高斯消元与阶梯形

上一章把线性方程组压缩成了一个短句： $Ax=b$ 。这个写法很干净，但它还没有告诉我们怎样把 $x$ 找出来。

这一章就来做这件事。我们的办法有点像整理一张被反复涂改的草稿：每次只做一个能撤销的动作，把不需要的未知数逐列消掉，最后让方程组排成“楼梯”。到了那一步，唯一解、无解还是无穷多解，不用猜，矩阵会自己说出来。

这套方法叫高斯消元。真正值得理解的不是操作顺序，而是背后的原则：式子可以换一种写法，解集不能换。

从 $Ax=b$ 回到方程本身

先看一个两元方程组：

\begin{cases} x+y=4\\ 2x-y=2 \end{cases}

如果把两个方程画成直线，它们交在 $(2,2)$ 。所谓“解这个方程组”，就是找出同时落在两条直线上的点。

现在把第二个方程减去第一个方程的 $2$ 倍：

(2x-y)-2(x+y)=2-2\times4

整理后得到：

-3y=-6

新方程看起来和原来的第二个方程完全不同，但它和第一个方程配在一起时，公共解仍是 $(2,2)$ 。原因不神秘：如果一个点同时满足原来的两个方程，那么它当然也满足“第二式减去第一式的 $2$ 倍”；反过来，如果它满足第一式和这个新方程，把第一式的 $2$ 倍加回去，就能恢复原来的第二式。

这就是行变换能够工作的根基：我们不是随意改方程，而是在用已有方程重新表达同一批条件。

为什么“能撤销”就能保护解集

把方程组中的第 $i$ 行记成 $R_i$ 。高斯消元只允许三种初等行变换：

行变换	记号	撤销方法
交换两行	$R_i\leftrightarrow R_j$	再交换一次
一行乘非零数	$R_i\leftarrow cR_i,\ c\neq0$	再乘 $1/c$
一行加上另一行的倍数	$R_i\leftarrow R_i+cR_j,\ i\neq j$	再减去 $cR_j$

三栏中文信息图，展示换行、非零倍乘和倍加三种初等行变换，以及每种变换如何反向恢复。

三种操作都能反向做回来，因此变换前后的方程组拥有同一个解集。

交换两行只是调整方程的阅读顺序。某行乘非零数，相当于把等式两边按同一比例放大或缩小。第三种操作稍微绕一点，但只要提供倍数的那一行仍然保留，就能把加进去的部分原样减回去。

一行不能乘以 $0$ 。这样做会把一条方程直接抹成 $0=0$ ，而原本不满足这条方程的向量也可能混进解集。行变换允许我们改写条件，却不允许删除条件。

增广矩阵中的竖线不是计算边界

一般的三元方程组可以写成增广矩阵：

\left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_2\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_3 \end{array} \right]

竖线左边来自 $A$ ，右边来自 $b$ 。它只是提醒我们“这里开始是常数列”，不是一道不能越过的墙。对方程两边做同一个操作，翻译到增广矩阵里，就是整行都要变。

例如：

R_2\leftarrow R_2-2R_1

意味着第二行每个位置都要减去第一行对应位置的 $2$ 倍，最后一个常数也不例外。

消元到底在消什么

第一次看到“把下面的数消成 $0$ ”，很容易以为高斯消元只是追求矩阵整齐。其实那些 $0$ 是在切断变量之间的纠缠。

假设第一行和第二行都含有 $x_1$ ：

\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=b_2 \end{aligned}

只要 $a_{11}\neq0$ ，用第一行减掉第二行中的 $x_1$ 项并不难：

R_2\leftarrow R_2-\frac{a_{21}}{a_{11}}R_1

因为第二行第一项会变成：

a_{21}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{11}=0

这一步的目的不是制造一个好看的 $0$ ，而是让第二个方程以后不再讨论 $x_1$ 。同样地，我们再用第二行处理它下面的 $x_2$ ，让第三行不再讨论 $x_1,x_2$ 。变量一层层减少，最后一行往往只剩一个未知数，于是回代就有了起点。

主元是消元的支点

每一轮消元都要选一个非零数作为支点。这个数叫主元，它所在的行叫主元行，所在的列叫主元列。

如果当前主元是 $a_{jj}$ ，要消去它下方第 $i$ 行的 $a_{ij}$ ，使用的倍数是：

\ell_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{jj}}

随后做：

R_i\leftarrow R_i-\ell_{ij}R_j

这里最容易忽略的是“为什么先选主元”。因为消元倍数要除以主元，主元必须非零；同时，这一行还要继续保留，供下面所有行使用。

候选主元是 $0$ ，先换行

来看这个增广矩阵：

\left[ \begin{array}{cc|c} 0&2&4\\ 3&1&7 \end{array} \right]

左上角是 $0$ ，不能拿它去消元，更不能拿别的数除以它。但第一列下面有一个 $3$ ，所以交换两行：

R_1\leftrightarrow R_2

得到：

\left[ \begin{array}{cc|c} 3&1&7\\ 0&2&4 \end{array} \right]

现在 $3$ 和 $2$ 都能成为主元，回代也有了清楚的顺序。

如果当前列从当前行往下全是 $0$ ，那就不是“算法坏了”，而是这一列提供不了新的主元。保留这些 $0$ ，向右找下一列即可。后面我们会看到，这种被跳过的变量列正是自由变量出现的地方。

向前消元的完整路线

从最左边还没处理的列开始，在当前行及其下方寻找非零数。找到后把它换到当前行，选作主元；整列都找不到，就跳到右边一列。

用主元行消去主元下方的所有数。每次操作都改完整一行，目的是让下面的方程不再含有这个主元变量。

把注意力移到主元的右下方，重复找主元和向下消元。新主元必须出现在上一主元的右边，楼梯形状由此形成。

得到阶梯形后，先检查有没有矛盾行。没有矛盾时，再从最下面的非零行开始回代，或者继续向上消元得到行最简形。

阶梯形和行最简形分别告诉我们什么

一个矩阵处于阶梯形，需要满足三件事：

所有非零行都在零行上方；
每个非零行的第一个非零数，都在上一行主元的右边；
每个主元下方都是 $0$ 。

例如：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 2&-1&0&3&4\\ 0&5&1&-2&7\\ 0&0&0&6&-1\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right]

主元依次位于第 $1$ 、第 $2$ 、第 $4$ 列，位置像楼梯一样向右下方移动。第 $3$ 个未知数所在列没有主元，所以它不会在任何一行里成为“第一个要解出的变量”。

阶梯形已经足够解题

阶梯形的最后一个非零方程只含最后几个变量。先从那里求出最靠后的主元变量，再把结果代回上一行，这就是回代。

把一个上三角系统写成：

\begin{cases} u_{11}x_1+u_{12}x_2+u_{13}x_3=c_1\\ u_{22}x_2+u_{23}x_3=c_2\\ u_{33}x_3=c_3 \end{cases}

只要三个主元 $u_{11},u_{22},u_{33}$ 都非零，就可以从底部开始：

x_3=\frac{c_3}{u_{33}}

接着求 $x_2$ ，最后求 $x_1$ 。顺序不能倒过来，因为第一行还缠着三个未知数，最后一行却只剩一个。

上三角方程组从最后一行先求出 z，再逐层向上代回求 y 和 x 的中文教学图。

回代从最下面的主元开始。每向上一行，已经求出的变量就少制造一个未知数。

行最简形把关系直接摊开

行最简形先要是阶梯形，还要再满足两个条件：

每个主元都等于 $1$ ；
主元所在列除了这个 $1$ ，其余位置全是 $0$ 。

从阶梯形得到行最简形，要先把主元缩放成 $1$ ，再从右往左向上消元。向前消元是为了建立楼梯，向上消元是为了清空主元上方，让每个主元变量单独站出来。

例如：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-1&-1\\ 0&0&-1&-3 \end{array} \right]

先把第三行乘以 $-1$ ，再依次向上消元：

R_3\leftarrow -R_3, \qquad R_2\leftarrow R_2+R_3, \qquad R_1\leftarrow R_1-R_2-R_3

得到：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&3 \end{array} \right]

现在不用回代，右端常数就是答案。阶梯形通常更省手算，行最简形通常更方便读出参数关系。它们没有谁“更正确”，只是完成程度不同。

同一个矩阵可以通过不同的合法路线得到不同的阶梯形，但最后的行最简形是唯一的。手算时不必追求和别人一模一样的中间过程，只需保证每步合法、最终结果一致。

完整例题：唯一解怎样被一层层剥出来

解方程组：

\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x+3y+z=11\\ x-y+2z=5 \end{cases}

先写增广矩阵：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 2&3&1&11\\ 1&-1&2&5 \end{array} \right]

第一行第一列的 $1$ 很适合做主元。我们用它消掉下面的 $2$ 和 $1$ ：

R_2\leftarrow R_2-2R_1, \qquad R_3\leftarrow R_3-R_1

得到：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-1&-1\\ 0&-2&1&-1 \end{array} \right]

第一列下方已经清零。也就是说，后两行不再含 $x$ ，接下来只需整理 $y,z$ 的关系。

第二行第二列的 $1$ 是下一个主元。用它消掉第三行的 $-2$ ：

R_3\leftarrow R_3+2R_2

得到阶梯形：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&-1&-1\\ 0&0&-1&-3 \end{array} \right]

第三行只剩 $z$ ，向前消元的任务已经完成。

从最后一行回代。 $-z=-3$ 给出 $z=3$ ；第二行 $y-z=-1$ 给出 $y=2$ ；第一行 $x+y+z=6$ 给出 $x=1$ 。

因此：

(x,y,z)=(1,2,3)

别急着收笔。把答案代回原方程，而不是代回已经化简的矩阵：

1+2+3=6

2\times1+3\times2+3=11

1-2+2\times3=5

三条原方程都成立，所以这个解通过了验算。三个变量列都有主元，没有任何变量可以自由取值，因此解只有这一个。

完整例题：矛盾行怎样宣布无解

看这个方程组：

\begin{cases} x+y-z=1\\ 2x+2y-2z=3\\ x-y+z=0 \end{cases}

它的增广矩阵是：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&-1&1\\ 2&2&-2&3\\ 1&-1&1&0 \end{array} \right]

用第一行消去第二行第一列：

R_2\leftarrow R_2-2R_1

得到：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&-1&1\\ 0&0&0&1\\ 1&-1&1&0 \end{array} \right]

第二行翻译回方程就是：

0x+0y+0z=1

也就是 $0=1$ 。任何 $x,y,z$ 都不可能让它成立，所以可以立刻停止：原方程组无解。

从原方程也能看见冲突。第二个方程左边恰好是第一个方程左边的 $2$ 倍；如果第一个方程右边是 $1$ ，第二个右边就必须是 $2$ ，可题目偏偏要求它等于 $3$ 。矛盾不是消元制造出来的，消元只是把原本藏着的矛盾翻到了明面上。

看到矛盾行就应先判定无解。即使别的变量列没有主元，也不能再说“有自由变量，所以无穷多解”。没有任何解时，自由取值根本无从谈起。

完整例题：自由变量怎样带来无穷多解

再看一个四元方程组：

\begin{cases} x_1+x_2+2x_4=4\\ 2x_1+3x_2+x_3+3x_4=10\\ -x_1+x_2+3x_3-x_4=5 \end{cases}

写成增广矩阵：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&2&4\\ 2&3&1&3&10\\ -1&1&3&-1&5 \end{array} \right]

先向前消元

第一轮用 $R_1$ 消去第一列下方：

R_2\leftarrow R_2-2R_1, \qquad R_3\leftarrow R_3+R_1

得到：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&2&4\\ 0&1&1&-1&2\\ 0&2&3&1&9 \end{array} \right]

第二轮用 $R_2$ 消去第三行第二列：

R_3\leftarrow R_3-2R_2

得到阶梯形：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&0&2&4\\ 0&1&1&-1&2\\ 0&0&1&3&5 \end{array} \right]

主元在第 $1$ 、第 $2$ 、第 $3$ 列，第 $4$ 列没有主元。因此 $x_1,x_2,x_3$ 是主元变量， $x_4$ 是自由变量。

让自由变量先开口

“自由”不是说这个变量可以被忽略，而是说方程组没有把它锁定成某个固定数字。令：

x_4=t, \qquad t\in\mathbb R

从第三行开始回代：

x_3+3t=5

所以：

x_3=5-3t

第二行给出：

x_2+x_3-t=2

代入 $x_3=5-3t$ ：

x_2=-3+4t

第一行给出：

x_1+x_2+2t=4

因此：

x_1=7-6t

完整参数解是：

\begin{aligned} x_1&=7-6t\\ x_2&=-3+4t\\ x_3&=5-3t\\ x_4&=t \end{aligned} \qquad t\in\mathbb R

也可以把它写成更能看出结构的向量形式：

\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\\-3\\5\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -6\\4\\-3\\1 \end{bmatrix}, \qquad t\in\mathbb R

第一个向量是令 $t=0$ 时得到的一组具体解；第二个向量描述了 $t$ 每增加 $1$ ，整个解向量怎样移动。以后学习零空间时，我们会再次看到这种“一个固定解加上一条自由方向”的结构。

验算参数解，不要只验一个参数

把参数表达式代回第一条原方程：

(7-6t)+(-3+4t)+2t=4

含 $t$ 的部分抵消，恒等于 $4$ 。第二条原方程得到：

2(7-6t)+3(-3+4t)+(5-3t)+3t=10

第三条原方程得到：

-(7-6t)+(-3+4t)+3(5-3t)-t=5

两式中的 $t$ 也都完全抵消。这说明不是“某几个 $t$ 碰巧可用”，而是每个实数 $t$ 都给出一组解。实数有无穷多个，所以解也有无穷多个。

多个自由变量时，一个变量配一个参数

下面这个阶梯形更适合练习“读矩阵”：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&2&0&-1&3\\ 0&0&1&4&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right]

主元位于第 $1$ 、第 $3$ 列，所以 $x_2,x_4$ 自由。令 $x_2=s$ 、 $x_4=t$ ，就有：

x_1=3-2s+t, \qquad x_3=-2-4t

中文教学图，标出阶梯形增广矩阵的主元列、自由变量列，并把两个自由变量写成参数 s 和 t。

主元变量要由方程求出，自由变量先取参数。两个自由变量对应两个彼此独立的可调参数。

三类解怎样从阶梯形里读出来

消元结束后，先别急着数主元。判断顺序只有两步。

先找矛盾行

如果增广矩阵中出现：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 0&0&0&0&d \end{array} \right], \qquad d\neq0

它代表 $0=d$ ，方程组无解。也可以说，增广列出现了一个系数部分无法配合的主元。

没有矛盾，再看变量列

设方程组共有 $n$ 个未知数。

如果每个变量列都有主元，所有变量都能由回代确定，所以有唯一解。
如果至少一个变量列没有主元，就有自由变量。每个自由变量都能任取实数，所以有无穷多解。

三栏中文教学图，通过主元、矛盾行和自由变量对比唯一解、无解与无穷多解。

先查矛盾，再查自由变量。这个顺序可以避开大多数误判。

全零行 $0=0$ 本身既不代表无穷多解，也不代表无解。它只说明这一行没有提供新的约束。最终是哪一类解，仍要看有没有矛盾行，以及变量列是否都有主元。

方程数量也不能直接决定解的类型。方程比未知数多，可能只是多了重复条件；方程和未知数一样多，也可能出现互相冲突或重复的方程。真正可靠的信息来自消元后的主元和矛盾行。

手算时最容易出错的地方

只改系数，不改常数

例如做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ ，必须连增广线右边一起减。漏掉常数列，相当于左边换了方程，右边却还留在旧题里，得到的已经不是等价系统。

把一个表达式当成行变换

只写 $R_2-2R_1$ 没有说明谁被替换。清楚的写法是：

R_2\leftarrow R_2-2R_1

箭头左边告诉我们“新第二行放回第二行”，第一行保持不动。

在同一批操作里混用新旧行

如果先做：

R_2\leftarrow R_2-2R_1

再做：

R_3\leftarrow R_3+R_2

第二步里的 $R_2$ 默认是已经更新后的第二行。如果你本来想用旧第二行，就不能把这两步含混地挤在一起。最稳妥的做法是每完成一轮就写出新矩阵。

遇到 $0$ 主元还继续除

候选主元为 $0$ 时先向下找非零数并换行。下面也全为 $0$ ，就跳过这一列。除以 $0$ 不是消元步骤，硬做只会让后面所有计算失去意义。

把“出现零行”当成无穷多解

零行只说明有冗余条件。若每个变量列仍有主元，系统照样可能有唯一解；若另有矛盾行，系统仍然无解。

回代正确，却抄错原题

手算过程越长，越容易在一开始抄错符号。最后把答案代回原方程组，可以同时检查计算和抄写。参数解则要做恒等验算，确认参数项在每条原方程中都按要求抵消。

练习

练习一：哪些操作保持解集

判断下面哪些操作一定保持解集不变。

$R_1\leftrightarrow R_3$
$R_2\leftarrow -4R_2$
$R_3\leftarrow R_3+5R_1$
$R_2\leftarrow0R_2$
只把增广矩阵左侧的 $R_1$ 乘以 $2$ ，右端常数不变

练习二：消元、回代并验算

解方程组：

\begin{cases} x+2y-z=2\\ 2x+5y+z=9\\ -x-y+2z=1 \end{cases}

增广矩阵为：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&2\\ 2&5&1&9\\ -1&-1&2&1 \end{array} \right]

先做：

R_2\leftarrow R_2-2R_1, \qquad R_3\leftarrow R_3+R_1

得到：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&2\\ 0&1&3&5\\ 0&1&1&3 \end{array} \right]

再做：

R_3\leftarrow R_3-R_2

得到阶梯形：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&2\\ 0&1&3&5\\ 0&0&-2&-2 \end{array} \right]

回代得 $z=1$ 、 $y=2$ 、 $x=-1$ ，所以：

(x,y,z)=(-1,2,1)

代回原方程： $-1+4-1=2$ ， $-2+10+1=9$ ， $1-2+2=1$ ，三式都成立。

练习三：找出无解的原因

判断下面方程组的解，并说明是哪一步暴露了结论。

\begin{cases} x-2y=3\\ 2x-4y=8 \end{cases}

练习四：写出两个参数的解

把下面的阶梯形增广矩阵写成参数解和向量形式：

\left[ \begin{array}{cccc|c} 1&-2&0&3&4\\ 0&0&1&-1&5\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right]

主元在第 $1$ 、第 $3$ 列，所以 $x_2,x_4$ 是自由变量。令：

x_2=s, \qquad x_4=t

第二行给出 $x_3-t=5$ ，所以 $x_3=5+t$ 。第一行给出 $x_1-2s+3t=4$ ，所以 $x_1=4+2s-3t$ 。参数解为：

\begin{aligned} x_1&=4+2s-3t\\ x_2&=s\\ x_3&=5+t\\ x_4&=t \end{aligned} \qquad s,t\in\mathbb R

向量形式为：

\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\0\\5\\0 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -3\\0\\1\\1 \end{bmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb R

练习五：从阶梯形继续做到行最简形

把下面的阶梯形化成行最简形：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&1&-1&3\\ 0&1&2&4\\ 0&0&3&6 \end{array} \right]

先归一化第三个主元：

R_3\leftarrow \frac13R_3

再用第三行向上消去第三列：

R_2\leftarrow R_2-2R_3, \qquad R_1\leftarrow R_1+R_3

此时矩阵为：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 2&1&0&5\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&2 \end{array} \right]

用第二行消去第一行第二列，再把第一行主元归一化：

R_1\leftarrow R_1-R_2, \qquad R_1\leftarrow \frac12R_1

得到行最简形：

\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&\frac52\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&2 \end{array} \right]

因此唯一解是 $(x,y,z)=(5/2,0,2)$ 。

从消元走向矩阵运算与逆矩阵

这一章里，我们一直把矩阵当成一张方便修改的方程记录表。现在可以把整条路线压缩成一句话：先对增广矩阵做向前消元，把 $A$ 整理成阶梯形；再通过回代，求出满足 $Ax=b$ 的 $x$ 。

如果一个方阵在每个变量列都有主元，那么无论右端 $b$ 怎样变化，消元和回代都会把每个变量唯一确定。下一章会换一个视角：把这些行操作看成矩阵运算，并追问能不能用一个矩阵把 $Ax=b$ 的过程“倒过来”。这正是逆矩阵出现的地方。

高斯消元与阶梯形

从 Ax=bAx=bAx=b 回到方程本身

为什么“能撤销”就能保护解集

增广矩阵中的竖线不是计算边界

消元到底在消什么

主元是消元的支点

候选主元是 000，先换行

向前消元的完整路线

阶梯形和行最简形分别告诉我们什么

阶梯形已经足够解题

行最简形把关系直接摊开

完整例题：唯一解怎样被一层层剥出来

完整例题：矛盾行怎样宣布无解

完整例题：自由变量怎样带来无穷多解

先向前消元

让自由变量先开口

验算参数解，不要只验一个参数

多个自由变量时，一个变量配一个参数

三类解怎样从阶梯形里读出来

先找矛盾行

没有矛盾，再看变量列

手算时最容易出错的地方

只改系数，不改常数

把一个表达式当成行变换

在同一批操作里混用新旧行

遇到 000 主元还继续除

把“出现零行”当成无穷多解

回代正确，却抄错原题

练习

练习一：哪些操作保持解集

练习二：消元、回代并验算

练习三：找出无解的原因

练习四：写出两个参数的解

练习五：从阶梯形继续做到行最简形

从消元走向矩阵运算与逆矩阵

从 $Ax=b$ 回到方程本身

候选主元是 $0$ ，先换行

遇到 $0$ 主元还继续除