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行列式：面积、体积与可逆性 | 线性代数 I：向量、矩阵与线性变换 | 自在学

行列式：面积、体积与可逆性

上一章里，我们把矩阵看成了一台变换机器。它接过一个向量，把它旋转、拉伸、剪切、反射，或者压到更低的维度。现在换一个问题：如果把一整块区域交给这台机器，它会变成多大？

最省事的测试对象是单位正方形。它的面积是 $1$ ，两条边正好是标准基向量。矩阵把这两条边送到自己的两列，于是正方形变成一个平行四边形。这个新图形的面积，直接告诉我们矩阵把所有面积放大或缩小了多少倍。

负责记录这件事的数就是行列式，记作 $\det A$ 。不过它比普通面积多保留了一点信息：正负号还会告诉我们，变换有没有把空间的朝向翻过来。

先把本章最重要的画面放在心里： $|\det A|$ 是面积或体积的缩放倍数； $\det A$ 的正负记录方向； $\det A=0$ 表示空间被压扁，某些不同输入从此无法区分。

把单位正方形交给矩阵

矩阵的两列就是两条新边

设

A= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}

单位正方形由

e_1= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}

这两条边张成。矩阵作用以后，边变成

Ae_1= \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix}, \qquad Ae_2= \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix}

这正是 $A$ 的第一列和第二列。正方形内部任意一点都能写成

x=s e_1+t e_2, \qquad 0\le s,t\le 1

线性变换不会破坏这种组合：

Ax=sAe_1+tAe_2

所以四条直边仍然是直边，整块正方形恰好变成由 $Ae_1$ 、 $Ae_2$ 张成的平行四边形。行列式的绝对值就是它的面积：

\text{变换后面积}=|\det A|

既然原图面积是 $1$ ，这里的面积也就是缩放倍数。若 $|\det A|=5$ ，一块面积为 $7$ 的区域会变成面积为 $35$ 的区域；若 $|\det A|=\frac14$ ，它就只剩原来的四分之一。

为什么不只对单位正方形成立？可以先把由许多小方格拼出的图形逐块变换，每一小格都按同一比例缩放，总面积当然也按同一比例缩放。对曲边区域，把网格取得越来越细，结论仍然保持。线性变换用的是全空间统一的一套规则，不会走到某个角落突然换倍率。

你可以在实验台里先试三类矩阵：面积放大的矩阵、只有剪切的矩阵，以及把两列调成共线的矩阵。观察图形形状会怎样变，同时盯住 $\det A$ 和 $|\det A|$ 的区别。

面积为什么带绝对值

普通面积不会是负数，但行列式可能是负数。负号记录的不是“负面积”，而是有顺序的两条边把朝向翻转了。

在平面上，我们把 $(e_1,e_2)$ 的顺序定为正方向：从 $e_1$ 转到 $e_2$ 是逆时针。矩阵变换后，按同样顺序看：

$\det A>0$ ：顺序仍是正方向，朝向保持。
$\det A<0$ ：顺序变成反方向，朝向翻转。
$\det A=0$ ：两条边共线，已经围不出面积，谈不上朝向。

行列式符号与退化的中文手绘示意图：正行列式保持方向，负行列式翻转方向，零行列式把正方形压成线段。

正负号记录方向是否翻转，绝对值记录面积大小；行列式为零时，二维面积彻底消失。

例如关于 $y$ 轴的反射矩阵是

H= \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

它把单位正方形翻到另一侧，面积仍是 $1$ ，但方向被翻转：

\det H=-1, \qquad |\det H|=1

看到负行列式时，先把“大小”和“方向”拆开读：绝对值回答图形有多大，负号回答朝向是否翻转。把 $\det A=-3$ 说成“面积是负三”是不对的；应说面积放大 $3$ 倍，同时方向翻转。

为什么二阶公式是 $ad-bc$

第一次看到

\det \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} =ad-bc

很容易把它当成一条需要硬背的规则。其实这条公式是被“有向面积应该怎样工作”逼出来的。

先列出有向面积必须做到的事

把两条有顺序的边 $u,v$ 围出的有向面积记作 $D(u,v)$ 。它至少要满足四件很自然的事：

单位正方形的有向面积是 $1$ ，所以 $D(e_1,e_2)=1$ 。
两条边相同或共线时围不出面积，所以 $D (e_{1}, e_{1}) = D (e_{2}, e_{2}) = 0$ 。

现在把矩阵的两列写成标准基向量的组合：

u= \begin{bmatrix} a\\ c \end{bmatrix} =ae_1+ce_2, \qquad v= \begin{bmatrix} b\\ d \end{bmatrix} =be_1+de_2

沿两条边分别拆开，有向面积变成四项：

\begin{aligned} D(u,v) &=D(ae_1+ce_2,\,be_1+de_2)\\ &=abD(e_1,e_1)+adD(e_1,e_2)\\ &\quad+cbD(e_2,e_1)+cdD(e_2,e_2) \end{aligned}

第一项和最后一项都由两条同方向的边组成，面积为 $0$ 。中间两项一正一负：

D(u,v)=ad-bc

所以 $ad-bc$ 并不是随手挑出的交叉乘法。 $ad$ 是正方向的贡献， $bc$ 是反方向的贡献；相减后留下净的有向面积。

例子：同一个数同时回答三个问题

设

A= \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & -1 \end{bmatrix}

它把单位正方形的两条边送到 $(2,1)$ 和 $(3,-1)$ 。计算得

\det A=2\cdot(-1)-3\cdot1=-5

这个 $-5$ 可以分三层读：

新平行四边形的普通面积是 $|-5|=5$ 。
任意二维区域的面积都会放大 $5$ 倍。
负号表示两条边的先后方向被翻转。

若只想求由 $u=(2,1)$ 、 $v=(3,-1)$ 和原点围成的三角形面积，还要除以 $2$ ，因为那只是平行四边形的一半：

\text{三角形面积}=\frac12|\det A|=\frac52

从平面走到三维和更高维

单位立方体变成平行六面体

三维矩阵的三列分别是 $Ae_1,Ae_2,Ae_3$ 。它们把单位立方体的三条边送到新的位置，围出一个平行六面体。

若

A= \begin{bmatrix} | & | & |\\ a_1 & a_2 & a_3\\ | & | & | \end{bmatrix}

那么新平行六面体的体积是

\text{体积}=|\det A|

这里仍然是绝对值负责普通体积，符号负责方向。三维里可以用右手系来理解正方向：若有顺序的三条边保持右手系，行列式为正；若变成左手系，行列式为负。

从“底面积乘高”也能看出三维行列式在做什么。先由两条边围出底面，再取第三条边在垂直于底面的方向上贡献的高度。只沿底面滑动第三条边不会改变高度，所以剪切不改变体积；把第三条边的垂直分量放大两倍，体积才会放大两倍。

若学过叉积，三列为 $u,v,w$ 时，还可以写成

\det \begin{bmatrix} | & | & |\\ u & v & w\\ | & | & | \end{bmatrix} =u\cdot(v\times w)

右边是标量三重积。它只是同一件事的另一种写法： $v\times w$ 给出带方向的底面积，再与 $u$ 做点积取出有方向的高度。

例子：读出三维体积

考虑

B= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}

稍后我们会系统学习展开法。先给出计算结果：

\det B=16

于是三列围出的平行六面体体积是 $16$ 。任意一个三维物体经 $B$ 变换后，体积也会变成原来的 $16$ 倍。因为行列式为正，方向保持。

$n$ 维里仍是同一句话

四维以后很难再画图，但规则没有改变。 $n\times n$ 矩阵把 $n$ 维单位盒子的 $n$ 条边送到自己的 $n$ 列， $|\det A|$ 是 $n$ 维体积的缩放倍数。

这也解释了为什么本章只对方阵谈行列式。若输入和输出维数不同，矩阵会把一个维度的对象送到另一个维度，不能再用“同维单位体积缩放倍数”这一个数完整描述。

$\det A=0$ 到底丢了什么

“面积或体积变成零”听起来像一个几何结果，它背后其实是一件更严重的事：变换丢失了信息。

两列共线时，整个平面被压成一条线

看矩阵

C= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}

第二列是第一列的两倍。两条新边只能沿同一条直线移动，怎么组合都围不出平行四边形：

\det C=1\cdot4-2\cdot2=0

更具体地说，非零向量

z= \begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}

被送到了零向量：

Cz= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}

于是对任意输入 $x$ ，都有

C(x+z)=Cx+Cz=Cx

$x$ 和 $x+z$ 明明是两个不同输入，输出却完全相同。只看输出时，我们再也无法判断原来是哪一个输入。这就是“不可逆”的信息版本。

三维里同样如此。若三列落在同一平面内，单位立方体会被压成一个平面图形；若三列都共线，还会继续压成一条线。只要维度掉了，三维体积就是零，行列式也就是零。

$\det A=0$ 不是“体积恰好算得比较小”，而是一个性质上的分界：列向量没有撑满整个空间，存在非零方向被送到零，多个输入挤到同一个输出，变换无法倒放。

可逆性的等价说法

对 $n\times n$ 方阵 $A$ ，下面几句话是在描述同一件事：

$A$ 可逆。
对每个 $b$ ，方程 $Ax=b$ 都有唯一解。
$A$ 的列向量线性无关。
$A$ 的每一列都提供了新方向，秩为 $n$ 。
$A$ 不会把非零向量送到零向量。

若 $\det A\ne0$ ，单位盒子仍有非零体积，空间没有掉维；消元时会找到每一列的主元，因此可以把矩阵化成单位矩阵并构造逆矩阵。若 $\det A=0$ ，至少少了一个主元，也就会出现刚才那样的非零零空间向量。

二阶逆矩阵公式把这条分界直接写在分母里：

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \end{bmatrix}

只有 $ad-bc\ne0$ 时才能除。分母为零不是公式临时失灵，而是逆变换本来就不存在。

哪些规则把行列式“钉死”了

几何图像告诉我们行列式该测量什么。要把它推广到任意阶方阵，还需要把“有向体积应该怎样变化”说清楚。

归一化、交换与逐行线性

行列式有三类根本性质：

单位矩阵不改变体积和方向，所以 $\det I=1$ 。
交换两行会翻转方向，所以行列式变号。
行列式对每一行分别是线性的：一行放大 $k$ 倍，行列式放大 $k$ 倍；一行拆成两个向量之和，行列式也拆成两项之和。

这里的“分别线性”很重要。固定其他行时，行列式对当前这一行线性；它并不是把整张矩阵当成一个向量来做线性函数。

例如在 $n$ 维里，把整张矩阵乘 $k$ ，等于把 $n$ 行都各乘一次 $k$ ：

\det(kA)=k^n\det A

而不是一般地等于 $k\det A$ 。

两行相同时为什么一定为零

若两行完全相同，交换它们以后矩阵没有变化，但按照交换规则，行列式又必须变号。一个数既等于自己又等于自己的相反数，只能是零。

这个小结论马上解释了“倍加行不改变行列式”。把第 $j$ 行换成 $R_j+kR_i$ ，按逐行线性拆开：

\begin{aligned} \det(\ldots,R_i,\ldots,R_j+kR_i,\ldots) &=\det(\ldots,R_i,\ldots,R_j,\ldots)\\ &\quad+k\det(\ldots,R_i,\ldots,R_i,\ldots) \end{aligned}

第二项有两行相同，所以等于零。最后只剩原来的行列式。

这些性质不只对行成立，也对列成立。你可以按列理解几何，也可以按行做消元，最后得到的是同一个数。

公式很多时，抓住“单位体积定为 1、交换翻方向、每条边单独线性”就够了。高阶行列式的展开式、行变换规则和三角矩阵公式都能从这几件事推出。

用行变换计算行列式

二阶矩阵直接用 $ad-bc$ 很快。阶数一大，最稳妥的办法通常是消元：把矩阵化成三角矩阵，同时给每一步做行列式记账。

前面是按列看新边，这里为什么能改行？每一种行操作都等于在矩阵左边乘一个初等矩阵，也就是对整个输出空间再做一次交换、缩放或剪切。行列式会把这一步额外变换的体积倍率如实记下来。

三种初等行变换的影响如下。

行操作	行列式怎样变	几何原因
交换两行 $R_i\leftrightarrow R_j$	变为原来的相反数	有顺序的方向被翻转
一行乘 $k$	乘 $k$	一个方向的长度缩放倍

三角矩阵为什么只乘对角线

若

U= \begin{bmatrix} u_{11} & * & \cdots & *\\ 0 & u_{22} & \cdots & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & u_{nn} \end{bmatrix}

那么

\det U=u_{11}u_{22}\cdots u_{nn}

可以把它想成逐层量体积：第一层沿一个方向给出 $u_{11}$ ，第二层的新高度给出 $u_{22}$ ，一直乘到第 $n$ 层。对角线外的星号只会把边斜推，属于剪切，不改变体积。

下三角矩阵也一样。只要某个对角元素为零，对角线乘积就是零，矩阵也不可逆。

例题：消元时只记录一次变号

计算

M= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}

的行列式。

左上角是零，先交换前两行：

\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}

消元时最常见的错不是算术，而是“顺手把主元行除了一下”却忘了记账。若把一行除以 $k$ ，新行列式是旧行列式的 $1/k$ ；最后必须把这个因子补回来。只做倍加行通常最省心。

余子式与按行、按列展开

消元适合一般矩阵。若某一行或某一列有很多零，按余子式展开往往更快，而且它把高阶行列式递归地拆成低一阶行列式。

余子式和代数余子式要分清

对 $n\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ ，删去第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下一个 $($ 方阵。这个小方阵的行列式记作，叫作的余子式。

再配上棋盘式正负号，得到代数余子式：

C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

符号从左上角的正号开始交替：

\begin{bmatrix} + & - & + & - & \cdots\\ - & + & - & + & \cdots\\ + & - & + & - & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}

为什么要删去一行一列？因为一旦在展开中选定了 $a_{ij}$ ，它已经占用了第 $i$ 行和第 $j$ 列。剩下的体积贡献只能从其余行、其余列各取一个数，正好组成那个低一阶行列式。 $(-1)^{i+j}$ 则负责记录把第行、第列移到展开位置时造成的方向翻转。

拉普拉斯展开公式

固定第 $i$ 行，可以写成

\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}

固定第 $j$ 列，也可以写成

\det A=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}

你可以任选一行或一列，答案都一样。计算时当然优先挑零最多的那一行或那一列，因为零对应的项可以整项省掉。

对三阶矩阵

A= \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix}

沿第一行展开就是

\det A =a \begin{vmatrix} e & f\\ h & i \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} d & f\\ g & i \end{vmatrix} +c \begin{vmatrix} d & e\\ g & h \end{vmatrix}

也就是

\det A=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)

每一项都有“当前元素 $\times$ 剩余小行列式”，正负号按 $+,-,+$ 交替。

例题：专挑零最多的列

计算

F= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3\\ 0 & -1 & 4\\ 5 & 0 & 6 \end{bmatrix}

第二列有两个零，沿第二列展开最短。只有 $a_{22}=-1$ 会留下：

\det F=(-1)C_{22}

因为 $(-1)^{2+2}=1$ ，所以

C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix} =2\cdot6-3\cdot5=-3

于是

\det F=(-1)(-3)=3

展开法很适合三阶矩阵和稀疏矩阵，但对一般大矩阵会反复生成许多小行列式。阶数一大，消元通常更快。展开公式用来理解结构，消元用来稳定计算，两者不冲突。

连续变换为什么让行列式相乘

矩阵乘法表示动作接力。 $AB$ 表示先做 $B$ ，再做 $A$ 。如果 $B$ 先把面积放大 $|\det B|$ 倍， $A$ 又把得到的面积放大 $|\det A|$ 倍，总倍率当然是两者相乘。

把方向也算进去，正负号同样相乘：保持后再保持仍然保持；翻转一次会反向；翻转两次又回到原方向。因此

\det(AB)=\det A\,\det B

这条公式不是矩阵元素碰巧算出来的，而是“连续动作的总体积倍率等于各步倍率相乘”的数学表达。

例子：不用真的乘矩阵

设 $S$ 沿水平方向放大 $3$ 倍、沿竖直方向缩到一半：

S= \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & \frac12 \end{bmatrix}, \qquad \det S=\frac32

再设 $R$ 是旋转 $90^\circ$ 的矩阵， $H$ 是关于 $y$ 轴反射的矩阵：

R= \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad H= \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

旋转保持面积和方向，所以 $\det R=1$ ；反射保持面积但翻转方向，所以 $\det H=-1$ 。先做 $S$ ，再做 $R$ ，最后做 $H$ 的总变换是 $HRS$ ，其行列式无需乘出矩阵就能得到：

\det(HRS) =\det H\,\det R\,\det S =(-1)\cdot1\cdot\frac32 =-\frac32

所以总变换把面积放大 $\frac32$ 倍，并把方向翻转。

逆矩阵和幂也随之得到

若 $A$ 可逆，那么

AA^{-1}=I

两边取行列式：

\det A\,\det(A^{-1})=1

因此

\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}

这很符合几何直觉：原变换把体积放大 $4$ 倍，逆变换就必须缩回到四分之一。类似地，重复做 $k$ 次同一变换时，

\det(A^k)=(\det A)^k

还有一个看着有点意外的结果：虽然矩阵乘法通常不交换， $AB$ 和 $BA$ 可能完全不同，但

\det(AB)=\det(BA)

因为两边都等于 $\det A\det B$ 。动作顺序会改变最终形状，却不改变总体积倍率。

行列式不只是在“算一个数”

图形变换里的镜像和压扁

在二维绘图和三维建模中， $\det A<0$ 表示顶点朝向被翻转，模型可能出现镜像； $\det A=0$ 表示模型被压到低维，几何信息无法完整恢复。渲染程序若依赖顶点的顺时针或逆时针顺序，行列式的符号就会直接影响哪一面被视为正面。

变量替换里的面积因子

若把新坐标 $(u,v)$ 通过线性关系换成旧坐标 $(x,y)$ ：

\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =A \begin{bmatrix} u\\ v \end{bmatrix}

那么一小块 $uv$ 区域到了 $xy$ 平面后，面积会乘 $|\det A|$ 。多变量微积分里的变量替换公式正需要这个因子。对非线性变换，局部会用导数矩阵做同样的近似，行列式仍然负责局部面积或体积倍率。

体积保持不等于长度保持

剪切矩阵

Q= \begin{bmatrix} 1 & 5\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

满足

\det Q=1

它把正方形斜推成平行四边形，面积保持不变，但许多线段的长度和角度都变了。所以 $\det A=1$ 只表示有向面积或体积保持，不表示矩阵一定是旋转，也不表示距离保持。

几个很容易踩的坑

把行列式当普通线性函数

一般来说，

\det(A+B)\ne\det A+\det B

取 $A=B=I_2$ 就能看到：

\det(A+B)=\det(2I_2)=4

但

\det A+\det B=1+1=2

行列式只对某一行或某一列分别线性，不对整张矩阵线性。

把 $\det(kA)$ 写成 $k\det A$

若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，整张矩阵乘 $k$ 是把每一行都乘 $k$ ，所以

\det(kA)=k^n\det A

二维面积按长度平方缩放，三维体积按长度立方缩放，这正是同一个几何事实。

展开时不看位置符号

三阶矩阵沿第一行展开是 $+,-,+$ ，沿第二行则是 $-,+,-$ 。与其每次临时猜，不如先写出 $(-1)^{i+j}$ ，或者在草稿边上画一个正负号棋盘。

把三阶的斜线口诀推广到高阶

三阶矩阵可以用某些斜线记忆法得到六项，但这只是三阶的速记。四阶矩阵不能照着补两列继续画。能推广到任意阶的是余子式展开、排列公式和消元，其中实际计算最常用的是消元。

看到很小的行列式就说不可逆

在精确数学里，只有 $\det A=0$ 才表示不可逆。 $\det A=10^{-8}$ 仍然不是零，矩阵在代数上可逆，只是它把体积压得非常薄，数值计算时可能对误差很敏感。“很小”和“等于零”必须分开。

做题时先选对路线

碰到行列式题，不用看到竖线就立刻展开。先看矩阵长什么样。

二阶矩阵：直接用 $ad-bc$ 。
三角矩阵或对角矩阵：直接乘主对角线。
某行或某列零很多：沿那一行或那一列做余子式展开。
一般的三阶以上矩阵：优先消元成三角矩阵，记录换行和缩放。
已经写成矩阵乘积或矩阵的幂：优先用乘法性，不要先把大矩阵乘出来。
题目问面积、体积或方向：计算后别停在数字上，要把绝对值、符号和零分别翻译成几何结论。

到这里，我们已经能用一个数判断变换有没有压扁空间。下一章会反过来找另一类特别的方向：哪些非零向量经过矩阵后，仍留在原来的直线上？如果

Av=\lambda v

那么

(A-\lambda I)v=0

这里出现了非零解，说明 $A-\lambda I$ 不可逆，于是必有

\det(A-\lambda I)=0

这正是行列式送给下一章的入口：用“何时压掉一个方向”，找出“哪些方向不会被转走”。

练习

面积与方向

A= \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -2 & 2 \end{bmatrix}

求 $\det A$ ，并说明它对二维面积和方向的影响。

三角形三个顶点是 $P=(1,1)$ 、 $Q=(5,2)$ 、 $R=(2,6)$ 。求三角形面积。

退化与可逆性

对矩阵

C= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}

找出一个非零向量 $z$ 使 $Cz=0$ ，并解释为什么这能证明 $C$ 不可逆。

消元与记账

用行变换计算

M= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}

的行列式，并说明每一步是否改变行列式。

不做余子式展开，直接求上三角矩阵

T= \begin{bmatrix} -2 & 4 & 1 & 7\\ 0 & 3 & -5 & 2\\ 0 & 0 & \frac12 & 6\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}

的行列式，并解释体积和方向。

余子式展开

沿零最多的列计算

D= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ 4 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}