高斯消元与阶梯形

上一章把线性方程组写成了矩阵方程 $Ax=b$，也把增广矩阵作为记录工具。本章要做一件更实际的事：用有限次、可检查的行变换，把一个方程组化成容易读的形状。

高斯消元的目标不是“把数字变漂亮”，而是保留原方程组的全部解，同时把信息整理出来。阶梯形告诉我们哪里有主元，哪里有自由变量；回代把主元变量算出来；行最简形则把答案直接摆在矩阵里。

行变换会改变方程组的外观，但不改变代表解集的交点。

为什么行变换不改变解集

一个线性方程组的每一行都是一个方程。对行做操作，其实是在用已有方程制造新的等价方程。只要这个操作能反向做回来，就不会丢掉任何解，也不会凭空增加解。

例如有两行方程 $R_1$ 和 $R_2$。如果把第二行替换成 $R_2-2R_1$，得到的新方程组中仍然保留 $R_1$。从新方程组出发，也可以把第二行加回 $2R_1$，恢复原来的 $R_2$。所以两边的解完全一样。

把方程组写成增广矩阵时，竖线左边是系数矩阵，右边是常数列：

行变换必须作用在整行上，包括竖线右边的常数。只改左边不改右边，相当于换了一个问题。

三种允许的行变换

高斯消元只使用三种初等行变换。它们看起来简单，但共同点很关键：每一种都可以反向执行。

三种初等行变换都能反向做，所以解集不变。

消元的核心动作

消元的基本想法是：先选一个主元，用它把下方同列的数消成 $0$。然后到下一行、下一列继续做，直到非零行形成楼梯状。

设第一列第一行的数 $a_{11}$ 不是 $0$。为了消去第二行第一列的数 $a_{21}$，可以做：

这个倍数叫消元倍数。它的作用很单纯：让新第二行的第一项变成

如果当前位置是 $0$，不要硬除。先在下面找一个非零数换上来；如果这一列从当前行往下全是 $0$，就跳到下一列找主元。

阶梯形和行最简形

阶梯形的重点是“楼梯”。每个非零行的第一个非零数叫这一行的主元；越往下，主元越靠右；主元下面全是 $0$。零行如果出现，要放在最下面。

行最简形比阶梯形更进一步。每个主元都化成 $1$，并且主元所在列除了这个 $1$ 以外全是 $0$。从阶梯形继续向上消元并把主元归一化，就能得到行最简形。

阶梯形通过继续向上消元并归一化得到行最简形，行最简形的主元为 $1$，且主元列上下清零。

例如下面的矩阵是阶梯形：

它的主元分别在第 $1$、第 $2$、第 $4$ 列。第 $3$ 列没有主元，所以对应变量会成为自由变量。

例题：用阶梯形回代

解下面的方程组：

对应的增广矩阵是：

回代从最后一个方程开始，先解最靠后的主元，再代回前面的方程。

因此方程组有唯一解：

从阶梯形读出变量

在一个阶梯形矩阵中，含有主元的列叫主元列。主元列对应的未知数叫主元变量；没有主元的未知数叫自由变量。

主元列决定主元变量，非主元列给自由变量；一个自由变量对应一个参数。

看下面这个增广矩阵：

主元在第 $1$ 列和第 $3$ 列，所以 $x_1$、$x_3$ 是主元变量。第 $2$ 列和第 $$ 列没有主元，所以 、 是自由变量。

设：

第二行给出：

所以：

第一行给出：

代入 $x_2=s$、$x_3=2-t$、$x_4=t$：

因此：

完整参数解是：

其中 $s,t$ 可以取任意实数。自由变量越多，解集的自由方向越多。

读出解的类型

把增广矩阵化到阶梯形后，解的类型通常可以直接读出来。

从增广矩阵的矛盾行、主元数量和自由变量判断解的类型。

如果出现矛盾行：

它代表：

这不可能成立，所以方程组无解。

如果没有矛盾行，并且每个未知数所在列都有主元，那么每个变量都会被确定，方程组有唯一解。

如果没有矛盾行，但至少有一个未知数列没有主元，那么这些变量是自由变量，方程组有无穷多解。

真实问题中的消元

很多应用题最后都会落到线性方程组上。电路中用节点电流和回路电压列方程，桥架或桁架中用受力平衡列方程，化学配平中用每种元素的原子数守恒列方程。建模部分可能来自物理或化学，但求解阶段经常就是消元。

例如一个电路里有三个未知电流 $i_1,i_2,i_3$。节点守恒和回路电压可能给出：

这个系统是否有唯一电流分配，取决于消元后是否每个未知数都有主元。这里的主元不是抽象符号，它对应模型里真正被约束住的未知量。

常见错误

消元中的错误常常不是因为概念太难，而是因为某一步没有同时维护“等价”和“顺序”。

把行变换写得不够明确

写 $R_2-2R_1$ 只是一个表达式，不等于告诉读者哪一行被替换。推荐写：

这样可以清楚地知道只有第二行改变，第一行保留。

在同一步里混用已经改变的行

如果先做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，再做 $R_3\leftarrow R_3+R_2$，第二个操作里的 已经是新第二行。手算时最好一行一行写清，避免把旧行和新行混在一起。

过早宣布自由变量

自由变量来自最终阶梯形或行最简形的非主元列。还没完成消元时，某一列暂时没有主元，不代表它最终一定是自由变量。

忽略零主元

遇到候选主元为 $0$ 时，不能除以它。先尝试换行；如果下面全是 $0$，这一列没有主元，向右找下一列。

练习

练习一：判断行变换是否合法

下面哪些操作一定保持解集不变？

1. $R_1\leftrightarrow R_3$
2. $R_2\leftarrow 0R_2$

练习二：消元并回代

解方程组：

练习三：写出参数解

把下面的阶梯形矩阵翻译成参数解：

练习四：判断解的类型

不用继续化简，判断下面阶梯形对应的方程组解的类型：

本章小结

高斯消元把线性方程组变成阶梯形。它只允许使用可逆的初等行变换，所以解集保持不变。阶梯形用于回代，行最简形用于直接读结构。

主元列告诉我们哪些变量被方程约束住；非主元列给出自由变量。没有矛盾行时，自由变量会带来参数解；出现矛盾行时，方程组无解。后面学习秩、零空间和四个基本子空间时，本章的主元和自由变量会继续出现。

得到：

先做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，$R_3\leftarrow R_3+R_1$：

再做 $R_3\leftarrow R_3-R_2$：

回代得 $z=1$，$y+3z=5$，所以 $y=2$；再由 $x+2y-z=2$ 得 $x=-1$。答案是：

其中 $s,t$ 为任意实数。