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线性变换与矩阵 | 线性代数 I：向量、矩阵与线性变换 | 自在学

线性变换与矩阵

上一章认识了四个基本子空间。那时我们说，列空间装着全部可能的输出，零空间装着会被矩阵压成零的输入。现在把这句话里的“输出”和“压成零”当成真正的动作来看：矩阵接过一个向量，按照固定规则改造它，再吐出另一个向量。

所以这一章不再把矩阵只看成一张数表。矩阵更像一台变换机器。你给它一支箭头，它可以把箭头转向、拉长、剪斜、翻面，也可以把一个方向彻底压没。矩阵乘法那些看上去有些古怪的规则，正是为了让这些动作能够被记录、接力和计算。

矩阵像函数一样接收输入向量并给出输出向量的中文示意图。

把向量送进矩阵，得到的 $Ax$ 就是这台变换机器的输出。

本章主要讨论 $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ 。输入有 $n$ 个坐标，输出有 $m$ 个坐标，所以表示它的矩阵有 $n$ 列、 $m$ 行。列数跟着输入走，行数跟着输出走。

矩阵是一台“吃向量、吐向量”的机器

先看一台具体的机器：

A= \begin{bmatrix} 2&-1\\ 1&3 \end{bmatrix}

把向量 $x=(x_1,x_2)$ 送进去，输出是

Ax= \begin{bmatrix} 2&-1\\ 1&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1-x_2\\ x_1+3x_2 \end{bmatrix}

比如输入 $(2,1)$ ，输出就是 $(3,5)$ 。但只算这一个向量，还看不出矩阵真正做了什么。矩阵定义的是一整套规则：平面上的每一支箭头都要经过同一台机器，整个坐标网格也会随之一起变形。

把这件事写成函数，就是

T(x)=Ax

普通函数 $f(t)$ 喂进去一个数，吐出来一个数；矩阵函数 $T(x)$ 喂进去一支向量，吐出来另一支向量。输入所在的空间叫定义域，全部可能输出组成的空间叫像。

行在算坐标，列在讲动作

计算 $Ax$ 时，可以让矩阵的每一行分别和 $x$ 做点积。这样很适合算数字：第一行算输出的第一个坐标，第二行算输出的第二个坐标。

理解几何动作时，列的看法更有用。把 $A$ 的两列记作 $a_1,a_2$ ，那么

Ax=x_1a_1+x_2a_2

对上面的矩阵，这句话是

Ax=x_1 \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} +x_2 \begin{bmatrix} -1\\ 3 \end{bmatrix}

输入里的 $x_1,x_2$ ，原本表示沿两个坐标轴各走多少；变换后，同样两个系数改为沿矩阵的两列各走多少。矩阵的列，就是旧坐标方向被改造成的新方向。

“线性”是在要求动作彼此兼容

不是每个“输入向量、输出向量”的函数都能写成普通矩阵乘法。矩阵能表示的是线性变换。所谓线性，不是在说图像看起来像一条直线，而是在说这台机器不会破坏“相加”和“缩放”这两种基本动作。

相加前后要对得上

第一条要求是

T(u+v)=T(u)+T(v)

想象 $u$ 是“先向东走两步”， $v$ 是“再向北走一步”。你可以先把两段路合成一支总位移 $u+v$ ，再送进机器；也可以把 $u,v$ 分别送进机器，再把两个输出相加。线性要求两条路线最后必须到同一个地方。

这不是装饰性的公式。它保证变换真的尊重向量加法，不会因为你把同一段移动拆成两步，结果就突然变掉。

放大前后也要对得上

第二条要求是

T(cu)=cT(u)

如果输入箭头先放大 $c$ 倍再变换，结果应该等于先变换、再把输出放大 $c$ 倍。特别地，当 $c=-1$ 时，反向的输入必须得到反向的输出；当 $c=0$ 时，零向量只能被送到零向量。

两条要求合起来，可以写成更紧凑的一句话：

T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)

这表示线性变换可以“穿过”任何线性组合。上一章用基向量拼出空间，这一章之所以只看基向量就能确定整个变换，靠的就是这条性质。

线性变换一定固定原点，因为 $T(0)=0$ 。所以平移 $S(x,y)=(x+3,y-1)$ 虽然会把直线变成直线，也会保持图形形状，却不是线性变换。它把原点搬到了。能不能保持原点，是很快的排除法，但通过这项检查还不等于已经证明线性。

怎样辨别非线性

来看三个变换：

T(x,y)=(2x-y,x+3y)

S(x,y)=(x+1,y)

Q(x,y)=(x^2,y)

$T$ 可以直接写成矩阵乘法，所以它保持所有线性组合：

T(x,y)= \begin{bmatrix} 2&-1\\ 1&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}

$S$ 不是线性的，因为 $S(0,0)=(1,0)$ 。 $Q$ 虽然固定原点，却还是不线性。取 $u=(1,0)$ ，就有

Q(2u)=Q(2,0)=(4,0)

但

2Q(u)=2(1,0)=(2,0)

它没有遵守数乘。平方、坐标相乘、绝对值、三角函数，以及“把每个向量变成长度为 $1$ 的单位向量”这类规则，通常都会破坏线性。

线性变换会保留什么

线性变换不保证长度、角度和面积不变。剪切会改角度，缩放会改长度，投影甚至会把面积变成零。它真正保证的是：

原点留在原点；
过原点的直线仍落在过原点的直线或一个点上；
平行的网格线变换后仍然平行，除非某个方向被压没；
向量之间的线性组合关系保持不变。

例如过原点的直线可以写成 $x=tv$ 。变换后

T(tv)=tT(v)

所有输出仍沿着同一个方向 $T(v)$ 排列。若 $T(v)=0$ ，整条线就被压成原点。

只看基向量，就能造出整台机器

在 $\mathbb R^2$ 中，标准基向量是

e_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}

任意向量都能唯一写成

x=x_1e_1+x_2e_2

若 $T$ 线性，那么

T(x)=x_1T(e_1)+x_2T(e_2)

这意味着不需要逐点记录整个平面会怎样变。只要知道横轴单位箭头 $e_1$ 去了哪里、纵轴单位箭头 $e_2$ 去了哪里，其他向量的去向就被迫确定了。

标准矩阵的两列分别来自两个标准基向量的去向。

第一列记录 $T(e_1)$ ，第二列记录 $T(e_2)$ ；列的顺序不能交换。

标准矩阵为什么按列摆

假设

T(e_1)= \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix}, \qquad T(e_2)= \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix}

把两根输出箭头按顺序并排，得到

A= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}

于是

Ax=x_1 \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix} +x_2 \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix} =x_1T(e_1)+x_2T(e_2)=T(x)

“第 $j$ 列等于 $T(e_j)$ ”并不是一个方便记忆的小窍门，而是矩阵表示线性变换的来源。矩阵乘向量采用“列的线性组合”，正是为了让基向量的去向能够自动推广到所有输入。

完整例题：从两根基向量算到任意输入

一个线性变换 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ 满足

T(e_1)= \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{bmatrix}, \qquad T(e_2)= \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 0 \end{bmatrix}

求它的标准矩阵，并计算 $T(3,-2)$ 。

输入空间是二维，所以矩阵有两列；输出空间是三维，所以每一列有三个分量。把 $T(e_1)$ 放在第一列、 $T(e_2)$ 放在第二列：

检查矩阵尺寸也能防错： $3\times2$ 矩阵接收二维输入，给出三维输出，正好符合题意。

旋转、缩放、剪切、反射和投影

常见几何矩阵不必死背。每次都问同一个问题：“ $e_1$ 去了哪里， $e_2$ 去了哪里？”把答案按列排起来，矩阵自然会出现。

旋转和缩放的中文几何示意图，原点保持不动。

旋转和缩放使用不同规则改造平面，但都固定原点。

旋转：两根单位箭头一起转

绕原点逆时针旋转角度 $\theta$ 。 $e_1$ 原来指向 $0^\circ$ ，转完后是

T(e_1)= \begin{bmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{bmatrix}

$e_2$ 原来比 $e_1$ 多转了 $90^\circ$ ，所以它的像是

T(e_2)= \begin{bmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{bmatrix}

两列并起来就是旋转矩阵：

R_\theta= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}

当 $\theta=90^\circ$ 时，

R_{90^\circ}= \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}, \qquad (x,y)\mapsto(-y,x)

缩放：两个坐标方向各乘一个倍数

若横向乘 $s_x$ ，纵向乘 $s_y$ ，那么

e_1\mapsto s_xe_1, \qquad e_2\mapsto s_ye_2

所以

D= \begin{bmatrix} s_x&0\\ 0&s_y \end{bmatrix}

它把 $(x,y)$ 变成 $(s_xx,s_yy)$ 。当两个倍数相等时，图形等比放大或缩小；当它们不同，圆会被拉成椭圆。若某个倍数是负数，对应方向在缩放之外还会翻到坐标轴另一侧。若某个倍数为零，那个方向就被完全压没。

剪切：高度不变，横向滑动

把一摞纸的上沿往右推，底边不动，中间各层按高度滑动，这就是水平剪切。它的矩阵是

H_k= \begin{bmatrix} 1&k\\ 0&1 \end{bmatrix}

因为

H_k \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+ky\\ y \end{bmatrix}

高度 $y$ 不变，横坐标多出 $ky$ 。站得越高，横向滑得越远。由基向量看也很清楚： $e_1$ 不动， $e_2$ 变成 $(k,1)$ 。

单位正方形经过水平剪切变成平行四边形的中文示意图。

剪切改变角度，却保留了平行关系；这个例子中底和高不变。

反射：沿一条镜线翻到另一侧

关于 $x$ 轴反射时，横坐标不变，纵坐标变号：

F_x= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}, \qquad (x,y)\mapsto(x,-y)

关于直线 $y=x$ 反射时，两个坐标交换：

F_{y=x}= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}, \qquad (x,y)\mapsto(y,x)

更一般地，若镜线与 $x$ 轴夹角为 $\theta$ ，反射矩阵是

F_\theta= \begin{bmatrix} \cos 2\theta&\sin 2\theta\\ \sin 2\theta&-\cos 2\theta \end{bmatrix}

反射不会丢掉信息。再做一次同样的反射，所有向量都会回到原处，因此 $F_\theta^2=I$ 。

投影：把垂直分量压掉

投影到 $x$ 轴时， $(x,y)$ 只保留横向分量：

P_x= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad (x,y)\mapsto(x,0)

这里发生了一件反射不会发生的事：不同输入可能得到同一个输出。例如 $(2,3)$ 、 $(2,-1)$ 和 $(2,0)$ 全都落到 $(2,0)$ 。竖直方向的信息已经被压掉，无法从输出恢复。

若投影目标是与 $x$ 轴夹角为 $\theta$ 的直线，取这条线上的单位向量

u= \begin{bmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{bmatrix}

投影矩阵是

P_\theta=uu^\mathsf T= \begin{bmatrix} \cos^2\theta&\sin\theta\cos\theta\\ \sin\theta\cos\theta&\sin^2\theta \end{bmatrix}

做一次投影后，向量已经落在目标直线上，再投一次不会继续改变，所以

P_\theta^2=P_\theta

投影到 x 轴与关于 x 轴反射的中文手绘对比图。

投影会丢掉垂直分量；反射保留长度，只把向量翻到镜线另一侧。

与其背五类矩阵，不如每次画出 $e_1,e_2$ 的去向。旋转矩阵的三角函数、剪切矩阵里 $k$ 的位置、反射矩阵的正负号，都能从两根基向量重新造出来。

核与像：哪些输入被压没，输出能到哪里

上一章的零空间和列空间，现在可以直接读成变换的两个几何部件。

核是“机器看不见的方向”

线性变换 $T(x)=Ax$ 的核是

\ker(T)=\lbrace x:T(x)=0\rbrace=N(A)

核里的向量全被送到原点。更重要的是，只要两个输入相差一个核向量，机器就分不清它们。因为当 $v\in\ker(T)$ 时，

T(x+v)=T(x)+T(v)=T(x)

反过来，如果 $T(x_1)=T(x_2)$ ，那么

T(x_1-x_2)=0

所以 $x_1-x_2$ 必在核里。核准确记录了“哪些差别会在输出中消失”。

像是机器真正能够到达的地方

变换的像是全部可能输出：

\operatorname{im}(T)=\lbrace T(x):x\in\mathbb R^n\rbrace

若 $T(x)=Ax$ ，那么

\operatorname{im}(T)=C(A)

因为每个 $Ax$ 都是矩阵各列的线性组合。矩阵的列不只记录基向量的去向，它们张成的空间正好就是机器能到达的全部输出。

完整例题：一台从三维压到二维的机器

考虑

T(x,y,z)=(x+2y,z)

先写矩阵，再求核与像，并说明几何上丢掉了什么。

分别代入三根标准基向量：

T(e_1)= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \quad T(e_2)= \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix}, \quad T(e_3)= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}

这就是秩—零化度定理的动作版本：输入方向不会凭空消失。它们要么在像中留下独立方向，要么进入核，被机器压得看不见。

“压扁”为什么会导致不可逆

若核里有非零向量 $v$ ，那么 $x$ 与 $x+v$ 会产生同一个输出。只看结果时，我们无法知道输入到底是哪一个，因此变换不可能一一对应，也就不可能完整倒放。

对方阵 $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ ，下面几件事其实是同一件事的不同说法：

$A$ 可逆；
$\ker(A)=\lbrace0\rbrace$ ；
不同输入不会撞到同一个输出；
$\operatorname{im}(A)=\mathbb R^n$ ；
每个输出都能由唯一输入产生。

投影矩阵的核不是零，所以它不可逆；旋转与反射没有压掉任何方向，因此都可以倒放。

动作接力，逼出了矩阵乘法

第一次见矩阵乘法时，“行乘列再相加”很像一条凭空规定的规则。把矩阵看成动作后，它的来历就清楚了：两台变换机器接在一起，总效果也应该能用一台矩阵机器表示。

假设先做 $A$ ，再做 $B$ 。输入 $x$ 先变成 $Ax$ ，随后变成

B(Ax)

我们把两步接力的总矩阵定义为 $BA$ ，于是

B(Ax)=(BA)x

右边的矩阵先碰到向量，所以先作用；左边的矩阵后作用。矩阵乘法的行列规则，正是把“动作接力后的总效果”翻译成数字时被逼出来的。

先旋转再剪切与先剪切再旋转通常产生不同结果的中文示意图。

写在右边的动作先发生。改变动作顺序，图形通常会落到不同位置。

顺序为什么通常不能交换

设

A= \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}

表示逆时针旋转 $90^\circ$ ，再设

B= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}

表示水平剪切。

先旋转再剪切，对应 $BA$ ：

BA= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}

先剪切再旋转，对应 $AB$ ：

AB= \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}

只用 $e_1$ 测试就能看出不同：

BAe_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad ABe_1= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}

两台机器顺序一换，第一根基向量已经落在不同位置，因此总变换不可能相同。

“先 $A$ 后 $B$ ”写成 $BA$ ，不是 $AB$ 。读复合矩阵时可以从最靠近输入向量的一侧开始： $CBAx$ 表示先做，再做，最后做。

矩阵乘法满足结合律：

C(BA)=(CB)A

这表示三步动作接力时，先把哪两步合成一台机器不会改变最终结果。但它通常不满足交换律，调换动作本身的先后顺序会改变结果。

换一套坐标，矩阵也会换一副数字

前面说“矩阵第 $j$ 列是 $T(e_j)$ ”，默认输入、输出都使用标准基。可基只是坐标语言，不一定非用横轴和纵轴。换一套基之后，同一个几何变换不会改变，但描述它的数字会改变。

一般基下，列仍是“基向量的去向”

设输入空间 $V$ 的基是

\mathcal B=(v_1,v_2,\dots,v_n)

输出空间 $W$ 的基是

\mathcal C=(w_1,w_2,\dots,w_m)

对每个输入基向量 $v_j$ ，先算 $T(v_j)$ ，再用输出基 $\mathcal C$ 表示它：

T(v_j)=a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+\cdots+a_{mj}w_m

这些坐标组成矩阵的第 $j$ 列。于是

[T(x)]_{\mathcal C}=[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[x]_{\mathcal B}

箭头上的下标可以读成：“输入使用 $\mathcal B$ 坐标，输出使用 $\mathcal C$ 坐标。”

例题：同一个拉伸，改用斜着的输入坐标

设

T(x,y)=(2x,y)

它把水平方向拉长两倍。输入不用标准基，而使用

\mathcal B= \left( \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} \right)

输出仍用标准基 $\mathcal E$ 。先看两根输入基向量的去向：

T \left( \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}

T \left( \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}

所以相对于“输入基 $\mathcal B$ 、输出基 $\mathcal E$ ”的矩阵是

[T]_{\mathcal E\leftarrow\mathcal B}= \begin{bmatrix} 2&2\\ 1&-1 \end{bmatrix}

向量 $(3,1)$ 在基 $\mathcal B$ 下的坐标是 $(2,1)$ ，因为

\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} +1 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}

因此

[T(3,1)]_{\mathcal E}= \begin{bmatrix} 2&2\\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6\\ 1 \end{bmatrix}

结果确实是 $T(3,1)=(6,1)$ 。

矩阵和坐标必须成套使用。上例的矩阵接收的是 $[x]_{\mathcal B}$ ，不能直接拿它去乘输入的标准坐标。看到非标准基时，先确认输入坐标用哪套基，输出坐标又用哪套基。

矩阵也能表示“对函数做动作”

向量不一定是箭头，也可以是多项式。令 $V$ 是所有不超过二次的多项式，使用基

\mathcal B=(1,x,x^2)

令 $W$ 是所有不超过一次的多项式，使用基

\mathcal C=(1,x)

求导是一个线性变换，因为

\frac{d}{dx}(cf+dg)=c\frac{df}{dx}+d\frac{dg}{dx}

只对输入基求导：

1\mapsto0, \qquad x\mapsto1, \qquad x^2\mapsto2x

把三个输出在基 $\mathcal C$ 下的坐标按列排好，得到

D= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix}

于是

D \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b\\ 2c \end{bmatrix}

左边的坐标代表 $a+bx+cx^2$ ，右边代表它的导数 $b+2cx$ 。这说明矩阵不是只会移动纸上的箭头；只要对象能组成向量空间、动作保持线性组合，就能选基并用矩阵计算。

从 $W$ 积分回 $V$ ，并规定积分常数为零，矩阵是

E= \begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0\\ 0&\frac12 \end{bmatrix}

先积分再求导会完全回到原来的一次多项式，所以

DE=I_2

但先求导再积分会丢掉原多项式的常数项：

ED \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ b\\ c \end{bmatrix}

原因不是计算失误，而是求导把所有常数都送到了零。常数多项式正是求导变换的核；信息一旦进入核，就无法靠积分唯一恢复。

常见误区

看到直线就以为线性

$f(t)=2t+1$ 的图像是一条直线，但按线性代数的定义，它不是线性变换，因为 $f(0)=1$ 。它是“线性部分加平移”的仿射函数。相反， $T:\mathbb R^2\to\mathbb R$ 给出的的图像并不是平面纸上的一条直线，却是货真价实的线性映射。

只检查原点就宣布线性

$T(0)=0$ 是必要条件，不是充分条件。 $Q(x,y)=(x^2,y)$ 固定原点，却不保持数乘。正式证明线性时，要验证它保持任意线性组合，或者把它确实写成矩阵乘法。

把标准矩阵的行列放反

若 $T(e_1)=(a,c)$ 、 $T(e_2)=(b,d)$ ，矩阵是

\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}

不是把两个输出横着写成两行。最快的自检方法是乘 $e_1$ ：结果必须等于矩阵第一列。

以为线性就会保持长度和角度

线性只保证线性组合关系。只有旋转、反射这类特殊矩阵才保持所有长度和角度；一般缩放、剪切和投影都不会。

把复合顺序写反

“先 $A$ 后 $B$ ”是 $BA$ 。如果记不住，就真的把一个测试向量从右向左送进矩阵： $BAx$ 中， $x$ 先碰到 $A$ 。

忘记矩阵依赖所选的基

同一个变换，换坐标后会有不同矩阵；同一张数字矩阵，配上不同输入基和输出基，也可能描述不同的几何动作。矩阵不是脱离坐标语言独自存在的标签。

回望与下一问

矩阵之所以能代表线性变换，是因为线性变换保持线性组合。知道基向量的去向，就知道所有向量的去向；这些去向按列排好，就是矩阵。旋转、缩放、剪切、反射和投影看似不同，都能用这一个办法重建。

上一章的四个基本子空间也有了动作含义：核记录被压没的输入方向，像记录所有可能输出。复合变换对应矩阵乘法，乘法从右向左读取；换一套输入、输出基，同一变换会换一张矩阵来表达。

现在还有一个几何问题没有回答。一个矩阵把整张网格拉伸、剪斜或翻转之后，原来面积为 $1$ 的小方格，面积究竟变成了多少？如果整个平面被压成一条线，这个缩放倍数又该是多少？下一章会用一个数同时回答“面积或体积放大了几倍”“方向有没有翻转”“空间有没有被压扁”——这个数就是行列式。

练习

线性与非线性

判断下列变换是否线性，并给出最短的可靠理由。

T_1(x,y)=(x-2y,3x+y)

T_2(x,y)=(x,y+4)

T_3(x,y)=(|x|,y)

某个变换把每个非零向量除以自己的长度，使输出长度都变成 $1$ 。它是否线性？

从基向量写矩阵

已知线性变换 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ 满足

T(e_1)= \begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}, \qquad T(e_2)= \begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix}

写出标准矩阵，并求 $T(-2,5)$ 。

写出顺时针旋转 $90^\circ$ 的矩阵，并说明它把 $(x,y)$ 送到哪里。

写出竖直剪切 $y\mapsto y+kx$ 的矩阵。它会固定哪一根标准基向量？

核、像与压扁

A= \begin{bmatrix} 1&2\\ 2&4 \end{bmatrix}

求 $\ker(A)$ 和 $\operatorname{im}(A)$ ，并说明这个变换为什么不可逆。

投影到直线 $y=x$ 的矩阵是什么？提示：这条线的单位方向向量是 $u=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$ 。

复合与坐标基

令 $A$ 表示关于 $x$ 轴反射， $B$ 表示水平方向放大 $3$ 倍。分别计算 $BA$ 和 $AB$ 。这次顺序会不会影响结果？

设输入基为

\mathcal B= \left( \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \right)

输出使用标准基。若 $T(x,y)=(x-y,2y)$ ，求 $[T]_{\mathcal E\leftarrow\mathcal B}$ 。

在多项式基 $\mathcal B=(1,x,x^2,x^3)$ 下，写出二阶求导变换 $T(p)=p''$ 从三次多项式空间到一次多项式空间的矩阵。输出基取。

把整个平面的变化交给一个数

这一章一直在看“箭头怎样变”：基向量去了哪里，核里哪些方向被压没，几个动作又怎样按顺序接力。可如果不只送进去一支箭头，而是把整个单位正方形交给矩阵，我们还会想知道它的面积变成了多少，空间的朝向有没有翻转。

这些变化当然能从矩阵的列一项项算出来，但线性代数把它们压进了一个数。下一章的行列式会告诉我们：这台变换机器把面积或体积放大了几倍，为什么压扁空间时这个数恰好变成零，以及这件事为什么又和可逆性连在一起。

A

A

\begin{array}{cc} 3 & 2 \\ - 1 & 4 \end{array}

]

[\begin{array}{c} - 2 \\ 5 \end{array}]

=

[\begin{array}{c} 4 \\ 22 \end{array}]

T(-2,5)= \begin{bmatrix} 3&2\\ -1&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2\\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ 22 \end{bmatrix}

{[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}

\ker(A)=\operatorname{span}\left\lbrace \begin{bmatrix} -2\\ 1 \end{bmatrix} \right\rbrace

=

[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}]

[T]_{\mathcal E\leftarrow\mathcal B}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{bmatrix}