圆，不只是一个“很圆的圈”

前面几章研究的三角形、四边形，边界都是一段一段的线段。你可以顺着顶点把边数出来，也可以沿对角线把图形拆开。到了圆，这套习惯忽然不够用了：圆周没有顶点，也找不到哪一小段才算“一条边”。它的边界是一条连续弯曲的线。

这不表示圆只能靠“看着很圆”来认识。恰恰相反，圆有一个比外形更硬的条件：先固定一个点，再固定一段距离，所有离这个点恰好这么远的点，合在一起就是圆。

这一章会反复做两件事：从圆心量距离，用弧来量角。等这两条线索接上以后，弦、切线、圆周角和两个圆的位置关系就不会再是一堆零散口诀。

圆是一圈边界，不是里面整块

在平面内，给定一个点 $O$ 和一个正数 $r$。所有满足 $OP=r$ 的点 $P$ 组成圆，记作 $\odot O$。点 $O$ 叫圆心，线段 $OP$ 叫半径，$r$ 也表示半径的长度。

定义可以写成一句很短的话：

拿一根长度不变的线，一端固定在 $O$，另一端绑住铅笔。只要始终把线绷紧，铅笔尖转一整圈留下的轨迹就是圆周。圆心决定它在哪里，半径决定它有多大。

这里要把“圆”和“圆盘”分开。圆只是那一圈边界，也就是满足 $OP=r$ 的点；圆盘还包括里面所有点，也就是满足 $OP\leq r$ 的点。日常说“一块圆形纸片”时，通常指圆盘；几何题说“点在圆上”时，指的是边界。

设任意一点 $P$ 到圆心的距离为 $d=OP$，它的位置只由 $d$ 和 $r$ 的比较决定：

为什么看着没问题还要证明

你很可能一眼就觉得“垂直于弦的直径应该把弦分成两半”“切线大概会垂直半径”。可一张图只能展示一种画法，画得稍微歪一点，眼睛就可能把不相等看成相等；画得太标准，又可能把还没证明的结论偷偷塞进图里。

几何因此把三类话分开。定义负责说明一个词是什么意思，例如圆就是到定点等距的点集；公理是大家同意拿来当推理起点的基本事实；定理则必须由定义、公理和已经证明过的结论一步步推出。后面每次连接半径、作垂线或添一条直径，目的都不是把图画复杂，而是给每一步找到能站住的理由。

先认清圆里的线和弧

圆没有边和顶点，但我们仍然要在圆上选点、连线、截取曲线。下面这些名字会贯穿整章。

半径、直径和弦

从圆心连到圆上一点的线段叫半径。同一个圆的所有半径都相等，因为“到圆心的距离等于 $r$”本来就是圆的定义。

两端都在圆上的线段叫弦。弦可以靠近圆心，也可以远离圆心；只要两个端点都在圆周上，它就是弦。

经过圆心的弦叫直径。若半径长为 $r$，直径长为 $d$，那么

直径是圆中最长的弦。假设 $AB$ 是任意一条弦，连接 $OA$、$OB$，由三角形两边之和不小于第三边，

只有当 $A$、$O$、$B$ 在同一直线上，而且 $O$ 位于 $A$、$B$ 之间时，等号才成立。这时 $AB$ 正好是直径。

弧、半圆和圆心角

圆上两点 $A$、$B$ 会把圆周分成两条弯曲的路，这两段都叫弧。短于半圆的那段叫劣弧，可以写成 $\widehat{AB}$；长于半圆的那段叫优弧，为了说明走的是哪一边，通常在中间再写一个点，例如 $\widehat{AEB}$。

如果 $AB$ 是直径，两条弧都正好占圆周的一半，每一条都是半圆。注意，半圆说的是圆周上的一段弧，不是半块圆盘。

两条半径 $OA$、$OB$ 夹出的角 $\angle AOB$ 叫圆心角。它的顶点必须在圆心。圆心角对着哪段弧，我们就说它截得哪段弧。

同一个圆里，圆心角的度数就是它所截弧的度数。例如 $\angle AOB=70^\circ$，那么对应劣弧 $\widehat{AB}$ 的度数也是 $70^\circ$。对优弧，则使用从 沿优弧方向转到 的优角（也叫反角），度数在 与 之间。因此“所截弧”总要和同方向的圆心角配对。这里说的是弧的度数，还不是弧有多少厘米；这两个量后面会专门分开。

两条半径和它们之间的弧围成的部分叫扇形。我们这一章只需要认出它，第 8 章再研究扇形和圆的面积。

割线和切线

一条直线与圆有两个公共点，它叫割线。割线向两头无限延伸，夹在两个交点之间的那一段则是一条弦。

一条直线与圆恰好只有一个公共点，它叫切线；唯一的公共点叫切点。切线看起来像从圆边“擦过去”，但正式判断不能只靠图形外观。稍后我们会用圆心到直线的距离，把这个“刚好”说清楚。

点、直线和两个圆都在比较距离

圆的定义把“在不在圆上”变成了一个距离问题。这个想法继续往前推，也能统一处理直线与圆、两个圆之间的位置关系。

直线与圆

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$。这里的距离不是随便连到直线上的一段，而是从 $O$ 向 $l$ 作垂线所得的垂线段长度。

为什么只看最短距离就够？设垂足为 $H$，在直线上取点 $X$，并把 $HX$ 的长度记作 $x$。直角三角形 $OHX$ 给出：

交点要满足 $OX=r$，也就是 $x^2=r^2-d^2$。当 $d>r$ 时无解； 时只有 ，即唯一交点 ； 时有 两个解，对应 两侧的两个交点。这样，公共点个数不再是靠图看出来的。

两个圆

设两个圆的半径为 $r_1$、$r_2$，并约定 $r_1\geq r_2$；两圆圆心距为 。两个关键距离是半径和 与半径差 。

当两个圆在外侧刚好碰到时，两个半径沿连心线首尾相接，所以 $d=r_1+r_2$。当小圆在大圆内部刚好碰到时，两条半径朝同一方向重叠，圆心距等于它们的差，所以 $d=r_1-r_2$。

把这两个临界值放到数轴上，位置关系就清楚了：

还有一个必须单独处理的情形：若 $d=0$ 且 $r_1=r_2$，两个圆完全重合，有无数个公共点；若 $d=0$ 但半径不同，它们是同心圆，小圆内含于大圆。

这张表也可以从三角形构造来证。如果 $P$ 是两圆的公共点，那么两圆心 $O_1,O_2$ 与 $P$ 构成三角形，三边长分别是 $r_1,r_2,d$。严格三角不等式 给出直线 两侧各一个对称交点；某一侧取等时三角形压成一条线，只留一个切点；超出这个范围时，连这个三角形都无法构造，因而没有公共点。

一条垂线为什么能管住整条弦

在圆内画一条弦 $AB$，再从圆心 $O$ 向弦作垂线，垂足为 $M$。这条看似普通的垂线，会同时平分弦和弦所对的两条弧。

垂径定理

经过圆心并且垂直于弦的直线，会平分这条弦，也会平分这条弦所对的两条弧。若直径所在直线在 $M$ 点垂直弦 $AB$，那么

当 $AB$ 不是直径时，垂直直径的两端还分别是弦所对劣弧和优弧的中点；若 $AB$ 是直径，则两条弧都是半圆，要按后面的特例理解。

这条定理为什么成立？先看 $AB$ 不是直径的情形。连接 $OA$、$OB$。在直角三角形 $\triangle OMA$ 和 $\triangle OMB$ 中，斜边 $OA=OB$，直角边 又是公共边，所以两个三角形由 HL 全等。于是 ，同时 。相等的圆心角截得相等的弧，所以直径一端所在的那条弧被平分；把 换成反向半径做同样的比较，另一条弧也被平分。

如果 $AB$ 本身是直径，垂直于它的另一条直径显然经过其中点 $O$；四个圆心角都是 $90^\circ$，所以两个半圆也各自被平分。这个退化情形不能套前面那对已经压扁的直角三角形，需要单独说明。

如果圆的半径是 $r$，圆心到弦的距离是 $h=OM$，就能在直角三角形里求半弦：

因此整条弦长为

这个公式还能告诉我们：在同一个圆里，弦离圆心越近，$h$ 越小，弦就越长；直径到圆心的距离为 $0$，所以它最长。

逆向使用时别漏条件

如果一条过圆心的直线平分一条不是直径的弦，那么它也垂直于这条弦。

仍设 $M$ 是弦 $AB$ 的中点。因为 $OA=OB$、$AM=MB$、$OM$ 是公共边， 与 全等，所以 。这两个角又拼成平角，只能各为 ，因此 。

为什么强调“弦不是直径”？如果 $AB$ 本身就是直径，那么圆心就是它的中点；任何另一条过圆心的直线都经过这个中点，却不一定垂直 $AB$。逆定理少了这个条件就会出错。

把正向和逆向合起来，可以得到一个很实用的作图结论：弦的垂直平分线一定经过圆心。拿到一段圆弧而圆心不见了时，取两条不平行的弦，作它们的垂直平分线，唯一交点就是圆心；若两弦平行，它们的垂直平分线可能重合，不能凭这两条弦锁定唯一交点。

等弦、等弧、等圆心角说的是同一件事

在同一个圆或半径相等的两个圆中，下面三件事可以互相推出：

先看“等圆心角推出等弦”。若 $\angle AOB=\angle COD$，连接四条半径。在 $\triangle AOB$ 与 $\triangle COD$ 中，两组半径分别相等，夹角也相等，所以两个三角形按边角边全等，得到 $AB=CD$。

反过来，若 $AB=CD$，两组三角形有三组对应边相等，按边边边全等，于是 $\angle AOB=\angle COD$。圆心角相等，它们在同圆上截出的劣弧自然也相等。

还可以再接上“到圆心的距离”：同圆中，两条弦相等，当且仅当它们到圆心的垂直距离相等。垂足会平分弦，再用两个直角三角形比较即可证明。

切线的“刚好碰到”可以证明

设直线 $l$ 在点 $T$ 与 $\odot O$ 相切。过切点的半径 $OT$ 一定垂直于切线：

为什么切线一定垂直半径

假设 $OT$ 不垂直 $l$，从 $O$ 向 $l$ 作真正的垂线 $OH$，垂足 $H$ 就不会与 $T$ 重合。垂线段最短，所以

这表示 $H$ 在圆内。可是一条直线只要穿过圆内，就会向两边各穿过一次圆周，产生两个公共点；这与 $l$ 只有一个切点矛盾。因此 $OT$ 必须垂直 $l$。

判定切线要把结论倒过来

如果点 $T$ 在圆上，而且过 $T$ 的直线 $l$ 满足 $OT\perp l$，那么 $l$ 就是圆在 $T$ 点的切线。

证明也很直接。取直线 $l$ 上任意另一个点 $X$，$\triangle OTX$ 是直角三角形，$OX$ 是斜边，因此

所以除 $T$ 外，直线上的点都在圆外。$l$ 与圆只有 $T$ 一个公共点，它就是切线。

这两句话长得很像，但用途不同：已知切线，可以推出半径垂直；想证明某条线是切线，就证明它经过圆上一点并垂直该点的半径。

同一点引出的两段切线相等

从圆外一点 $P$ 向圆作两条切线，切点分别为 $A$、$B$，那么

连接 $OA$、$OB$、$OP$。$\triangle OAP$ 与 $\triangle OBP$ 都是直角三角形，斜边 $OP$ 公共，两条半径 ，所以两个三角形全等，切线段 、 相等。与此同时， 还平分两条切线夹出的角。

两个圆相切时也有一条常用结论：两圆心和切点在同一直线上。这不需要先假定它们有共同切线。设切点为 $T$，则 $O_1T=r_1$、$O_2T=r_2$。外切时 ，三角不等式取等只能发生在 共线且 在两圆心之间时。内切时同理使用 ，得到三点共线。

把角的顶点移到圆周上

圆心角的顶点在圆心；如果一个角的顶点在圆周上，两边又都是弦，这个角叫圆周角。圆周角最关键的性质是：

圆周角的度数，等于它所截弧度数的一半。

圆周角 $\angle ACB$ 所截的是端点为 $A,B$、且不含顶点 $C$ 的那条弧。若这条弧是优弧，配对的圆心角也要取从 $OA$ 沿该弧方向转到 $OB$ 的优角，而不是小于 $180^\circ$ 的普通小角。这样约定以后，若圆周角 和圆心角 截同一条弧 ，那么

这“一半”从哪里来

从圆周角顶点 $C$ 画一条经过圆心 $O$ 的直径 $CD$。先看 $O$ 在圆周角内部的情形，假设这条直径把 $\angle ACB$ 分成 $x$ 和 $y$ 两部分。

在 $\triangle AOC$ 中，$OA=OC$，所以它是等腰三角形；圆心处相邻的外角等于两个底角之和，于是对应那一部分圆心角是 $2x$。同理，另一部分圆心角是 $2y$。因此截同一条弧的整个圆心角为

而圆周角正是 $x+y$，所以圆周角等于圆心角的一半。

若 $O$ 在圆周角外部，经过 $C,O$ 的直径落在角的一侧。两个等腰三角形仍分别给出 $2x$、$2y$，只是原圆周角为 $|x-y|$，它所截弧对应的圆心角也为 $\mathrm{\mid }2x-2y\mathrm{\mid }$。若 恰好落在角的一边上，其中一部分为 0，同一等式仍成立。于是圆心在角内、角外或角边上三种位置都覆盖到了。

这类证明里，辅助直径不是凭空添的。它把一个圆周角拆进两个等腰三角形，让“半径相等”真正参与推理。

三个马上能用的结论

同一条弧所对的圆周角都相等。因为它们都等于这条弧度数的一半，顶点在圆周上挪动并不会改变角的大小。

直径所对的圆周角是直角。直径截得半圆，半圆是 $180^\circ$，所以对应圆周角为

反过来，如果一个圆周角是 $90^\circ$，它所对的弧就是 $180^\circ$，所以它所对的弦是直径。

还有一个常见结果：圆内接四边形的对角互补。两个对角分别截得两条合起来为整圆的弧，因此

圆周上、圆内、圆外的角各有一条规则

我们已经知道，顶点在圆心时，角等于所截弧；顶点在圆周上时，角等于所截弧的一半。顶点继续移动，落在圆内或圆外，也有规律可循。

切线和弦夹出的角

在切点 $A$ 处作切线，再从 $A$ 作弦 $AB$。切线与弦夹出的角，等于它所截弧的一半，也等于同弧所对的圆周角：

设 $m\angle AOB=\theta$。$\triangle AOB$ 是等腰三角形，所以

切线垂直 $OA$，因此切线与弦对应劣弧的较小夹角为

这就是弦切角定理。画图时要看清角的开口朝向：对应劣弧的是较小夹角，对应优弧的是它的补角；若弦 $AB$ 是直径，两者都是 $90^\circ$，不再叫锐角。

两条弦在圆内相交

弦 $AB$、$CD$ 交于圆内一点 $P$。$\angle APC$ 的度数等于它和对顶角所截两条弧度数和的一半：

这个公式里的“和”并不神秘。连接一个合适的端点，把 $\angle APC$ 看成三角形的一个外角，它会被拆成两个圆周角；每个圆周角各取一条弧的一半，加起来就是上式。

两条线在圆外相交

若从圆外一点 $P$ 引出两条割线，第一条依次交圆于 $A$、$B$，第二条依次交圆于 $C$、$D$，那么

圆外角取“远弧减近弧”的一半。两条割线中的一条或两条逐渐移到只与圆相切时，同样的差弧思路仍然适用。

线段长度也有同一种乘积关系

这一组公式属于基础内容的进阶部分，先认清“每条线被分成哪几段”比背字母更重要。

两条弦 $AB$、$CD$ 在圆内交于 $P$：

两条割线从圆外一点 $P$ 出发，依次交圆于 $A$、$B$ 和 $C$、$D$：

这里 $PA$、$PC$ 是圆外段，$PB$、$PD$ 是从 $P$ 到远端交点的整段。若一条线变成切线 $PT$，另一条仍是割线 $PAB$，则

这些乘积不是只靠图形观察得到的。

• 对圆内相交弦，连接 $AC$、$BD$。$\angle APC=\angle DPB$ 是对顶角；$\angle ACP$ 与 $\angle DBP$ 都是同弧 所对的圆周角。因此 ，从

它们看着像三条公式，实际表达的是同一件事：从固定点 $P$ 出发，这个乘积不会因为射线方向改变而改变。

从多边形逼近圆周，再认识 π

圆周长是沿圆周走一整圈的长度，记作 $C$。拿许多大小不同的圆去测，会发现圆周长与直径的比值总相同。这个固定比值叫圆周率：

为什么所有圆共用同一个比值？任意两个圆都相似。半径放大几倍，所有线性长度都跟着放大几倍，直径和圆周长会按同样的倍数变化，所以它们的比不变。

于是圆周长公式不是额外冒出的口诀，而是把 $\pi=C/d$ 重新整理：

$\pi$ 不是 $3.14$。$3.14$ 只是常用近似值，$\pi$ 的小数部分无限延伸且不循环。题目要求精确值时，保留 $\pi$ 往往更准确。

曲线长度怎么量

直尺擅长量线段，却不能直接贴合弯曲的圆周。一个经典办法是在圆内接正多边形。正方形的周长离圆周还比较远，正八边形更近，边数继续增加，多边形的边会越来越短，轮廓也越来越贴近圆。

内接多边形的周长始终小于圆周长，但可以与圆周长相差任意小；从圆外作正多边形，还能从另一侧把圆周长夹住。这就是“逼近”或“极限”的直觉：每一步仍是折线，却可以把误差压得比任何预先给定的小数还小。

这个想法稍后会在第 6 章出现一次：边数越来越多的正多边形，外形会越来越像圆。

弧的度数和弧长不是同一个量

弧的度数说明它占一整圈的角度份额，单位是度；弧长说明沿这段曲线实际走了多远，单位是厘米、米等长度单位。

若半径为 $r$，圆心角为 $\theta^\circ$，整圆 $360^\circ$ 的周长是 $2\pi r$。这段弧占整圆的 $\theta/360$，所以弧长 为

同样是 $60^\circ$ 的弧，在大圆上会比在小圆上长；它们的度数一样，实际长度却随半径变化。到这里先把圆周和弧长说清楚，圆面积与扇形面积留到第 8 章再完整推导。

例题：把定理接成一条推理链

判断直线和两个圆的位置

题目：圆 $\odot O$ 的半径为 $6$，圆心到直线 $l$ 的距离为 $4$。另有圆 $\odot O_2$，半径为 $3$，且 。分别判断直线与圆、两个圆的位置关系。

同一道题用了两种距离：直线问题用圆心到直线的垂直距离，两圆问题用两个圆心之间的距离。别把它们混成同一个 $d$。

用垂径定理求弦长

题目：半径为 $13$ 的圆中，弦 $AB$ 到圆心的距离为 $5$，求弦长。

这个题最容易漏掉最后的乘 $2$。直角三角形里求出的通常只是半弦。

用勾股定理判定切线

题目：点 $P$ 在半径为 $5$ 的圆外，$T$ 在圆上。已知 $PT=12$，$OP=13$，证明 $PT$ 是圆在 点的切线。

题目不是先告诉你“它是切线”再求长度，而是让你证明切线，所以最后必须写出判定定理。

从圆心角追到圆周角和弦切角

题目：在 $\odot O$ 中，劣弧 $\widehat{AB}$ 的度数为 $136^\circ$。点 $C$ 在优弧 $\widehat{AB}$ 上，过 作切线。求 以及切线与弦 所成的锐角。

这道题把两条定理接在了一起：同一条弧，圆周角取一半，弦切角也取一半，所以这两个角相等。

两弦相交时求长度和角

题目：先看一张长度图：弦 $AB$、$CD$ 交于圆内一点 $P$，已知 $PA=3$、$PB=12$、$PC=4$，求 。再看另一张独立的角度图：两弦交成 ，它和对顶角所截两弧的度数分别为 、，求 。

长度用乘积，角度用弧的半和。先看题目问的是哪一种量，可以避免把两套规则串错。

周长和弧长保留 π

题目：一个圆的直径为 $18\text{ cm}$，求圆周长；其中一段弧所对的圆心角为 $80^\circ$，求这段弧长。

这里保留 $\pi$ 得到的是精确值。只有题目要求小数时，才把 $\pi$ 换成指定的近似值。

练习：先画图，再决定用哪条定理

练习 1：圆的半径为 $7$。点 $A$、$B$、$C$ 到圆心的距离分别为 $5$、$7$、$9$。判断三个点的位置。

练习 2：两圆半径分别为 $8$ 和 $3$。当圆心距依次为 $12$、$11$、$7$、$5$、$2$ 时，判断两圆的位置关系。

练习 3：半径为 $10$ 的圆中，弦 $AB$ 长 $16$。圆心 $O$ 到弦的距离是多少？

练习 4：同一个圆中，弦 $AB=CD$，且 $m\angle AOB=84^\circ$。求劣弧 $\widehat{CD}$ 的度数。

练习 5：一条直线经过圆上点 $T$，圆心为 $O$。有人说“只要它经过 $T$，它就是切线”。请指出问题，并给出正确判定。

练习 6：从圆外一点 $P$ 向圆作两条切线 $PA$、$PB$。已知 $PA=15$，求 $PB$；若 $\angle APB=50^\circ$，求 。

练习 7：$AB$ 是圆的直径，$C$ 是圆上另一点。若 $\angle BAC=34^\circ$，求 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$。

练习 8：圆内两弦 $AB$、$CD$ 交于 $P$。已知 $m\widehat{AC}=96^\circ$，，求 。

练习 9：从圆外一点 $P$ 作切线 $PT$ 和割线 $PAB$，其中 $A$ 是近点，$B$ 是远点。已知 $PA=4$，$$，求 。

练习 10：一个圆的半径为 $12\text{ cm}$。求它的圆周长，以及圆心角为 $150^\circ$ 的弧长。

从曲线回到许多条直边

现在再看圆，最有用的入口不是“它很圆”，而是“圆周上的点到圆心都等距”。从这个定义出发，我们用距离判断位置，用半径和全等研究弦与切线，又用弧把圆心角、圆周角和各种交角连了起来。

下一章会回到由线段围成的多边形，并研究图形怎样通过折叠或旋转与自己重合。圆在任何绕圆心的角度下都能与自己重合，可以看成旋转对称最充分的图形；正多边形则像是在用有限条直边逐步靠近这种均匀性。至于圆盘到底有多大、扇形面积怎样由圆心角分得，第 8 章会再回到圆上，把面积这件事完整讲透。

得到 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$。

所以 $PD=9$。

所以圆心到弦的距离为 $6$。