$ 同理平分 $\angle A$ 和 $\angle C$ 。

常用的菱形判定有：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

菱形面积可以按“底乘高”计算，也可以利用垂直对角线。设两条对角线长为 $d_1,d_2$ ，它们把菱形分成四个直角三角形，四块面积相加得到：

S=\frac{d_1d_2}{2}

不要把这个公式理解成“任何四边形都能对角线相乘再除以 $2$ ”。这里真正起作用的是对角线垂直。

正方形同时锁住边和角

四条边相等、四个角都是直角的四边形叫正方形。

从家族关系看，正方形既是矩形，又是菱形。因此它同时拥有两边的性质：

四边相等，四角都是直角；
对边平行；
对角线相等、垂直并且互相平分；
每条对角线都平分一组对角。

每个角是 $90°$ ，又被对角线平分，所以正方形对角线与边形成的角都是 $45°$ 。

证明正方形时，通常不必从零开始把所有性质都证一遍。选一条短路线：

先证矩形，再证一组邻边相等；
先证矩形，再证两条对角线垂直；
先证菱形，再证一个角是直角；
先证菱形，再证两条对角线相等；
先证平行四边形，再同时证对角线相等且垂直。

“四条边相等”只走到菱形，“四个角都是直角”只走到矩形。正方形要让边和角两类条件同时到位。

家族关系不是互相替换名字

所有正方形都是矩形，也都是菱形；所有矩形和菱形都是平行四边形。但反方向只说“有些”，不能说“所有”。

一个长方形可以是矩形但不是菱形；一个斜菱形可以是菱形但不是矩形；只有落在两类共同部分的图形才是正方形。

这会直接影响你调用性质。题目说“正方形”，矩形、菱形和平行四边形的性质都能用；题目只说“平行四边形”，就不能擅自使用“对角线相等”或“对角线垂直”。

梯形：本章只收“恰有一组”平行边

不同教材对梯形有两种约定：有的说“至少一组对边平行”，会把平行四边形也算作梯形；有的说“恰有一组对边平行”，把两类分开。

本课程采用第二种：恰有一组对边平行的四边形叫梯形。从这里到本章结束，所有“梯形”都遵守这一定义。

在梯形 $ABCD$ 中，若 $AD\parallel BC$ ，那么 $AD$ 、 $BC$ 叫底，不平行的 $AB$ 、 $CD$ 叫腰。两底之间的垂直距离叫高。

因为两底平行，每条腰都是一条截线，所以同一条腰两端的内角互补：

\angle A+\angle B=180°,\qquad \angle D+\angle C=180°

这比每次都从四边形内角和重新计算更快。

等腰梯形的对称来自两条等长的腰

两腰相等的梯形叫等腰梯形。这里先要确认图形是梯形，再加条件 $AB=CD$ 。

等腰梯形有两条重要性质：

同一底上的两个底角相等；
两条对角线相等。

先证明底角。把较长的底记作 $BC$ ，过 $D$ 作 $DE\parallel AB$ ，让 $E$ 落在 $BC$ 上。因为 $AD\parallel BE$ ，四边形 $ABED$ 是平行四边形，所以：

AB=DE

已知 $AB=CD$ ，于是 $DE=CD$ ， $\triangle DEC$ 是等腰三角形， $\angle DEC=\angle ECD$ 。又因为 $AB\parallel DE$ ，可把 $\angle DEC$ 换成梯形在 $B$ 处的底角，而 $\angle ECD$ 就是 $C$ 处的底角。因此：

\angle B=\angle C

上底的两个底角也相等，可以由两腰上的邻角互补得到。

再证明对角线。在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DCB$ 中：

AB=CD,\qquad BC=CB,\qquad \angle ABC=\angle DCB

由边角边，两三角形全等，所以：

AC=BD

在已经确认“它是梯形”的前提下，下面三种说法也可以反过来作为等腰梯形判定：

两腰相等；
同一底上的两个底角相等；
两条对角线相等。

“梯形”这个前提不能丢。一个矩形也有相等的对角线，但按本章的定义，矩形不是梯形。

直角梯形把一条腰变成高

有一个角是直角的梯形叫直角梯形。

两底平行，一条腰与其中一底垂直时，也必然与另一底垂直，所以直角梯形实际上有两个直角。那条垂直于两底的腰，长度正好就是高。

直角梯形不一定有相等的腰，也不一定有相等的对角线。直角只是帮我们直接找到高，并没有把它变成矩形——另一组对边仍然不平行。

梯形中位线把两个底取了平均

连接两腰中点的线段叫梯形中位线。设 $E$ 、 $F$ 分别是腰 $AB$ 、 $CD$ 的中点，中位线 $EF$ 有两条结论：

EF\parallel AD\parallel BC

EF=\frac{AD+BC}{2}

这个公式不是凭图形对称猜出来的，普通梯形即使歪向一边也成立。

我们用上一章的相似三角形来证明。画对角线 $AC$ ，再过 $E$ 作两底的平行线，交 $AC$ 于 $G$ ，交 $CD$ 于 $F'$ 。

在 $\triangle ABC$ 中， $EG\parallel BC$ ，所以 $\triangle AEG\sim\triangle ABC$ 。又因为 $E$ 是 $AB$ 的中点，

\frac{AE}{AB}=\frac12

对应边成比例，因此

\frac{AG}{AC}=\frac{EG}{BC}=\frac12

这同时说明 $G$ 是 $AC$ 的中点，且 $EG=BC/2$ 。再看 $\triangle ACD$ ： $GF'\parallel AD$ ，所以 $\triangle CGF'\sim\triangle CAD$ 。由 $CG/CA=1/2$ 得到：

\frac{CF'}{CD}=\frac{GF'}{AD}=\frac12

于是 $F'$ 是 $CD$ 的中点，而一条线段只有一个中点，所以题目中的 $F$ 和构造出的 $F'$ 是同一点。于是：

EF=EG+GF =\frac{BC}{2}+\frac{AD}{2} =\frac{AD+BC}{2}

这个证明也同时说明了 $EF$ 平行于两底。

梯形面积也从对角线拆分得到

设两底长为 $a,b$ ，高为 $h$ 。画一条对角线，梯形分成两个三角形。一个以长为 $a$ 的底边为底，另一个以长为 $b$ 的底边为底；它们到各自底边的高都是两条平行线之间的距离 $h$ 。

所以：

S=\frac{ah}{2}+\frac{bh}{2} =\frac{(a+b)h}{2}

中位线 $m=(a+b)/2$ ，面积还可以写成：

S=mh

这句话很好用：题目直接给中位线和高时，不必先费力还原两条底。

筝形：另一种由全等三角形控制的四边形

风筝的骨架常常给出一种不属于平行四边形、也不属于梯形的四边形。本课程这里只讨论凸筝形，因此两条对角线都是图形内的线段，并且会相交。凹的风筝形边界需要另外分类，不直接套下面的对角线证明。

设四边形 $ABCD$ 满足：

AB=AD,\qquad CB=CD

两组相等的边都是相邻边。如果这两组边长彼此不同，也就是 $AB\ne BC$ ，本章把它叫筝形。加上“两组边长不同”，是为了把菱形单独留在前面的家族中。

对角线 $AC$ 连接两组等边相遇的顶点。比较 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ ：

AB=AD,\qquad BC=CD,\qquad AC=AC

由边边边，两三角形全等。于是：

\angle BAC=\angle CAD,\qquad \angle BCA=\angle ACD

\angle B=\angle D

所以 $AC$ 平分 $\angle A$ 、 $\angle C$ ，而夹在不等边之间的那一组对角 $\angle B$ 、 $\angle D$ 相等。

设两条对角线交于 $O$ 。再比较 $\triangle AOB$ 和 $\triangle AOD$ ，由边角边可得它们全等，从而 $BO=DO$ ，并且 $\angle AOB=\angle AOD$ 。这两个角是邻补角，因此都是直角。于是：

AC\perp BD

BO=DO

说准确些，是对称轴方向的对角线 $AC$ 垂直平分另一条对角线 $BD$ ；另一条对角线一般不会反过来平分 $AC$ 。这正是筝形和菱形容易混淆的地方。

筝形的两条对角线垂直，所以它的面积也可以写成：

S=\frac{d_1d_2}{2}

例题：把条件按正确方向接起来

从内角和转到外角

凸四边形 $ABCD$ 中：

\angle A=82°, \qquad \angle B=107°, \qquad \angle C=96°

求 $\angle D$ ，以及顶点 $D$ 处按同一方向取得的外角。

先画清“总账”。这是一般四边形，没有给任何特殊身份，所以直接使用内角和 $360°$ ：

\angle D=360°-82°-107°-96°=75°

顶点 $D$ 的外角与 $\angle D$ 组成邻补角，因此：

e_D=180°-75°=105°

检查数量关系。内角 $75°$ 是锐角，它相邻的外角应是钝角； $105°$ 符合。答案是 $\angle D=75°$ ， $e_D=105°$ 。

用对角线判出平行四边形

四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于 $O$ ，已知：

AO=3x-1,\qquad CO=x+7

BO=2y+3,\qquad DO=5y-9

并且两条对角线互相平分。求 $x,y$ ，并说明为什么 $ABCD$ 是平行四边形。

“互相平分”要翻译成同一条对角线的两半相等：

AO=CO,\qquad BO=DO

不要写成 $AO=BO$ ，那是把两条不同对角线混在了一起。

分别列方程：

3x-1=x+7

2y+3=5y-9

解得：

x=4,\qquad y=4

数值只是在验证线段长度。真正认定图形身份时，使用的是判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。因此 $ABCD$ 是平行四边形。

矩形对角线接上勾股定理

矩形 $ABCD$ 中， $AB=8$ ， $BC=15$ ，两条对角线交于 $O$ 。求 $AC$ 和 $AO$ 。

矩形的一个角是直角，所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形。对角线 $AC$ 是斜边：

AC=\sqrt{AB^2+BC^2} =\sqrt{8^2+15^2} =17

矩形是平行四边形，对角线互相平分，因此：

AO=\frac{AC}{2}=\frac{17}{2}

矩形对角线还相等，所以 $BD=17$ ，并且 $AO=BO=CO=DO=17/2$ 。题目虽然只问两项，把整组关系写清楚能帮助检查是否误用了性质。

从菱形的对角线求边和面积

菱形 $ABCD$ 的两条对角线长分别为 $10$ 和 $24$ ，交于 $O$ 。求菱形边长和面积。

菱形的对角线互相平分，所以四个半段中，对应长度为：

5\quad\text{和}\quad12

菱形的对角线互相垂直，因此一条边与两个半对角线组成直角三角形。由勾股定理：

AB=\sqrt{5^2+12^2}=13

用对角线面积公式：

S=\frac{10\times24}{2}=120

也可以把四个全等直角三角形的面积相加，得到同样的结果。

等腰梯形先作高再计算

等腰梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ，上底 $AD=8$ ，下底 $BC=20$ ，腰 $AB=CD=10$ 。求高和面积。

从 $A$ 、 $D$ 向下底 $BC$ 作垂线，垂足分别记作 $E$ 、 $F$ 。因为 $AD\parallel BC$ ，两条高都等于平行线之间的距离，所以 $AE=DF$ ；又有斜边 $AB=CD$ 。两个边角直角三角形因此由 HL 全等，得到 $BE=CF$ 。四边形 $AEFD$ 是矩形，所以 $EF=AD=8$ 。于是下底比上底多出的长度平均分到两边：

\frac{20-8}{2}=6

每个边角直角三角形的斜边是腰 $10$ ，水平直角边是 $6$ 。设高为 $h$ ：

h=\sqrt{10^2-6^2}=8

代入梯形面积公式：

S=\frac{(8+20)\times8}{2}=112

也可以先求中位线 $m=(8+20)/2=14$ ，再算 $S=mh=14\times8=112$ 。

先判矩形，再补成正方形

平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 满足：

AC=BD,\qquad AC\perp BD

证明 $ABCD$ 是正方形。

已知对象本来就是平行四边形。平行四边形的对角线相等，可以判定它是矩形。

同一个平行四边形的对角线互相垂直，可以判定它是菱形。

$ABCD$ 同时是矩形和菱形，所以它四角都是直角、四边都相等，满足正方形定义。因此 $ABCD$ 是正方形。

这道题还有两条同样正确的叙述路线：先证矩形，再用对角线垂直升级为正方形；或者先证菱形，再用对角线相等升级为正方形。证明路线不同，落点相同。

常见误区：条件少一个字，结论就可能变

对角线相等不能单独判矩形

等腰梯形的对角线也相等。只有先知道图形是平行四边形，才能用“对角线相等”判矩形；或者在一般四边形中同时知道“对角线相等且互相平分”。

对角线垂直不能单独判菱形

筝形的对角线也垂直。只有先知道图形是平行四边形，才能用“对角线垂直”判菱形。

对角线互相平分不等于四个半段都相等

一般平行四边形只能得到 $AO=CO$ 、 $BO=DO$ 。要让 $AO=BO=CO=DO$ ，还需要两条完整对角线相等，这会把图形进一步锁成矩形。

梯形的腰不是高

高必须垂直于两底。普通梯形和等腰梯形的腰通常是斜的，不能直接代入面积公式当作 $h$ 。直角梯形才有一条腰恰好等于高。

图形越特殊，可用性质越多

“正方形是矩形”并没有把正方形降级。它表示正方形满足矩形的全部条件，所以矩形定理可以直接用在正方形上。分类名称越具体，通常说明条件越多，而不是只能使用最具体名称对应的那几条性质。

练习：先写依据，再写答案

练习：凹四边形的反角

凹四边形有三个内角分别为 $35°$ 、 $45°$ 、 $60°$ 。求第四个内角，并说明结果为什么合理。

练习：四个外角中的缺角

一个凸四边形按同一转向取得的三个外角分别为 $72°$ 、 $95°$ 、 $108°$ 。求第四个外角及其相邻内角。

练习：哪条信息足够判定

判断下列每个条件能否单独保证四边形是平行四边形：两条对角线相等；两条对角线互相平分；一组对边平行、另一组对边相等；一组对边平行且相等。

练习：平行四边形的角和对角线

平行四边形 $ABCD$ 中， $\angle A=68°$ ，对角线交于 $O$ ， $AC=18$ ， $BD=26$ 。求其余三个内角以及 $AO$ 、 $BO$ 。

平行四边形对角相等、邻角互补，所以：

\angle C=\angle A=68°

\angle B=\angle D=180°-68°=112°

对角线互相平分，但两条对角线不必相等：

AO=\frac{AC}{2}=9

BO=\frac{BD}{2}=13

答案是 $\angle B=112°$ 、 $\angle C=68°$ 、 $\angle D=112°$ ， $AO=9$ ， $BO=13$ 。

练习：用对角线判定特殊平行四边形

已知 $ABCD$ 是平行四边形。分别回答：若 $AC=BD$ ，能判定什么？若 $AC\perp BD$ ，能判定什么？若两个条件同时成立，能判定什么？

练习：梯形中位线反求底

梯形的中位线长为 $13$ ，一条底长为 $8$ ，高为 $7$ 。求另一条底和梯形面积。

练习：等腰梯形的角与对角线

等腰梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ， $\angle A=118°$ ， $AC=15$ 。求其余三个内角和 $BD$ 。

练习：筝形中哪条对角线平分谁

筝形 $ABCD$ 中， $AB=AD$ ， $CB=CD$ ，对角线交于 $O$ 。已知 $BD=12$ ， $AO=5$ 。求 $BO$ ，并判断能否仅凭这些条件求出 $CO$ 。

把这一章收成一条推理链

遇到四边形，先别急着翻“家族名单”。可以按下面的顺序想：

先确认边界和顶点顺序，分清对边、邻边和对角线；
一般角度问题先回到内角和 $360°$ ，外角问题看一整圈的 $360°$ ；
题目已经给出图形身份，就沿性质箭头向外推；
题目要求证明身份，就从边、角、平行关系或对角线寻找判定；
图形每增加一个条件，才会增加相应性质，不能凭外观提前调用。

对角线是这条链的核心。它把四边形拆回我们熟悉的三角形，让平行线、全等、中位线和面积能够接进来；两条对角线之间的相等、垂直、平分关系，又能反过来识别矩形、菱形、正方形和筝形。

下一章会从直边围成的图形走向圆。看起来从多边形跳到了曲线，其实证明习惯不会变：先抓住定义，再从定义推出性质；也仍然会画辅助线，把陌生图形拆成三角形。四边形里那条对角线，到了圆里常常会换成半径、弦和圆心连线。

四边形：把两块三角形拼成一个系统

上一章我们一直在研究三角形。到了四边形，最顺手的第一步不是另背一套公式，而是画一条对角线——一个四边形立刻变成两个三角形。

先把四边形的边界画清楚

连接不相邻顶点的线段叫对角线。四边形 $ABCD$ 有两条对角线： $AC$ 和 $BD$ 。

凸四边形和凹四边形

你可以把四边形想成一块硬纸板。如果四个顶点都朝外，任意一条对角线都留在纸板内部，它是凸四边形。

本章讨论平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形时，它们都是凸四边形。讲一般四边形时，我们会明确说明凹凸差别。

内角和为什么是 $360°$

先看凸四边形 $ABCD$ 。画对角线 $AC$ ，它把图形分成 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACD$ 。两个三角形没有重叠，也没有遗漏四边形内部。

第一个三角形的内角和是 $180°$ ，第二个也是 $180°$ 。对角线只把顶点 $A$ 、 $C$ 处的角分成两份，合起来仍是四边形原来的四个内角。因此：

\angle A+\angle B+\angle C+\angle D =180°+180° =360°

外角和为什么又是 $360°$

本章说四边形外角和时，默认研究凸四边形，并且在每个顶点只取一个外角，四个外角的转向要一致。

设四个外角依次为 $e_A,e_B,e_C,e_D$ 。每个外角都和相邻内角组成一对邻补角，所以：

e_A+\angle A=180°

四个顶点一起相加：

e_A+e_B+e_C+e_D +(\angle A+\angle B+\angle C+\angle D) =4\times180°

刚才用两个三角形已经证明内角和是 $360°$ ，代入便得到：

e_A+e_B+e_C+e_D =720°-360° =360°

你也可以沿四边形外沿走一圈来理解：每到一个顶点转一次弯，最后回到起点时朝向也回到原方向，所有转角合起来正好是一整圈。

凹四边形如果也想用“转一圈”的说法，就必须给转向规定正负号。现阶段做无符号外角和题时，默认对象是凸四边形。

性质和判定是两支相反的箭头

四边形这章第一次大量出现“性质”和“判定”。它们常常写着相似的词，但推理方向正好相反。

如果已经知道 $ABCD$ 是平行四边形，再推出“对角线互相平分”，这是在用性质：

\text{平行四边形}\Longrightarrow\text{对角线互相平分}

如果题目只告诉你一个四边形的对角线互相平分，由此认定它是平行四边形，这是在用判定：

\text{对角线互相平分}\Longrightarrow\text{平行四边形}

平行四边形：从一条对角线开始证明

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。在平行四边形 $ABCD$ 中：

AB\parallel CD,\qquad AD\parallel BC

“分别”表示对应关系不能串： $AB$ 对着 $CD$ ， $AD$ 对着 $BC$ 。

对边、对角为什么会相等

画对角线 $AC$ 。现在图中有 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDA$ 。

因为 $AB\parallel CD$ ，对角线 $AC$ 是截线，所以：

\angle BAC=\angle DCA

因为 $BC\parallel AD$ ，同理：

\angle BCA=\angle DAC

两个三角形还共用边 $AC$ 。两角及其夹边分别相等，于是：

\triangle ABC\cong\triangle CDA

全等以后，对应边和对应角都相等，因此：

AB=CD,\qquad BC=AD

\angle ABC=\angle CDA

另外一组对角也相等。你可以继续用全等三角形中的两个小角相加，也可以利用邻角互补来得到：

\angle BAD=\angle BCD

邻角为什么互补

$AB\parallel CD$ ，边 $AD$ 可以看成截线。同旁内角互补，所以：

\angle A+\angle D=180°

对角线为什么互相平分

设对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于 $O$ 。来看 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COD$ 。

平行线给出：

\angle BAO=\angle DCO,\qquad \angle ABO=\angle CDO

刚才已经证明平行四边形的对边相等，所以 $AB=CD$ 。两角及其夹边分别相等，两个三角形全等，于是：

AO=CO,\qquad BO=DO

平行四边形的性质账本

已经确认一个图形是平行四边形后，可以使用这些结论：

两组对边分别平行；
两组对边分别相等；
两组对角分别相等；
任意两个邻角互补；
两条对角线互相平分；
面积等于任取一边作底时的“底乘高”。

S=bh

怎样判定一个四边形是平行四边形

下面五条都是可用的判定。它们分别从平行关系、边、角和对角线识别同一种图形：

两组对边分别平行；
两组对边分别相等；
一组对边平行且相等；
两组对角分别相等；
两条对角线互相平分。

第一条就是定义。其余四条都在说：条件虽然没有直接给全两组平行线，但已经把四边形“锁”成了平行四边形。

我们挑“对角线互相平分”证明一次。设 $AC$ 、 $BD$ 交于 $O$ ，已知：

AO=CO,\qquad BO=DO

又因为 $\angle AOB$ 和 $\angle COD$ 是对顶角，所以它们相等。由边角边：

\triangle AOB\cong\triangle COD

因此 $\angle ABO=\angle CDO$ 。这一对内错角相等，说明 $AB\parallel CD$ 。

“一组对边平行，另一组对边相等”不够。这样的四边形可能是等腰梯形。判定要求的是同一组对边既平行又相等，两个条件必须落在同一对边上。

矩形、菱形和正方形：附加条件会带来什么

这里的“家族”不是为了背标签。真正有用的是追问：新加的条件让哪些原本不一定成立的事情变成了必然？

矩形把角锁成直角

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

为什么只加“一个”直角就够？平行四边形的邻角互补，一个角是 $90°$ ，邻角只能也是 $90°$ ；对角又相等，于是四个角全是直角。

你也可以从普通四边形出发，把“四个角都是直角”当作矩形的等价定义。甚至只要证明三个角是直角，第四个角就会被四边形内角和逼成 $90°$ 。

矩形继承平行四边形的全部性质，并新增一条关键性质：两条对角线相等。

证明并不神秘。在矩形 $ABCD$ 中比较 $\triangle ABC$ 与 $\triangle BAD$ ：

BC=AD,\qquad AB=BA

\angle ABC=\angle BAD=90°

由边角边，两三角形全等，所以斜边 $AC=BD$ 。

再结合平行四边形的“对角线互相平分”，若两条对角线交于 $O$ ，就有：

AO=BO=CO=DO

这四段相等不是一般平行四边形的性质。矩形先有 $AC=BD$ ，再各自被平分，四个半段才会一样长。

常用的矩形判定有：

有一个直角的平行四边形是矩形；
有三个直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

最后一条其实分两步：互相平分先判出平行四边形，相等再把它升级为矩形。

菱形把四条边锁成一样长

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

平行四边形原本就有两组对边相等。只要再告诉你一组邻边相等，四条边就被串成：

AB=BC=CD=DA

因此“四条边都相等的四边形”也是菱形的等价定义。

菱形继承平行四边形的性质，还增加两类对角线性质：

两条对角线互相垂直；
每条对角线平分它所连接的那一组对角。

设菱形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$ 。平行四边形先保证 $AO=CO$ 。在 $\triangle AOB$ 和 $\triangle COB$ 中：

AB=CB,\qquad AO=CO,\qquad BO=BO

由边边边，两三角形全等，所以 $\angle AOB=\angle COB$ 。这两个角又组成邻补角，相等且相加为 $180°$ ，因此每个都是 $90°$ ：

AC\perp BD

再看对角线平分角。比较 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ ，四条边相等， $BD$ 又是公共边，由边边边全等，于是：

\angle ABD=\angle DBC,\qquad \angle ADB=\angle BDC

所以 $BD$ 平分 $\angle B$ 和 $\angle D$ 。对角线 $AC$ 同理平分 $\angle A$ 和 $\angle C$ 。

常用的菱形判定有：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

菱形面积可以按“底乘高”计算，也可以利用垂直对角线。设两条对角线长为 $d_1,d_2$ ，它们把菱形分成四个直角三角形，四块面积相加得到：

S=\frac{d_1d_2}{2}

不要把这个公式理解成“任何四边形都能对角线相乘再除以 $2$ ”。这里真正起作用的是对角线垂直。

正方形同时锁住边和角

四条边相等、四个角都是直角的四边形叫正方形。

从家族关系看，正方形既是矩形，又是菱形。因此它同时拥有两边的性质：

四边相等，四角都是直角；
对边平行；
对角线相等、垂直并且互相平分；
每条对角线都平分一组对角。

每个角是 $90°$ ，又被对角线平分，所以正方形对角线与边形成的角都是 $45°$ 。

证明正方形时，通常不必从零开始把所有性质都证一遍。选一条短路线：

先证矩形，再证一组邻边相等；
先证矩形，再证两条对角线垂直；
先证菱形，再证一个角是直角；
先证菱形，再证两条对角线相等；
先证平行四边形，再同时证对角线相等且垂直。

“四条边相等”只走到菱形，“四个角都是直角”只走到矩形。正方形要让边和角两类条件同时到位。

家族关系不是互相替换名字

所有正方形都是矩形，也都是菱形；所有矩形和菱形都是平行四边形。但反方向只说“有些”，不能说“所有”。

一个长方形可以是矩形但不是菱形；一个斜菱形可以是菱形但不是矩形；只有落在两类共同部分的图形才是正方形。

梯形：本章只收“恰有一组”平行边

不同教材对梯形有两种约定：有的说“至少一组对边平行”，会把平行四边形也算作梯形；有的说“恰有一组对边平行”，把两类分开。

本课程采用第二种：恰有一组对边平行的四边形叫梯形。从这里到本章结束，所有“梯形”都遵守这一定义。

在梯形 $ABCD$ 中，若 $AD\parallel BC$ ，那么 $AD$ 、 $BC$ 叫底，不平行的 $AB$ 、 $CD$ 叫腰。两底之间的垂直距离叫高。

因为两底平行，每条腰都是一条截线，所以同一条腰两端的内角互补：

\angle A+\angle B=180°,\qquad \angle D+\angle C=180°

这比每次都从四边形内角和重新计算更快。

等腰梯形的对称来自两条等长的腰

两腰相等的梯形叫等腰梯形。这里先要确认图形是梯形，再加条件 $AB=CD$ 。

等腰梯形有两条重要性质：

同一底上的两个底角相等；
两条对角线相等。

先证明底角。把较长的底记作 $BC$ ，过 $D$ 作 $DE\parallel AB$ ，让 $E$ 落在 $BC$ 上。因为 $AD\parallel BE$ ，四边形 $ABED$ 是平行四边形，所以：

AB=DE

\angle B=\angle C

上底的两个底角也相等，可以由两腰上的邻角互补得到。

再证明对角线。在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DCB$ 中：

AB=CD,\qquad BC=CB,\qquad \angle ABC=\angle DCB

由边角边，两三角形全等，所以：

AC=BD

在已经确认“它是梯形”的前提下，下面三种说法也可以反过来作为等腰梯形判定：

两腰相等；
同一底上的两个底角相等；
两条对角线相等。

“梯形”这个前提不能丢。一个矩形也有相等的对角线，但按本章的定义，矩形不是梯形。

直角梯形把一条腰变成高

有一个角是直角的梯形叫直角梯形。

两底平行，一条腰与其中一底垂直时，也必然与另一底垂直，所以直角梯形实际上有两个直角。那条垂直于两底的腰，长度正好就是高。

直角梯形不一定有相等的腰，也不一定有相等的对角线。直角只是帮我们直接找到高，并没有把它变成矩形——另一组对边仍然不平行。

梯形中位线把两个底取了平均

连接两腰中点的线段叫梯形中位线。设 $E$ 、 $F$ 分别是腰 $AB$ 、 $CD$ 的中点，中位线 $EF$ 有两条结论：

EF\parallel AD\parallel BC

EF=\frac{AD+BC}{2}

这个公式不是凭图形对称猜出来的，普通梯形即使歪向一边也成立。

我们用上一章的相似三角形来证明。画对角线 $AC$ ，再过 $E$ 作两底的平行线，交 $AC$ 于 $G$ ，交 $CD$ 于 $F'$ 。

在 $\triangle ABC$ 中， $EG\parallel BC$ ，所以 $\triangle AEG\sim\triangle ABC$ 。又因为 $E$ 是 $AB$ 的中点，

\frac{AE}{AB}=\frac12

对应边成比例，因此

\frac{AG}{AC}=\frac{EG}{BC}=\frac12

这同时说明 $G$ 是 $AC$ 的中点，且 $EG=BC/2$ 。再看 $\triangle ACD$ ： $GF'\parallel AD$ ，所以 $\triangle CGF'\sim\triangle CAD$ 。由 $CG/CA=1/2$ 得到：

\frac{CF'}{CD}=\frac{GF'}{AD}=\frac12

于是 $F'$ 是 $CD$ 的中点，而一条线段只有一个中点，所以题目中的 $F$ 和构造出的 $F'$ 是同一点。于是：

EF=EG+GF =\frac{BC}{2}+\frac{AD}{2} =\frac{AD+BC}{2}

这个证明也同时说明了 $EF$ 平行于两底。

梯形面积也从对角线拆分得到

所以：

S=\frac{ah}{2}+\frac{bh}{2} =\frac{(a+b)h}{2}

中位线 $m=(a+b)/2$ ，面积还可以写成：

S=mh

这句话很好用：题目直接给中位线和高时，不必先费力还原两条底。

筝形：另一种由全等三角形控制的四边形

设四边形 $ABCD$ 满足：

AB=AD,\qquad CB=CD

对角线 $AC$ 连接两组等边相遇的顶点。比较 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ ：

AB=AD,\qquad BC=CD,\qquad AC=AC

由边边边，两三角形全等。于是：

\angle BAC=\angle CAD,\qquad \angle BCA=\angle ACD

\angle B=\angle D

所以 $AC$ 平分 $\angle A$ 、 $\angle C$ ，而夹在不等边之间的那一组对角 $\angle B$ 、 $\angle D$ 相等。

AC\perp BD

BO=DO

说准确些，是对称轴方向的对角线 $AC$ 垂直平分另一条对角线 $BD$ ；另一条对角线一般不会反过来平分 $AC$ 。这正是筝形和菱形容易混淆的地方。

筝形的两条对角线垂直，所以它的面积也可以写成：

S=\frac{d_1d_2}{2}

例题：把条件按正确方向接起来

从内角和转到外角

凸四边形 $ABCD$ 中：

\angle A=82°, \qquad \angle B=107°, \qquad \angle C=96°

求 $\angle D$ ，以及顶点 $D$ 处按同一方向取得的外角。

先画清“总账”。这是一般四边形，没有给任何特殊身份，所以直接使用内角和 $360°$ ：

\angle D=360°-82°-107°-96°=75°

顶点 $D$ 的外角与 $\angle D$ 组成邻补角，因此：

e_D=180°-75°=105°

检查数量关系。内角 $75°$ 是锐角，它相邻的外角应是钝角； $105°$ 符合。答案是 $\angle D=75°$ ， $e_D=105°$ 。

用对角线判出平行四边形

四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于 $O$ ，已知：

AO=3x-1,\qquad CO=x+7

BO=2y+3,\qquad DO=5y-9

并且两条对角线互相平分。求 $x,y$ ，并说明为什么 $ABCD$ 是平行四边形。

“互相平分”要翻译成同一条对角线的两半相等：

AO=CO,\qquad BO=DO

不要写成 $AO=BO$ ，那是把两条不同对角线混在了一起。

分别列方程：

3x-1=x+7

2y+3=5y-9

解得：

x=4,\qquad y=4

数值只是在验证线段长度。真正认定图形身份时，使用的是判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。因此 $ABCD$ 是平行四边形。

矩形对角线接上勾股定理

矩形 $ABCD$ 中， $AB=8$ ， $BC=15$ ，两条对角线交于 $O$ 。求 $AC$ 和 $AO$ 。

矩形的一个角是直角，所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形。对角线 $AC$ 是斜边：

AC=\sqrt{AB^2+BC^2} =\sqrt{8^2+15^2} =17

矩形是平行四边形，对角线互相平分，因此：

AO=\frac{AC}{2}=\frac{17}{2}

矩形对角线还相等，所以 $BD=17$ ，并且 $AO=BO=CO=DO=17/2$ 。题目虽然只问两项，把整组关系写清楚能帮助检查是否误用了性质。

从菱形的对角线求边和面积

菱形 $ABCD$ 的两条对角线长分别为 $10$ 和 $24$ ，交于 $O$ 。求菱形边长和面积。

菱形的对角线互相平分，所以四个半段中，对应长度为：

5\quad\text{和}\quad12

菱形的对角线互相垂直，因此一条边与两个半对角线组成直角三角形。由勾股定理：

AB=\sqrt{5^2+12^2}=13

用对角线面积公式：

S=\frac{10\times24}{2}=120

也可以把四个全等直角三角形的面积相加，得到同样的结果。

等腰梯形先作高再计算

等腰梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ，上底 $AD=8$ ，下底 $BC=20$ ，腰 $AB=CD=10$ 。求高和面积。

\frac{20-8}{2}=6

每个边角直角三角形的斜边是腰 $10$ ，水平直角边是 $6$ 。设高为 $h$ ：

h=\sqrt{10^2-6^2}=8

代入梯形面积公式：

S=\frac{(8+20)\times8}{2}=112

也可以先求中位线 $m=(8+20)/2=14$ ，再算 $S=mh=14\times8=112$ 。

先判矩形，再补成正方形

平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 满足：

AC=BD,\qquad AC\perp BD

证明 $ABCD$ 是正方形。

已知对象本来就是平行四边形。平行四边形的对角线相等，可以判定它是矩形。

同一个平行四边形的对角线互相垂直，可以判定它是菱形。

$ABCD$ 同时是矩形和菱形，所以它四角都是直角、四边都相等，满足正方形定义。因此 $ABCD$ 是正方形。

常见误区：条件少一个字，结论就可能变

对角线相等不能单独判矩形

等腰梯形的对角线也相等。只有先知道图形是平行四边形，才能用“对角线相等”判矩形；或者在一般四边形中同时知道“对角线相等且互相平分”。

对角线垂直不能单独判菱形

筝形的对角线也垂直。只有先知道图形是平行四边形，才能用“对角线垂直”判菱形。

对角线互相平分不等于四个半段都相等

一般平行四边形只能得到 $AO=CO$ 、 $BO=DO$ 。要让 $AO=BO=CO=DO$ ，还需要两条完整对角线相等，这会把图形进一步锁成矩形。

梯形的腰不是高

高必须垂直于两底。普通梯形和等腰梯形的腰通常是斜的，不能直接代入面积公式当作 $h$ 。直角梯形才有一条腰恰好等于高。

图形越特殊，可用性质越多

练习：先写依据，再写答案

练习：凹四边形的反角

凹四边形有三个内角分别为 $35°$ 、 $45°$ 、 $60°$ 。求第四个内角，并说明结果为什么合理。

练习：四个外角中的缺角

一个凸四边形按同一转向取得的三个外角分别为 $72°$ 、 $95°$ 、 $108°$ 。求第四个外角及其相邻内角。

练习：哪条信息足够判定

练习：平行四边形的角和对角线

平行四边形 $ABCD$ 中， $\angle A=68°$ ，对角线交于 $O$ ， $AC=18$ ， $BD=26$ 。求其余三个内角以及 $AO$ 、 $BO$ 。

平行四边形对角相等、邻角互补，所以：

\angle C=\angle A=68°

\angle B=\angle D=180°-68°=112°

对角线互相平分，但两条对角线不必相等：

AO=\frac{AC}{2}=9

BO=\frac{BD}{2}=13

答案是 $\angle B=112°$ 、 $\angle C=68°$ 、 $\angle D=112°$ ， $AO=9$ ， $BO=13$ 。

练习：用对角线判定特殊平行四边形

已知 $ABCD$ 是平行四边形。分别回答：若 $AC=BD$ ，能判定什么？若 $AC\perp BD$ ，能判定什么？若两个条件同时成立，能判定什么？

练习：梯形中位线反求底

梯形的中位线长为 $13$ ，一条底长为 $8$ ，高为 $7$ 。求另一条底和梯形面积。

练习：等腰梯形的角与对角线

等腰梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ， $\angle A=118°$ ， $AC=15$ 。求其余三个内角和 $BD$ 。

练习：筝形中哪条对角线平分谁

筝形 $ABCD$ 中， $AB=AD$ ， $CB=CD$ ，对角线交于 $O$ 。已知 $BD=12$ ， $AO=5$ 。求 $BO$ ，并判断能否仅凭这些条件求出 $CO$ 。

把这一章收成一条推理链

遇到四边形，先别急着翻“家族名单”。可以按下面的顺序想：

先确认边界和顶点顺序，分清对边、邻边和对角线；
一般角度问题先回到内角和 $360°$ ，外角问题看一整圈的 $360°$ ；
题目已经给出图形身份，就沿性质箭头向外推；
题目要求证明身份，就从边、角、平行关系或对角线寻找判定；
图形每增加一个条件，才会增加相应性质，不能凭外观提前调用。

四边形：把两块三角形拼成一个系统

先把四边形的边界画清楚

凸四边形和凹四边形

内角和为什么是 360°360°360°

外角和为什么又是 360°360°360°

性质和判定是两支相反的箭头

平行四边形：从一条对角线开始证明

对边、对角为什么会相等

邻角为什么互补

对角线为什么互相平分

平行四边形的性质账本

怎样判定一个四边形是平行四边形

矩形、菱形和正方形：附加条件会带来什么

矩形把角锁成直角

菱形把四条边锁成一样长

正方形同时锁住边和角

家族关系不是互相替换名字

梯形：本章只收“恰有一组”平行边

等腰梯形的对称来自两条等长的腰

直角梯形把一条腰变成高

梯形中位线把两个底取了平均

梯形面积也从对角线拆分得到

筝形：另一种由全等三角形控制的四边形

例题：把条件按正确方向接起来

从内角和转到外角

用对角线判出平行四边形

矩形对角线接上勾股定理

从菱形的对角线求边和面积

等腰梯形先作高再计算

先判矩形，再补成正方形

常见误区：条件少一个字，结论就可能变

对角线相等不能单独判矩形

对角线垂直不能单独判菱形

对角线互相平分不等于四个半段都相等

梯形的腰不是高

图形越特殊，可用性质越多

练习：先写依据，再写答案

把这一章收成一条推理链

四边形：把两块三角形拼成一个系统

先把四边形的边界画清楚

凸四边形和凹四边形

内角和为什么是 360°360°360°

外角和为什么又是 360°360°360°

性质和判定是两支相反的箭头

平行四边形：从一条对角线开始证明

对边、对角为什么会相等

邻角为什么互补

对角线为什么互相平分

平行四边形的性质账本

怎样判定一个四边形是平行四边形

矩形、菱形和正方形：附加条件会带来什么

矩形把角锁成直角

菱形把四条边锁成一样长

正方形同时锁住边和角

家族关系不是互相替换名字

梯形：本章只收“恰有一组”平行边

等腰梯形的对称来自两条等长的腰

直角梯形把一条腰变成高

梯形中位线把两个底取了平均

梯形面积也从对角线拆分得到

筝形：另一种由全等三角形控制的四边形

例题：把条件按正确方向接起来

从内角和转到外角

用对角线判出平行四边形

矩形对角线接上勾股定理

从菱形的对角线求边和面积

等腰梯形先作高再计算

先判矩形，再补成正方形

常见误区：条件少一个字，结论就可能变

对角线相等不能单独判矩形

对角线垂直不能单独判菱形

对角线互相平分不等于四个半段都相等

梯形的腰不是高

图形越特殊，可用性质越多

练习：先写依据，再写答案

把这一章收成一条推理链

内角和为什么是 $360°$

外角和为什么又是 $360°$

内角和为什么是 $360°$

外角和为什么又是 $360°$