子空间、张成、线性无关、基与维数

上一章做矩阵乘法时，我们已经碰到了本章的入口。把矩阵 $A$ 的列依次记成 $a_1,a_2,\ldots,a_n$，那么

右边不是一条新的运算规则，它只是说：矩阵拿到系数 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 后，用这些系数把自己的列向量重新拼了一遍。

接下来真正值得问的，不是“怎么算这一遍”，而是三件更大的事：这些列向量把系数随便调来调去，究竟能覆盖哪里？其中有没有一根方向其实可以由其他方向拼出来？如果只保留最少的一组方向，至少要留几根？

张成回答“能覆盖哪里”，线性无关回答“有没有多余”，基把“覆盖”和“不多余”同时做到，维数则数出空间里真正自由的方向。子空间是它们共同活动的舞台。我们沿着这条线往下走，几个看似抽象的词就会自然连起来。

从一个矩阵方程看见两个空间

先看方程

它是否有解，取决于能不能找到一组系数 $x_1,\ldots,x_n$，把 $A$ 的列向量组合成 $b$。换句话说，$b$ 必须落在列向量能够覆盖的范围里。这个范围叫作 的：

这里的 $\operatorname{span}$ 就是“所有线性组合”的意思。若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，每一列都有 $m$ 个分量，所以 $C(A)$ 住在输出空间 $\mathbb R^m$ 中。

再把右端换成零向量：

现在问的不是“哪些输出能做到”，而是“哪些输入会被 $A$ 消掉”。全部这样的 $x$ 组成 $A$ 的零空间：

零空间住在输入空间 $\mathbb R^n$ 中。它的一个非零向量，就是一份不全为零的系数说明书：照这份系数组合 $A$ 的列，几根列向量恰好互相抵消。

这两个集合为什么配得上“空间”二字？因为它们经得住线性组合。若 $u=Ax_1$、$v=Ax_2$ 都在列空间中，那么对任意实数 $r,s$，

结果仍是某个 $A$ 乘向量，当然还在列空间中。若 $x_1,x_2$ 都在零空间中，那么

结果仍在零空间中。这里已经露出了子空间最核心的要求：集合内部的向量做线性组合，不能跑到集合外面去。

子空间：在里面做线性动作，结果仍在里面

想象我们圈出 $\mathbb R^n$ 中的一部分向量，记成 $W$。如果我们希望把 $W$ 当作一个较小的线性世界，那么加法和数乘在这个世界里必须始终可用。不能两个合法向量一相加就越界，也不能一根向量反向或放大后就被赶出去。

对 $\mathbb R^n$ 的非空子集 $W$，常用的子空间检查有三项：

1. 零向量在 $W$ 中。
2. 若 $u,v\in W$，则 $u+v\in W$。
3. 若 $u\in W$、，则 。

第二项叫加法封闭，第三项叫数乘封闭。三项都满足，$W$ 才是 $\mathbb R^n$ 的子空间。

子空间的三项检查，本质上是在确认所有线性组合都不会离开集合。

为什么恰好检查这三项

“必须包含零向量”先把线性世界的原点固定下来。任意子空间都要允许把某个向量乘 $0$，结果就是零向量。因此，不过原点的直线或平面无论多么平整，都不能成为子空间。

“加法封闭”保证两次合法移动接在一起仍是合法移动。若 $u$ 和 $v$ 都是空间允许的方向，那么先走 $u$、再走 $v$，总位移 $u+v$ 也应当属于这个空间。

“数乘封闭”保证一根允许的方向可以任意放大、缩小、反向。这里的系数是任意实数，尤其包括负数。第一象限对正数倍很友好，却会被 $-1$ 立刻翻到第三象限，所以它不是子空间。

把后两项合起来看更简洁：对任意 $u,v\in W$ 和任意 $r,s\in\mathbb R$，都要有

这叫对线性组合封闭。只要 $W$ 非空，这一条实际上已经把三项都包住了：取 $r=s=0$ 得到零向量；取 $r=s=1$ 得到加法；取 $s=0$ 得到数乘。初学时分成三项检查，更不容易漏掉条件。

一眼能认出的例子与反例

在 $\mathbb R^3$ 中，过原点的直线、过原点的平面、整个 $\mathbb R^3$，以及只含零向量的集合 $\{0\}$，都是子空间。

不过原点的平面不是子空间。单位球面也不是：球面上的向量乘 $2$ 后长度变了，会离开球面。第一象限虽然包含零向量、也对加法封闭，却不对负数数乘封闭。

完整判定例题：齐次条件为什么可靠

判断

是不是 $\mathbb R^3$ 的子空间。

如果把条件右边改成 $1$，得到

那么零向量第一关就失败。更深的原因是：齐次方程的右端是 $0$，线性组合后仍是 $r\cdot 0+s\cdot 0=0$；非齐次条件的右端是 $1$，两个解相加后右端会变成 $2$，集合无法保持封闭。

张成：这些方向能覆盖哪里

给定向量 $v_1,v_2,\ldots,v_k$，把系数 $c_1,c_2,\ldots,c_k$ 在全体实数中随便取，所有可能结果组成它们的张成：

一根非零向量能前后伸缩，张成一条过原点的直线。两根不共线向量可以独立调节两份系数，张成一个平面。在 $\mathbb R^3$ 中，第三根向量若跑到这个平面外，就会补出第三个自由方向，从而张成整个空间。

张成不是几根箭头本身，而是让所有系数自由变化后得到的全部线性组合。

张成是包含这些向量的最小子空间

张成本身一定是子空间。零向量可以用所有系数取 $0$ 得到；两个线性组合相加，只是把同一位置的系数相加；线性组合再乘一个数，只是把所有系数一起缩放。

更重要的是，任何包含 $v_1,\ldots,v_k$ 的子空间，都必须包含它们的全部线性组合。因此，$\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$ 是“装得下这些向量”的最小子空间。它没有擅自加入与这些方向无关的东西，也不会漏掉线性操作必然产生的结果。

例题：从参数式看出张成的形状

设

它们的一般线性组合是

若把结果记成 $(x,y,z)$，就有 $x=a$、$z=b$，所以

因此

这是过原点的一个平面。注意我们做了两种描述之间的转换：一边是“由哪几根向量张成”，另一边是“坐标满足什么齐次方程”。前者适合生成向量，后者适合判断一个向量是否落在里面。

例如，判断 $p=(2,7,3)$ 是否在这个张成里，可以直接检查 $7-2\cdot2-3=0$。也可以解

得到系数 $a=2$、$b=3$。这也说明

若右端向量改成 $(2,6,3)$，关系 $y=2x+z$ 不成立，对应的系数方程也会矛盾，所以它不在这个平面中。

线性无关：有没有人在重复别人的方向

假设有三根向量。前两根已经张成一个平面，第三根也躺在这个平面里，那么第三根无论看起来朝向多么不同，最终都能由前两根拼出来。加入它之后，能够覆盖的范围一点没变。它提供了另一种走法，却没有提供新方向。

这就是线性相关。说得直接一点，一组向量里有人是“可删的”：删掉它，张成不变。

为了判断时不必轮流猜“到底谁多余”，我们把所有向量放到同一边，研究

如果只有

这一组解，那么这些向量线性无关。若存在一组不全为零的系数也能得到零向量，它们线性相关。

为什么“非零系数组合成零向量”和“某根向量能由其他向量拼出”是同一回事？假设 $c_j\neq 0$，把含 $v_j$ 的一项移到另一边，再除以 $c_j$：

于是 $v_j$ 可以由其他向量合成。反过来，若某根向量能由其他向量合成，把各项移到同一边，就得到一组非平凡的零组合。

例题：完整判断一组三维向量

判断

是否线性无关。

线性无关同时保证表示唯一

如果一组向量线性相关，同一个结果可能有多种系数写法。上例中 $v_3=2v_1+v_2$，因此向任何表示中加入

都不会改变结果，却会改变系数。

反过来，若 $v_1,\ldots,v_k$ 线性无关，而某个向量有两种表示

以及

两式相减得到

线性无关迫使每个 $c_i-d_i=0$，所以两组系数完全相同。没有多余方向和每个向量的表示唯一，其实是同一件事的两面。

几条好用但不能乱用的快速判断

• 一组向量中只要含有零向量，就一定线性相关，因为 $1\cdot 0=0$ 已经是一条非平凡关系。
• 一根向量构成的集合线性无关，当且仅当这根向量非零。
• 两根向量线性无关，当且仅当它们不互为倍数。
• $\mathbb R^n$ 中超过 $n$ 根向量一定线性相关，因为这个空间容不下超过 $n$ 个彼此独立的方向。
• 向量数不超过 $n$ 并不保证线性无关，最终仍要检查齐次方程是否只有零解。

基：既能覆盖，又没有多余

现在可以回答“怎样用尽量精炼的一组方向描述整个空间”。一组向量要成为空间 $V$ 的基，必须同时满足两件事：

1. 它们张成 $V$，所以空间中任何向量都能由它们表示。
2. 它们线性无关，所以没有任何一根可以删掉。

张成保证“够用”，线性无关保证“不重复”。只满足第一条的向量组可能塞了很多冗余方向；只满足第二条的向量组可能很干净，却还没有覆盖整个空间。基正好卡在两者交界处。

例如，$\mathbb R^2$ 的标准基是

但标准基不是唯一选择。下面两根向量也不共线，因此同样张成整个平面并且线性无关：

所以 $(u_1,u_2)$ 也是 $\mathbb R^2$ 的一组基。

基为什么给出唯一坐标

基的“张成”保证每个向量至少有一种表示，基的“线性无关”保证这种表示至多有一种。两条合起来，每个向量恰好有一种基展开。

设 $B=(u_1,u_2)$。对

寻找 $a,b$，使得

也就是

对应方程是

解得 $a=3$、$b=1$，于是 $p$ 在基 $B$ 下的坐标是

同一个向量在标准基下的坐标是 $(4,2)$，在斜基 $B$ 下的坐标是 $(3,1)$。向量没有变，变的是用来报位置的坐标尺。

从一堆生成向量里提炼出基

若手里已经有一组张成 $V$ 的向量，可以不断删掉能由其他向量组合出来的成员。每删掉一个多余向量，张成不变。直到再删任何一个都会缩小张成，剩下的就是一组基。

反过来，若手里有一组线性无关向量但还没张成 $V$，就从 $V$ 中挑一根不在当前张成里的向量加入。新向量带来新方向，所以加入后仍线性无关。继续这样做，直到覆盖整个空间，也会得到一组基。

这两条路线说明了基的双重身份：它既是删无可删的张成集，也是加无可加的线性无关组。

维数：真正自由的方向有几个

一条过原点的直线可以换很多根不同长度的向量当基，但每组基都只需要一根。一个平面也可以换无数对不共线向量当基，但每组都恰好两根。基可以换，所需方向的数量不会换。

有限维向量空间 $V$ 的维数，定义为任意一组基所含的向量个数：

维数数的是彼此独立的自由方向，不是图画所在背景空间的维数。

为什么不同基的向量数一定相同

假设 $B=(b_1,\ldots,b_m)$ 和 $D=(d_1,\ldots,d_n)$ 都是同一个空间的基。因为 张成整个空间， 一定能由 表示。这个表示里至少有一个非零系数，我们可以用 换掉对应的那根 ，仍然得到一组基：覆盖没有丢，线性无关也没有破坏。

接着把 $d_2$ 换进来，再换 $d_3$。每换进一根 $D$ 中的向量，就换出一根 $B$ 中的向量，基的总数量始终是 $m$。如果 ，换完 根后， 还有向量没有换进来；但此时已有的 根 向量已经是一组基，剩余向量必能由它们组合出来，这会和 的线性无关矛盾。所以 。

把 $B$、$D$ 的角色对调，同理得到 $m\le n$。于是 $m=n$。这就是维数能够被定义成“任意一组基的向量数”的原因。

维数不是外部坐标的个数

常见例子是：

• 只含零向量的空间 $\{0\}$ 没有自由方向，维数是 $0$；它的基是空组。
• $\mathbb R^3$ 中一条过原点的直线只需一根非零向量，维数是 $1$。
• $\mathbb R^3$ 中一个过原点的平面需要两根不共线向量，维数是 $$。

维数还带来一个很实用的计数结论：在 $n$ 维空间中，超过 $n$ 根向量一定线性相关，少于 $n$ 根向量一定不可能张成整个空间。若恰好有 $n$ 根向量，那么只需证明“线性无关”或“张成整个空间”中的任意一项，另一项会自动成立。

从参数解直接读出基与维数

齐次方程组的解集是最典型的子空间。实际计算时，求它的一组基有一条很稳定的路线：行化简，找自由变量，把通解拆成“每个自由变量乘一根固定向量”。这些固定向量就是自然候选基。

考虑

求零空间 $N(A)$ 的一组基和维数。

每个自由变量各自取 $1$、其余自由变量取 $0$，就得到一根“特殊解向量”。这里有两个自由变量，于是得到两根基向量。这个现象不是巧合：自由变量恰好给零空间提供独立的活动方向。

同一个矩阵的列空间也能顺手看一眼。化简中主元落在原矩阵第 $1$、第 $3$ 列，因此原矩阵的这两列

线性无关，并且其余列都能由它们组合出来。它们构成 $C(A)$ 的一组基，列空间维数是 $2$。下一章会解释为什么找列空间基时必须回到原矩阵的主元列，以及这里的两个 $2$ 如何共同进入秩—零化度关系。

把五个概念接成一条完整推理链

现在回头看，一条线已经很清楚了。

先从几根向量出发，允许任意线性组合，就得到它们的张成。这个张成自动是一个子空间，因为在里面继续做线性组合不会跑出去。

如果某根向量能由其他向量拼出，它就是多余的，整组向量线性相关；如果谁都替代不了谁，整组向量线性无关。

一组向量既张成整个目标空间，又线性无关，它就是一组基。基让空间里的每个向量都有唯一坐标。

最后，数一数任意一组基里有几根向量，就得到空间的维数。它不是表面上写了几个坐标，而是这个空间里真正能够彼此独立变化的方向数。

可以把它压缩成下面四个问题：

常见误区

误区一：包含零向量就一定是子空间

不够。单位圆盘包含零向量，但把圆盘内的非零向量放大很多倍会跑出去。两条过原点直线的并集也包含零向量，却通常不对加法封闭。三项条件缺一不可。

误区二：向量看起来朝向不同，就线性无关

图只能帮你猜，不能代替证明。尤其到了四维、五维，根本没有可靠的图可看。统一的方法始终是解

看是否只有零解。

误区三：张成同一个空间的向量组，都是基

张成只保证“够用”，没有保证“不多余”。在 $\mathbb R^2$ 中，$(e_1,e_2,e_1+e_2)$ 张成整个平面，但三根向量线性相关，所以不是基。

误区四：线性无关的向量组就是基

还要问它是哪个空间的基。$e_1,e_2$ 在 $\mathbb R^3$ 中线性无关，却只张成 $xy$ 平面，不是 ${\mathbb{R}}^{}$ 的基；它们倒是这个 平面的基。

误区五：在 $\mathbb R^3$ 中的集合，维数就是 $3$

环境空间和子空间不是一回事。$\mathbb R^3$ 中的过原点直线维数是 $1$，过原点平面维数是 $2$。维数要数基向量，不是数坐标栏。

误区六：行化简后的主元列就是原列空间的基

行化简会保持列之间的依赖关系，却一般会改变列向量本身。主元位置要从化简结果中找，真正的列空间基要回原矩阵取对应列。这一点下一章会用完整例子展开。

练习

练习一：子空间判定

判断下面两个集合是否是 $\mathbb R^3$ 的子空间：

练习二：判断是否属于张成

设

判断 $p=(3,8,2)$ 是否在 $\operatorname{span}(v_1,v_2)$ 中。

练习三：找出多余方向

判断下面向量组是否线性无关；若相关，写出一根向量和其余向量的关系。

练习四：基与坐标

判断

是否是 $\mathbb R^2$ 的一组基。若是，求 $p=(5,3)$ 在基 $B$ 下的坐标。

练习五：从参数解取基

求下面齐次方程组解空间的一组基和维数：

练习六：辨析“够用”和“不多余”

在 $\mathbb R^3$ 中，分别判断下面两组向量缺少基的哪一项条件。

下一步：四个基本子空间与秩—零化度

这一章把衡量空间的尺子准备好了：张成告诉我们覆盖范围，线性无关帮我们删除重复方向，基留下最精炼的坐标框架，维数记录自由方向数。

回到矩阵，列空间已经回答了 $Ax=b$ 的结果能落在哪里，零空间也已经暴露了 $Ax=0$ 中的自由方向。下一章会把行空间与左零空间也加入进来，并从行化简中统一读出四个空间的基。到那时，我们会得到一个精确的计数关系：矩阵用掉多少个独立方向、又留下多少个自由方向，它们加起来为什么恰好等于输入变量的总数。

把三根向量排成矩阵的列，就是解齐次方程

所以 $Ax=0$ 等价于

$W_2$ 不是子空间，因为零向量不满足 $x+y-2z=3$。它是一个平移后的平面，不经过原点。

与 $p$ 的第二坐标一致。因此

所以 $p$ 在这个张成中。

这里有不全为零的系数，所以向量组线性相关。$u_3$ 是多余方向，删掉它不会改变张成。

得到

解得 $a=2$、$b=1$。因此

令 $x_3=s$、$x_4=t$，则

两根向量分别对应两个自由变量，且线性无关。因此一组基是

解空间的维数是 $2$。

因此向量组线性相关，缺少“线性无关”条件。删掉 $e_1+e_2$ 后，剩下的标准基才同时满足两项条件。