几何到底在说什么

你拿铅笔在纸上戳一下，会留下一个小黑点；沿着尺子画一道，会得到一条细线；把手掌贴在桌面上，又能摸到一块平平的区域。几何就是从这些经验开始的，但它不会停在这些实物上。

纸上的墨点有直径，铅笔线有粗细，桌面有厚度和边缘。数学里的点、线、平面却把这些现实细节都去掉了：点只表示位置，线没有粗细，平面没有厚度，还可以一直延伸。我们画出来的只是它们的“代言人”。

这个区别会改变你读图的方式。以后看到一条线画得有点斜，不能立刻说它和另一条线不垂直；看到两段差不多长，也不能直接宣布它们相等。图负责帮我们想，条件和推理才负责把结论坐实。

所以，这一课不只是记几个名词。我们要把几何的基本对象、语言和推理规则一起搭起来。后面每一次测量、作图和证明，都会用到这套地基。

先分清理想对象和纸上的记号

几何研究位置、形状和大小。为了让推理不被材质、颜色、磨损这些因素打断，它使用的是理想化对象。

你可以把这种做法理解成画地图。地图上的小圆圈不是一座城市，细线也不是一条真的公路；它们只是保留了当前问题最需要的信息。几何图也是这样。

点：只回答“在哪里”

数学里的点只有位置，没有长度、宽度和厚度。

我们通常用大写字母给点命名，例如点 $A$、点 $B$、点 $P$。纸上的圆点画得大一点还是小一点，不会改变它代表的是哪个位置。那个圆点只是方便眼睛找到它，并不是点本身。

这也解释了一个看似奇怪的说法：点没有大小，却可以成为线段的端点或两条线的交点。这里说的是位置关系，不是拿一个小圆珠堵在线的尽头。

直线：只有长度方向，没有粗细

几何里的直线没有宽度和厚度，只保留沿一个方向延伸的位置关系。纸上的笔迹当然有宽度，但我们推理时忽略这件事。本课程没有特别说明时，简称的“线”通常指直线。

本课程里如果只说“直线”，指的是向两边无限延伸的直线。画面装不下无限长的对象，于是我们只画一小截，并在两端添箭头。箭头不是装饰，它提醒你：线没有在纸边停下。

平面：没有厚度的无限平坦区域

平面可以想成一张无限大、无限薄的纸。桌面、墙面、平静水面都能帮助我们想象平面，但它们只是模型：桌面有边缘，墙有厚度，水面也不可能无限展开。

平面常用一个大写花体字母或一个大写字母命名，例如平面 $M$。也可以用平面内三个不共线的点来命名，例如平面 $ABC$。

从维度看，点是零维；线是一维；平面是二维。这里的“几维”是在说需要几个彼此独立的方向来描述位置，不是在数纸上画了几条边。

点、线、平面怎样待在一起

只认识单个对象还不够。几何题真正关心的，往往是它们之间的关系。

一个点落在一条直线上，我们说这个点在该直线上，也可以说直线经过这个点。点不在直线上，就说点在直线外。

一组点在同一条直线上，叫共线。任意两个不同的点本来就能确定一条直线，所以“共线”通常要到三个或更多点时才提供新信息。例如 $A$、$B$、$C$ 都在直线 $l$ 上，就可以说这三点共线。

若几个点或几条线都位于同一个平面内，就说它们共面。一张纸上画出的对象通常被当作共面对象，但题目进入立体情境后，不能只凭它们恰好画在同一页上就说共面。

两点确定一条直线

在纸上任取两个不同的点 $A$、$B$，拿直尺去比。直尺只有一种方向能同时通过这两个点。换句话说：

经过两个不同的点，有且只有一条直线。

“有”保证你能把它画出来；“只有一条”保证不会出现第二条不同的直线也同时经过这两个点。这句话通常被当作几何的基本公设，后面的推理可以直接使用它。

它立刻带来一个结果：两条不同的直线不可能有两个公共点。假如直线 $l$ 和直线 $m$ 都经过 $A$、$B$，那么根据“两点确定一条直线”，它们只能是同一条直线，与“不同”矛盾。因此，两条不同的直线若相交，只会有一个交点。

注意这里没有说“任意两条直线一定相交”。在同一平面内，两条不同直线没有公共点时叫平行线；进入空间后，还会有不共面且不相交的异面直线。后面讲平行线和立体几何时会分别处理。

三个不共线的点确定一个平面

拿三支铅笔，让三个笔尖顶住一张硬纸板。如果三个笔尖没有排成一条直线，纸板的姿态就被固定了。这个实验只帮我们想象空间关系，不是证明；下面这句话是三维欧氏空间里可以直接使用的基本公设：

经过三个不共线的点，有且只有一个平面。

为什么一定强调“不共线”？如果 $A$、$B$、$C$ 全在同一条直线上，就可以让一张平面像绕轴一样围着这条直线转动。每转到一个新位置，仍然有一个平面经过这三个点，因此不能唯一确定平面。

直线、射线、线段不是一回事

这三种对象在纸上都像“一道直痕”，最可靠的分法却不是看它画得长不长，而是问两个问题：有几个端点？朝几个方向无限延伸？

直线：没有端点，向两边无限延伸

经过 $A$、$B$ 两点的直线可以记作 $\overleftrightarrow{AB}$，读作“直线 $$”。也可以交换顺序写成 ，两种写法表示同一条直线。

$A$、$B$ 是直线上的两个点，不是直线的端点。直线根本没有端点。

射线：一个端点，只向一边无限延伸

从点 $A$ 出发，经过点 $B$ 并继续向前的射线，记作 $\overrightarrow{AB}$。

这里的字母顺序不能随便换。第一个字母 $A$ 是端点，第二个字母 $B$ 用来确定方向。当 $A\ne B$ 时，$\overrightarrow{AB}$ 与 端点不同，并沿同一条直线朝相反方向延伸，所以必然不是同一条射线。

不过，名字不同的射线也可能是同一条。若三点按 $A-B-C$ 的顺序共线，那么 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 都从 出发并向同一边延伸，所以它们是同一条射线。

线段：两个端点，长度有限

直线上 $A$、$B$ 之间的有限部分叫线段 $AB$，记作 $\overline{AB}$。它有两个端点，交换字母顺序不会改变对象：$\overline{AB}$ 与 是同一条线段。

只有线段能直接谈一个确定的有限长度。直线向两边无限延伸，射线向一边无限延伸，所以它们没有一个可以用普通尺子量完的“整条长度”。

一张表把区别钉牢

“延长”要说清方向

“延长线段 $AB$ 到点 $C$”还不够明确，最好说明点的顺序。

• 若顺序是 $A-B-C$，就是越过 $B$ 继续画；
• 若顺序是 $C-A-B$，就是越过 $A$ 继续画。

直线已经向两边无限延伸，因此“延长一条直线”没有意义。射线也已经向自己的方向无限延伸；若题目说“反向延长射线”，实际是在端点另一侧补出直线的另一半。

距离把图形变成了数

我们要很早就分清两件事：

• $\overline{AB}$ 表示线段这个几何对象；
• $AB$ 表示线段 $\overline{AB}$ 的长度，是一个数。

例如，$AB=5\ \text{cm}$ 是说线段 $AB$ 长 5 厘米。两条线段在不同位置、朝向不同，也可能具有相同长度。

两点之间的距离，定义为连接这两点的线段长度。因此点 $A$ 到点 $B$ 的距离就是 $AB$，并且 $AB=BA$。

尺子不必从零刻度开始

若点 $A$ 对应数轴上的数 $a$，点 $B$ 对应数 $b$，两点间距离是

绝对值保证距离不会变成负数。例如一条线段从尺子的 3 cm 刻度开始，到 8 cm 刻度结束，它的长度不是 8 cm，而是

同理，数轴上 $A(-4)$ 与 $B(3)$ 的距离为

线段加法有一个不能漏的条件

若 $A$、$B$、$C$ 共线，而且 $B$ 位于 $A$ 与 $C$ 之间，那么整段等于两个部分之和：

这叫线段加法公设。它说的其实就是“整体等于各部分之和”，但前提必须写清：三点共线，且 $B$ 在中间。

如果只知道 $AB=5$、$BC=7$，不能马上断定 $AC=12$。点 $A$、$B$、$$ 可能不共线；即便共线，也可能是 在 、 之间。图上谁在中间，决定你该用加法还是减法。

中点不只是“看起来在中间”

点 $M$ 是线段 $\overline{AB}$ 的中点，包含两层意思：

1. $M$ 在线段 $\overline{AB}$ 上；
2. $AM=MB$。

这两个条件缺一不可。只知道 $AM=MB$，点 $M$ 还可能跑到线段外的其他位置；只知道 $M$ 在线段上，也不能保证它刚好平分线段。

若 $M$ 是 $\overline{AB}$ 的中点，那么

反过来，若 $M$ 在线段 $\overline{AB}$ 上，并且 $AM=MB$，就可以根据定义判定 $M$ 是中点。本课程还把“每条线段有且只有一个中点”当作可直接使用的基本事实：“有”保证能找到它，“只有一个”保证不会出现两个不同中点。

定义、公理和定理各管什么

第一次学证明时，最容易冒出来的问题是：“什么都要证明，那证明的第一步从哪里来？”

答案是：不是什么都从零开始。几何先约定基本对象和基本规则，再从这些起点推出新结论。

定义是在规定词的意思

定义告诉我们一个术语在数学中怎样使用。

例如，“线段的中点是在线段上、到两个端点距离相等的点”。它既能向前用，也能反过来用：

• 已知 $M$ 是中点，可以得到 $M$ 在线段上且 $AM=MB$；
• 已知 $M$ 在线段上且 $AM=MB$，可以判定 $$ 是中点。

定义不是通过观察总结出来的规律，也不是等待证明的猜想。它是在给一个词划清边界。

公理或公设是推理的起点

公理是被接受为真的基本陈述，不再在当前体系里证明。几何教材也常用“公设”这个词。若细分，公理往往适用于更广泛的数量关系，公设更偏向几何对象和作图；在很多现代课程里，两者可以看作同一类起点。

例如：

• 等量加上等量，所得的和仍相等；
• 整体的量等于互不重叠的各部分的量之和；
• 经过两个不同的点，有且只有一条直线；
• 若 $B$ 在 $A$、$C$ 之间，则 $AB+BC=AC$。

公理不是“老师不想证明”，而是推理必须有起点。否则证明一句话要靠另一句话，另一句话又要继续往前找理由，永远无法开始。

定理是已经用逻辑证明过的结论

定理是需要由定义、公理和已经证明过的结论推出的陈述。证明完成后，这个定理又能成为后续证明的工具。

例如，“两条不同直线至多有一个公共点”不是凭图看出来的。它可以从“两点确定唯一一条直线”推出，因此属于能证明的结论。

有些结论几乎紧跟着某个定理就能得到，常被叫作推论。名称不如来源重要：只要不是定义或公理，使用时就应该能指出它为什么成立。

一个简单的分类检查

为什么图不能替你证明

画图当然有用。它能帮你整理条件、发现中间关系、猜到应该连接哪两个点。可一幅图只展示了某一种画法，而且常常不按比例。

假设图上两条线段看起来一样长。可能是画图的人碰巧画得接近，也可能只是屏幕缩放造成的。除非题目给出长度、相同刻痕，或者你已经证明它们等长，否则“看着一样”不能当理由。

同样，下面这些事情也不能只靠目测：

• 两条线是否平行或垂直；
• 一个点是不是中点；
• 两个角是否相等；
• 一个角是否恰好是直角；
• 图形是否对称。

题目明确写出的条件、数字、箭头、直角小方框、相同刻痕，才是可以使用的信息。

图能告诉我们什么

在普通几何示意图中，我们可以依照它表达的基本连接关系来读图，例如哪些点画在同一条已标明的线上、哪两条线在某点相交、某条射线位于哪个角的内部。可一旦结论涉及相等、平行、垂直或精确大小，就必须找文字条件、标准标记或推理依据。

说得直接一点：图是草稿纸，不是证人。它可以给你线索，却不能替结论作证。

证明就是一条不断对账的推理链

一个几何命题通常有两部分：

• 已知：允许你使用的条件；
• 求证：你最终必须到达的结论。

证明时，每向前走一步，都要问：“这句话从哪里来？”答案应该是已知条件、定义、公理，或者前面已经证明的结论。

从终点往回想，再从起点往前写

找证明思路时，可以先盯住求证：要得到这个结论，我还缺什么？这叫从目标向后分析。

正式写下来的证明，则通常从已知出发，把可靠的事实一个个接起来，直到走到求证。这叫从条件向前综合。

这两种方向并不打架。前者帮你找路，后者把找到的路清楚地交给读者。

第一条完整推理链

已知 $A$、$B$、$C$、$D$ 按 $A-B-C-D$ 的顺序在同一条直线上，并且 $A$。求证：。

先别靠图猜。我们真正能用的信息是点的顺序和 $AB=CD$。

这段证明里没有高深技巧，价值却很大。我们没有写“从图上显然可见”，而是把每一步的理由摆出来：线段加法、等式性质、代换。读者不必相信画图的手艺，只需要检查推理有没有断。

遇到几何题，先做这四件事

很多题算起来不难，真正费劲的是不知道从哪里下手。可以先按下面的顺序整理。

看清题目到底要什么

把求解目标写成一句短话：求一段长度、判断两个对象是否相同，还是证明某个关系？问题若有两问，就分开列出，不要算出一个数就匆忙停笔。

筛出能用的条件

把点的顺序、共线关系、中点、已知长度和等量关系圈出来。尤其留意“在……之间”“中点”“延长到”这样的词，它们决定你能不能使用线段加法。

画一幅带标记的简图

图不必漂亮，但点名、端点、箭头和已知数字要完整。若图不是按比例画的，也没有关系；它的任务是保存关系，不是展示精确外观。

选规则，算完再检查

决定要使用哪个定义、公理或已知结论。算完后至少检查三件事：有没有回答全部问题；长度是不是非负；各部分相加能不能回到整体。

例题：把概念用起来

同一条射线可以有几个名字

直线上的四个点从左到右依次为 $A-B-C-D$。判断下面各组是不是同一条射线。

（1）$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AD}$

（2）$\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{BC}$

（3）$\overrightarrow{DA}$ 与 $\overrightarrow{DC}$

尺子没有从零开始

线段 $\overline{PQ}$ 的两个端点分别落在尺子的 2.5 cm 和 9 cm 刻度上。求 $PQ$。

先确认谁在中间

点 $M$ 在线段 $\overline{AB}$ 上，$AM=3\ \text{cm}$，$AB=8\ \text{cm}$。点 $$ 是 的中点。

（1）求 $MB$；

（2）求 $AN$ 和 $NB$；

（3）$M$、$N$ 谁更靠近 $B$？

用线段加法列方程

点 $P$、$Q$、$R$ 按 $P-Q-R$ 的顺序共线。已知

求 $x$、$PQ$ 和 $QR$。

五个点能确定多少条线段

一条直线上从左到右依次有 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五个不同的点。以这些点为端点，一共能得到多少条不同的线段？

若有 $n$ 个不同的点，每两个点确定一条线段，一共可以得到

这条公式是从“选两个端点”推出来的，不是因为前几个数字看着像就直接猜出来的。

随堂检查

课后练习

基本对象与关系

练习一：判断下面说法是否正确，并说明理由。

（1）一支削得很尖的铅笔，它的尖端就是数学中的点。

（2）三个不同的点一定能确定唯一一个平面。

（3）两条不同的直线若有公共点，只能有一个公共点。

命名和方向

练习二：点 $A$、$B$、$C$、$D$ 按 $A-B-C-D$ 的顺序共线。

（1）写出与 $\overrightarrow{AC}$ 相同的另一条射线；

（2）写出一条与 $\overrightarrow{BC}$ 方向相反、端点也为 $B$ 的射线；

（3）$\overline{AD}$ 和 $\overline{DA}$ 是不是同一条线段？

距离和线段加法

练习三：数轴上点 $P$ 对应 $-6$，点 $Q$ 对应 $2.5$。求 $PQ$。

练习四：点 $B$ 在线段 $\overline{AC}$ 上，$AB=2x+3$，$BC=x-1$，。求 、、。

中点与条件

练习五：点 $M$ 是线段 $\overline{PQ}$ 的中点，$PM=3x-2$，$MQ=x+6$。求 和 。

已知、求证和理由

练习六：$A$、$B$、$C$ 按 $A-B-C$ 的顺序共线，$AB=6$，$$。有人写道：“因为图上 最长，所以 。”请指出问题，并补成一条完整推理。

练习七：把下面四句话分别归入“定义”“公理或公设”“定理”“猜想”。

（1）经过两个不同的点，有且只有一条直线。

（2）观察前五幅图后，猜测有 $n$ 个点时总能得到 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 条线段。

（3）中点是在线段上且到两个端点距离相等的点。

（4）两条不同的直线至多有一个公共点。

带着这套语言走向角

到这里，几何的第一层规矩已经搭好了：点、直线、平面是理想对象；共线和共面描述它们怎样摆在一起；直线、射线、线段靠端点和延伸方向区分；距离、中点和线段加法把图形关系翻译成了可以计算的数。

更重要的是，我们开始区分“看起来如此”和“能够证明”。定义把词说准，公理提供起点，定理靠一条有理由的推理链得到。以后图形越来越复杂，这条规矩不会变。

下一步，我们把两条有共同端点的射线放在一起。它们之间会形成一个“张开的口子”，这就是角。角怎样命名、怎样测量，为什么边画得长短不影响角的大小，会是接下来要解决的问题。

以及

代入数值得

（2）可以写 $\overrightarrow{BA}$。它从 $B$ 出发向左，而 $\overrightarrow{BC}$ 从 $B$ 出发向右。

（3）是同一条线段。线段由两个端点确定，交换端点的书写顺序不会改变线段。

于是

验算 $13+4=17$，条件满足。

此时

所以

代入 $AB=6$、$BC=4$，得到