特征值、特征向量与对角化

上一章里，行列式告诉我们一个矩阵有没有把空间压扁，进而判断它是否可逆。但只知道“能不能倒放”还不够。面对一个具体矩阵，我们还会继续问：它最习惯沿哪些方向拉伸？反复作用很多次以后，哪些方向会留下，哪些方向会消失？

特征值和特征向量就是为这些问题准备的。

先想象你在一张橡皮膜上画了许多从原点出发的箭头，再用矩阵把整张膜拉扯一次。大多数箭头会被带到别的方向；只有少数箭头仍落在原来的直线上，区别只是变长、变短、反向，或者被压成零。矩阵对这些方向的动作最干净，我们就从它们入手。

二维坐标网格中，向量 v 经矩阵 A 作用后仍与原方向共线，旁边用普通向量转向作对比。

这一章可以一直抓住同一个画面：先找矩阵作用下“不转向”的方向，再用这些方向重新搭一套坐标轴。若这样的方向足够多，原本纠缠在一起的变换就会变成几个互不干扰的缩放。

那些不转向的方向

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 方阵。若存在非零向量 $v$ 和数 $\lambda$ ，使得

Av=\lambda v

那么 $v$ 叫作 $A$ 的特征向量， $\lambda$ 叫作与 $v$ 对应的特征值。

这个式子短，但每个条件都有用。

首先， $A$ 必须是方阵。 $Av$ 和 $v$ 要落在同一个空间里，我们才能比较它们是不是共线。其次，必须要求 $v\ne 0$ 。零向量被任何矩阵送出去都是零，满足 $A0=\lambda 0$ ，可它没有方向；若把它也算作特征向量，任意数都会莫名其妙地成为任意矩阵的特征值。

最后， $\lambda$ 记录的是沿这条直线发生的动作：

$\lambda>1$ 时，向量沿原方向变长。
$0<\lambda<1$ 时，向量沿原方向缩短。
$\lambda=1$ 时，向量完全不变。
$\lambda<0$ 时，向量翻到反方向，再按 $|\lambda|$ 缩放。
$\lambda=0$ 时，非零向量被压成零向量。

因此，“特征向量方向不变”说得更严谨一点，是 $Av$ 仍在 $v$ 张成的同一条直线上。若 $\lambda<0$ ，箭头朝向会反过来，但直线没有变。

最容易看懂的矩阵

考虑

A= \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & \frac12 \end{bmatrix}

它把横坐标乘以 $3$ ，把纵坐标乘以 $\frac12$ 。于是

A \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}

横轴是特征方向，对应特征值 $3$ 。同样，

A \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} = \frac12 \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}

纵轴也是特征方向，对应特征值 $\frac12$ 。

不过，别由此以为只有坐标轴上的向量才可能是特征向量。这里的矩阵已经沿坐标轴分别缩放，所以答案恰好一眼可见。换一个矩阵，最自然的缩放方向往往是斜的，我们得把它算出来。

判断一个给定向量是不是特征向量，不是看 $Av$ 的长度是否等于 $v$ ，而是看 $Av$ 能不能写成同一个数乘 $v$ 。每个分量必须使用同一个倍率。

特征方程是怎样被逼出来的

定义告诉我们要满足 $Av=\lambda v$ ，却没有直接告诉我们怎样找到 $\lambda$ 。真正的突破口来自上一章已经学过的“不可逆”。

从定义开始，把右边移到左边：

Av-\lambda v=0

数 $\lambda$ 不能直接从矩阵 $A$ 里减掉，所以要写成 $\lambda I$ 。因为 $Iv=v$ ，于是

(A-\lambda I)v=0

现在我们面对的是一个齐次方程组。零向量永远是解，可特征向量要求非零解。若 $A-\lambda I$ 可逆，两边左乘它的逆矩阵，只会得到 $v=0$ ，这条路走不通。因此，我们必须挑出让 $A-\lambda I$ 不可逆的 $\lambda$ 。

上一章已经给出判断：方阵不可逆，当且仅当行列式为零。所以 $\lambda$ 必须满足

\det(A-\lambda I)=0

这就是特征方程。它不是额外背下来的一条规则，而是“齐次方程必须有非零解”这个要求一步步推出来的。

从 Av=λv 推导到 det(A-λI)=0 的特征方程示意图，展示 A-λI 将平面压扁并产生非零解。

几何上也可以这样看：当 $\lambda$ 选对时， $A-\lambda I$ 会把至少一个非零方向压成零，因而丢掉维度，行列式只能是零。

二阶矩阵的通用计算

设

A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}

那么

A-\lambda I= \begin{bmatrix} a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \end{bmatrix}

特征多项式为

\det(A-\lambda I) =(a-\lambda)(d-\lambda)-bc

展开得到

\det(A-\lambda I) =\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)

这里藏着两个很好用的验算关系。若两个根是 $\lambda_1,\lambda_2$ ，那么

\lambda_1+\lambda_2=a+d=\operatorname{tr}(A)

\lambda_1\lambda_2=ad-bc=\det(A)

也就是说，两个特征值之和等于迹，乘积等于行列式。算完特征值后顺手核对这两项，很多符号错误会当场暴露。

例题：把计算推到底

求矩阵

A= \begin{bmatrix} 4 & 1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}

的特征值和对应的特征向量。

先求特征值。写出

A-\lambda I= \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1\\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix}

它的行列式必须为零：

(4-\lambda)(3-\lambda)-2=0

展开并因式分解：

\lambda^2-7\lambda+10=0

(\lambda-5)(\lambda-2)=0

所以两个特征值是 $5$ 和 $2$ 。它们的和是 $7$ ，等于矩阵的迹；乘积是 $10$ ，等于矩阵的行列式，第一轮验算通过。

对 $\lambda=5$ ，解 $(A-5I)v=0$ ：

\begin{bmatrix} -1 & 1\\ 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}

方程化成 $y=x$ 。取最简单的非零解，得到

v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}

对 $\lambda=2$ ，解 $(A-2I)v=0$ ：

\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}

方程是 $2x+y=0$ 。取 $x=1$ ，得到

v_2= \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}

最后别只相信消元结果，直接代回原矩阵：

A \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 5 \end{bmatrix} =5 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}

A \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ -4 \end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}

两组倍率都一致，答案才算真正核实完。

沿 $v_1$ 的方向，矩阵放大 $5$ 倍；沿 $v_2$ 的方向，矩阵放大 $2$ 倍。矩阵在普通坐标里会混合横、纵分量，可一旦站到这两条斜方向上看，它的动作反而很简单。

实矩阵不一定有实特征方向

考虑平面上的九十度旋转：

R= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

它把每条非零实向量都转过九十度，所以在实平面里不可能留下同一直线。计算也会说同样的话：

\det(R-\lambda I)=\lambda^2+1

这个方程没有实根，因此 $R$ 没有实特征值，也没有实特征向量。若把数的范围扩展到复数，它有特征值 $i$ 和 $-i$ 。本章主要处理实特征值，但要记住：特征多项式有根，得先说明我们在哪个数域里讨论。

三阶矩阵也有捷径

三阶特征多项式直接展开会比二阶麻烦不少。可一旦矩阵是上三角或下三角，事情就很轻松： $A-\lambda I$ 仍是三角矩阵，它的行列式等于主对角线元素的乘积。因此，三角矩阵的特征值就是主对角线上的数，包括重复次数。

看这个上三角矩阵：

B= \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}

它的特征方程是

\det(B-\lambda I) =(3-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda)=0

所以特征值为

\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=2,\qquad \lambda_3=-1

接下来逐个解零空间。

当 $\lambda=3$ 时，

B-3I= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}

得到 $y=0,z=0$ ，而 $x$ 自由，可取

v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}

当 $\lambda=2$ 时，

B-2I= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}

得到 $x+y=0,z=0$ ，可取

v_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{bmatrix}

当 $\lambda=-1$ 时，

B+I= \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

得到 $x=0,y=0$ ，可取

v_3= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}

三个特征值互不相同，对应的三个特征向量一定线性无关。这里也能直接看出来：把 $v_1,v_2,v_3$ 放成列，所得矩阵的行列式不为零。于是它们确实能组成三维空间的一组基。

“三角矩阵的特征值就是对角线”只替你省掉了求根，不能替你求特征向量。每个特征值仍要代回 $(B-\lambda I)v=0$ ，因为特征向量通常不是标准基向量。

特征空间与两种重数

固定一个特征值 $\lambda$ 后，所有满足

(A-\lambda I)v=0

的向量连同零向量放在一起，组成 $\lambda$ 的特征空间：

E_\lambda=\ker(A-\lambda I)

特征向量就是 $E_\lambda$ 里的非零向量。

为什么要引入“空间”这个说法？因为同一个特征值通常不只对应一支固定长度的箭头。若 $v$ 是特征向量，那么任何非零倍数 $cv$ 都满足

A(cv)=cAv=c\lambda v=\lambda(cv)

更进一步，同一特征值下的特征向量做线性组合，结果只要不是零，仍是同一特征值的特征向量。我们真正关心的是这批方向能提供多少个彼此独立的坐标轴，也就是 $E_\lambda$ 的维数。

代数重数数根，几何重数数方向

假设特征多项式里出现因子

(\lambda-\lambda_0)^m

那么 $\lambda_0$ 的代数重数是 $m$ 。它回答的是： $\lambda_0$ 作为特征方程的根重复了几次。

而

\dim E_{\lambda_0}

叫作 $\lambda_0$ 的几何重数。它回答的是：这个特征值实际提供了多少个线性无关的特征方向。

两者不要混在一起。对任何特征值，都有

1\leq \text{几何重数}\leq \text{代数重数}

例如单位矩阵

I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

的特征多项式是 $(1-\lambda)^2$ ，所以 $\lambda=1$ 的代数重数为 $2$ 。同时，任意非零向量都满足 $Iv=v$ ，因而

E_1=\mathbb{R}^2

几何重数也是 $2$ 。虽然特征值只写出一个不同的数，特征方向却完全够用。

后面会看到，另一个同样具有二重根 $1$ 的矩阵，却只能提供一条独立方向。能不能对角化，差别就在这里。

一个直接的可对角化判据

一个 $n\times n$ 矩阵能对角化，当且仅当它能找到 $n$ 个线性无关的特征向量。若特征多项式已经分解，那么也可以把条件说成：所有特征空间的维数加起来等于 $n$ 。

由此立刻得到一个常用结论： $n\times n$ 矩阵若有 $n$ 个互不相同的特征值，就一定可以对角化。因为不同特征值各取一个特征向量，这些向量自动线性无关。

反过来不成立。特征值有重复，并不代表一定不能对角化；单位矩阵就是最简单的反例。重复根出现时，我们只需要多做一步：计算对应特征空间的维数。

对角化其实是在换坐标

第一次看到

A=PDP^{-1}

很容易把它当作一串需要记忆的矩阵乘法。其实这条式子说的是一件很具体的事：用特征向量重新搭坐标轴后，矩阵 $A$ 只会沿每根新坐标轴分别缩放。

假设 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $v_1,\ldots,v_n$ ，对应特征值为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 。把特征向量按同样顺序放进矩阵 $P$ 的列：

P= \begin{bmatrix} | & | & & |\\ v_1 & v_2 & \cdots & v_n\\ | & | & & | \end{bmatrix}

再把对应特征值放进对角矩阵 $D$ ：

D= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}

逐列看， $Av_i=\lambda_i v_i$ 。把全部列一次写完，就是

AP=PD

由于 $v_1,\ldots,v_n$ 线性无关， $P$ 可逆。于是

P^{-1}AP=D

等价地，

A=PDP^{-1}

对角化 A=PDP^-1 的三段流程图：换到特征向量坐标，沿坐标轴分别缩放，再换回普通坐标。

这三个矩阵的顺序不能凭感觉换：

$P^{-1}$ 把普通坐标 $x$ 改写成特征向量坐标 $c$ 。
$D$ 在新坐标里把第 $i$ 个分量乘以 $\lambda_i$ 。
$P$ 把处理后的特征向量坐标换回普通坐标。

矩阵乘法从右往左执行，所以对一个向量 $x$ 来说， $PDP^{-1}x$ 的实际动作正是“换过去、分别缩放、换回来”。

例题：完整对角化

回到前面的矩阵

A= \begin{bmatrix} 4 & 1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}

我们已经求出

\lambda_1=5,\qquad v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}

\lambda_2=2,\qquad v_2= \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}

按照同一顺序组成

P= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -2 \end{bmatrix},\qquad D= \begin{bmatrix} 5 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}

$P$ 的行列式是 $-3$ ，所以

P^{-1}= \begin{bmatrix} \frac23 & \frac13\\ \frac13 & -\frac13 \end{bmatrix}

先用最省力的方式核对列关系：

AP= \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 5 & -4 \end{bmatrix}

PD= \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 5 & -4 \end{bmatrix}

两边相等，因此

A=PDP^{-1}

这里还有一个很常见的细节：若把 $P$ 的两列交换，那么 $D$ 中的两个特征值也必须同步交换。特征向量与特征值是一对一配好的，不能各排各的顺序。

高次幂为什么突然变简单

直接计算 $A^2,A^3,A^4$ ，矩阵里的数会越来越大，乘法也会重复很多次。可若已经有

A=PDP^{-1}

那么

A^2=(PDP^{-1})(PDP^{-1})

中间的 $P^{-1}P$ 等于 $I$ ，所以

A^2=PD^2P^{-1}

同样地，对非负整数 $k$ ，

A^k=PD^kP^{-1}

而对角矩阵的幂只需把每个对角元素做幂：

D^k= \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2^k & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k \end{bmatrix}

对刚才的例子，可以把乘法做完，得到完整公式：

A^k= \frac13 \begin{bmatrix} 2\cdot5^k+2^k & 5^k-2^k\\ 2\cdot5^k-2\cdot2^k & 5^k+2\cdot2^k \end{bmatrix}

把 $k=1$ 代回去，右边恰好还原为原矩阵 $A$ 。这又是一次很便宜的验算。

不过，如果题目只问 $A^kx_0$ ，往往连完整的 $A^k$ 都不用展开。把 $x_0$ 拆到特征方向上，会更直接。

把初始向量拆成独立分量

设

x_0= \begin{bmatrix} 4\\ 1 \end{bmatrix}

我们想把它写成

x_0=c_1v_1+c_2v_2

也就是解

\begin{bmatrix} 4\\ 1 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}

比较分量得到

c_1+c_2=4,\qquad c_1-2c_2=1

解得 $c_1=3,c_2=1$ ，所以

x_0=3v_1+v_2

矩阵每作用一次， $v_1$ 分量乘以 $5$ ， $v_2$ 分量乘以 $2$ 。作用 $k$ 次后：

A^kx_0=3\cdot5^kv_1+2^kv_2

展开就是

A^kx_0 = 3\cdot5^k \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} + 2^k \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}

这比反复做矩阵乘法更能看出长期行为： $5^k$ 比 $2^k$ 增长得快，所以只要初始向量在 $v_1$ 方向上的系数不为零，向量的方向会越来越接近 $v_1$ 。

动态系统中不同特征方向的增长与衰减。

读长期趋势时要带上条件

对于离散系统

x_{k+1}=Ax_k

若 $A$ 可对角化，并且

x_0=c_1v_1+\cdots+c_nv_n

那么

x_k=A^kx_0 =c_1\lambda_1^kv_1+\cdots+c_n\lambda_n^kv_n

从这里可以读出几种常见情况：

若所有 $|\lambda_i|<1$ ，每个分量都会衰减到零，因而 $x_k\to0$ 。
若某个特征值的绝对值严格大于其他特征值，而且初始向量在它的特征方向上有非零分量，这个方向通常会主导长期形状。
若主导特征值为负，相邻两步会沿该方向来回翻转。
若两个主导特征值的绝对值相同，长期方向未必收敛，几个分量可能一直竞争。
若初始向量恰好没有主导方向上的分量，那么即使那个特征值最大，它也不会凭空出现。

“绝对值最大的特征值决定长期方向”不是无条件口号。至少要检查最大绝对值是否唯一、初始向量在对应方向上的系数是否非零，以及当前讨论是否有足够多的特征向量来完成分解。

剪切矩阵为什么不能对角化

现在看一个会卡住整套方法的矩阵：

S= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

它做的是水平剪切。横轴上的向量保持不变，但其他方向会被向右推斜。

先求特征值：

\det(S-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 1\\ 0 & 1-\lambda \end{bmatrix} =(1-\lambda)^2

唯一特征值是 $\lambda=1$ ，代数重数为 $2$ 。接着求特征空间：

S-I= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

方程 $(S-I)v=0$ 给出 $y=0$ ，因此

E_1= \left\{ \begin{bmatrix} x\\ 0 \end{bmatrix} :x\in\mathbb{R} \right\}

这个特征空间只有一维，几何重数为 $1$ 。二维空间需要两条线性无关的特征向量才能搭成一组基，可剪切矩阵只给出横轴这一条方向，所以不存在可逆的特征向量矩阵 $P$ ，也就不能对角化。

剪切留下的“额外动作”还能从高次幂里看出来。把

S=I+N,\qquad N= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

注意到 $N^2=0$ 。于是二项式展开里二次及更高次的项全消失：

S^k=(I+N)^k=I+kN

所以

S^k= \begin{bmatrix} 1 & k\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

若只看特征值 $1$ ，你可能会误以为反复作用什么都不变；实际上剪切量会随 $k$ 线性累积。缺少的那条特征方向，正是对角化无法记录的部分。

特征方程能给出全部特征值，却不保证给出足够多的特征向量。遇到重复根，必须继续算特征空间；只看根的个数就宣布“可以对角化”，是这里最常见的错误。

马尔可夫链里的长期比例

特征值 $1$ 在长期比例问题里格外常见。我们看一个数学条件完整的两状态模型。

设每一步都有一部分人留在状态甲或乙，也有一部分人在两个状态间转移。用列向量

q_k= \begin{bmatrix} \text{第 }k\text{ 步处于甲的比例}\\ \text{第 }k\text{ 步处于乙的比例} \end{bmatrix}

记录分布，并规定

q_{k+1}=Pq_k

其中

P= \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3\\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}

这里使用列向量约定，所以第 $j$ 列描述“当前在状态 $j$ 的人，下一步流向哪里”。每列元素都非负，而且每列之和为 $1$ ，总比例就会一直保持为 $1$ 。

先找不动的分布

若长期分布为 $q_*$ ，再走一步后它应该保持不变：

Pq_*=q_*

所以 $q_*$ 是特征值 $1$ 对应的特征向量。先求特征方程：

\det(P-\lambda I) =(0.8-\lambda)(0.7-\lambda)-0.06

=\lambda^2-1.5\lambda+0.5 =(\lambda-1)(\lambda-0.5)

对 $\lambda=1$ ，解

(P-I)q=0

得到

-0.2x+0.3y=0

因此可以取特征向量

\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}

但概率分布还要求分量和为 $1$ ，所以要归一化：

q_*= \begin{bmatrix} \frac35\\ \frac25 \end{bmatrix}

长期比例是甲占 $60\%$ 、乙占 $40\%$ 。

为什么真的会靠近它

只找到 $Pq_*=q_*$ ，还不能自动断言每个初始分布都收敛到 $q_*$ 。这里之所以能收敛，要看另一个特征值。

对 $\lambda=0.5$ ，可取特征向量

w= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}

它表示一种“总量不变，只在两种状态间一增一减”的偏差。若初始时所有人都在甲，即

q_0= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}

那么

q_0=q_*+\frac25w

反复作用后，稳态分量乘 $1^k$ ，偏差分量乘 $0.5^k$ ：

q_k =q_*+\frac25\left(\frac12\right)^kw

也就是

q_k = \begin{bmatrix} \frac35\\ \frac25 \end{bmatrix} + \frac25\left(\frac12\right)^k \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}

随着 $k$ 增大，第二项趋近零，于是 $q_k$ 趋近 $q_*$ 。这次我们不是凭图形猜“会稳定”，而是明确看见了偏差按 $\left(\frac12\right)^k$ 衰减。

并非每个马尔可夫链都从任意初始分布收敛到同一个稳态。若链会周期性来回跳，或者状态被分成互不沟通的几组，分布可能振荡，也可能保留对初始状态的依赖。稳态方程 $Pq=q$ 负责找候选长期分布；是否从给定初始分布收敛，还要检查其余特征值和链的结构。

一套不容易走错的计算顺序

遇到“求特征值、特征向量并判断能否对角化”的题，可以按下面的顺序走。

确认矩阵是方阵，然后写 $A-\lambda I$ 。只在主对角线上减 $\lambda$ ，别把矩阵每个元素都减一遍。
计算 $\det(A-\lambda I)$ 并令它等于零。三角矩阵优先利用对角线乘积。
解特征方程，记录每个根的代数重数。
对每个特征值分别解 $(A-\lambda I)v=0$ ，写出完整特征空间，而不只是随手挑一个向量。
用 $Av=\lambda v$ 直接代回验算。
统计所有特征空间一共能提供多少个线性无关向量。达到 $n$ 个，才能对角化。
组成 $P$ 与 $D$ 时，让 $P$ 的第 $i$ 列和 $D$ 的第 $i$ 个对角元严格对应。
优先检查 $AP=PD$ 。这个等式比一上来计算 $PDP^{-1}$ 更省力，也更容易定位错误。

几个常见误区

“特征向量只有一个”通常不是准确说法。若 $v$ 是特征向量，它的任意非零倍数也是；真正该说的是“特征空间是一维”或“只有一条独立特征方向”。

不同特征值对应的特征向量不能随便相加后仍称为特征向量。若

Av_1=\lambda_1v_1,\qquad Av_2=\lambda_2v_2

且 $\lambda_1\ne\lambda_2$ ，通常有

A(v_1+v_2)=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2

它无法提取成同一个倍率乘 $(v_1+v_2)$ 。

矩阵相加或相乘时，也不能把特征值机械地相加或相乘。只有当相关矩阵共享同一组特征向量等额外条件成立时，这种计算才可能直接进行。

最后， $\lambda=0$ 完全可以是特征值。它表示 $A$ 把某个非零向量送到零，也就是零空间里有非零向量；这恰好等价于 $A$ 不可逆。它把本章和上一章的行列式、可逆性重新接了起来。

练习

练习一：先用定义判断

设

A= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix},\qquad u= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix},\qquad w= \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}

判断 $u,w$ 是否为 $A$ 的特征向量。若是，求对应特征值。

练习二：特征值、特征空间与验算

求

B= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}

的特征值及对应特征空间，并用迹和行列式验算。

特征方程为

\det(B-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2\\ 2 & 1-\lambda \end{bmatrix}

=(1-\lambda)^2-4 =(\lambda-3)(\lambda+1)=0

所以特征值为 $3$ 和 $-1$ 。

当 $\lambda=3$ 时，方程给出 $x=y$ ，因此

E_3=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \right\}

当 $\lambda=-1$ 时，方程给出 $x=-y$ ，因此

E_{-1}=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} \right\}

两个特征值之和是 $2$ ，等于 $\operatorname{tr}(B)$ ；乘积是 $-3$ ，等于 $\det(B)$ 。

练习三：三角矩阵

求矩阵

C= \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}

的特征值、各自的代数重数与几何重数，并判断它能否对角化。

$C$ 是上三角矩阵，所以特征多项式为

(4-\lambda)^2(-2-\lambda)

$\lambda=4$ 的代数重数为 $2$ ， $\lambda=-2$ 的代数重数为 $1$ 。

对 $\lambda=4$ ，

C-4I= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -6 \end{bmatrix}

得到 $y=0,z=0$ ，所以

E_4=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \right\}

$\lambda=4$ 的几何重数只有 $1$ 。

对 $\lambda=-2$ ，可得

E_{-2}=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right\}

它的几何重数为 $1$ 。两个特征空间合起来只能提供 $2$ 个线性无关向量，少于空间维数 $3$ ，所以 $C$ 不能对角化。

练习四：完成一次对角化

对矩阵

D= \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

求一个对角化 $D=P\Lambda P^{-1}$ ，并写出 $D^k$ 。

因为 $D$ 是上三角矩阵，特征值为 $3$ 和 $1$ 。

对 $\lambda=3$ ，可取

v_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}

对 $\lambda=1$ ，解得 $x=-y$ ，可取

v_2= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}

因此可以令

P= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix},\qquad \Lambda= \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

这里 $P^{-1}=P$ ，所以

D^k=P\Lambda^kP^{-1}

= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix}

乘开得到

D^k= \begin{bmatrix} 3^k & 3^k-1\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

把 $k=1$ 代入，会还原原矩阵。

练习五：剪切的高次幂

设

S= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

判断它能否对角化，并求 $S^k$ 。

特征多项式是 $(1-\lambda)^2$ 。对 $\lambda=1$ ，

S-I= \begin{bmatrix} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

得到 $y=0$ ，所以特征空间只有一维。二维矩阵缺少第二条独立特征方向，因此不能对角化。

令

N= \begin{bmatrix} 0 & 2\\ 0 & 0 \end{bmatrix}

则 $S=I+N$ 且 $N^2=0$ 。因此

S^k=I+kN

= \begin{bmatrix} 1 & 2k\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

练习六：两状态稳态

设

P= \begin{bmatrix} 0.9 & 0.4\\ 0.1 & 0.6 \end{bmatrix}

采用列向量约定 $q_{k+1}=Pq_k$ 。求归一化稳态向量，并说明为什么另一个特征值决定收敛速度。

矩阵每列之和为 $1$ 。特征方程为

\det(P-\lambda I) =(0.9-\lambda)(0.6-\lambda)-0.04

=\lambda^2-1.5\lambda+0.5 =(\lambda-1)(\lambda-0.5)

对 $\lambda=1$ ，方程为

-0.1x+0.4y=0

所以 $x=4y$ 。归一化后，稳态向量为

q_*= \begin{bmatrix} \frac45\\ \frac15 \end{bmatrix}

另一个特征值为 $0.5$ ，对应总和为零的偏差方向。初始分布与稳态之间的偏差会在每一步乘以 $0.5$ ，所以经过 $k$ 步后按 $0.5^k$ 衰减。这就是收敛速度来自第二个特征值的原因。

从特征基走向正交基

到这里，矩阵最难看的一层已经被拆开了：特征向量找出不混合的方向，特征值记录各方向的倍率；若方向足够多，我们就能换到特征向量坐标，并用对角矩阵处理高次幂和长期演化。

不过，一般的特征向量基未必互相垂直， $P^{-1}$ 也未必容易计算。若能找到一组彼此正交、长度又是 $1$ 的方向，换坐标会简单得多，因为逆矩阵可以直接由转置得到。

下一章就从这个问题接着往前走：怎样用点积判断正交，怎样把向量投影到一个子空间，以及当 $Ax=b$ 没有精确解时，怎样用投影找到最接近的答案。