线性变换与矩阵 | 线性代数 I：向量、矩阵与线性变换 | 自在学

线性变换与矩阵

矩阵不只是一个数表。放在线性代数里，它更像一个函数：输入一个向量，输出另一个向量。前面几章我们常写 $Ax=b$ ，这里把目光从“求哪个 $x$ 会变成 $b$ ”转到“矩阵 $A$ 会把整个空间怎样移动、拉伸、压扁或翻转”。

信息图展示矩阵 A 像函数一样工作：输入向量 x=[2,1]^T 经过矩阵 A 变换机器后，输出向量 Ax=[1,3]^T，并配有二维箭头和坐标网格。

矩阵可以看作一种函数，把输入向量变换为新的输出向量。

本章的核心问题很朴素：给一个变换 $T$ ，怎样判断它能不能由矩阵表示？如果可以，矩阵从哪里来？等这两件事清楚以后，旋转、缩放、剪切、投影、反射和复合都会变成同一套语言。

这一章默认讨论从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的变换。输入向量有 $n$ 个坐标，输出向量有 $m$ 个坐标，对应的矩阵就有 $m$ 行 $n$ 列。

把矩阵看成函数

一个普通函数可以把数送到数，例如 $f(t)=2t+1$ 。矩阵也可以定义函数，只是它的输入和输出是向量。给定矩阵

A= \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{bmatrix}

我们可以定义

T(x)=Ax

如果

x= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}

那么

T(x)= \begin{bmatrix} 2x_1-x_2\\ x_1+3x_2 \end{bmatrix}

这就是一个从平面到平面的函数。每个输入点或箭头都会被送到一个新位置。不同的是，矩阵函数有很强的结构：它会保留向量加法和数乘。

线性的两个条件

变换 $T$ 是线性的，意思是它对加法和数乘都诚实：

T(u+v)=T(u)+T(v)

T(cu)=cT(u)

第一条说“先合成再变换”和“先分别变换再合成”得到同一个结果。第二条说“先把向量拉长 $c$ 倍再变换”和“先变换再拉长 $c$ 倍”得到同一个结果。

这两个条件合在一起，也可以写成一个更常用的版本：

T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)

它说明线性变换会保留线性组合。前面几章反复出现的“列向量线性组合”，在这里变成了“变换可以穿过线性组合”。

线性变换一定把零向量送到零向量。因为 $T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)$ ，两边减去得到。所以平移不是线性变换；它会把原点移走。

例题：判断一个变换是否线性

判断下面两个变换是否线性：

T(x,y)=(2x-y,\ x+3y)

S(x,y)=(x+1,\ y)

先看 $T$ 。它的每个输出坐标都是输入坐标 $x,y$ 的一次齐次组合，没有常数项，也没有 $x^2$ 、 $xy$ 、这类非线性成分。

标准矩阵从基向量来

线性变换最省力的地方在于：只要知道它怎样处理一组基向量，就知道它怎样处理所有向量。

在 $\mathbb{R}^2$ 中，标准基向量是

e_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}

任意向量都可以写成

x= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} =x_1e_1+x_2e_2

如果 $T$ 是线性的，那么

T(x)=T(x_1e_1+x_2e_2)=x_1T(e_1)+x_2T(e_2)

这句话非常关键： $T(e_1)$ 和 $T(e_2)$ 就是输出空间里的两根新方向， $x_1$ 和只是沿这两根方向取线性组合。

标准基向量 e₁、e₂ 经过线性变换 T 后形成标准矩阵两列的示意图。

标准矩阵的第一列是 $T(e_1)$ ，第二列是 $T(e_2)$ 。

列就是基向量的去向

假设

T(e_1)= \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix}, \qquad T(e_2)= \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix}

那么 $T$ 的标准矩阵是

A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}

注意列的顺序：第一列放 $T(e_1)$ ，第二列放 $T(e_2)$ 。于是

Ax= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix} +x_2 \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix}

这正是

x_1T(e_1)+x_2T(e_2)

例题：从基向量去向写矩阵

一个线性变换 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 满足

T(e_1)= \begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad T(e_2)= \begin{bmatrix} -2\\ 4 \end{bmatrix}

求 $T$ 的标准矩阵，并计算 $T(5,-1)$ 。

先把 $T(e_1)$ 放进第一列，把 $T(e_2)$ 放进第二列：

从公式写标准矩阵

如果题目直接给出

T(x,y)=(x+2y,\ 3x-y)

也可以通过基向量求矩阵：

T(e_1)=T(1,0)=(1,3)

T(e_2)=T(0,1)=(2,-1)

所以

A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & -1 \end{bmatrix}

很多初学者会把输出的两个表达式当作两列，写成

\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & -1 \end{bmatrix}

这其实把行和列混了。检查方法很简单：第一列必须等于把 $(1,0)$ 代入后的输出。

常见几何变换

二维线性变换可以用网格来理解。想象整个平面印在一张橡皮膜上，线性变换会把原点固定住，把直线变成直线，把平行线仍变成平行线。它可以旋转、拉伸、压缩、剪切、压扁到一条线，也可以翻到另一侧。

旋转与缩放两类基础线性变换示意图，展示原点不动且直线仍是直线。

旋转与缩放都会保持原点不动，并把直线变换为直线。

旋转

绕原点逆时针旋转角度 $\theta$ 的矩阵是

R_\theta= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

这个矩阵可以从基向量的去向看出来。 $e_1=(1,0)$ 旋转后落到单位圆上的

(\cos\theta,\ \sin\theta)

$e_2=(0,1)$ 旋转后落到

(-\sin\theta,\ \cos\theta)

把这两个向量作为列，就得到旋转矩阵。

当 $\theta=90^\circ$ 时，

R_{90^\circ}= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

它把 $(x,y)$ 变成

(-y,x)

缩放

沿坐标轴缩放的矩阵最直接：

D= \begin{bmatrix} s_x & 0\\ 0 & s_y \end{bmatrix}

它把

(x,y)

变成

(s_xx,\ s_yy)

如果 $s_x=2$ 、 $s_y=\frac{1}{2}$ ，图形会在水平方向拉长，在竖直方向压扁。若或为负，对应方向还会发生翻转。

剪切

剪切像是把一叠纸的上边向右推。水平剪切常写成

H_k= \begin{bmatrix} 1 & k\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

于是

H_k \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+ky\\ y \end{bmatrix}

点的高度 $y$ 不变，但 $x$ 坐标会按高度多移动 $ky$ 。高度越高，水平移动越多。

剪切变换示意图：单位正方形经过水平剪切变为平行四边形，并标注上边向右滑动、高度不变和面积可能保持不变。

水平剪切矩阵 $\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}$ 将单位正方形剪切为平行四边形，高度不变，面积可能保持不变。

投影

投影会丢掉某个方向的信息。投影到 $x$ 轴的矩阵是

P_x= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

它把

(x,y)

变成

(x,0)

所有竖直方向的信息都被压成 0。这个变换是线性的，但它不可逆，因为很多不同的点会落到同一个点。例如 $(2,1)$ 和 $(2,-3)$ 都会变成 $(2,0)$ 。

反射

关于 $x$ 轴反射的矩阵是

F_x= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}

它把

(x,y)

变成

(x,-y)

关于直线 $y=x$ 反射时，两个坐标互换：

F_{y=x}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

因为

F_{y=x}(x,y)=(y,x)

双栏中文教学图，对比向量投影到直线与关于直线反射的几何关系。

投影会丢掉垂直分量，反射则保留到直线的距离并翻到另一侧。

遇到二维几何变换时，先问 $e_1$ 去了哪里、 $e_2$ 去了哪里。把两个答案按列排好，矩阵通常就出来了。背矩阵不如会重建矩阵。

线性变换的形状特征

线性变换不一定保持长度、角度或面积。旋转会保持长度和角度，剪切会改变角度，缩放会改变长度，投影甚至会把整个平面压到一条线上。但线性变换都有几条共同特征。

原点保持不动

如果 $T$ 是线性的，那么

T(0)=0

这让线性变换和仿射变换区分开来。仿射变换可以写成

x\mapsto Ax+b

当 $b\ne 0$ 时，它包含平移，不再是线性变换。

直线和网格的变化

过原点的直线在变换后仍会落在过原点的直线上，除非被压成零向量。平行网格线仍会保持平行。这是因为直线上的点可以写成

tv

线性变换后变成

T(tv)=tT(v)

它仍然沿着一个固定方向移动。

零空间描述被压扁的方向

若某个非零向量 $v$ 满足

Av=0

那么 $v$ 所在的方向被矩阵压成零。前一章的零空间在这里有了几何解释：它是所有被变换压到原点的输入方向。

例如投影到 $x$ 轴的矩阵

P_x= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

满足

P_x \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}

所以竖直方向属于它的零空间。

变换复合就是矩阵乘法

如果先做变换 $A$ ，再做变换 $B$ ，输入 $x$ 会经历

x\longmapsto Ax\longmapsto B(Ax)

也就是

B(Ax)=(BA)x

所以复合变换的矩阵是 $BA$ 。右边的矩阵先作用，左边的矩阵后作用。

线性变换复合顺序对比图：同一个 L 形图案先旋转再剪切与先剪切再旋转后得到不同结果。

顺序改变，结果可能改变：矩阵乘积 $BAx$ 与 $ABx$ 通常表示不同的变换复合。

顺序通常不能交换

设

A= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

表示逆时针旋转 $90^\circ$ ，设

B= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

表示水平剪切。

先旋转再剪切，对应矩阵是

BA= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

先剪切再旋转，对应矩阵是

AB= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}

两个结果不同，因此这两个变换的顺序不能交换。

写复合矩阵时，最常见的错误是把顺序写反。“先 $A$ 后 $B$ ”对应 $BA$ ，不是 $AB$ 。可以用一个测试向量检查：让 $x$ 先乘右边的矩阵，再乘左边的矩阵。

例题：计算复合变换

给定

A= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

$A$ 表示水平方向放大 2 倍， $B$ 表示水平剪切。求“先缩放，再剪切”的矩阵，并计算输入 $(1,3)$ 的输出。

先确定顺序。“先缩放，再剪切”意味着 $x$ 先乘 $A$ ，再乘 $B$ ，所以复合矩阵是 $BA$ 。

真实场景中的变换语言

线性变换的价值不在于图形好看，而在于它把“同时改变多个坐标”的问题压成了矩阵运算。

图像和图形

二维图形里的旋转、缩放、剪切、反射都可以由矩阵控制。一个图标、图片上的一块区域或三维模型的顶点，本质上都是许多坐标点。对所有点施加同一个矩阵，图形就整体变换。

平移需要额外处理，因为普通线性矩阵会固定原点。在计算机图形中，常把二维点扩展成三维齐次坐标，用更大的矩阵同时处理旋转、缩放和平移。这个技巧会在线性代数后续课程或图形学课程中继续出现。

机器人和坐标系

机器人手臂要知道“相机坐标”“关节坐标”“工具坐标”之间怎样转换。旋转矩阵负责改变方向，复合矩阵负责把多个关节的动作串起来。顺序不能写错，因为先转肩部再转手腕，与先转手腕再转肩部不是同一个姿态。

数据投影

投影把高维数据压到低维空间。二维投影到一条线只是最简单版本；在数据分析里，我们常把很多变量投影到少数几个方向上，保留主要变化，丢掉次要变化。后面学习正交投影、最小二乘和奇异值分解时，会反复用到这个想法。

小结

矩阵可以看作向量函数。线性变换的判断标准是保留加法和数乘；它一定把零向量送到零向量。对 $\mathbb{R}^2$ 中的线性变换，只要知道 $e_1$ 和 $e_2$ 的去向，就能写出标准矩阵。

常见变换的矩阵不是孤立公式。旋转矩阵、缩放矩阵、剪切矩阵、投影矩阵和反射矩阵都可以通过“基向量去了哪里”重建。两个变换连续发生时，复合矩阵由矩阵乘法给出；先 $A$ 后 $B$ 对应 $BA$ 。

练习

基础练习

判断下列变换是否线性：

T_1(x,y)=(x-y,\ 2x+3y)

T_2(x,y)=(x,\ y+2)

T_3(x,y)=(xy,\ y)

已知线性变换 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 满足

T(e_1)= \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}, \qquad T(e_2)= \begin{bmatrix} 5\\ 3 \end{bmatrix}

写出标准矩阵，并求 $T(4,2)$ 。

写出关于 $y$ 轴反射的矩阵，并说明它把 $(x,y)$ 变成什么。

综合练习

A= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

分别计算 $BA$ 和 $AB$ ，并用一句话解释它们的几何顺序。

一个变换把所有点投影到直线 $y=x$ 上。猜想它是否可逆，并说明理由。

给出一个不是线性变换但会把直线变成直线的例子，并解释它为什么不线性。

T(0)

2 & 5

- 1 & 3

]

[\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}]

=

[\begin{array}{c} 18 \\ 2 \end{array}]

T(4,2)= \begin{bmatrix} 2 & 5\\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18\\ 2 \end{bmatrix}