圆的面积与扇形

上一章算平行四边形、三角形和梯形的面积时，我们一直在做同一件事：把一个图形剪开、挪动，拼成熟悉的图形。到了圆，这个办法依然管用，只是多了一点麻烦——圆的边界是弯的，有限次剪拼没法把它真的变成边缘笔直的矩形。

所以这一章不只要会套公式。我们还要说清楚：为什么一个越来越像矩形的拼图，能把圆面积确定为 $\pi r^2$ ；为什么弧长和扇形面积都按圆心角的比例来分；以及遇到弓形、圆环和组合图形时，究竟应该加哪块、减哪块。

先记住两个问题，它们会贯穿整章：

题目问的是边界长度，还是内部面积？
题目给的是半径，还是要先从直径、周长里把半径找出来？

先把圆里的几个量认稳

设圆心为 $O$ 。

从圆心到圆上任意一点的线段叫半径，半径的长度记作 $r$ 。经过圆心、两端都在圆上的线段叫直径，直径的长度记作 $d$ 。它们的关系是：

d=2r

圆的一周有多长，叫圆周长，记作 $C$ ：

C=2\pi r=\pi d

圆里面整块区域有多大，才是圆面积，记作 $S$ ：

S=\pi r^2

这里的 $\pi$ 不是“统一取 3.14”的意思。 $\pi$ 是圆周长与直径的固定比值，它的小数部分既不终止，也不循环。写 $49\pi\,\text{cm}^2$ 是精确值；写 $49\times 3.14\approx153.86\,\text{cm}^2$ 是用 $\pi\approx3.14$ 算出的近似值。

长度使用 cm、m 这类单位，面积使用 $\text{cm}^2$ 、 $\text{m}^2$ 这类平方单位。弧长仍是长度，扇形面积才是平方单位。先看问题问什么，再写单位。

圆面积为什么是 $\pi r^2$

拿一张圆形纸片，从圆心向外切成许多大小相同的扇形，再把这些小扇形一上一下交错排列。切成 8 份时，上下两条边的弧形起伏很明显；切成 16 份、32 份以后，起伏会越来越细，整个拼图越来越像一个长方形。

每片扇形的两条半径都长 $r$ ，但在有限切片的锯齿拼图里，整体的竖直高度并不严格等于 $r$ ；随着每片圆心角变小，它才趋近于 $r$ 。朝上的小弧合起来是半个圆周，朝下的小弧也合起来是另外半个圆周，所以拼图的横向跨度趋近于：

\frac{C}{2}=\frac{2\pi r}{2}=\pi r

于是，拼图面积接近：

\pi r\times r=\pi r^2

“接近矩形”不等于“已经是矩形”

这里最容易说快的一句话是：“把圆切开，就拼成了一个矩形。”严格说，这句话不对。

只要切片数量还是有限的，每一片外侧仍是一小段弧，拼图上、下边缘仍有细小的波浪。它只是一个和矩形很像的图形，并不是真正的矩形。切片越多，每段弧越短，波浪越细，拼图与长为 $\pi r$ 、宽为 $r$ 的矩形之间的面积差也越小。

数学里说“误差可以小到任意程度”，意思是：不管你事先规定一个多小的允许误差，总能继续增加切片，让真实误差小于它。圆面积公式依靠的是这个不断逼近的过程，不是假装某一次有限切割已经没有误差。

“无限细”不是让我们真的拿刀切无限次。它描述的是一个趋势：切片数继续增加时，误差能被压到任意小。这个想法叫极限。此处先理解画面和逻辑，暂时不需要学习极限的正式符号。

正多边形把直觉托得更稳

还有一种更接近证明的想法。先在圆内画一个正六边形，把圆心连到每个顶点，正六边形就被分成 6 个全等三角形。每个三角形的底是正六边形的一条边，高是圆心到这条边的垂直距离，也叫正多边形的边心距。

设一个内接正多边形的周长为 $P_n$ ，边心距为 $a_n$ 。把所有小三角形面积加起来：

S_n=\frac12a_nP_n

现在把边数从 6 增加到 12、24、48……内接正多边形越来越贴近圆：

边心距 $a_n$ 越来越接近半径 $r$ ；
周长 $P_n$ 越来越接近圆周长 $C$ ；
正多边形面积 $S_n$ 越来越接近圆面积 $S$ 。

在圆外再画对应的外切正 $n$ 边形，记它的周长为 $Q_n$ 。因为圆心到每条外切边的距离恰好是 $r$ ，它的面积为

T_n=\frac12rQ_n

内接多边形在圆内，圆又在外切多边形内，所以面积始终满足

S_n\le S\le T_n

边数增加时， $a_n\to r$ ，内接周长 $P_n$ 与外切周长 $Q_n$ 都趋近同一个圆周长 $C$ 。因此

S_n=\frac12a_nP_n\to\frac12rC, \qquad T_n=\frac12rQ_n\to\frac12rC

圆面积 $S$ 被夹在两个趋向同一数值的面积之间，只能等于这个共同极限：

S=\frac12rC

把 $C=2\pi r$ 代进去：

S=\frac12r\cdot2\pi r=\pi r^2

扇形切分重排给了我们很直观的画面，正多边形逼近则解释了为什么这个画面不是巧合。两条路最后都落在同一个关系上：圆面积等于“半径乘圆周长的一半”。

从尺度变化再检查一次

半径为 1 的圆面积是 $\pi$ 。如果把这个圆的所有长度都放大到原来的 $r$ 倍，半径变成 $r$ ，面积会放大到原来的 $r^2$ 倍。因此面积一定是：

\pi\times r^2

这个检查还能帮你识别错公式。 $2\pi r$ 随半径成一倍变化，是长度； $\pi r^2$ 随半径成平方变化，是面积。要是面积公式里没有平方，就要停下来检查。

公式里要的是半径

题目不一定直接给 $r$ 。直径和周长都是常见入口，稳妥的做法是先把半径单独求出来，再算面积。

已知条件	先求半径	圆面积
半径 $r$	已知	$S=\pi r^2$
直径 $d$	$r=\dfrac d2$	$S=\pi\left(\dfrac d2\right)^2=\dfrac{\pi d^2}{4}$
周长 $C$	$r=\dfrac{C}{2\pi}$	$S=\pi\left(\dfrac{C}{2\pi}\right)^2=\dfrac{C^2}{4\pi}$

最后一个面积式不必硬背。先由 $C=2\pi r$ 求 $r$ ，通常更不容易漏掉平方或约错 $\pi$ 。

例题：直径给了，先除以二

题目：圆形花坛直径为 $14\,\text{m}$ ，求面积。先给精确值，再取 $\pi\approx3.14$ 求近似值。

面积公式需要半径，所以先把直径除以 2：

r=\frac{14}{2}=7\,\text{m}

代入圆面积公式，保留 $\pi$ ：

S=\pi r^2=\pi\times7^2=49\pi\,\text{m}^2

这是精确值。

题目还要求近似值，再使用 $\pi\approx3.14$ ：

S\approx49\times3.14=153.86\,\text{m}^2

所以花坛面积是 $49\pi\,\text{m}^2$ ，约为 $153.86\,\text{m}^2$ 。

如果把直径 14 直接当作半径，结果会变成正确面积的 4 倍。原因不是“算得差了一点”，而是半径被放大了 2 倍，面积随之放大了 $2^2$ 倍。

例题：从周长反求面积

题目：一个圆的周长是 $18\pi\,\text{cm}$ ，求面积。

先用圆周长公式找半径：

2\pi r=18\pi

两边同除以 $2\pi$ ，得到：

r=9\,\text{cm}

再算面积：

S=\pi r^2=\pi\times9^2=81\pi\,\text{cm}^2

这道题里 $18\pi$ 是长度，不是面积。必须先把它放进周长公式，不能直接平方。

弧长按圆心角的比例分

圆上两点之间的一段圆周叫弧。弧有两个容易混在一起的量：

弧的度数描述它张开的程度；
弧长描述沿着弯边走了多远。

在同一个圆里，圆心角越大，对应的弧越长。为什么长度正好按角度成比例？先把整圆等分成 $n$ 个相等的圆心角，旋转会把每一小弧搬到下一小弧，所以这些小弧等长；取其中 $m$ 份，角度和弧长就同时占整圆的 $m/n$ 。对不能恰好写成这种分数比例的角，可以用越来越接近它的分数角从两边夹住；弧长的差也随角度差一起趋近于 0。因此比例关系对任意角都成立。

设圆心角为 $\theta°$ ，其中 $0<\theta\le360$ 。这个角占一整周的比例是：

\frac{\theta}{360}

整圆周长是 $2\pi r$ ，所以弧长 $l$ 是：

\boxed{l=\frac{\theta}{360}\cdot2\pi r}

这不是一条孤零零的新公式。它只是在说：“走了整圈的几分之几，就取整圈长度的几分之几。”

圆心角	占整圆比例	弧长
$180°$	$\dfrac12$	$\pi r$
$90°$	$\dfrac14$	$\dfrac{\pi r}{2}$
$120°$	$\dfrac13$	$\dfrac{2\pi r}{3}$
$60°$	$\dfrac16$	$\dfrac{\pi r}{3}$

同一对端点通常会对应一条较短的劣弧和一条较长的优弧。若劣弧圆心角是 $\theta°$ ，优弧圆心角就是 $(360-\theta)°$ 。题目画了较长弧或明确写“优弧”时，不能仍拿较小的角去算。

例题：一段弧有多长

题目：半径为 $12\,\text{cm}$ 的圆中，一段弧所对的圆心角是 $75°$ 。求弧长。

这段弧占整圆的比例是：

\frac{75}{360}=\frac{5}{24}

取整圆周长的 $\dfrac{5}{24}$ ：

l=\frac{5}{24}\cdot2\pi\cdot12=5\pi\,\text{cm}

若取 $\pi\approx3.14$ ，则：

l\approx15.70\,\text{cm}

精确值是 $5\pi\,\text{cm}$ ，近似值约为 $15.70\,\text{cm}$ 。

扇形面积也按同一个比例分

两条半径和它们夹住的一段弧围成的区域叫扇形。把整圆等分时，相等圆心角对应的扇形可以靠旋转完全重合，所以面积相等；取 $m$ 个小扇形，面积与角度同时占整圆的 $m/n$ 。再用和弧长相同的分数角逼近办法，就得到任意圆心角都按同一比例分配圆面积。

整圆转一周是 $360°$ ，所以圆心角为 $\theta°$ 的扇形占整圆的比例仍是：

\frac{\theta}{360}

只不过这次被分配的不是圆周长，而是圆面积 $\pi r^2$ ：

\boxed{S_{\text{扇}}=\frac{\theta}{360}\cdot\pi r^2}

弧长与扇形面积共享同一个比例：

\frac{l}{2\pi r}=\frac{S_{\text{扇}}}{\pi r^2}=\frac{\theta}{360}

左边是在分圆周，中间是在分圆面，右边是在分一整周的角。三者描述的是同一块扇形，因此比例相同。

同一扇形可以根据圆心角或弧长表示面积

为什么还能写成 $S=\dfrac12rl$

如果题目已经给了弧长 $l$ ，没必要先反求圆心角。由弧长公式：

l=\frac{\theta}{360}\cdot2\pi r

两边同时乘 $\dfrac r2$ ：

\frac12rl =\frac r2\left(\frac{\theta}{360}\cdot2\pi r\right) =\frac{\theta}{360}\cdot\pi r^2

右边正好是扇形面积，所以：

\boxed{S_{\text{扇}}=\frac12rl}

这个式子也能和圆面积的 $S=\dfrac12rC$ 对上：整圆可以看成弧长为 $C$ 的 $360°$ 扇形，把 $l$ 换成 $C$ ，就得到整圆面积。

$S=\dfrac12rl$ 中的 $r$ 和 $l$ 必须使用同一种长度单位。若 $r=8\,\text{cm}$ 、 $l=0.3\,\text{m}$ ，要先把 $0.3\,\text{m}$ 换成 $30\,\text{cm}$ 。长度单位不统一，乘出来的面积单位就没有意义。

例题：角度路线与弧长路线互相验算

题目：扇形半径是 $12\,\text{cm}$ ，圆心角是 $60°$ 。求弧长和面积。

先算弧长：

l=\frac{60}{360}\cdot2\pi\cdot12=4\pi\,\text{cm}

用角度比例算面积：

S_{\text{扇}}=\frac{60}{360}\cdot\pi\cdot12^2=24\pi\,\text{cm}^2

再用弧长验算：

S_{\text{扇}}=\frac12rl =\frac12\cdot12\cdot4\pi =24\pi\,\text{cm}^2

两条路线结果相同。

例题：单位不同要先换算

题目：一个扇形的半径是 $8\,\text{cm}$ ，弧长是 $0.3\,\text{m}$ 。求扇形面积。

先统一单位：

0.3\,\text{m}=30\,\text{cm}

使用弧长形式：

S_{\text{扇}}=\frac12rl =\frac12\cdot8\cdot30 =120\,\text{cm}^2

答案没有 $\pi$ 并不奇怪。题目给出的弧长已经是一个具体长度， $\pi$ 的信息已经包含在这个长度里了。

弧度只做一个桥接

以后如果学到弧度，会看到更短的写法。圆心角的弧度数定义为弧长与半径的比：

\theta_{\text{弧度}}=\frac lr

于是：

l=r\theta_{\text{弧度}}

S_{\text{扇}}=\frac12r^2\theta_{\text{弧度}}

这里的短公式只适用于角度已经用弧度表示时。若题目给的是 $60°$ ，不能直接写 $l=60r$ ；要么继续用 $\dfrac{60}{360}\cdot2\pi r$ ，要么先把 $60°$ 换成 $\dfrac\pi3$ 弧度。

扇形周长别漏两条半径

弧长只算弯曲的那一段。对 $0<\theta<360°$ 的普通扇形，周长要沿整个边界走一圈，包括一段弧和两条不同的半径边：

\boxed{P_{\text{扇}}=l+2r}

题目：半径为 $9\,\text{cm}$ 的扇形，弧长为 $6\pi\,\text{cm}$ 。求扇形面积和周长。

已知半径和弧长，面积直接使用：

S_{\text{扇}}=\frac12rl =\frac12\cdot9\cdot6\pi =27\pi\,\text{cm}^2

周长包括弧和两条半径：

P_{\text{扇}}=6\pi+9+9=(6\pi+18)\,\text{cm}

若只写 $6\pi\,\text{cm}$ ，回答的是弧长，不是扇形周长。

当 $\theta=360°$ 时，两条半径边重合在区域内部，扇形就是整个圆，边界只有圆周，周长应为 $2\pi r$ ，不能再加 $2r$ 。

半圆和四分之一圆

半圆和四分之一圆都是特殊扇形，所以不需要另背一套面积公式。

半圆的圆心角是 $180°$ ：

S_{\text{半圆}}=\frac12\pi r^2

半圆弧长是 $\pi r$ 。如果问半圆图形的周长，还要加直径：

P_{\text{半圆}}=\pi r+2r

四分之一圆的圆心角是 $90°$ ：

S_{\text{四分之一圆}}=\frac14\pi r^2

四分之一圆弧长是 $\dfrac{\pi r}{2}$ 。如果问整个四分之一圆的周长，还要加两条半径：

P_{\text{四分之一圆}}=\frac{\pi r}{2}+2r

“半圆周长”在有些口语题里可能指半段圆周，在几何题里通常指半圆这个封闭图形的全部边界。看图和文字判断；若题目写“半圆弧长”，只算 $\pi r$ 。

弓形要分小弓形和大弓形

一条弦把圆分成两块，每一块都由一段弧和这条弦围成，这样的区域叫弓形。较小的一块叫小弓形，较大的一块叫大弓形。

设弦的两个端点是 $A$ 、 $B$ ，圆心是 $O$ ，较小的圆心角 $\angle AOB=\theta°$ ，并且 $0<\theta\le180$ 。

小弓形：小扇形减圆心三角形

小扇形由小弓形和三角形 $AOB$ 拼成，所以：

\boxed{S_{\text{小弓}}=S_{\text{小扇}}-S_{\triangle AOB}}

若已经学过三角函数，圆心三角形面积还可以写成：

S_{\triangle AOB}=\frac12r^2\sin\theta

因此：

S_{\text{小弓}} =\frac{\theta}{360}\pi r^2-\frac12r^2\sin\theta

没有学过三角函数也没关系。题目通常会给可以直接求三角形面积的特殊角度或高，例如 $90°$ 时是等腰直角三角形， $60°$ 时是等边三角形。

大弓形：整圆减小弓形

大弓形不能写成“小扇形减三角形”。最稳的做法是：

\boxed{S_{\text{大弓}}=\pi r^2-S_{\text{小弓}}}

也可以看成大扇形再加上圆心三角形：

S_{\text{大弓}}=S_{\text{大扇}}+S_{\triangle AOB}

这里大扇形的圆心角是 $(360-\theta)°$ 。一个“加”，一个“减”，取决于你正在看弦的哪一侧。

例题：同一条弦两侧的弓形

题目：半径为 $10\,\text{cm}$ 的圆中，弦 $AB$ 所对的较小圆心角是 $90°$ 。求小弓形和大弓形面积。

先算 $90°$ 小扇形：

S_{\text{小扇}}=\frac{90}{360}\cdot\pi\cdot10^2=25\pi\,\text{cm}^2

两条半径垂直，三角形 $AOB$ 是直角三角形：

S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot10\cdot10=50\,\text{cm}^2

小弓形是小扇形减三角形：

S_{\text{小弓}}=(25\pi-50)\,\text{cm}^2

大弓形是整圆减小弓形：

S_{\text{大弓}} =100\pi-(25\pi-50) =(75\pi+50)\,\text{cm}^2

两块相加应回到整圆：

(25\pi-50)+(75\pi+50)=100\pi

这正好完成了面积检查。

如果弦是直径，较小圆心角是 $180°$ ，圆心三角形退化成一条线，面积为 0。两块弓形都是半圆。

圆环是大圆挖去小圆

两个同心圆之间夹着的区域叫圆环。设外半径为 $R$ ，内半径为 $r$ ，其中 $R>r$ 。圆环面积是外圆面积减内圆面积：

\boxed{S_{\text{环}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)}

利用平方差，还能写成：

S_{\text{环}}=\pi(R-r)(R+r)

$R-r$ 是圆环的宽，但只知道宽通常还不能确定面积，因为面积还和 $R+r$ 有关。两个圆环都宽 $2\,\text{cm}$ ，一个套在小圆外，一个套在大圆外，面积并不会相同。

只取圆环的一部分，就得到扇环。圆心角为 $\theta°$ 时：

\boxed{S_{\text{扇环}}=\frac{\theta}{360}\pi(R^2-r^2)}

例题：垫圈与扇环

题目：一个垫圈外圆直径为 $20\,\text{cm}$ ，内圆直径为 $12\,\text{cm}$ 。先求完整垫圈面积，再求其中 $135°$ 扇环的面积。

题目给的是直径，先分别求半径：

R=10\,\text{cm},\qquad r=6\,\text{cm}

完整圆环面积是：

S_{\text{环}}=\pi(10^2-6^2)=64\pi\,\text{cm}^2

$135°$ 占整圆的比例为：

\frac{135}{360}=\frac38

所以扇环面积是：

S_{\text{扇环}}=\frac38\cdot64\pi=24\pi\,\text{cm}^2

组合图形先把边界和区域拆开

组合图形没有一条万能公式。真正稳定的方法是先给每一块起名字，再写“谁加谁”或“谁减谁”。

面积题的三种基本动作

分块：互不重叠的几块面积相加。
挖空：大图形面积减去缺口面积。
补全：先补成熟悉图形，再减去补上的部分。

常见结构可以这样认：

图形结构	面积列式
正方形角落画四分之一圆	正方形 $-$ 四分之一圆
扇形中留下弧和弦之间的一片	扇形 $-$ 圆心三角形
大圆中挖去同心小圆	大圆 $-$ 小圆
大扇形中挖去同心小扇形	大扇形 $-$ 小扇形
两端是半圆的跑道形	矩形 $+$ 一个整圆

内部分界线不要重复算

两个图形拼在一起求面积时，公共边不影响面积；求组合图形周长时，公共边通常在内部，也不能算进外边界。面积是看覆盖了哪些区域，周长是沿最外圈走一遍，这两种“拆图”不能混用。

例题：正方形减四分之一圆

题目：正方形边长为 $8\,\text{cm}$ 。以一个顶点为圆心、边长为半径，在正方形内画一个 $90°$ 扇形。求正方形内、扇形外的面积。

正方形面积是：

S_{\text{正}}=8^2=64\,\text{cm}^2

$90°$ 扇形是四分之一圆：

S_{\text{扇}}=\frac14\pi\cdot8^2=16\pi\,\text{cm}^2

要的是正方形内、扇形外，所以用正方形减扇形：

S_{\text{阴}}=(64-16\pi)\,\text{cm}^2

若取 $\pi\approx3.14$ ：

S_{\text{阴}}\approx64-50.24=13.76\,\text{cm}^2

近似值为正，并且小于正方形面积 64，符合图形关系。

例题：跑道形的面积与周长

题目：一个跑道形由长 $20\,\text{m}$ 、宽 $8\,\text{m}$ 的矩形和两端两个直径为 $8\,\text{m}$ 的半圆组成。求它的面积和外周长。

两个半圆可以合成一个半径为 $4\,\text{m}$ 的整圆。跑道面积是矩形加整圆：

S=20\times8+\pi\times4^2 =(160+16\pi)\,\text{m}^2

求外周长时，矩形的两条短边已经被半圆替代，只保留两条长边。两段半圆弧合成一个整圆周：

P=2\times20+2\pi\times4 =(40+8\pi)\,\text{m}

若取 $\pi\approx3.14$ ，面积约为：

S\approx210.24\,\text{m}^2

外周长约为：

P\approx65.12\,\text{m}

图形缩放时，长度和面积走不同的倍率

把一个圆或扇形的所有长度都放大 $k$ 倍，圆心角不变，图形的形状也不变。

半径、直径、弧长和周长都是长度，所以都放大 $k$ 倍：

r' = kr,\qquad l'=kl,\qquad C'=kC

面积会放大 $k^2$ 倍：

S'=k^2S

从圆面积公式也能直接看出来：

\pi(kr)^2=k^2\pi r^2

扇形面积同样如此，因为圆心角比例没有变：

\frac{\theta}{360}\pi(kr)^2 =k^2\left(\frac{\theta}{360}\pi r^2\right)

例题：半径增加百分之五十

题目：一个圆的半径增加 $50\%$ ，新圆面积比原圆面积增加百分之多少？

半径增加 $50\%$ ，新半径是原来的：

1+50\%=1.5

倍。

面积倍率是长度倍率的平方：

1.5^2=2.25

新面积是原面积的 $225\%$ ，所以增加量是：

225\%-100\%=125\%

半径增加 $50\%$ ，面积不是增加 $50\%$ ，也不是增加 $100\%$ 。平方关系会把变化放大。

一套不容易乱的解题顺序

面对圆、扇形或阴影面积题，可以按下面的顺序走。

先圈出问题要的对象。是圆面积、弧长、扇形面积、扇形周长，还是某块阴影？对象不同，边界和公式就不同。

再统一长度单位，并找半径。题目若给直径就除以 2；给周长就用 $C=2\pi r$ 反求；有 cm 和 m 混用时先换算。

若出现扇形，先写它占整圆的比例 $\dfrac{\theta}{360}$ 。弧长乘圆周长，面积乘圆面积；已知弧长和半径时可直接用 $\dfrac12rl$ 。

若是组合图形，在图旁写出“加谁、减谁”。弓形要分大小，圆环要分内外半径，周长要排除内部公共边。

最后做三项检查：长度单位还是平方单位？近似值有没有写 $\approx$ ？答案大小是否符合图形包含关系？

保留 $\pi$ 的答案最适合继续做精确计算。只有题目要求小数、实际测量需要数值，或必须比较大小时，再在最后一步使用指定的 $\pi$ 近似值和取舍规则。

课后练习

练习一：一个圆形水池的直径为 $18\,\text{m}$ 。求面积的精确值，并取 $\pi\approx3.14$ 求近似值。

练习二：一个圆的周长是 $30\pi\,\text{cm}$ 。求它的半径和面积。

练习三：半径为 $6\,\text{cm}$ 、圆心角为 $120°$ 的扇形，求弧长、面积和扇形周长。

弧长：

l=\frac{120}{360}\cdot2\pi\cdot6=4\pi\,\text{cm}

面积：

S_{\text{扇}}=\frac{120}{360}\cdot\pi\cdot6^2=12\pi\,\text{cm}^2

扇形周长：

P_{\text{扇}}=l+2r=(4\pi+12)\,\text{cm}

最后一步别漏两条半径；更清楚的写法是 $(4\pi+12)\,\text{cm}$ 。

练习四：一个扇形的半径是 $2.5\,\text{m}$ ，弧长是 $160\,\text{cm}$ 。求扇形面积。

练习五：半径为 $5\,\text{cm}$ 的半圆，求面积、半圆弧长和整个半圆图形的周长。

练习六：半径为 $8\,\text{cm}$ 的四分之一圆，求面积和整个图形的周长。

练习七：半径为 $6\,\text{cm}$ 的圆中，弦所对的较小圆心角为 $60°$ 。求小弓形面积和大弓形面积。

$60°$ 小扇形面积：

S_{\text{小扇}}=\frac{60}{360}\pi\times6^2=6\pi\,\text{cm}^2

两条半径和弦组成边长为 6 的等边三角形，面积为：

S_{\triangle}=\frac{\sqrt3}{4}\times6^2=9\sqrt3\,\text{cm}^2

小弓形面积：

S_{\text{小弓}}=(6\pi-9\sqrt3)\,\text{cm}^2

大弓形面积是整圆减小弓形：

S_{\text{大弓}} =36\pi-(6\pi-9\sqrt3) =(30\pi+9\sqrt3)\,\text{cm}^2

练习八：圆环外半径为 $9\,\text{cm}$ ，内半径为 $5\,\text{cm}$ 。求完整圆环面积，以及其中 $90°$ 扇环的面积。

练习九：一个正方形边长为 $10\,\text{cm}$ ，里面画一个直径等于正方形边长的内切圆。求正方形内、圆外的面积。

圆的直径为 10，所以半径为 5。

正方形面积：

S_{\text{正}}=10^2=100\,\text{cm}^2

圆面积：

S_{\text{圆}}=\pi\times5^2=25\pi\,\text{cm}^2

所求面积：

S=(100-25\pi)\,\text{cm}^2

若取 $\pi\approx3.14$ ，则面积约为 $21.5\,\text{cm}^2$ 。

练习十：两个相似扇形的圆心角相同，大扇形半径是小扇形的 3 倍。大扇形的弧长和面积分别是小扇形的几倍？

把这一章收成一条线

圆面积公式不是凭图“猜”出来的。切成有限块时，重排图形仍有弯曲的锯齿边；继续细分，误差才能越来越小。内接与外切正多边形从两侧逼近，又把这件事托得更稳，最后得到：

S_{\text{圆}}=\frac12rC=\pi r^2

扇形没有另起炉灶。圆心角占 $360°$ 的比例，同时决定弧长和扇形面积：

l=\frac{\theta}{360}\cdot2\pi r

S_{\text{扇}}=\frac{\theta}{360}\cdot\pi r^2=\frac12rl

弓形要看弦的哪一侧，圆环要做大圆减小圆，组合图形则要把外边界与内部区域分开处理。无论图画得多复杂，最后仍是在做上一章练过的事：拆开、补全、相加、相减。

下一章会把这些平面图形“抬起来”。圆会成为圆柱和圆锥的底面，扇形会出现在圆锥的侧面展开图里。到那时，表面积也不是一串突然出现的新公式，而是把展开图上的每一块平面面积认真加起来。