预备微积分研究什么
假设一个水箱里原有 升水，打开水管后，前 分钟的水量可以用下面这个模型描述：
这里 用分钟计量， 用升计量。要问第 分钟有多少水，你大概已经会做：把 代进去，得到 升。要问什么时候达到 升，你也会列方程 ，再结合时间范围选出 。
但我们还可以接着问：水是不是越进越快？第 分钟那一刻，水管每分钟正在送入多少水？如果设备只记录流量，没有记录水箱里的水量，能不能倒过来算出一共进了多少水？
你会发现，同一个简单的平方公式，已经把我们从“算出一个数”带到了“理解一段变化”。预备微积分就在这两种问题之间搭桥。桥的一端是你见过的代数、坐标和三角形，另一端是微积分要研究的变化率与累积量。中间需要补好的，是函数这门共同语言。
本章先用几个具体过程认路。遇到“弧度”“参数”“极限”这些暂时陌生的词，只要先明白它们在解决什么问题就够了，后面会逐一讲清楚。我们也会实际计算一些数值，让这些问题有可以落脚的地方。
这门课的目标是让你读懂函数描述的过程：输入是什么，输出是什么，哪些值允许出现，变化朝哪个方向发生，以及怎样用数值、图像和表达式互相检查。后续的求导和积分，会建立在这些已经熟悉的判断上。
一个水箱，四种说法
先把情境说清楚，再写函数
回到水箱。我们约定，计时从打开水管时开始，水箱足够大，观察期间没有水流出，也没有溢出。 是这段过程的理想模型，并不是说任何水箱只要注水都遵守平方规律。
这些话和公式同样重要。没有“没有水流出”的条件，水量增加得慢，可能是进水变慢，也可能是出水变快；没有观察时间的限制，就容易把前 分钟成立的模型一直用到几个小时以后。
函数把这样的对应关系压缩成了记号：给定一个允许的时刻，就有一个确定的水量。 是整条规则的名字， 表示这条规则在第 分钟给出的水量。括号里的 是输入，不是让字母 乘以 。
读成完整的话就是：“打开水管 分钟后，箱内有 升水。”当一个计算结果能这样放回情境里，符号才算真正读懂了。
表格把几个时刻摆出来
取整数时刻代入，得到：
第一行让我们知道“什么时候”，第二行回答“有多少”，第三行开始回答“怎样变化”。同样过了 分钟，水量先增加 升，再增加 升、 升、 升。只看几个函数值，就已经能察觉：这个过程与每分钟固定注入 升水不同。
不过，表格只列出几个点时，并没有自动交代点与点之间发生了什么。如果这些数来自测量，我们暂时只能说这些整分钟之间的平均增量在变大，不能仅凭五个记录就断言中间每一刻都很平稳。这里能继续计算 ，是因为题目另外给了整个区间上的模型。
表达式补足了表格没有逐项写出的时刻。反过来，表格又能检查表达式：如果误把公式写成 ，第 分钟碰巧仍得到 ，但第 分钟只得到 ，马上与原来的 对不上。
图像把对应关系放到坐标上
画图时，横轴放时间，纵轴放水量。点 的意思是第 分钟有 升水，点 的意思是第 分钟有 升水。由模型补上中间的时刻后，就得到一段向右上方弯曲的图像。
请留意，这条曲线不是水管的形状，也不是水流在空间中走出的路线。横轴的一格是 分钟，纵轴的一格可能是 升，纸面上这两种方向记录的是不同种类的量。后面读运动图像时，也要记得“记录变化的图”与“真实走过的路”是两回事。
现在我们有了四种表达：情境交代条件，公式提供规则，表格列出数值，图像展示行为。它们不需要争谁更高级。题目问一个时刻的水量，公式很方便；题目问前后快慢，表格和图像往往先把方向告诉你。
把刚才的四种说法放在一起看，会发现它们始终围绕同一对量：时间 与水量 。例如，表格中的 、，在图像上就是点 ；公式则解释了这个点为什么在那里。
读图时先认轴：横轴的单位是分钟，纵轴的单位是升。曲线从 升出发，越往后越陡；这件事来自 的变化，不能只凭水箱里画出的水面高度推断。
例题：从水量倒过来找时间
水箱什么时候达到 升？先别急着开平方，我们把问题翻译一遍：输出已经知道，正在找能产生这个输出的输入。
把目标水量放到等号右边，写成 。代入规则，得到 ，因此 。
这一小题已经用到了整门课会反复出现的习惯：先识别输入输出，再计算，最后检查允许范围。方程可以出现多个解，而函数要求的是“每个允许的输入只有一个输出”，这两件事并不矛盾。
公式能算，不代表情境允许
我们把函数允许使用的全部输入叫作定义域，把它实际产生的全部输出叫作值域。这些名字下一章会详细练习，这里先看它们为什么不可省略。
水箱模型的定义域是 ，方括号表示两端都包括在内。从开始的 升到结束的 升，中间水量连续增加，经过其间每一个水量，所以值域是 。公式里没有分母，也没有根号，代数上当然能算 ；但这并不等于题目保证第 分钟真的有 升水。
限制还可能来自表达式本身。例如 在 处遇到分母为零， 在实数范围内要求 。同一个数对不同函数可能合法，也可能不合法。开始计算前检查输入，和使用一把工具前检查它适不适用，是同一件事。
我们再对水箱做一个小改动。假设开始时只有 升水，进水过程与原来相同，新水量就是：
原来第 分钟的点是 ，现在变成 ；原来第 分钟的点是 ，现在变成 。每个时刻都少 升，因此整张图向下移 个水量单位，但相邻时刻之间增加的水量没有变。
这就是函数变换最初的样子：追踪原来的每一个点，说明它现在到了哪里。后面遇到平移、拉伸、翻转时，我们仍然从这件具体的小事出发，不只背一个方向表。
还可以把问题反过来：“给定一个目标水量，什么时候能到？”这会引出反函数；若传感器先把水量转成水位，再把水位转成电压，就需要把两条规则接起来，这会引出复合函数。你不必现在学会这些运算，但可以先认出它们都来自我们刚才的输入输出关系。
使用现实模型时，表达式、变量单位和适用范围要一起保留。代数算得出一个数，只说明运算可以进行；这个数能不能解释为现实答案，还要回到题目的条件检查。
从“有多少”走到“变了多少”
函数值与变化量不是一回事
第 分钟有 升水，第 分钟有 升水。这两个数是水量；这一分钟新增加的水量是：
从第 分钟到第 分钟，增加的水量则是 升。不能把最后的 升全部算成后来注入的水，因为其中有 升在计时开始前已经存在。
现在再问：前 分钟平均每分钟增加多少水？把总增量分摊到所用时间：
单位是升/分钟。这是一个平均变化率。分子回答“输出变了多少”，分母回答“输入变了多少”，除起来才回答“平均每一单位输入对应多少输出变化”。
对一般函数，同样的关系写作：
这里 与 必须是允许的输入。分子和分母的前后顺序要一致：如果上面写“后减前”，下面也要写“后减前”。
平均每分钟增加四升，不等于每分钟都增加四升
前面的表格已经告诉我们，四个整分钟分别增加 、、、 升。这四个增量合起来是 升，平均下来是 升/分钟；可实际没有哪一个整分钟的增量恰好是 升。
所以平均变化率浓缩了整个区间的信息，却不会保留区间内部的全部细节。想知道后半段是不是比前半段更快，我们应当比较不同区间：
前两分钟平均每分钟增加 升，后两分钟平均每分钟增加 升。这个比较比一句含糊的“水量上升很快”更清楚，因为它交代了在哪段时间、以什么单位、与什么相比较。
在图像上，取两个点并用直线连接，这条线叫割线。它的斜率正是相应区间的平均变化率。把前面水量的计算放到图像中，分子是竖直方向的变化，分母是水平方向的变化，你学过的直线斜率就重新出现了。
“上升”和“上升得越来越快”也要分开
只要后来的水量比先前多，我们就说水量在增加。至于增加得是否越来越快，要继续比较相同时间内的增量。 和 在 上都增加，但前一个每分钟固定增加 升，后一个的每分钟增量在变大。
同样，“图像在横轴上方”只表示函数值为正，不保证它正在上升。一杯水的温度从 摄氏度降到 摄氏度，温度仍是正数，变化却是减少。函数值的正负与变化率的正负回答的是不同问题。
读图时还要留意坐标轴比例。一张图把纵轴拉长，看起来会更陡；另一张把横轴拉长，看起来会更平。比较快慢时，应根据坐标和单位计算斜率，不能跨着不同尺度的两张图只凭倾斜角度下结论。
为什么要认识不同的函数家族
平方模型能讲清楚刚才的注水过程，却不能包办所有变化。我们要学多种函数，是因为变化本身有不同结构。
可以先比较三个从 开始的数量模型：
这里暂时只比较 这几个输入，不把它们指定为某种真实测量。
每次加 ， 每次乘 ， 的增量则依次为 、、。这三行数让“按固定数量增加”和“按固定比例增加”的差别变得具体了。请再看 ： 与 都是 ，但相同的终点并没有让之前的过程变得相同。
多项式与有理函数会帮助我们读出零点、转折，以及分母为零附近的行为。指数函数和对数函数围绕“反复乘同一个比例”与“要乘多少次才能达到目标”展开。三角函数则处理另一种结构：经历一段变化后，又回到相同的阶段。
有些变化会不断靠近一个水平。比如一个纯数学模型：
时输出是 ， 时是 ， 时是 。随着 变大，分母变大，正的分数部分变小，输出便从上方靠近 。这给我们一个“远处趋势”的例子：它在下降，但没有必要一直下降到零，更不会因为时间继续增加就变成负数。
这个模型也说明，学函数时不能把“下降”“下降越来越慢”“靠近某个数”压成同一句话。后面的章节会把这些观察分别命名，再教你怎样从表达式验证。
下面的交互可以用来比较常见函数。每次换一个函数，先判断输入增大时输出怎样变，再调整参数观察；读到暂时陌生的名称时，可以留到对应章节再回来操作。
三角函数为什么会从三角形走向转动
让一个点真的绕起来
如果你学过直角三角形，大概认识正弦和余弦：一条直角边与斜边的比。不过，轮子转到 度、倒着转 度、转完一圈再继续，这些情境就不太方便只靠三角形里一个锐角来描述了。
我们换到坐标平面，画一个圆心在原点、半径为 的圆。让点从最右端 出发，沿逆时针方向转动，把转过的角记作 。这个点无论走到哪里都有两个坐标，把横坐标叫作 ，纵坐标叫作 。
先不背特殊角，直接跟着点走一圈：
只盯着纵坐标，你会看到它从 升到 ，降回 ，再降到 ，最后回到 。正弦的一次完整波动，就是这个上下变化的记录。再转一圈，点重复相同的运动，坐标也重复相同的变化，这就是周期性的来历。
以前的直角三角形并没有被丢掉。点在第一象限时，从点向横轴作垂线，就得到斜边为 的直角三角形；纵坐标除以斜边仍是正弦，横坐标除以斜边仍是余弦。旧定义被放到了一个能够继续转动的更大画面里。
弧度先回答“转过的弧有多长”
角度可以用度，也可以用弧度。弧度的想法是：沿圆周转过一段弧，看看这段弧长是半径的多少倍。
这里先考虑沿正方向转动， 是走过的弧长， 是半径。若弧长恰好等于半径，就转了 弧度；若弧长是半径的两倍，就转了 弧度。一整圈的弧长为 ，因此一圈是 弧度。
在单位圆上，半径为 ，弧长的数值和弧度的数值恰好相同。角度、圆上的路程与坐标变化因此直接联系起来。后面研究三角函数的变化率时，这种联系会派上用场，所以弧度不是额外添加的一张换算表。
同样的转动，可以变成真实的高度变化
假设一个匀速转动的装置，圆心离地 米，半径 米，每 秒转一圈。我们从圆周最右端开始计时，并让它逆时针转动。
起初高度是 米； 秒后到最高处，高度是 米； 秒后到最左端，高度回到 米； 秒后到最低处，高度是 米； 秒后回到出发位置。高度围绕 米上下变化，最大偏离为 米，完整重复一次要 秒。
于是“中线”“振幅”“周期”都有了具体对象：中线是 米，振幅是 米，周期是 秒。以后把这些信息写进三角函数表达式，字母只是把刚才这段运动记录下来。
现实中的气温、潮汐或振动可以有周期特征，却未必严格服从一条正弦曲线。建模时要看近似是否合适。这里选择匀速圆周运动，是为了让周期从清楚的几何过程里自然出现。
记录一个坐标不够时，就同时记录两个
刚才的装置在最右端和最左端时，高度都是 米。只看高度，你无法分辨它正在哪一边。这并不是高度函数出了问题，而是我们只保存了位置的一部分信息。
把圆心作为平面坐标的原点，并把半径缩放成 ，就可以同时记录：
共同的输入 决定两个输出，把它们放在一起，便得到平面上的位置 。这就是参数方程的基本想法：一个参数同时推动多个量变化。
这里的参数是角度，未必是时间。如果转动速度确定了，我们还可以先用时间算出角度，再用角度算出坐标。参数字母常写成 ，但不要因为看到 就自动认定它一定有“秒”这个单位。
例题：三个式子记下同一段运动
一辆小车在平面上沿直线运动，用秒计时、用米计量坐标，前 秒满足：
时它在 ， 时在 ， 时在 ， 时在 。每过一秒，横坐标增加 米，纵坐标增加 米。把这些位置放到平面上，是一段从左下方向右上方走的直线路径。
想知道路径的几何形状，可以从 得到 ，代入第二个式子：
这条直线段保留了“小车经过哪些位置”，但单看它已经看不出全程用了 秒，也不知道小车从哪一端出发。原来的两个参数式还保存了这些运动信息。
圆周更能体现参数表达的方便。单位圆上横坐标同样为 时，纵坐标可以为 ，也可以为 ，所以整圆不能由一个“输入横坐标、输出唯一纵坐标”的普通函数 表示。可是给定一个转角，圆上的点仍然确定，参数方程就可以完整描述它。
后面的极坐标和向量也在帮我们更合适地记录位置与运动。极坐标改用距离和方向描述点，向量记录带方向的位移。它们没有离开函数的主线，只是让我们能描述的对象更丰富了。
靠近某个输入时，输出会靠近哪里
极限先学直观版
我们先说明本课程的分寸：这里从数值、图像和简单代数建立极限的直觉，严格的定义与证明留到微积分课程继续展开。现在的任务，是分清“某一点的值”与“这个点附近的趋势”。
看一个表达式：
把 直接放进去，分子分母都是零，原式没有定义。但如果先分解平方差，在 的条件下可以写成：
我们没有修好 那一点，只是找到了其他输入处更方便的计算规则。保留 ，才能保证化简前后仍是同一个函数。
例题：空缺的一点，能否阻止附近出现规律
从 的两边选一些输入：
从左边往 靠，输出往 靠；从右边往 靠，输出也往 靠。表格给出猜想，而 给出更清楚的理由：输入离 差多少，输出就离 差多少。我们可以让这个差距变得任意小。
这种附近行为记作：
它不等于说 。原函数在 处仍然没有输出。假如另定义一个新函数，让它在其他位置与 相同，但特意规定在 处等于 ，附近的趋势仍然是靠近 ，因为只改一个点没有改动它旁边的函数值。
“靠近”也不是一道禁令，不是在说函数永远不许等于那个数。常函数 的输出处处等于 ，当 靠近 时，它当然也以 为极限。极限要求的是附近输出稳定地贴近目标，而不是要求每一步都必须从某一边移动、永远不能碰到目标。
左右两边不能各说各话
设另一个函数在 时恒等于 ，在 时恒等于 。从左边接近 ，输出一直是 ；从右边接近，输出一直是 。这时没有一个数能同时描述两边的趋近结果，因此通常所说的双侧极限不存在。
不能把两边平均成 。输入无论在 的哪一边，都没有让输出接近 。极限不是把冲突的数据折中成一个数，而是检查附近的行为是否指向同一个确定结果。
还有一些过程是在输入越来越大时研究趋近。前面的 靠近 ，观察的是时间很大时的远处趋势；这里的 则是在一个有限输入 附近观察。以后见到极限符号，要先看箭头指向哪里。
把时间区间缩短，才开始接近“这一刻”
现在可以回答开头那个暂时搁置的问题了：水箱在第 分钟那一刻，水量增加得有多快？
先用我们已经会的平均变化率。从第 分钟到第 分钟，平均流入速度是 升/分钟。但这一整分钟包含了后来发生的变化，它未必能准确代表第 分钟那一刻。
于是把终点移近一些。终点取 ，得到：
终点取 ，得到 ；取 ，得到 。这些平均值似乎靠近 。我们也应检查前面的时间：从 到 的平均变化率为 ，从 到 为 ，同样靠近 。
这些结果可以用一次代数运算串起来。用 表示相对于第 分钟的时间改变量，取 ，并保证 仍在模型的定义域内：
当 从正负两边趋近 ，这个平均变化率都趋近 。所以在这个模型中，第 分钟的瞬时变化率是 升/分钟。
这里没有使用新的求导法则，我们只做了代入、平方展开、因式分解，再观察趋近。导数的入口正是把这些已有工具接起来：用越来越短区间上的平均变化率，确定某一点的瞬时变化率。
在水箱例子中，我们固定 ，让另一个点沿水量曲线靠过来。如果割线斜率趋向一个确定的有限值，就得到这个位置的切线斜率。切线描述的是图像在这里的局部方向，不能简单理解成“整张图中只碰到曲线一次的直线”。
这个过程也不保证每个函数在每个点都能成功。有的图像会出现尖角，两边靠近时给出不同的斜率；有的地方根本没有函数值。我们会在最后的章节仔细区分。当前先记住：瞬时变化率不是把时间间隔直接设为零去算 ，而是观察非零间隔缩小时的结果。
从流量倒推水量，需要把小段加起来
“快慢”与“总量”是两个方向的问题
如果已知一根水管每分钟稳定流入 升水，那么 分钟流入多少？你会直接算 升。这里乘法做的事，是把每分钟的量累积到四分钟。
如果流量不断变化，用某一个时刻的流量乘上总时间就不一定准确。我们可以先把时间切成小段，在每段里用一个代表流量近似，再把各段流入的水量相加。
例如，某次注水持续 分钟，记录到每分钟起点附近的流量分别为 、、 升/分钟。如果暂时把每一分钟都用它起点的流量代表，得到：
这 升是一个估计，不是只凭三次读数就能确定的精确结果。真实流量可能在每分钟内部变化。记录更密、时间段切得更细，可以帮助我们把这些变化纳入计算。
用熟悉的模型检查“分得更细”
考虑流量 ，单位是升/分钟，观察 。它从 平稳增加到 。先每 分钟切一段，用每段起点的流量代表整段：
由于流量在增加，起点的流量低于这一段后来时刻的流量，因此这个估计偏小。改用每段终点，则得到：
这个估计偏大。把每段缩成半分钟，起点估计变成：
终点估计变成：
我们把总水量夹在了更窄的范围里：原来是 到 升，现在是 到 升。这里不只是说“分细一点会更好”，而是能看见上下两种估计确实靠近了。
为什么小段的水量会成为图上的面积
在流量—时间图上，每段宽度是时间，矩形高度是代表流量，因此矩形面积的单位是：
所以一个矩形对应一小段流入的水量，把矩形面积相加，就是把各小段水量相加。对这里平稳变化的流量，当所有小段的宽度都趋近于零时，这些面积和会趋向确定的总量。这是积分想法的起点。
在我们的例子中， 的图像恰好是一条直线，图像下方是底为 、高为 的三角形，面积为：
于是总流入量为 升，确实落在刚才的上下估计之间。这个结果也与开头水箱的增量 相符。后续会进一步说明水量模型和流量模型之间的联系；现在我们已经看见，从总量研究快慢与从快慢重建总量，是同一过程的两个方向。
注意，流入量是 升，不是箱内最后的水量。若初始有 升，且没有出水或溢出，才得到最终水量 升。
图像下方面积表示什么，取决于纵轴记录的量。流量乘时间得到水量，速率乘时间得到路程；若纵轴是带正负方向的速度，累积得到的是位移。若纵轴直接是水箱里的水量，把它再乘时间并不会得到新增水量。
下面的交互并列展示了两种观察：缩小区间来观察变化率，细分区间来估计累积量。可以先改变一个控制项，看看数值怎样随之改变，再回到上面的计算解释它。
把这些问题放回整门课
前面出现的内容不需要一次记成很多孤立定义。我们一直在追问同一类事情：一个量怎样依赖另一个量，怎样变化，又怎样把变化记录清楚。
接下来先把函数语言和图像阅读练熟：定义域和值域怎样找，零点与截距有什么区别，上升下降怎样描述。然后追踪图上的点去理解变换，把输入输出的规则接起来研究复合，再倒过来研究反函数。
有了这些读图工具，我们会仔细看多项式、有理函数、指数和对数。它们让我们区分固定增加、比例增加、转折、断裂和远处趋势。进入三角部分后，我们会沿着转动的点，从角与弧度走到正弦余弦，再研究周期模型、反三角函数、恒等式和方程。
当一个数不足以记录状态时，极坐标、参数方程和向量会接着出现。随后，数列把输入限制在第 项、第 项这样的整数次序上，级数研究把这些项加起来。它们会让“过程不断继续”和“许多小量相加”变得更熟悉。
最后再回到极限、连续，以及导数与积分的前奏。那时我们会带着更充分的例子，重新回答本章的两个问题：一瞬间变化得多快，一段过程累积了多少。
学习时不必给每个函数都套一张完全相同的检查表。遇到分式，先留意分母；遇到周期，先追踪重复；遇到现实数据，先检查单位和适用范围。但无论是哪一种题，算完以后都值得多说一句：这个数、这条曲线或这个符号，到底回答了原问题中的哪句话？
自己把几种语言接起来
练习一：同一个平方模型，两个方向的问题
某容器的水量满足 ，其中 的单位是分钟， 的单位是升，且 。求 ，再求水量达到 升的时刻，并说明为何不能保留负根。
练习二：平均值能告诉我们多少
一辆小车沿直线向同一方向前进，计时开始时累计路程为 米，第 秒为 米，第 秒为 米。求 到 秒、 到 秒的平均速率。能否断言后一个区间的每一刻都比前一个区间快？
练习三：同一高度，是否同一位置
一个点从单位圆最右端出发，逆时针匀速转动，每 秒转一圈。写出第 、、、、 秒的位置。只知道纵坐标为 ，能否确定点的位置？
练习四：化简能不能填上缺口
设 ，且 。求 与 ，判断 趋近 时输出趋近哪里，并解释能否直接写 。
练习五：面积里藏着哪个量
一根水管前 分钟的流量恒为 升/分钟，接下来的 分钟恒为 升/分钟。水箱最初有 升水，没有出水或溢出。求总流入量与最终水量，并说明流量图像中两个矩形的宽和高分别是什么。
练习六：表格里的相同，能否保证函数相同
两个函数分别为 和 。它们在 时给出相同输出。能否据此断言两函数在 上完全相同？试算 检查。
下一步，先把函数这门语言说准确
现在看到 ，你知道它是一个时刻的水量；看到 ，你知道它是两时刻之间的增量；看到再除以 ，你知道正在计算平均变化率。符号越来越长，问的事情也在一步步改变，但每一步都有可以解释的含义。
接下来我们把这个阅读习惯用到更多函数上。比如一辆车离家后停下来，又沿原路返回，它的图像该怎样画？图像下降是在说函数值变成负数，还是说离家距离正在减少？哪些输入允许出现，哪些输出实际出现过？下一章就从这些具体问题开始，把函数记号、定义域、值域和图像行为逐项说清楚。