向量与线性组合 | 线性代数 I：向量、矩阵与线性变换 | 自在学

向量与线性组合

线性代数从很多入口都能讲起：方程组、矩阵、几何变换、数据表。最适合入门的入口，是向量。向量既可以是一根箭头，也可以是一列数字；它既能表示位移、力、速度，也能表示一组同时变化的量。

本章先把向量看成“方向加长度”的对象，再学习向量加法、数乘、线性组合和张成。你要抓住的主线很简单：几根已知方向箭头，能不能合成我们想要的新方向？

本章的目的不是提前讨论抽象向量空间，而是把二维和三维图像看稳。后面学习列空间、基、秩和线性变换时，这些图像会反复出现。

向量是一根箭头，也是一列数

在平面里，向量可以画成从一个点指向另一个点的箭头。如果只关心“往哪里走、走多远”，而不关心箭头从哪里出发，那么同样方向、同样长度的箭头表示同一个向量。

例如向量

\mathbf v = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}

表示横向走 3 个单位、纵向走 2 个单位。把它从原点画出来，箭头的终点就是点 $(3,2)$ 。

二维坐标平面中从原点指向点 (3,2) 的向量，标注横向 3、纵向 2 和列向量表示。

二维向量的坐标含义：向量 $\mathbf v$ 从原点到点 $(3,2)$ ，表示横向分量为 3、纵向分量为 2。

分量的含义

二维向量有两个分量，三维向量有三个分量。它们不是随便排成一列的数字，而是沿不同坐标方向的“份额”。

\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} : \text{横向 }3,\ \text{纵向 }2

\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} : \text{第一方向 }2,\ \text{第二方向 }1,\ \text{第三方向 }3

三维坐标轴中从原点指向 (2,1,3) 的向量，带有前后、左右和高度方向的虚线投影及列向量表示。

三维向量可以看作三个方向分量组成的列向量。

位置向量与自由向量

从原点指向点 $(3,2)$ 的箭头常叫位置向量，因为它把一个点的位置编码成向量。但在做向量加法和线性组合时，我们更常把向量看成自由向量：只要方向和长度不变，它可以平移到别处。

这一区别很重要。点 $(3,2)$ 是一个位置；向量 $\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$ 是一次移动。我们常用同一组数字表示它们，是因为从原点出发时，两者刚好对应。

列向量竖着写，不是为了好看，而是为了以后和矩阵相乘。矩阵的每一列本身就是一个向量，方程组也会被改写成“列向量的线性组合”。

向量加法：把位移接起来

如果 $\mathbf u$ 表示一次移动， $\mathbf v$ 表示另一次移动，那么 $\mathbf u+\mathbf v$ 表示连续完成这两次移动后的总效果。

设

\mathbf u = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}

那么

\mathbf u+\mathbf v = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

计算时是对应分量相加；图像上是把第二根箭头接到第一根箭头的终点。

向量加法首尾相接法示意图：先走向量 u，再走向量 v，合成位移为 u+v。

向量加法的首尾相接法：先沿 $\mathbf u$ 前进，再从 $\mathbf u$ 的终点沿 $\mathbf v$ 前进，起点到最终终点的箭头表示合成位移 $\mathbf u+\mathbf v$ 。

两种画法说的是同一件事

首尾相接法适合表达“先做什么、再做什么”。平行四边形法适合表达“两个方向共同作用”。把 $\mathbf u$ 和 $\mathbf v$ 都从同一点画出，以它们为邻边补成平行四边形，对角线就是 $\mathbf u+\mathbf v$ 。

这两种画法得到同一个向量，因为横向分量和纵向分量都一样：

\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \end{bmatrix}

例题：合成两次移动

一辆小车先向东移动 4 米、向北移动 1 米，又向东移动 -1 米、向北移动 3 米。用向量表示总位移。

先把两次移动写成列向量。向东看作第一分量，向北看作第二分量，所以两次移动分别是

\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{和} \quad \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}

数乘：改变长度和方向

向量数乘是用一个数去乘向量。这个数叫标量。几何上，它会改变向量的长度；如果标量为负，还会把方向反过来。

c \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \end{bmatrix}

向量数乘示意图：同一直线上展示 v、2v 和 -1.5v 三个箭头，用长度变化和反向说明拉长、缩短与方向改变。

向量数乘会按系数的绝对值改变向量长度；系数为负时，向量方向反向。

系数的三种情况

当 $c>1$ 时， $c\mathbf v$ 和 $\mathbf v$ 同向，但更长。当 $0<c<1$ 时， $c\mathbf v$ 同向但更短。当时，与反向，长度是原来的倍。

还有一个特殊情况：

0\mathbf v = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

零向量没有明确方向。它表示“没有净移动”，也是很多线性代数判断里的分界点。

不要把 $-2\mathbf v$ 读成“减去两个向量”。它是一个新的向量：方向与 $\mathbf v$ 相反，长度是 $\mathbf v$ 的 2 倍。

例题：判断是否同方向

设

\mathbf a = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} -6 \\ 3 \end{bmatrix}

判断 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$ 是否在同一条直线上。

先比较第一分量。若 $\mathbf b=c\mathbf a$ ，则 $-6=2c$ ，所以 $c=-3$ 。

线性组合：几根方向箭头合成新方向

向量加法和数乘合起来，就得到线性组合。给定两个向量 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$ ，形如

s\mathbf a+t\mathbf b

的向量，叫 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$ 的一个线性组合。这里的 $s$ 和 $t$ 是可以调节的系数。

二维坐标系中展示线性组合 2u 加 1.5v，由基准方向 u 和 v 合成新方向。

调节系数后，向量 $2\mathbf u$ 与 $1.5\mathbf v$ 首尾相接，得到线性组合 $2\mathbf u+1.5\mathbf v$ 。

系数是控制旋钮

线性组合里，向量提供方向，系数控制每个方向用多少。比如

2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

这表示用 2 份水平向右的方向，加上 3 份竖直向上的方向，得到点 $(2,3)$ 对应的向量。

如果方向向量不是水平和竖直，也一样：

2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}

线性组合不是随便组合

“线性”在这里有两条限制。第一，只能对向量做数乘。第二，只能把这些数乘后的向量相加。不能把分量平方，不能取正弦，不能把两个向量逐项相乘。

线性组合的朴素读法是：每个方向拿若干份，然后把这些份数加起来。这个读法会一直用到矩阵方程 $A\mathbf x=\mathbf b$ 。

例题：把目标向量写成线性组合

设

\mathbf a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf c = \begin{bmatrix} 9 \\ 8 \end{bmatrix}

求数 $s,t$ ，使得

s\mathbf a+t\mathbf b=\mathbf c

先把线性组合按分量写开。

s \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s+3t \\ 2s+t \end{bmatrix}

张成：所有能到达的位置

固定若干向量，让系数任意变化。所有可能得到的线性组合，叫这些向量的张成。

如果只给一个非零向量 $\mathbf a$ ，那么所有线性组合只有一种形式：

k\mathbf a

当 $k$ 变化时，终点沿着同一条过原点的直线移动。

二维坐标系中非零向量 a 的数乘终点都落在同一条斜线上，说明一个方向只能张成一条线。

一个非零向量 $\mathbf a$ 的所有数乘 $k\mathbf a$ 的终点共线，因此它张成一条过原点的直线。

一个方向、两个方向、三个方向

在二维平面中，一个非零方向只能张成一条线。两个方向如果共线，本质上仍然只有一个方向，也只能张成一条线。两个方向如果不共线，就能通过不同系数组合到达整个平面。

两条不共线向量方向张成整个二维平面的线性代数组合示意图。

两条不共线方向覆盖平面：任意目标点都可以由 $m\mathbf a+n\mathbf b$ 的线性组合到达。

在三维空间中，情况多了一层。一个非零方向张成一条线；两个不共线方向张成一个过原点的平面；三个方向如果不在同一个平面内，就可能张成整个三维空间。

张成回答的是“能到哪里”。以后我们说矩阵的列空间，就是问矩阵的列向量通过线性组合能到达哪些向量。

例题：判断张成范围

判断下面两组向量在平面中分别张成什么。

\mathbf a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}

\mathbf p = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf q = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

先看第一组。因为

\mathbf b=2\mathbf a

所以 $\mathbf a$ 与 $\mathbf b$ 共线。它们虽然有两根箭头，但只有一个方向。

第一组能得到的所有向量都是。由于，它可以改写成

用向量语言重写方程组

线性组合还有一个更深的用途：它把线性方程组改写成向量问题。

看这个方程组：

\begin{cases} 2x+y=7 \\ x+3y=8 \end{cases}

通常我们会把它看成两条直线的交点。现在换成列向量视角：

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}

这句话的意思是：能不能用 $x$ 份第一列向量，加上 $y$ 份第二列向量，合成右端的目标向量？

方程组列向量视角示意图，展示 x 倍第一列加 y 倍第二列合成目标向量。

列向量组合：从 $x\mathbf a+y\mathbf b=\mathbf c$ 理解方程组的右端项，并引出下一章的列空间。

从两个方程到一个向量方程

把方程组写成列向量组合时，每个未知数不再只是一个要解的数，它还是对应列向量的系数。

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}

求解这个方程，就是问目标向量 $\begin{bmatrix}7\\8\end{bmatrix}$ 是否在两根列向量的张成范围内。如果在，还要找出具体的系数 $x,y$ 。

下一章会把很多列向量排成一个矩阵。那时 $A\mathbf x=\mathbf b$ 的意思就是：用矩阵 $A$ 的列向量，按 $\mathbf x$ 里的系数做线性组合，看看能不能合成 $\mathbf b$ 。

例题：用列向量视角解方程组

求

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}

中的 $x,y$ 。

先把向量方程按分量展开。

\begin{bmatrix} 2x+y \\ x+3y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}

练习

练习：向量加法

计算

\begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \end{bmatrix}

练习：数乘与共线

设

\mathbf u = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}

判断 $\mathbf u$ 与 $\mathbf v$ 是否共线。

练习：线性组合

设

\mathbf a = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

求 $s,t$ ，使

s\mathbf a+t\mathbf b= \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

练习：张成范围

在二维平面中，下面两个向量能否张成整个平面？

\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

练习：方程组的列向量视角

把下面方程组写成列向量线性组合的形式。

\begin{cases} 3x-2y=4 \\ x+5y=9 \end{cases}

小结

向量加法把位移接起来，数乘改变长度和方向。线性组合把这两件事合在一起：先取若干份方向向量，再把它们相加。

张成描述所有可能的线性组合，也就是给定方向能到达的全部位置。一个非零方向在平面中张成一条线；两个不共线方向张成整个平面。这个观点会直接进入下一章：矩阵的列向量能张成哪些目标向量，决定方程组是否有解。

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