线性代数研究什么：方程、向量与变换

先从一个很小的问题开始。

社团开放日前，要做两类展板。数据展板每块需要 2 小时排版，说明展板每块需要 1 小时排版，今晚一共能用 5 小时；同时，数据展板要比说明展板多做 1 块。设两类展板的数量分别是 $x$ 和 $y$，条件可以写成：

你当然可以用代入法，很快算出 $x=2, y=1$。可线性代数真正关心的不只是这两个数。它还会追问：两个条件为什么可以画成两条直线？系数为什么能排成矩阵？矩阵乘向量为什么要用行乘列？矩阵又为什么能表示对整个平面的拉伸、旋转或压扁？

有意思的是，这些问题并没有各自独立的答案。方程组、向量组合、矩阵方程和线性变换，其实是在用四种语言描述同一个过程。本章就从这组简单的数字出发，把四种语言一层层接起来。

方程给出条件，列向量给出可用的方向，矩阵则把所有条件和方向收进同一个规则。

先把“线性”说清楚

一次还不够，关键是能叠加

只看式子的外形，线性表达式由下面这类项相加而成：

每个未知数只乘一个固定系数。未知数之间不相乘，不出现平方、开方、指数或三角函数。因此下面两个表达式是线性的：

下面三个不是：

但只记住“未知数是一次数”还不够。线性更值得记住的含义是：不同输入产生的效果可以直接叠加。

回到展板问题。把计划 $(x,y)$ 送进第一个条件，得到所需时间 $2x+y$。如果计划甲需要的时间是 $L(\mathbf{u})$，计划乙需要的时间是 $L(\mathbf{v})$，把两份计划合在一起，需要的时间就是：

把一份计划扩大到原来的 $c$ 倍，所需时间也扩大到 $c$ 倍：

这两条性质分别叫可加性和齐次性。合在一起，它们说的就是同一件事：先组合输入再计算，和先计算各自效果再组合，结果相同。矩阵之所以好用，根子就在这里。

右端常数不会破坏方程的线性

线性方程通常写成：

右边的 $b$ 可以不是零。线性的是左边把未知数送到一个输出的规则；方程则要求这个输出恰好等于目标 $b$。在展板问题中，$2x+y$ 是总时间规则，$5$ 是今晚的时间上限；$x-y$ 是数量差规则，$1$ 是要求达到的差值。

这也解释了一个常见困惑：$f(x)=2x+1$ 的图像虽然是一条直线，但它不是线性变换，因为 $f(0)=1$，零输入没有被送到零输出。更准确地说，它是带平移的仿射规则。图像是不是直的，只是线性的一个表面线索；能不能保留加法和数乘，才是判断标准。

表达式、方程、方程组

这三个词处在不同层次。$2x+y$ 是一个表达式，它根据 $x,y$ 算出一个量。$2x+y=5$ 是一个方程，它给输入加上一条必须满足的条件。把几条方程放在一起，并要求同一组未知数同时满足，才得到方程组。

说得直接一点：表达式负责计算，方程负责筛选，方程组负责同时筛选。

行图像：把每个条件画出来

先从最熟悉的平面坐标看原问题：

第一个方程可以改写为 $y=5-2x$，所以它在 $xy$ 平面上是一条直线。直线上的每个点都满足第一个条件。第二个方程可以改写为 $y=x-1$，它是另一条直线，线上每个点都满足第二个条件。

方程组要求两个条件同时成立，因此解必须同时待在两条直线上。两条直线唯一的公共点是 $(2,1)$，这就是方程组的解。

逐行看方程组，每一行给出一条直线；两行都满足的位置就是交点。

因为矩阵中的每一行将来会记录一个方程，所以这种几何观察叫行图像。它让“同时满足”变得非常具体：在第一条线上还不够，还必须也在第二条线上。

用消去法把交点算出来

图能帮我们看懂问题，但精确坐标仍要靠代数计算。这里用一次消去：

代数给出的解还要放回语境检查。这里的 $x,y$ 表示展板数量，所以必须是非负整数；$(2,1)$ 正好符合。若方程算出 $x=2.4$，它在纯代数上可以是解，在这个制作问题里却不能直接解释成 2.4 块展板。建模时，方程负责关系，语境负责额外限制。

消元不是凭空发明新条件，而是在不改变共同解的前提下，把原条件换成更容易读取的等价条件。交换两条方程、把某条方程乘以非零常数、把一条方程的倍数加到另一条上，都会保留原来的解集。后面学习高斯消元时，我们会把这套动作做成稳定的算法。

解不一定是一个点

两条直线只有三种相对位置：相交于一点、互相平行、完全重合。因此二元方程组也可能有三种结果。

例如，$x+y=3$ 与 $2x+2y=7$ 的左边明明是两倍关系，右边却不是，所以不可能同时成立。消元会把矛盾暴露成 $0=1$ 一类假等式。反过来，$x+y=3$ 与 描述同一条直线，第二个条件没有增加任何限制，于是整条线上的点都是解。

列图像：把目标向量拼出来

现在不逐行看条件，改为按未知数收集系数。原方程组可以写成：

这里的两列不是随便从表格里切出来的。第一列 $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ 记录“增加一块数据展板”对两个条件分别带来什么变化：总时间增加 2，数量差增加 1。第二列 $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ 记录“增加一块说明展板”的影响：总时间增加 1，数量差减少 1。

右端向量 $\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}$ 则把两个目标打包在一起：总时间是 5，数量差是 1。

于是求解方程组变成一个很直观的问题：第一种影响取 $x$ 份，第二种影响取 $y$ 份，能不能拼出目标？当 $x=2, y=1$ 时：

列图像不再寻找两条直线的交点，而是缩放并相加矩阵的列，直到合成目标向量。

向量在这里是一个信息包

向量不一定非要表示空间中的箭头。在这个问题里，$\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}$ 的第一项是时间，第二项是数量差，它更像一个有顺序的信息包。不过，只要分量可以相加、可以按倍数缩放，我们仍然能用箭头帮助想象这些运算。

把一个向量乘以 $x$，相当于沿同一方向拉长、缩短或反向；把两个向量相加，相当于把两段位移首尾相接。像 $x\mathbf{a}_1+y\mathbf{a}_2$ 这样的结果叫线性组合。改变 $x,y$，就能看到两列究竟可以拼出多大的范围。

如果两列不在同一条直线上，它们通常可以拼出整个平面中的任意目标。如果第二列只是第一列的倍数，那么无论怎样调 $x,y$，结果都只能留在一条直线上。此时，直线外的目标无解；直线上的目标则往往有不止一种拼法。

这就是列图像最有用的地方：它不只问某一个 $\mathbf{b}$ 有没有解，还开始追问矩阵能够到达哪些 $\mathbf{b}$。

矩阵方程：把两种图像收进同一个式子

把所有系数排成长方形数组，再把未知数和目标各自排成列向量：

原来的两个方程就压缩成：

这一行并没有丢掉任何信息。把左边展开，仍然是：

同一个乘法有两种读法

从行的角度看，输出的第一个分量来自矩阵第一行与 $\mathbf{x}$ 的对应位置相乘再相加，第二个分量来自第二行做同样的事：

这就是行乘列规则。它适合实际计算，因为每一行直接算出一个输出分量。

从列的角度看，$A\mathbf{x}$ 是矩阵各列按 $\mathbf{x}$ 中的分量做线性组合：

它更适合理解结构，因为你能直接看出输出是由哪些方向拼成的。

行读法和列读法没有使用两套乘法。它们用的是完全相同的四次乘法和两次加法，只是把计算按输出分量组织，或按输入分量组织。矩阵乘向量的规则之所以长成“行乘列”，正是为了让这两种理解得到同一个结果。

尺寸也在讲故事

如果 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，那么它有 $n$ 列、$m$ 行。要让 $A\mathbf{x}$ 有意义，输入向量必须有 $n$ 个分量；每一行产生一个输出，所以结果有 $m$ 个分量：

可以把它读成：$n$ 个输入变量，经过 $m$ 条测量规则，产生 $m$ 个输出。中间的 $n$ 必须对得上，不是排版规定，而是每一行都要拿到完整的 $n$ 个输入。

残差告诉我们差在哪里

猜一个 $\mathbf{x}$ 后，$A\mathbf{x}$ 是它实际产生的输出，$\mathbf{b}$ 是目标。两者之差：

叫残差。$\mathbf{r}=\mathbf{0}$ 表示每个条件都正好满足。只要有一个分量不为零，就说明至少有一条方程没有满足。

下面的实验台把行图像和列图像放在一起。拖动 $x,y$ 时，左边的候选点会移动，右边的列向量组合也会同步变化；两边显示的差距其实都是同一个残差 $A\mathbf{x}-\mathbf{b}$。

变换视角：矩阵是一台输入输出机器

现在先把目标 $\mathbf{b}$ 放到一边，只看规则本身：

它喂进去一个向量，吐出来另一个向量。对本章的矩阵来说：

输入可以理解为两类展板的数量，输出可以理解为总时间和数量差。若把输入、输出都画成平面中的点，矩阵就会同时移动整个平面上的所有点。它可能拉伸、剪切、旋转、镜像，也可能把整个平面压到一条线上。

矩阵不是静止的数字表，它说明每个输入向量该被送到哪里。

为什么它确实是线性的

矩阵乘法天然保留加法：

也保留数乘：

所以它会保留所有线性组合：

这条等式会在整门课里反复出现。输入怎样由一些基本方向拼成，输出就用完全相同的系数，由这些基本方向的新位置拼成。

线性变换把网格线送成直线或压缩后的点，并固定原点；非线性规则可能把网格线弯曲。

两根基向量就能决定整个平面

二维平面中最基本的两根向量是：

任何输入向量都能写成：

由于变换保留线性组合：

而 $A\mathbf{e}_1$ 恰好取出矩阵第一列，$A\mathbf{e}_2$ 恰好取出第二列：

这下列图像和变换视角彻底接上了：矩阵的列，就是基本输入方向经过变换后的新位置。知道这些列，就知道任意输入会去哪里。

求解方程就是寻找原像

重新把目标 $\mathbf{b}$ 放回来。方程：

现在可以读成：哪个输入 $\mathbf{x}$ 会被变换 $A$ 送到目标 $\mathbf{b}$？

如果没有任何输入能到达 $\mathbf{b}$，方程无解。如果只有一个输入能到达，方程有唯一解。如果许多输入被压到同一个 $\mathbf{b}$，方程就有许多解。行图像中的交点数量、列图像中的拼法数量、变换中的原像数量，说到底是同一个数量。

三个未知数：图画变难，结构不变

看一个三元系统：

在三维空间中，每个方程描述一个平面。一个解必须同时落在三个平面上。这个例子中的三个平面交于同一点 $(1,2,3)$。

三个方程逐行看是三个平面；共同交点同时满足三个条件。

消元仍然是在删除重复信息

我们一步步求这个共同点：

把同一件事按列重写，则是：

按矩阵和变换来写，则是：

你会发现，变量从两个增加到三个，计算量变多了，语言却完全没有变。再增加到十个、上千个变量也一样，只是我们无法继续靠画图观察，只能更依赖矩阵结构和算法。

下面可以直接调节候选点，观察三条方程各自的残差。一个点靠近某个平面，只代表其中一条残差较小；三个残差一起归零，才是方程组的解。

四种视角其实在问同一件事

现在把四种语言放在一起。仍以 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 为中心：

对本章的二维例子：

行图像说两条直线交于 $(2,1)$；列图像说 2 份第一列加 1 份第二列得到目标；矩阵方程说 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$；变换视角说输入 $\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ 被 送到了 。

不是四个相似的结论，而是同一个事实被翻译了四遍。熟练之后，你会按问题选择视角：要看条件是否相容，就看行；要看能否到达目标，就看列；要组织计算，就写矩阵；要理解整个空间怎样改变，就看变换。

线性模型能做什么，也不能做什么

现实问题很少一上来就递给我们矩阵。通常先出现的是守恒、配比、叠加或近似比例关系。把变量挑出来，再把每条关系写成“固定系数乘变量后相加”，矩阵才会出现。

交通流守恒、像素数据、趋势拟合和行业投入关系都能整理成向量与矩阵问题。

在路口，流入量与流出量的平衡会给出线性方程；在图像中，像素可以排成向量，许多处理步骤可以写成矩阵运算；在数据拟合中，我们常用线性组合靠近一组观测值；在投入产出问题中，一个部门的需求可以由多个部门的产出按固定比例相加。

不过，写出线性模型意味着我们做了假设。展板例子默认每多做一块，耗时都按固定数量增加，没有启动成本，也不会因为疲劳而越来越慢。若现实中存在固定准备时间、折扣、饱和、相互促进或拥堵，关系就可能不是线性的。有时我们仍在一个小范围内用线性模型近似它，但要记得近似有适用范围。

线性代数的优势不在于声称一切都是线性的，而在于：只要关系确实能叠加，或者在研究范围内近似能叠加，我们就有一套统一语言处理成千上万个变量。

容易走偏的几个地方

把行和列的角色记反

矩阵的每一行产生一个输出分量，对应方程组中的一个条件；每一列记录一个输入变量对全部输出的影响。看 $m\times n$ 矩阵时，可以先说一遍：$n$ 个输入，$m$ 个输出。这样不容易把 $A\mathbf{x}$ 的尺寸写反。

把矩阵乘向量当成逐项相乘

矩阵不是和向量在相同位置上各乘各的。$A\mathbf{x}$ 必须同时满足两种解释：每行算出一个输出，每列按输入系数组合。逐项相乘无法表达这些列的共同作用，也无法表示一个输入同时影响多个输出。

只检查一条方程

候选点满足第一条直线，不代表它是方程组的解。必须把它代入全部方程，或者直接检查残差向量是否为零。系统中的“且”不能悄悄换成“或”。

看到直线就断言是线性变换

$f(x)=2x+1$ 的图像是直线，但它移动了原点。判断变换是否线性，先检查 $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$，再检查它是否保留加法与数乘。

把点和向量完全混为一谈

坐标 $(2,1)$ 可以表示平面中的位置，也可以表示从原点出发的位移。计算时两者常用相同数字，但含义不同：点回答在哪里，向量回答移动多少、朝哪个方向。后面讨论向量组合时，这个区别会越来越清楚。

练习

练习一：从条件建立方程

一家工作室制作普通海报和精装海报。普通海报每张用 2 份纸材，精装海报每张用 3 份纸材，共用 18 份；两类海报合计制作 7 张。设数量分别为 $x,y$。

写出方程组、矩阵方程，并求 $x,y$。

练习二：判断线性

判断下面哪些表达式是变量 $x,y,z$ 的线性表达式：

再判断 $F(x,y)=3x-2y$ 与 $G(x,y)=3x-2y+5$ 哪一个是线性变换。

练习三：一遍乘法，两种读法

设：

分别用行读法和列读法计算 $A\mathbf{v}$。

练习四：判断解的数量

不必完整求解，判断下面三个系统分别有唯一解、无解还是无穷多解。

练习五：读出基向量的去向

设：

求 $B\mathbf{e}_1$、$B\mathbf{e}_2$ 和 $B\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}$，并用列向量解释最后一个结果。

练习六：检查三元系统的残差

对本章的三元系统，取候选向量：

计算 $A\mathbf{q}-\mathbf{b}$，说明它满足了哪些方程、没有满足哪些方程。

把地图收进一个问题

这一章一直围绕同一个问题打转：给定 $A$ 和 $\mathbf{b}$，怎样理解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$？

行图像把解看成所有条件的共同位置；列图像把解看成拼出目标所需的系数；矩阵方程把问题整理成可计算的形式；变换视角则把解看成目标的原像。以后遇到消元、逆矩阵、行列式、秩或特征向量，这张地图仍然会在背后工作。

但地图里还有一个词，我们只是不断使用，却没有真正拆开：线性组合。要弄清矩阵的列究竟能拼出哪些目标，就得先把向量加法、数乘、方向、张成这些基本动作摸透。当一组向量摆在面前时，哪些只是重复方向，哪些真的带来新的可能，也会从这些动作中自然显出来。

左边的 $x$ 被消掉，得到 $3y=3$，所以 $y=1$。

用第一条方程减去第二条方程的 2 倍，得到 $y=4$，再由 $x+y=7$ 得到 $x=3$。检查：$2\times3+3\times4=18$，$3+4=7$。

$F$ 是线性变换。$G$ 虽然由线性表达式加常数组成，而且图像仍是平面，但 $G(0,0)=5$，没有把零输入送到零输出，因此不是线性变换。

按列计算：

两种组织方式得到同一个输出。

因为 $\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}=4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2$，线性变换保留这组系数，所以：

因此残差是：

三个分量都不为零，所以三条方程一条也没有正好满足；第三条的左端比目标少 3，偏差最大。