向量与线性组合

上一章画了一张地图：同一个线性问题，可以读成一组条件、一次向量拼接，也可以读成矩阵对空间做的动作。现在我们先把中间那种读法讲扎实。

想象朋友在电话里给你指路：“从地铁口出来，往东走 3 个街区，再往北走 2 个街区。”这句话没有告诉你目的地叫什么，却已经给出了一条完整的移动指令。向量就是这种指令的数学版本。它记录各个方向分别移动多少，至于从哪里开始执行，不是向量本身的一部分。

这一章会沿着一条很自然的线往前走：一条移动指令怎样写成向量，两条指令怎样接起来，怎样把一个方向放大或反向，最后怎样用几根已有方向拼出目标。走到末尾时，你会发现，线性方程组其实一直在问同一件事：目标向量能不能这样拼出来？

先把每条运算看成一个动作。分量公式不是凭空定下来的规则，它只是把“走了多少”“接着怎么走”“每个方向取几份”如实记到账上。

点告诉你在哪里，向量告诉你怎么走

先看一个具体场景。你站在点 $P=(2,-1)$ ，要走到点 $Q=(7,2)$ 。横坐标从 $2$ 变成 $7$ ，增加了 $5$ ；纵坐标从 $-1$ 变成 $2$ ，增加了 $3$ 。因此，从 $P$ 到 $Q$ 的位移是

\overrightarrow{PQ} = \begin{bmatrix} 7-2 \\ 2-(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}

这里最容易混淆的是点和向量。点 $Q=(7,2)$ 回答“终点在哪里”；向量 $\overrightarrow{PQ}=\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}$ 回答“从起点怎样走到终点”。一个是位置，一个是变化量。

同一支箭头可以搬到别处

如果另一位同学从 $R=(-4,6)$ 出发，向右走 $5$ 、向上走 $3$ ，他会到达 $S=(1,9)$ 。虽然两段路出现在坐标平面的不同位置，但它们给出的移动指令相同：

\overrightarrow{RS} = \begin{bmatrix} 1-(-4) \\ 9-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \overrightarrow{PQ}

所以我们说向量是“自由”的：只要长度和方向不变，整支箭头平移到哪里都还是同一个向量。判断两支自由向量是否相等，不看它们画在哪里，只看每个方向的位移是否相同。

从点 $A=(a_1,a_2)$ 指向点 $B=(b_1,b_2)$ 的向量总是“终点减起点”：

\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{bmatrix}

把顺序倒过来，移动方向也会倒过来：

\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}

“终点减起点”不能反着写。最稳妥的检查方法是把答案翻译回动作：从 $A$ 的坐标出发，加上你算出的位移，应该正好得到 $B$ 。

位置向量只是一个特殊摆法

我们经常把箭头的起点放在原点 $O=(0,0)$ 。这时

\overrightarrow{OP} = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \end{bmatrix}

箭头的终点恰好就是点 $P=(p_1,p_2)$ 。从原点指向一个点的向量叫这个点的位置向量。于是，同一组数字既可能写成点 $(3,2)$ ，也可能写成列向量 $\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$ 。它们对应得很紧，但说的仍是两件事：前者是“在哪儿”，后者是“怎样从原点走过去”。

二维坐标平面中从原点指向点 (3,2) 的向量，标注横向 3、纵向 2 和列向量表示。

把向量放在原点时，终点坐标就是它的两个分量。

分量是各个坐标方向的位移

二维向量写成

\mathbf v= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}

第一分量 $v_1$ 记录水平方向的变化，第二分量 $v_2$ 记录竖直方向的变化。正负号负责方向，绝对值负责沿该坐标轴走多远。

到了三维，多记一个方向：

\mathbf v= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}

到了 $n$ 维，就有 $n$ 个分量。我们未必能画出四维、五维的箭头，但仍可以逐个分量记录变化，所以计算规则不需要改。

向量的长度来自勾股定理。对于二维向量，

\left\| \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \right\| = \sqrt{v_1^2+v_2^2}

例如 $\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ 表示向右 $3$ 、向上 $4$ ，直线位移的长度是 $5$ 。注意， $3+4=7$ 是沿两条坐标方向累计走过的路程，不是起点到终点的直线距离。

所有分量都是 $0$ 时，我们得到零向量：

\mathbf 0= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

它表示没有净位移，长度为 $0$ 。非零向量都有明确方向，零向量没有唯一方向。

例题：起点不同，位移也可以相同

小林从 $A=(1,1)$ 走到 $B=(4,5)$ ，小周从 $C=(-2,3)$ 走到 $D=(1,7)$ 。判断两人的位移是否相同，并求位移长度。

先算小林的位移。终点减起点，得到

\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 4-1 \\ 5-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

再算小周的位移：

\overrightarrow{CD} = \begin{bmatrix} 1-(-2) \\ 7-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

两支箭头起点和终点都不同，但分量相同，所以它们是同一个自由向量。位移长度为

\sqrt{3^2+4^2}=5

向量加法：把两段位移接成一段

假设第一条指令让你走位移 $\mathbf u$ ，第二条指令让你接着走位移 $\mathbf v$ 。从最初起点直接指向最终终点的那支箭头，就是 $\mathbf u+\mathbf v$ 。

设

\mathbf u= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf v= \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}

第一段让横坐标增加 $2$ ，第二段又让横坐标增加 $-1$ ，所以总的横向变化是 $2+(-1)=1$ 。竖直方向同样单独记账，总变化是 $1+3=4$ 。因此

\mathbf u+\mathbf v = \begin{bmatrix} 2+(-1) \\ 1+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}

这就解释了为什么向量要对应分量相加。不是因为“竖着排的数就该这样算”，而是因为水平方向的位移只和水平方向合并，竖直方向的位移只和竖直方向合并。到了 $n$ 维，仍是每个方向各算各的：

\begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1+v_1 \\ \vdots \\ u_n+v_n \end{bmatrix}

首尾相接和平行四边形

画图时，可以把 $\mathbf v$ 平移到 $\mathbf u$ 的末端。因为向量是自由向量，平移不会改变它。最初起点到最后终点的箭头就是和向量，这叫首尾相接法。

也可以让 $\mathbf u$ 和 $\mathbf v$ 从同一点出发，再把它们补成平行四边形。对角线仍是 $\mathbf u+\mathbf v$ 。前一种画法强调“先走再走”，后一种画法强调“两种作用同时叠加”，算出来是同一个净效果。

加法可以交换，但路线不一定相同

对应分量相加满足交换律：

\mathbf u+\mathbf v=\mathbf v+\mathbf u

它的几何意思是：先走 $\mathbf u$ 再走 $\mathbf v$ ，与先走 $\mathbf v$ 再走 $\mathbf u$ ，最终净位移相同。中间经过的路线可能不同，所以“和相同”不等于“过程完全一样”。

向量加法也满足结合律：

(\mathbf u+\mathbf v)+\mathbf w = \mathbf u+(\mathbf v+\mathbf w)

连续三段位移时，先合并前两段还是后两段，不会改变最终位置。这条性质让我们以后可以直接写 $\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w$ ，不用担心括号放在哪里。

减法是在接一支反向箭头

向量 $-\mathbf v$ 把 $\mathbf v$ 的每个分量变号，长度不变、方向相反。于是

\mathbf u-\mathbf v = \mathbf u+(-\mathbf v)

若 $\mathbf p$ 和 $\mathbf q$ 都从原点出发，那么 $\mathbf q-\mathbf p$ 正好是从点 $P$ 指向点 $Q$ 的位移。这和前面“终点减起点”是同一件事。

向量和描述净位移，不描述实际走过的总路程。向东走 3 米再向西走 3 米，向量和是零向量，但你确实走了 6 米。

例题：三段移动怎样合并

一架小型无人机依次执行三条指令：向东 $4$ 米、向北 $1$ 米；向西 $2$ 米、向北 $3$ 米；向东 $1$ 米、向南 $5$ 米。求净位移，并说明它离起点多远。

取“向东、向北”为正方向，三条指令分别写成

\mathbf u= \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf v= \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf w= \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix}

横向和竖向分别相加：

\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w = \begin{bmatrix} 4-2+1 \\ 1+3-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}

净位移是向东 $3$ 米、向南 $1$ 米。它离起点的直线距离为

\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}

数乘：把同一条指令放大、缩小或倒放

现在只给一支向量 $\mathbf v$ ，但允许你取它的 $c$ 倍。这里的 $c$ 是普通实数，在线性代数里常叫标量。

若

\mathbf v= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}

那么

c\mathbf v = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \end{bmatrix}

这条规则也来自位移动作。如果整条指令执行两遍，每个方向的位移都变成两倍；如果只执行一半，每个方向都只走一半；如果倒着执行，所有方向同时反过来。因此必须让同一个 $c$ 乘到每个分量上。

系数的符号和大小各管一件事

对于非零向量 $\mathbf v$ ：

$c>0$ 时， $c\mathbf v$ 与 $\mathbf v$ 同向；
$c<0$ 时， $c\mathbf v$ 与 $\mathbf v$ 反向；
$|c|>1$ 时，长度变成原来的 $|c|$ 倍；
$0<|c|<1$ 时，长度缩短为原来的 $|c|$ 倍；
$c=0$ 时，所有分量都归零。

用公式写，长度满足

\|c\mathbf v\|=|c|\,\|\mathbf v\|

绝对值不能漏掉。比如 $c=-3$ 时，长度不可能变成“负三倍”；负号只负责反向，长度扩大 $3$ 倍。

零向量是所有方向的共同落点

无论 $\mathbf v$ 是什么，

0\mathbf v=\mathbf 0

反过来，对任何数 $c$ ，

c\mathbf 0=\mathbf 0

第一条说把一条指令执行零份，净位移为零；第二条说“没有位移”放大多少倍仍然没有位移。它们看起来简单，却解释了为什么后面的张成范围一定包含原点。

数乘怎样和加法配合

如果把两段位移的总效果一起放大 $c$ 倍，与先把每一段都放大 $c$ 倍再相加，结果相同：

c(\mathbf u+\mathbf v) = c\mathbf u+c\mathbf v

同一条向量指令取 $a$ 份再取 $b$ 份，也等于一共取 $a+b$ 份：

a\mathbf v+b\mathbf v = (a+b)\mathbf v

这些分配律不是额外要背的花样。把每个方向的位移分别展开，它们就是普通实数的分配律。

例题：判断两向量是否来自同一方向

设

\mathbf a= \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} -8 \\ 12 \end{bmatrix}

判断是否存在标量 $c$ ，使 $\mathbf b=c\mathbf a$ 。

先用第一分量求可能的系数。若 $-8=2c$ ，就必须有 $c=-4$ 。

再检查同一个 $c$ 能否解释第二分量：

(-4)(-3)=12

与 $\mathbf b$ 的第二分量一致。

所以 $\mathbf b=-4\mathbf a$ 。两向量共线、方向相反， $\mathbf b$ 的长度是 $\mathbf a$ 的 $4$ 倍。

这里必须检查所有分量。只看一个分量就宣布存在同一个倍数，可能被其他分量推翻。

线性组合：给已有方向装上系数旋钮

向量加法允许我们把指令接起来，数乘允许我们调节每条指令用多少。把两种操作合在一起，就得到线性组合。

给定向量 $\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_k$ ，表达式

c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+\cdots+c_k\mathbf v_k

叫这些向量的一个线性组合。向量提供已有方向，系数 $c_1,c_2,\ldots,c_k$ 像一排旋钮，决定每个方向取多少份。

系数可以是正数、负数或零。负数表示沿反方向使用某条向量，零表示这次完全不用它。因此“组合”不只是把箭头向前叠加，还允许后退、抵消和忽略某些方向。

二维坐标系中展示线性组合 2u 加 1.5v，由基准方向 u 和 v 合成新方向。

先取 $2$ 份 $\mathbf u$ ，再取 $1.5$ 份 $\mathbf v$ ，首尾相接后得到一个新的向量。

“线性”限制了允许的动作

在线性组合里，我们只做两类事：向量乘标量，以及把结果相加。下面是线性组合：

2\mathbf u-3\mathbf v+\frac{1}{2}\mathbf w

下面这些不是给定向量的线性组合：

\begin{bmatrix} u_1^2 \\ u_2^2 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} \sin u_1 \\ \sin u_2 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} u_1v_1 \\ u_2v_2 \end{bmatrix}

原因不在于它们“不能计算”，而在于它们对分量做了平方、正弦或对应相乘。线性组合只允许拿标量调节整支已有向量，再把结果相加。

例题：能否拼出目标向量

给定

\mathbf a= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf c= \begin{bmatrix} 9 \\ 8 \end{bmatrix}

我们要判断 $\mathbf c$ 能否写成 $s\mathbf a+t\mathbf b$ 。这不是靠看图猜系数，而是把目标的每个分量都对齐。

先把组合按分量展开：

s\mathbf a+t\mathbf b = s \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s+3t \\ 2s+t \end{bmatrix}

要让它等于 $\mathbf c$ ，两个分量必须同时相等：

\begin{cases} s+3t=9 \\ 2s+t=8 \end{cases}

由第二式得 $t=8-2s$ ，代入第一式：

s+3(8-2s)=9

化简得到 $s=3$ ，再代回得到 $t=2$ 。

最后直接验算：

3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 8 \end{bmatrix}

因此目标确实能拼出，而且这次所需系数是 $s=3,t=2$ 。

拼不出来时，矛盾会落在分量方程里

看另一组向量：

\mathbf a= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf p= \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}

若 $s\mathbf a+t\mathbf b=\mathbf p$ ，就要有

\begin{cases} s+2t=3 \\ 2s+4t=1 \end{cases}

但第一个方程乘 $2$ 会得到 $2s+4t=6$ ，第二个方程却要求同一个左边等于 $1$ 。矛盾说明无论怎样调节 $s,t$ ，都拼不出 $\mathbf p$ 。

从几何上看， $\mathbf b=2\mathbf a$ ，两根向量其实只给了同一个方向；而 $\mathbf p$ 不在那条方向线上。

张成：把所有可能的系数一次放开

刚才我们固定一个目标，寻找能否拼出它的系数。现在把问题倒过来：系数可以任意取值时，所有可能结果合在一起是什么？

给定 $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k$ ，它们的张成记作

\operatorname{span}\{\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k\} = \left\{ c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k \mid c_1,\ldots,c_k\in\mathbb R \right\}

左边是一个集合，不是某一支向量。它收集了所有可能的线性组合。你可以把“张成”读成“这些方向能覆盖的全部范围”。

一根非零向量张成一条过原点的直线

只给一根非零向量 $\mathbf a$ 时，所有组合都是 $c\mathbf a$ 。改变 $c$ ，终点可以沿 $\mathbf a$ 所在直线向前、向后，也可以停在原点，但不可能离开这条线。

二维坐标系中非零向量 a 的数乘终点都落在同一条斜线上，说明一个方向只能张成一条线。

一根非零向量的所有实数倍，恰好填满一条过原点的直线。

如果唯一给定的是零向量，那么无论系数怎样变化，结果都只有零向量：

\operatorname{span}\{\mathbf 0\}=\{\mathbf 0\}

为什么张成的直线和平面一定经过原点

把所有系数都取成零，总能得到

0\mathbf v_1+\cdots+0\mathbf v_k=\mathbf 0

所以任何张成集合都包含原点。这给了我们一个很快的排除法：一条不经过原点的直线，不可能直接写成若干向量的张成。

例如

\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} \mid t\in\mathbb R \right\}

描述的是经过点 $(1,2)$ 、方向为 $\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$ 的直线。它是“一固定位置加上一个张成方向”，一般不经过原点，因此不能把整条线简写成 $\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$ 。

新向量会不会扩大范围，只看它是否带来新方向

在二维平面中，给一根非零向量，只能覆盖一条线。再加入一根向量时，会出现两种情况。

若 $\mathbf b=2\mathbf a$ ，那么

s\mathbf a+t\mathbf b = s\mathbf a+2t\mathbf a = (s+2t)\mathbf a

两只系数旋钮最后仍合并成沿 $\mathbf a$ 的一只旋钮。 $\mathbf b$ 是重复方向，加入它没有扩大张成范围。

若第二根向量不在第一根的直线上，两根向量就提供两个真正不同的方向。在二维中，它们能张成整个平面。

“不共线就一定覆盖整个平面”可以算出来。设

\mathbf a= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

任取目标 $\mathbf p=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ ，要求

s\mathbf a+t\mathbf b=\mathbf p

就得到

\begin{cases} s+2t=x \\ 2s+t=y \end{cases}

解为

s=\frac{2y-x}{3}, \qquad t=\frac{2x-y}{3}

无论 $x,y$ 是什么，这两个系数都存在。因此每个二维目标都能拼出，张成范围就是整个 $\mathbb R^2$ 。

三维里要多问一句“是否离开原来的平面”

在 $\mathbb R^3$ 中：

一根非零向量张成一条过原点的直线；
两根不共线向量张成一个过原点的平面；
第三根向量若落在这个平面内，只是已有方向的组合，范围仍是这个平面；
第三根向量若不在这个平面内，才会带来离开平面的方向，三根向量可以张成整个三维空间。

这里的核心不是数箭头，而是数真正新增的方向。三根箭头可能只给一个方向，也可能给两个方向，还可能给足三个方向。

“重复方向”与线性关系

若一组向量中有一根能由其余向量拼出，那么删掉它不会缩小张成范围。比如

\mathbf v_3=2\mathbf v_1-\mathbf v_2

任何原本使用 $\mathbf v_3$ 的组合，都能把它换回 $\mathbf v_1,\mathbf v_2$ ：

a\mathbf v_1+b\mathbf v_2+c\mathbf v_3 = (a+2c)\mathbf v_1+(b-c)\mathbf v_2

这就是“多余”在数学上的精确含义：它没有扩大可达范围。等价地，把关系移到同一边，会得到一个系数不全为零的零向量组合：

2\mathbf v_1-\mathbf v_2-\mathbf v_3=\mathbf 0

以后学习线性相关与线性无关时，我们会把这种关系正式命名。本章先记住判断动作：加入一根向量后，张成范围有没有变大？

张成问“能到哪里”，重复方向问“谁没有带来新地方”。这两句会在列空间、基和秩里反复出现。

方程组的列视角：系数就是配方

现在回到上一章的三种视角。看方程组

\begin{cases} 2x+y=7 \\ x+3y=8 \end{cases}

通常的读法是：找一对 $x,y$ ，让两个条件同时成立。若按未知数把左边重新分组，会得到

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}

现在 $x,y$ 有了第二层身份：它们不只是方程里的未知数，也是两根列向量的配方系数。求解方程组，就是寻找应当取多少份第一列和多少份第二列，才能拼出右端目标。

为什么按列分组一定会还原原方程

把左边按分量算开：

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x+y \\ x+3y \end{bmatrix}

要让两个列向量相等，就必须让对应分量分别相等，于是原来的两个方程一行不少地回来。列视角没有换题，只是换了语言。

例题：从配方读回方程组

求 $x,y$ ，使

x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix}

先按分量展开，得到

\begin{cases} 2x+y=7 \\ x+3y=8 \end{cases}

由第一式得 $y=7-2x$ ，代入第二式：

x+3(7-2x)=8

所以 $-5x=-13$ ，即 $x=\frac{13}{5}$ 。

代回 $y=7-2x$ ：

y=7-2\cdot\frac{13}{5}=\frac{9}{5}

用列组合语言说，目标向量需要 $\frac{13}{5}$ 份第一列和 $\frac{9}{5}$ 份第二列。

有解、无解和不止一个解怎样从张成看

设方程写成

x_1\mathbf a_1+\cdots+x_n\mathbf a_n=\mathbf b

那么：

若 $\mathbf b$ 不在这些列向量的张成中，目标根本拼不出来，方程组无解；
若 $\mathbf b$ 在张成中，而且配方只有一份，方程组有唯一解；
若 $\mathbf b$ 在张成中，但已有方向中存在重复，某些系数可以互相补偿，方程组可能有无穷多解。

看一个只有重复方向的例子：

x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}

因为第二列是第一列的 $2$ 倍，左边可以合并成

(x+2y) \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

只要 $x+2y=3$ 就能拼出目标。比如 $(x,y)=(3,0)$ 、 $(1,1)$ 、 $(-1,2)$ 都可以，所以有无穷多份配方。

若把右端换成 $\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$ ，它不在那条张成直线上，任何配方都无效，方程组就无解。

下一章会把列向量并排放进一个矩阵 $A$ ，把配方系数放进向量 $\mathbf x$ ，把目标写成 $\mathbf b$ 。于是整句话会压缩成 $A\mathbf x=\mathbf b$ 。矩阵记号变短了，背后的问题仍是“能否用这些列拼出目标”。

常见误区：先把容易混的地方拆开

把点和向量当成同一种对象

写法 $(3,2)$ 和 $\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}$ 很接近，但点表示位置，向量表示变化。只有把向量起点放在原点时，它的终点才与同坐标的点重合。

以为向量相加是在加长度

向量相加是分量相加，不是长度相加。一般只有两根向量同向时，和向量的长度才等于两者长度之和。若方向相反，它们还可能抵消。

以为负系数不允许

线性组合的系数可以取任意实数。负系数不是异常情况，它只是把某个方向倒过来用。少了负系数，一根向量就只能张成射线，不能张成整条过原点的直线。

用箭头数量代替方向数量

两根、三根甚至十根向量都可能只沿同一条线。张成范围取决于有多少真正新增的方向，不取决于列表里写了多少根箭头。

看到两个不相同的向量就断言能张成平面

“不相同”不等于“不共线”。 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$ 确实不相等，但后一根是前一根的 $2$ 倍，仍然只有一个方向。

以为张成可以得到不经过原点的直线

所有系数取零时一定得到零向量，所以张成总包含原点。不经过原点的直线要写成“固定位置向量加上方向向量的任意倍数”，不能只写一个 span。

练习：把动作、公式和范围对上

练习一：点与位移

从 $A=(-3,4)$ 移动到 $B=(2,-2)$ 。求 $\overrightarrow{AB}$ ，并检查从 $B$ 返回 $A$ 的向量。

练习二：加法与净位移

计算

\begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 \\ -3 \end{bmatrix}

并说明结果表示什么。

练习三：同一个标量要通过所有分量的检查

判断 $\mathbf u=\begin{bmatrix}4\\-6\\2\end{bmatrix}$ 与 $\mathbf v=\begin{bmatrix}-2\\3\\-1\end{bmatrix}$ 是否共线。

练习四：寻找线性组合系数

设

\mathbf a= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

求 $s,t$ ，使

s\mathbf a+t\mathbf b = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

练习五：张成是否变化

已知

\mathbf a= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf b= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf c= \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}

加入 $\mathbf c$ 会不会扩大 $\mathbf a,\mathbf b$ 的张成范围？

练习六：把方程组改写成列组合

把下面方程组写成列向量线性组合，并判断右端向量是否能由两列拼出。

\begin{cases} 3x-2y=4 \\ x+5y=9 \end{cases}

按未知数收集系数：

x \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}

解方程组。由第一式得 $x=\frac{4+2y}{3}$ ，代入第二式：

\frac{4+2y}{3}+5y=9

所以 $17y=23$ ，即 $y=\frac{23}{17}$ 。再代回得到 $x=\frac{38}{17}$ 。系数存在，因此右端向量在两列的张成中：

\frac{38}{17} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{23}{17} \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \end{bmatrix}

从“怎样走”走向“怎样解”

这一章从一句指路开始。向量把变化量打包成一列数；加法把连续位移接起来；数乘让同一方向伸缩、反向或归零；线性组合给每个已有方向装上系数；张成则把所有系数放开，收集全部可达目标。

这样再看线性方程组，未知数就不只是等待求出的数字。它们是一份配方，告诉我们每个列向量该取多少。右端向量在列的张成里，配方才可能存在；已有方向是否重复，又会影响配方是否唯一。

下一章会把这些列向量排成矩阵，把配方写成未知向量，并学习怎样通过消元稳定地找出配方。那时矩阵不会突然变成一张陌生的数字表：它只是把本章的多根方向箭头整齐地放到了一起。