矩阵运算与逆矩阵

上一章做高斯消元时，我们一直在“改矩阵”：交换两行、把一行乘一个非零数、把一行的倍数加到另一行。那些动作没有改变方程组的解，却把难读的系统整理成了阶梯形。

这一章要把视线从“怎样改一张系数表”挪到“矩阵本身在做什么”。矩阵可以相加、缩放，也可以乘向量和另一个矩阵。这里最容易卡住的是矩阵乘法：为什么偏偏要用左边的一行去点乘右边的一列？答案不在口诀里，而在矩阵代表的动作里。一个矩阵先改造向量，另一个矩阵接着改造结果；我们希望两步动作能合成一步，矩阵乘法的规则就是被这个要求逼出来的。

逆矩阵也会从同一条线索出现。如果矩阵 $A$ 做完一个动作后，还有另一个矩阵能把所有结果原样送回去，那么这个“倒放动作”就是 $A^{-1}$。上一章的行变换负责把系统往前化简，本章的逆矩阵负责说明什么时候整套变换可以完整倒放。

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加法与数乘：把两套规则叠在一起

先看两种不太反直觉的运算。

假设两台线性变换机器 $A$ 和 $B$ 吃进去同一种向量，也吐出同一种向量。我们可以让它们同时处理输入，再把两个输出相加。新的变换记成 $A+B$。因为输出的每个坐标都要相加，矩阵中对应位置的数自然也要相加。

所以，只有形状相同的矩阵才能相加。若 $A$ 和 $B$ 都是 $m\times n$ 矩阵，那么

$$A+B= \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$$

同样，$cA$ 表示把 $A$ 的整个输出放大 $c$ 倍，因此每个矩阵元素都乘 $c$：

$$cA= \begin{bmatrix} ca_{11} & \cdots & ca_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ ca_{m1} & \cdots & ca_{mn} \end{bmatrix}$$

加法是在同一位置汇合，数乘是让所有位置按同一倍数缩放。

来看一个具体计算。令

$$A= \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3 & 0 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 4 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

那么

$$A+B= \begin{bmatrix} 5 & -1\\ 2 & 2 \end{bmatrix}$$

而

$$2A-B= \begin{bmatrix} 2 & -4\\ 6 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 1\\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -5\\ 7 & -2 \end{bmatrix}$$

这些运算保留了熟悉的代数规则，只要所有矩阵的形状合适：

$$A+B=B+A$$ $$(A+B)+C=A+(B+C)$$ $$c(A+B)=cA+cB$$ $$(c+d)A=cA+dA$$

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矩阵乘向量：先把最基本的动作看清楚

在讨论两个矩阵相乘前，先回到 $Ax$。设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，列向量 $x$ 有 $n$ 个分量：

$$A= \begin{bmatrix} | & | & & |\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ | & | & & | \end{bmatrix}, \qquad x= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}$$

矩阵乘向量可以从两个方向读。

从列看：输入分量是配料用量

$x_1,x_2,\ldots,x_n$ 分别告诉我们要取多少个 $A$ 的第 $1,$ 列：

$$Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n$$

这就是上一章矩阵方程背后的结构。方程 $Ax=b$ 其实在问：能不能调出一组系数 $x_1,\ldots,x_n$，让 $A$ 的列向量组合成目标 $$？

例如

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & -1\\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \qquad x= \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}$$

那么

$$Ax= 2 \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 7\\ -4 \end{bmatrix}$$

输入只有两个分量，所以 $A$ 必须有两列；输出有三个分量，因为 $A$ 有三行。于是 $3\times 2$ 矩阵可以看成一台从二维输入到三维输出的机器。

从行看：每个输出坐标是一道点积

若把 $A$ 的第 $i$ 行记作 $r_i$，那么 $Ax$ 的第 $i$ 个分量就是 $r_i$ 与 的点积：

$$Ax= \begin{bmatrix} r_1x\\ r_2x\\ \vdots\\ r_mx \end{bmatrix}$$

对刚才的例子，三个输出坐标分别是

$$1\cdot 2+2\cdot(-1)=0$$ $$3\cdot 2+(-1)\cdot(-1)=7$$ $$0\cdot 2+4\cdot(-1)=-4$$

列视角告诉我们“输出由哪些方向拼成”，行视角告诉我们“每个输出坐标怎样被算出”。这两个视角没有竞争关系，它们只是把同一次运算从不同侧面拆开。

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矩阵乘法为什么会被复合变换逼出来

第一次看到“行乘列”时，很多人都会觉得这条规则是人为设计的：两张数字表格为什么不逐项相乘，偏要绕一圈做点积？

先别从数字表格出发。把矩阵看成函数。

假设 $B$ 先把输入 $x$ 变成 $Bx$，然后 $A$ 接过这个结果，再变成 $A(Bx)$。我们希望把这两步动作打包成一台新机器 $C$，使它对每个输入都满足

$$Cx=A(Bx)$$

这台新机器被定义为

$$C=AB$$

也就是说，$AB$ 的任务不是“把 $A$ 和 $B$ 的元素凑在一起”，而是准确记录“先做 $B$，再做 $A$”的总效果。

现在看这条要求怎样逼出行乘列。设 $A$ 的第 $i$ 行是

$$\begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix}$$

而 $B$ 的第 $j$ 列是

$$\begin{bmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{nj} \end{bmatrix}$$

要知道复合机器把第 $j$ 个基本输入送到哪里，就要先取出 $B$ 的第 $j$ 列，再让 $A$ 作用于它。这个输出的第 $i$ 个坐标只能是

$$a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}$$

因此

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

这正是左边第 $i$ 行与右边第 $j$ 列的点积。行乘列不是额外塞进来的口诀，它只是把“动作接力”翻译成了坐标运算。

逐项相乘不会记录变换复合；行乘列记录的正是两步变换接起来后的坐标。

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尺寸匹配：中间空间必须接得上

假设 $B$ 是 $n\times p$ 矩阵。它吃进 $p$ 个坐标，吐出 $n$ 个坐标。接下来，$A$ 必须恰好能吃进这 $n$ 个坐标，所以 $A$ 要有 列。若 是 ，那么整个过程最后吐出 个坐标：

$$\mathbb{R}^{p} \xrightarrow{\ B\ } \mathbb{R}^{n} \xrightarrow{\ A\ } \mathbb{R}^{m}$$

对应的尺寸是

$$(m\times n)(n\times p)=m\times p$$

“中间两个 $n$ 相同”不是排版游戏。它表示 $B$ 的输出空间正好是 $A$ 的输入空间。接头尺寸不同，两步动作就根本接不起来。

例如：

最后两行很能说明问题：同样是一行和一列，顺序一换，一个结果是单个数，另一个结果是整张 $5\times 5$ 矩阵。

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行乘列：把一个乘积完整算出来

计算

$$A= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 5 & 0\\ -2 & 3 \end{bmatrix}$$

$A$ 是 $2\times 3$，$B$ 是 $3\times 2$，所以 $AB$ 有定义，结果是 $2\times 2$。结果的四个位置，要分别由 的两行与 的两列配对。

所以

$$AB= \begin{bmatrix} -9 & 13\\ 18 & 3 \end{bmatrix}$$

下面的互动允许你修改两个矩阵，再点结果中的任意位置。观察被选中的一行、一列和展开式怎样同步变化。

手算时怎样少出错

先写出结果尺寸，再画空矩阵。算每个位置时，用手指或笔固定左边的一行，再沿右边的列移动。完成一整行后再换左边的下一行。最常见的错不是乘错，而是中途把行或列换掉。

还有一个很实用的验算：$AB$ 的每一列都应该有 $A$ 的行数个分量，每一行都应该有 $B$ 的列数个分量。结果形状不对，后面的数字不必再查，乘法一定已经走偏。

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一次乘法的三种整体读法

行乘列一次得到一个数，适合手算；真正理解矩阵乘法，还要能一次看见整列或整行。

列视角：$A$ 逐列处理 $B$

把 $B$ 写成列向量拼接：

$$B= \begin{bmatrix} | & | & & |\\ b_1 & b_2 & \cdots & b_p\\ | & | & & | \end{bmatrix}$$

那么

$$AB= \begin{bmatrix} | & | & & |\\ Ab_1 & Ab_2 & \cdots & Ab_p\\ | & | & & | \end{bmatrix}$$

所以，$AB$ 的第 $j$ 列就是 $A$ 乘 $B$ 的第 $j$ 列。$B$ 把一组输入列排好，$A$ 对它们逐个执行同一变换，再把输出列按原顺序摆回去。

一列一列看时，$AB$ 就是 $A$ 把 $B$ 的每一列送到新位置后的集合。

进一步看，$Ab_j$ 本身又是 $A$ 的列向量的线性组合。若

$$b_j= \begin{bmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{nj} \end{bmatrix}$$

那么

$$Ab_j=b_{1j}a_1+b_{2j}a_2+\cdots+b_{nj}a_n$$

这句话会直接通向下一章：$AB$ 的每一列都落在 $A$ 的列向量能够张成的范围里。

行视角：$B$ 让 $A$ 的每一行重新组合

把 $A$ 的行记作 $r_1,r_2,\ldots,r_m$，那么

$$AB= \begin{bmatrix} r_1B\\ r_2B\\ \vdots\\ r_mB \end{bmatrix}$$

因此，$AB$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $i$ 行右乘整个 $B$。如果再展开，$r_iB$ 是 各行的线性组合，组合系数就是 中的数。

例如

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 7\\ 6 & 8 \end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix} 5 & 7 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 6 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 23 \end{bmatrix}$$

列视角说“右边提供待处理的列”，行视角说“左边提供组合右边各行的系数”。两种说法都比孤立地盯着某个元素更接近矩阵整体的结构。

列乘行：把乘积分成简单矩阵

还有一种拆法很有用。若 $A$ 的列是 $a_1,\ldots,a_n$，$B$ 的行是 $s_1,\ldots,s_n$，那么

$$AB=a_1s_1+a_2s_2+\cdots+a_ns_n$$

每个 $a_ks_k$ 都是“一列乘一行”得到的矩阵。比如

$$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 7\\ 6 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 8 \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} 5 & 7\\ 15 & 21 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 & 16\\ 24 & 32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 23\\ 39 & 53 \end{bmatrix}$$

手算时行乘列最直接；研究列空间时列视角最自然；研究行怎样变化时行视角方便；把复杂矩阵拆成简单部分时，列乘行的拆法会再次出现。

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顺序不能随便换

既然 $AB$ 表示先 $B$ 后 $A$，$BA$ 就表示先 $A$ 后 $B$。两句话顺序不同，总效果当然可能不同。

令

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$A$ 是水平剪切，$B$ 是把水平方向拉长两倍。直接计算：

$$AB= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$BA= \begin{bmatrix} 2 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

拿向量 $e_2=(0,1)^T$ 试一下，差别更明显：

$$ABe_2= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad BAe_2= \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}$$

先拉伸再剪切，与先剪切再拉伸，最后落点不同。

表达式从左往右写作 $AB$，动作却从最靠近输入的 $B$ 开始。

矩阵乘法通常不满足交换律：

$$AB\neq BA$$

但它满足结合律和分配律：

$$(AB)C=A(BC)$$ $$A(B+C)=AB+AC$$ $$(A+B)C=AC+BC$$

结合律的直觉很简单：连续做三次变换时，先把前两次打包还是先把后两次打包，不会改变实际的动作顺序。括号可以换，矩阵的左右次序不能换。

单位矩阵 $I$ 什么也不改变，所以在尺寸合适时

$$AI=A$$ $$IA=A$$

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转置：把行和列交换角色

转置把矩阵沿主对角线翻过去。若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，那么 $A^T$ 是 $n\times m$ 矩阵，并且

$$(A^T)_{ij}=A_{ji}$$

例如

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

转置后是

$$A^T= \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$

转置后，第 $i$ 行成为第 $i$ 列；矩阵尺寸也随之对调。

几条常用规则是

$$(A^T)^T=A$$ $$(A+B)^T=A^T+B^T$$ $$(cA)^T=cA^T$$

乘积的转置要格外小心：

$$(AB)^T=B^TA^T$$

为什么顺序反过来？$AB$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列来自 $A$ 的第 $i$ 行和 $B$ 的第 $j$ 列。转置以后，这个数跑到第 $j$ 行第 列；要重新用行乘列得到它，就要先取 的第 行，再取 的第 列。因此左右顺序必须互换。

若一个方阵满足

$$A^T=A$$

它叫对称矩阵。对称的意思是主对角线两侧互为镜像。无论 $A$ 是否为方阵，只要乘积有定义，$A^TA$ 和 $AA^T$ 都是对称矩阵，因为

$$(A^TA)^T=A^TA$$

不过它们的尺寸通常不同，也不应被当成同一个矩阵。

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逆矩阵：让整套变换倒放

对非零实数 $a$，倒数 $a^{-1}$ 满足 $a^{-1}a=aa^{-1}=1$。矩阵的逆沿用这个想法，但把数字 换成单位矩阵 。

对 $n\times n$ 方阵 $A$，如果存在矩阵 $A^{-1}$，使得

$$A^{-1}A=I$$

并且

$$AA^{-1}=I$$

那么 $A$ 叫可逆矩阵，$A^{-1}$ 叫 $A$ 的逆矩阵。

这里要求两边都能还原。若只在某一边乘起来得到单位矩阵，在一般的长方形矩阵情形下，只能叫左逆或右逆，不能说已经拥有完整的逆矩阵。本课程说“可逆矩阵”时，默认讨论有双侧逆的方阵。

逆矩阵为什么唯一

假设 $B$ 和 $C$ 都声称是 $A$ 的逆，并且有

$$BA=I, \qquad AC=I$$

利用结合律：

$$B=B(AC)=(BA)C=C$$

所以一个矩阵一旦可逆，它的逆不会有两个不同版本。

复合动作怎样倒放

如果 $AB$ 表示先做 $B$，再做 $A$，要把整套动作撤销，就得先撤销最后做的 $A$，再撤销最先做的 $B$。因此

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

可以直接验算：

$$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=I$$

这和脱外套、脱衬衫后想恢复原状很像：穿回去时必须反过来，先穿衬衫，再穿外套。转置乘积和逆乘积都会反转顺序，原因都来自复合动作的先后关系。

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可逆与唯一解其实是同一件事

考虑方程

$$Ax=b$$

如果 $A$ 可逆，在等式两边同时左乘 $A^{-1}$：

$$A^{-1}Ax=A^{-1}b$$

于是

$$x=A^{-1}b$$

这不仅给出一个解，也说明解不可能有两个。假如 $x_1$ 和 $x_2$ 都满足方程，那么

$$Ax_1=Ax_2$$

左乘 $A^{-1}$ 后得到

$$x_1=x_2$$

几何上，可逆变换不会把两个不同输入挤到同一个输出，也不会漏掉任何输出。每个 $b$ 都能沿着 $A^{-1}$ 唯一回到一个 $x$。

可逆时，$A$ 把每个 $x$ 唯一送到一个 $b$，$A^{-1}$ 再把这个 $b$ 唯一送回原来的 $x$。

如果 $A$ 不可逆，事情会坏在两个方向之一。某些 $b$ 根本到不了，于是 $Ax=b$ 无解；某些能到达的 $b$ 可能由不止一个 $x$ 送来，于是方程有无穷多解。对方阵来说，“每个 $b$ 都有唯一解”恰好等价于“$A$ 可逆”。

对二阶矩阵，数 $ad-bc$ 还能记录单位方格经过变换后的有向面积倍数，常记作 $\det(A)$。它的绝对值是普通面积的放大倍数；它等于 $0$ 时，单位方格被压成线段或点，变换必然不可逆。下一节会看到，同一个 $ad-bc$ 也正好出现在二阶逆矩阵公式的分母里。

下面的互动可以切换可逆、不可逆和接近不可逆的矩阵。拖动 $b$，观察解 $x$ 和单位方格面积怎样变化。

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二阶矩阵的逆

对二阶矩阵

$$A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$

若 $ad-bc\neq 0$，那么

$$A^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}$$

这个公式看起来像一套记忆动作：主对角线交换，副对角线变号，再除以 $ad-bc$。但公式是否可信，最后只看乘回去能不能得到 $I$：

$$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc \end{bmatrix}$$

再除以 $ad-bc$，结果就是单位矩阵。

如果 $ad-bc=0$，右侧会变成零矩阵，公式还要除以 $0$，所以逆不存在。以

$$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$

为例，第二列是第一列的两倍。这台机器只有一个真正独立的输出方向，会把整个平面压到一条线上；压扁以后，原来垂直于那条线的信息已经丢了，没法完整倒放。

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用增广矩阵求逆

二阶公式只适合 $2\times 2$。更通用的方法直接接上上一章的高斯—若尔当消元：

$$\left[ \begin{array}{c|c} A & I \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{c|c} I & A^{-1} \end{array} \right]$$

为什么这招有效？每次初等行变换都等价于在左边乘一个可逆的初等矩阵。假设全部行变换的总效果是左乘 $E$，并且左半边被化成了 $I$，那么

$$EA=I$$

所以 $E=A^{-1}$。右半边原来是 $I$，经过同样的行变换后变成

$$EI=E=A^{-1}$$

还有一个更贴近方程组的理解。$A^{-1}$ 的第 $j$ 列是方程 $Ax=e_j$ 的解。把 $I$ 的所有列放在 $$ 右边，相当于把

$$Ax=e_1, \quad Ax=e_2, \quad \ldots, \quad Ax=e_n$$

这些右端不同、系数相同的方程组一次性一起消元。

完整例题：求一个三阶矩阵的逆

求

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

的逆。

左半边已经是 $I$，所以右半边就是

$$A^{-1}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

最后做一次验算。乘回去：

$$AA^{-1}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

左半边化不成 $I$ 时发生了什么

看这个增广矩阵：

$$\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ 后得到

$$\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{array} \right]$$

左半边第二行全是 $0$，不可能再制造出第二个主元，也就不可能化成 $I$。算法在这里不是“算不下去了”，而是在明确报告：原矩阵不可逆。

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用逆矩阵解方程：什么时候值得这样做

解方程组

$$\begin{cases} 2x+y=5\\ x+3y=7 \end{cases}$$

写成

$$\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix}$$

令系数矩阵为 $A$。因为

$$2\cdot 3-1\cdot 1=5\neq 0$$

所以

$$A^{-1}= \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

于是

$$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} 5\\ 7 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 15-7\\ -5+14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{8}{5}\\ \frac{9}{5} \end{bmatrix}$$

把答案代回去：

$$2\cdot\frac{8}{5}+\frac{9}{5}=5$$ $$\frac{8}{5}+3\cdot\frac{9}{5}=7$$

两条方程都成立。

不过，若只解一个右端 $b$，直接消元通常比先求完整的 $A^{-1}$ 更省计算。逆矩阵的优势在于它一次描述了所有右端：当同一个 $A$ 要反复配上许多不同的 $b$，或者我们需要讨论解怎样随 $b$ 改变时，$x=A^{-1}b$ 才真正显示出它的力量。

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容易混淆的地方

“除以矩阵”不是合法步骤

从 $Ax=b$ 到 $x=A^{-1}b$，准确说法是“两边左乘 $A^{-1}$”，不是“把 $A$ 除过去”。矩阵乘法有顺序，所以含糊的“除法”会掩盖关键位置。

例如 $XA=B$ 中，若 $A$ 可逆，应该在右边乘 $A^{-1}$：

$$XAA^{-1}=BA^{-1}$$

所以

$$X=BA^{-1}$$

写成 $A^{-1}B$ 通常是错的。

$(A+B)^{-1}$ 不能拆开

一般来说

$$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$$

逆矩阵撤销的是完整变换，而“先相加再撤销”没有理由等于“分别撤销再相加”。遇到逆矩阵恒等式，最可靠的判断仍是按顺序乘回去。

$AB=0$ 不代表某个因子一定为零

矩阵可能先把空间压到某个方向，下一台机器恰好再把这个方向压成零。因此即使 $A\neq 0$ 且 $B\neq 0$，也可能有 $AB=0$。例如

$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

这也是为什么矩阵等式不能随意约分。可逆性提供了约分所需的保证；没有逆，就可能丢失信息。

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综合练习

练习一：加法与数乘

已知

$$A= \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} -4 & 2\\ 1 & 5 \end{bmatrix}$$

计算 $3A-2B$。

显示参考解

先分别数乘：

$$3A= \begin{bmatrix} 6 & -3\\ 0 & 9 \end{bmatrix}, \qquad 2B= \begin{bmatrix} -8 & 4\\ 2 & 10 \end{bmatrix}$$

练习二：用列组合算 $Ax$

设

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \qquad x= \begin{bmatrix} 2\\ -1\\ 4 \end{bmatrix}$$

把 $Ax$ 写成 $A$ 的列向量的线性组合，并算出结果。

显示参考解

$x$ 的三个分量分别是三列的系数，因此

$$Ax= 2 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10\\ -1 \end{bmatrix}$$

练习三：判断尺寸与顺序

设 $A$ 是 $3\times 2$，$B$ 是 $2\times 4$，$C$ 是 $4\times 3$。判断 、、、 是否有定义，并写出结果尺寸。

显示参考解

$$AB:(3\times2)(2\times4)$$

中间维数匹配，所以有定义，结果是 $3\times4$。

$$BA:(2\times4)(3\times2)$$

练习四：分别用列视角和行乘列计算

设

$$A= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 4 & 0 \end{bmatrix}$$

先把 $B$ 的两列分别乘以 $A$，再用行乘列验算 $AB$。

显示参考解

$B$ 的两列是 $(1,4)^T$ 和 $(-2,0)^T$。先逐列处理：

$$A[\begin{array}{c}1\\ \end{array}$$

练习五：转置乘积

令

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$$

计算 $(AB)^T$ 和 $B^TA^T$，验证两者相等。

显示参考解

先算

$$AB= \begin{bmatrix} 7 & 9\\ -2 & -4 \end{bmatrix}$$

所以

$$(A$$

练习六：求逆并验算

判断下面的矩阵是否可逆；若可逆，求出逆矩阵并用乘法验算。

$$M= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$

显示参考解

先看分母：

$$3\cdot1-1\cdot2=1\neq0$$

所以 $M$ 可逆，并且

$$M^{-1}=[\begin{array}{c}1\end{array}$$

练习七：矩阵方程里的左右顺序

设 $A$ 和 $B$ 都可逆，解矩阵方程

$$AXB=C$$

显示参考解

先在左边乘 $A^{-1}$：

$$A^{-1}(AXB)=A^{-1}C$$

利用结合律得到

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本章小结

矩阵加法和数乘逐项进行，因为它们分别表示变换输出的相加与整体缩放。矩阵乘向量有两种同时成立的读法：按列看，它是列向量的线性组合；按行看，每个输出坐标是一行与输入向量的点积。

矩阵乘矩阵服务于变换复合。$AB$ 表示先做 $B$、再做 $A$，所以中间维数必须接得上，结果的每个位置由左行与右列的点积产生。它通常不交换，却满足结合律和分配律。列视角给出 $AB$ 的各列为 $Ab_j$，行视角给出各行为 $r_iB$。

转置交换行列，乘积转置时顺序反转。逆矩阵则撤销整个变换；$A$ 可逆、$Ax=b$ 对每个 $b$ 有唯一解、变换不丢失输入信息，是同一件事的三种说法。增广法 $[A\mid I]\to[I\mid A^{-1}]$ 把上一章的行变换变成了求逆算法。

最后留下一个问题。既然 $Ax$ 是 $A$ 的列向量的线性组合，那么这些列究竟能拼出多大的范围？如果某一列能由其他列拼出来，它是不是没有提供新方向？可逆矩阵为什么恰好不能有这种“多余列”？下一章会用子空间、张成、线性无关、基与维数把这些问题说清楚。