四个基本子空间与秩-零化度 | 线性代数 I：向量、矩阵与线性变换 | 自在学

四个基本子空间与秩-零化度

上一章把“子空间、基、维数”这些词讲清楚了。本章把它们放回矩阵里。一个矩阵 $A$ 不只是一个数字表，它同时带着四个子空间：列空间、零空间、行空间和左零空间。它们分别回答四类问题：哪些 $b$ 可以写成 $Ax$ ，哪些 $x$ 会被 $A$ 压成 $0$ ，哪些约束真正独立，哪些输出关系必须自动满足。

如果 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，那么列空间和左零空间住在 $\mathbb R^m$ ，行空间和零空间住在 $\mathbb R^n$ 。先分清它们住在哪里，再谈基和维数，会少走很多弯路。

四个基本子空间总览图：矩阵 A 将输入空间中的行空间映到输出空间中的列空间，并把零空间压到 0。

四个基本子空间与秩-零化度的关系示意图。

四个空间分别在问什么

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵。矩阵乘法 $Ax$ 接收 $\mathbb R^n$ 中的向量，输出 $\mathbb R^m$ 中的向量。因此，和输入有关的空间住在，和输出有关的空间住在。

列空间

列空间是 $A$ 的列向量张成的子空间：

C(A)=\operatorname{span}\lbrace a_1,a_2,\dots,a_n\rbrace\subseteq \mathbb R^m

因为

Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n

所以列空间就是所有可能输出 $Ax$ 的集合。方程 $Ax=b$ 有解，当且仅当 $b$ 落在 $C(A)$ 中。

线性代数示意图：矩阵 A 的列向量张成列空间平面，向量 b 在平面内表示方程有解，向量 b' 在平面外表示不相容。

列空间与方程 Ax=b：b 必须在列空间里，方程才有解。

零空间

零空间是齐次方程的全部解：

N(A)=\lbrace x\in\mathbb R^n:Ax=0\rbrace

它描述输入空间中“看不见”的方向。沿着零空间方向移动，输出不会改变。若 $v\in N(A)$ ，则

A(x+v)=Ax+Av=Ax

这句话在解非齐次方程时很有用：只要找到一个特解 $x_p$ ，全部解就是

x=x_p+v,\quad v\in N(A)

矩阵变换将三维零空间中的自由方向直线压到二维输出空间的原点，标注 Ax=0。

零空间中的自由变量方向：沿 N(A) 的向量在变换 A 下都映射到 0。

行空间

行空间是 $A$ 的行向量张成的子空间，也可以写成 $A^\mathsf T$ 的列空间：

C(A^\mathsf T)\subseteq \mathbb R^n

行空间住在输入空间里。每一行给出一个线性约束，例如

a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n=b_i

行空间收集的是这些约束真正能测到的方向。与行空间垂直的方向，正是零空间中的方向。

左零空间

左零空间是转置矩阵的零空间：

N(A^\mathsf T)=\lbrace y\in\mathbb R^m:A^\mathsf T y=0\rbrace

它也可以理解为所有满足 $y^\mathsf T A=0$ 的向量 $y$ 。若 $y\in N(A^\mathsf T)$ ，那么对任何的可解右端，都有

y^\mathsf T b=y^\mathsf T Ax=0

因此左零空间给出的是 $b$ 必须满足的相容性条件。

线性代数教学插图，左侧展示行向量作为测量约束作用于未知向量 x，右侧展示向量 y 垂直于列空间并满足 A^T y = 0。

行空间表示真正参与测量的约束方向；左零空间表示与列空间正交、满足 A^T y = 0 的输出关系。

一张表定位四个空间

空间	住在哪里	定义	主要问题
列空间 $C(A)$	$\mathbb R^m$	$A$ 的列向量张成	哪些 $b$ 让 $Ax=b$ 有解

从行最简形读出基

四个基本子空间不是只靠定义来理解的。给定一个具体矩阵，我们通常先做行化简，再从行最简形读出主元列、自由变量和非零行。

这一章用同一个矩阵贯穿：

A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 1&2&1&2 \end{bmatrix}

对它做行化简，得到

R= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}

主元列是第 $1$ 列和第 $3$ 列。第 $2$ 个变量和第 $4$ 个变量是自由变量。

从行最简形读出基的线性代数教学图，突出主元列和自由列。

原矩阵 A 与行最简形 R 对照，说明列空间基、行空间基和零空间基的读取方法。

行变换保持零空间和行空间不变，但一般会改变列空间中的具体列向量。因此，列空间的基要回到原矩阵 $A$ 里取主元列，不能直接拿行最简形 $R$ 的主元列代替。

列空间基

主元列告诉我们哪些原始列向量线性无关。因为主元列是第 $1$ 列和第 $3$ 列，所以列空间的一组基是原矩阵 $A$ 的第 $1$ 列和第 $3$ 列：

\left\lbrace \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} \right\rbrace

于是

\dim C(A)=2

行空间基

行变换不会改变行空间。行最简形中的非零行给出行空间的一组基：

\left\lbrace \begin{bmatrix}1&2&0&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0&1&1\end{bmatrix} \right\rbrace

因此

\dim C(A^\mathsf T)=2

零空间基

求零空间时，解 $Rx=0$ 即可，因为 $Ax=0$ 与 $Rx=0$ 有相同解集。由 $R$ 得到

x_1+2x_2+x_4=0

x_3+x_4=0

令 $x_2=s$ ， $x_4=t$ ，则

x_1=-2s-t,\quad x_3=-t

所以

x= s\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}

零空间的一组基是

\left\lbrace \begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\0\\-1\\1\end{bmatrix} \right\rbrace

于是

\dim N(A)=2

左零空间基

左零空间要解 $A^\mathsf T y=0$ 。设

y=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}

则

A^\mathsf T y=0

给出条件

y_1+y_3=0,\quad y_2+y_3=0

令 $y_3=t$ ，得到

y=t\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix}

左零空间的一组基是

\left\lbrace \begin{bmatrix}-1\\-1\\1\end{bmatrix} \right\rbrace

因此

\dim N(A^\mathsf T)=1

秩、零化度与维数账本

矩阵 $A$ 的秩是列空间的维数，也等于行空间的维数：

\operatorname{rank}(A)=\dim C(A)=\dim C(A^\mathsf T)

零化度是零空间的维数：

\operatorname{nullity}(A)=\dim N(A)

如果 $A$ 有 $n$ 列，秩为 $r$ ，那么

\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n

这就是秩-零化度关系。它说的是：输入变量一共有 $n$ 个方向，其中 $r$ 个方向被矩阵真正送进列空间，剩下 $n-r$ 个方向落进零空间。

秩-零化度平衡示意图：n 个变量被分为秩 r 的主元约束方向和零化度 n-r 的自由方向，并配有天平表达约束与自由度平衡。

秩 + 零化度 = 变量总数：主元约束的方向与自由方向共同构成全部变量维度。

四个维数一起看

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，秩为 $r$ ，那么四个基本子空间的维数是：

\dim C(A)=r

\dim N(A)=n-r

\dim C(A^\mathsf T)=r

\dim N(A^\mathsf T)=m-r

这四行很短，但信息很密。前两行把输入空间 $\mathbb R^n$ 分成“被看见的 $r$ 维”和“被压没的 $n-r$ 维”。后两行把输出空间 $\mathbb R^m$ 分成“真正能达到的 $r$ 维”和“与所有输出都正交的维”。

秩不是只数主元的技巧。它同时数列空间的维数、行空间的维数、独立约束的数量，以及矩阵真正能传递的自由方向数量。

约束与自由度的平衡

在一个方程组 $Ax=b$ 中， $n$ 个未知数并不等于 $n$ 个自由度。独立约束越多，自由度越少。若秩为 $r$ ，则主元变量有 $r$ 个，自由变量有 $n-r$ 个。

对于齐次方程 $Ax=0$ ，自由变量直接给出零空间维数。对于非齐次方程 $Ax=b$ ，若它有解，那么自由变量仍然决定解集的维数：

x=x_p+c_1v_1+\cdots+c_{n-r}v_{n-r}

其中 $v_1,\dots,v_{n-r}$ 是 $N(A)$ 的一组基。

例题：完整读出四个空间

继续使用矩阵

A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 1&2&1&2 \end{bmatrix}

求四个基本子空间的一组基，并判断 $Ax=b$ 何时有解。

先行化简矩阵。由第三行减去第一行再减去第二行，得到零行，所以行最简形是

R= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}

这个例子里的第三个方程等于前两个方程相加，所以右端也必须满足同样关系。左零空间把这种“隐藏的相容条件”直接写了出来。

方程组的三种读法

同一个方程 $Ax=b$ 可以从三个角度读。

列空间读法

列空间读法问： $b$ 能不能由 $A$ 的列向量线性组合得到？如果不能，方程无解。如果能，至少存在一个特解。

对于本章例子， $b=(3,1,4)^\mathsf T$ 满足 $4=3+1$ ，所以有解。 $b=(3,1,5)^\mathsf T$ 不满足这个条件，所以无解。

零空间读法

零空间读法问：如果有一个解，是否还能沿某些方向继续移动而不改变输出？若 $N(A)$ 只有零向量，解至多唯一。若 $N(A)$ 有正维数，只要方程有解，就会有无穷多解。

本章例子中 $\dim N(A)=2$ ，所以每一个可解的 $Ax=b$ 都有两个自由参数。

左零空间读法

左零空间读法问：右端 $b$ 是否满足所有相容条件？如果 $y\in N(A^\mathsf T)$ ，则可解的 $b$ 必须满足 $y^\mathsf T b=0$ 。

本章例子中，左零空间由 $(-1,-1,1)^\mathsf T$ 张成，所以

-b_1-b_2+b_3=0

这比反复消元更直接地指出了无解的原因。

“方程个数多”不一定代表约束多。真正重要的是独立约束的数量，也就是秩。重复方程、倍数方程和线性组合出来的方程不会增加秩。

应用：网络流量中的自由环路

网络流量是理解秩-零化度的好例子。把每条边的流量看成未知数，把每个节点的守恒条件写成方程：流入等于流出。若用一个关联矩阵 $B$ 表示这些节点约束，那么

Bx=0

表示每个节点都平衡。

四个节点五条有向边的网络流量示意图，标出流入等于流出的独立约束 r 个和环路上的自由流 n-r 个。

网络流量中的约束与自由度：节点平衡给出独立约束，环路流量体现秩-零化度中的自由度。

在一个连通网络中，所有节点守恒方程并不完全独立。因为把所有节点的“流入减流出”加起来，内部边会一正一负抵消，总和自动为 $0$ 。这会留下至少一个左零空间方向：所有节点方程相加的那条关系。

如果网络有 $5$ 条边，而独立节点约束有 $3$ 个，那么零空间维数是

5-3=2

这两个自由度可以理解为沿闭合环路绕行的流量。它们不会破坏节点平衡，只会改变边上的分配。

易错点与检查方法

列空间基不能直接取行最简形的列

行变换会改变列向量在 $\mathbb R^m$ 中的位置。行最简形只负责告诉我们哪些列是主元列。真正的列空间基，要回到原矩阵取对应列。

零空间要看自由变量

零空间维数等于自由变量个数。如果 $n$ 列矩阵秩为 $r$ ，那么自由变量有 $n-r$ 个，零空间就是 $n-r$ 维。

左零空间不是“左边的零空间”

左零空间不是在矩阵左侧随便找东西，而是解

A^\mathsf T y=0

它住在输出空间 $\mathbb R^m$ 中，给出右端 $b$ 的相容性条件。

先问空间住在哪里

做题时可以先写下四个维数：

C(A)\subseteq \mathbb R^m,\quad N(A)\subseteq \mathbb R^n

C(A^\mathsf T)\subseteq \mathbb R^n,\quad N(A^\mathsf T)\subseteq \mathbb R^m

如果一个基向量的长度和所在空间不一致，通常说明你把空间放错了。

练习

练习一：读秩和零化度

设

A= \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}

求 $\operatorname{rank}(A)$ 、 $\operatorname{nullity}(A)$ 和 $N(A)$ 的一组基。

练习二：用左零空间判断相容性

对本章的矩阵

A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 0&0&1&1\\ 1&2&1&2 \end{bmatrix}

判断 $Ax=b$ 在 $b=(3,1,5)^\mathsf T$ 时是否有解。

练习三：四个空间的维数

设 $A$ 是一个 $5\times 8$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(A)=5$ 。求四个基本子空间的维数，并说明 $Ax=b$ 对任意 $b\in\mathbb R^5$ 是否都有解。

练习四：一眼看出依赖关系

设

B= \begin{bmatrix} 1&1\\ 2&2\\ 3&3 \end{bmatrix}

求 $C(B)$ 、 $N(B)$ 和 $N(B^\mathsf T)$ 的一组基。

小结

四个基本子空间把矩阵的结构分成两对：输入空间里的行空间与零空间，输出空间里的列空间与左零空间。列空间决定 $Ax=b$ 是否可能；零空间决定解的自由方向；行空间记录独立约束；左零空间记录右端必须满足的相容条件。

秩-零化度关系把这些信息压成一句话：

\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n

这不是一个孤立公式，而是在说：一个矩阵能真正约束或传递多少方向，就会相应留下多少自由方向。会读这本“维数账本”，后面学习线性变换、投影、最小二乘和矩阵分解时会轻松很多。

A

x

=

b

Ax=b

-b_1-b_2+b_3=0