多项式函数与有理函数

多项式函数和有理函数是预备微积分里最适合练“从表达式读图像”的两类函数。它们的式子看起来很代数，但图像行为常常能从几个位置直接读出来：首项、次数、零点、重数、分母为零的位置，以及能不能约分。

这一章的目标不是记一堆图像形状，而是建立一套可复用的判断顺序。看到一个函数时，先问它远处往哪里走，再问它在哪里碰到或靠近坐标轴，最后问有没有不能取的点。这样读函数，后面学习极限和连续性时会轻松很多。

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从幂函数看端行为

幂函数是最简单的多项式雏形，形式是

$$f(x)=ax^n$$

其中 $a$ 是非零常数，$n$ 是正整数。它的图像由两个信息决定：次数 $n$ 是奇数还是偶数，首项系数 $a$ 是正还是负。

偶次幂的左右两端方向相同。比如 $x^2$ 和 $x^4$ 的两端都向上，而 $-x^2$ 和 $-x^4$ 的两端都向下。奇次幂的左右两端方向相反。比如 左下右上， 左上右下。

幂函数给我们一个粗略但很有用的模板：当 $|x|$ 很大时，高次项比低次项增长得快得多。因此一个多项式在很远的地方，主要由最高次项控制。

例如

$$p(x)=-2x^5+7x^3-4x+9$$

当 $x$ 的绝对值很大时，$-2x^5$ 会压过后面的各项，所以它的端行为像 $-2x^5$：左端向上，右端向下。

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多项式函数的结构

多项式函数可以写成

$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

其中 $a_n\neq 0$。最高指数 $n$ 叫次数，$a_nx^n$ 叫首项， 叫首项系数。

次数告诉我们远处的基本类型，首项系数告诉我们图像是否上下翻转。常数项 $a_0$ 则给出 $y$ 轴截距，因为

$$p(0)=a_0$$

多项式函数有一个很稳定的性质：它在每个实数处都有定义，图像不会突然断开，也不会出现竖直渐近线。它可以转弯，可以变平，可以穿过坐标轴，但不会因为某个 $x$ 值让式子没有意义。

标准形式与因式形式

标准形式适合读次数、首项系数和 $y$ 轴截距。因式形式适合读零点。

例如

$$f(x)=-2(x+3)(x-1)^2$$

从这个式子可以直接读出：

• 零点是 $x=-3$ 和 $x=1$。
• $x=-3$ 是一重根，$x=1$ 是二重根。
• 次数是 $1+2=3$。

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零点、重根与图像动作

函数的零点是让函数值等于 $0$ 的输入值。图像上看，零点就是 $x$ 轴截距的位置。

如果多项式含有因子 $(x-c)^m$，那么 $x=c$ 是它的一个零点，$m$ 叫这个零点的重数。重数决定图像在这个零点附近的动作：

• 奇数重根通常穿过 $x$ 轴。
• 偶数重根通常碰到 $x$ 轴后折回。
• 重数越大，图像在零点附近越平。

以

$$g(x)=(x+2)(x-1)^2(x-3)$$

为例，$x=-2$ 和 $x=3$ 是一重根，图像在这些位置穿过 $x$ 轴；$x=1$ 是二重根，图像在这里与 $x$ 轴相切后折回。

例题：由因式形式草绘图像

草绘函数

$$h(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^2(x-1)(x-4)$$

的大致图像。

这个过程不需要精确画出每一个最高点或最低点。预备微积分阶段更重要的是先抓住结构：端行为、截距、穿过或折回、正负区间。

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因式分解与符号分析

很多多项式问题的关键不是展开，而是分解。展开后的形式适合看首项；分解后的形式适合看零点和符号。

例如要解不等式

$$(x-3)(x+1)^2(x+4)>0$$

可以先找关键点 $x=-4,-1,3$。这些点把数轴分成四段。再注意 $(x+1)^2$ 在 $x\neq -1$ 时总是正数，所以它不会改变符号。真正让符号翻转的是一重因子 和 。

因此，经过 $x=-4$ 时符号会变，经过 $x=-1$ 时符号不变，经过 $x=3$ 时符号会变。这个规律和图像在零点处“穿过”或“折回”是同一件事的两个说法。

常见误区

零点不是一定会穿过 $x$ 轴。二重根、四重根这类偶数重根往往只是碰到 $x$ 轴后返回。另一个常见错误是把次数和零点个数混在一起：三次多项式最多有三个实零点，但可能只有一个实零点，也可能有重根。

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多项式除法与余数

多项式除法的作用，是把一个复杂多项式写成“商乘除式再加余数”的形式。若用 $d(x)$ 去除 $p(x)$，可以写成

$$p(x)=d(x)q(x)+r(x)$$

其中余式 $r(x)$ 的次数小于除式 $d(x)$ 的次数。

在预备微积分中，最常见的是除以一次式 $x-c$。这时余数是一个常数，并且有余数定理：

$$p(x)=(x-c)q(x)+p(c)$$

所以 $p(c)$ 就是除以 $x-c$ 的余数。进一步，如果 $p(c)=0$，那么 $x-c$ 是 $p(x)$ 的因式。这就是因式定理。

例题：用因式定理判断因子

判断 $x-2$ 是否是

$$p(x)=x^3-4x^2+x+6$$

的因式。

这一结论把“代入求值”和“因式分解”连接了起来。以后学习极限时，很多看似不能代入的分式，也会先通过因式分解和约分来处理。

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有理函数的基本读法

有理函数是两个多项式的比：

$$R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$

其中 $q(x)\neq 0$。它和多项式最大的差别是：分母可能为零，所以定义域需要排除某些点。那些被排除的点，可能形成竖直渐近线，也可能形成孔洞。

先看一个例子：

$$R(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-2)(x+1)}$$

原始分母在 $x=2$ 和 $x=-1$ 时为零，所以这两个输入都不在定义域内。约分后有

$$R(x)=\frac{x-3}{x-2},\quad x\neq -1,2$$

约掉的 $x+1$ 造成 $x=-1$ 处的孔洞；没有约掉的 $x-2$ 造成 $x=2$ 处的竖直渐近线。

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渐近线与孔洞

有理函数的图像常常由三类对象组织起来：竖直渐近线、水平或斜渐近线、孔洞。

竖直渐近线

如果分母在 $x=c$ 处为零，并且对应因子没有被完全约掉，那么 $x=c$ 常常是竖直渐近线。图像会在靠近 $c$ 的一侧或两侧向上或向下无限靠近。

例如

$$f(x)=\frac{1}{x-2}$$

在 $x=2$ 处没有定义，且当 $x$ 越来越接近 $2$ 时，函数值的绝对值会越来越大，所以 $x=2$ 是竖直渐近线。

水平渐近线

水平渐近线描述 $x$ 走向很远时函数值靠近哪条水平线。对

$$R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$

可以先比较分子和分母的次数：

• 分子次数小于分母次数时，水平渐近线是 $y=0$。
• 分子次数等于分母次数时，水平渐近线是首项系数之比。
• 分子次数比分母次数大 $1$ 时，通常会出现斜渐近线，需要用多项式除法求商。

例如

$$\frac{2x^2-3}{x^2+5x+1}$$

分子分母同为二次，水平渐近线是

$$y=\frac{2}{1}=2$$

斜渐近线

当分子次数比分母次数恰好多 $1$ 时，长除法得到的商是一次函数，图像远处会靠近这条直线。

例如

$$\frac{x^2+1}{x-1}$$

用除法可得

$$\frac{x^2+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$$

当 $x$ 很大或很小时，$\frac{2}{x-1}$ 接近 $0$，所以斜渐近线是

$$y=x+1$$

孔洞

孔洞来自可约因子。若

$$F(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-3)}$$

则原函数在 $x=1$ 和 $x=3$ 都没有定义。约掉 $x-1$ 后，$x=1$ 对应孔洞，$x=3$ 对应竖直渐近线。

要找孔洞的纵坐标，可以把约分后的表达式代入这个 $x$ 值。上式约分后为

$$F(x)=\frac{x+2}{x-3},\quad x\neq 1,3$$

所以孔洞的纵坐标是

$$\frac{1+2}{1-3}=-\frac{3}{2}$$

孔洞位置是 $(1,-\frac{3}{2})$。

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把表达式翻译成图像

遇到多项式或有理函数时，可以按下面的顺序读。

多项式函数

先找次数和首项系数，判断端行为。再找零点和重数，判断图像在每个零点处穿过还是折回。接着用符号分析确定每个区间的正负。最后补上 $y$ 轴截距和必要的局部形状。

有理函数

先找原始分母为零的位置，写出定义域排除点。再因式分解并约分，区分孔洞和竖直渐近线。接着比较分子分母次数，判断水平或斜渐近线。最后用测试点判断每段曲线位于渐近线哪一侧。

例题：完整读一个有理函数

分析

$$G(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4x+3}$$

的定义域、孔洞、竖直渐近线和水平渐近线。

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通向极限和连续性

多项式函数在每个实数处都连续。直观地说，只要输入慢慢变，输出也慢慢变，图像不会断开。以后学习极限时，多项式通常可以直接代入：

$$\lim_{x\to c}p(x)=p(c)$$

有理函数更有层次。它在分母不为零的地方也可以直接代入；在分母为零的地方，则要看是孔洞、竖直渐近线，还是左右两边行为不同。

例如

$$\frac{x^2-1}{x-1}$$

在 $x=1$ 处没有定义，但当 $x\neq 1$ 时可以约分为 $x+1$。所以图像在 $x=1$ 处有一个孔洞，附近的函数值会趋近于 $$。这正是极限要表达的思想：它关心靠近某点时的行为，而不只看该点有没有定义。

另一方面，

$$\frac{1}{x-1}$$

在 $x=1$ 附近会向正无穷或负无穷发散。这里不是一个可以补上的孔洞，而是竖直渐近线。把这两种情况分清，是进入极限章节前最重要的准备之一。

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练习

练习一：判断

$$f(x)=3(x-2)^2(x+1)$$

的次数、端行为、零点和每个零点附近的图像动作。

显示答案

次数是 $3$，首项系数为正，所以左端向下，右端向上。零点是 $x=2$ 和 $x=-1$。其中 $x=2$ 是二重根，图像在这里相切折回；$x=-1$ 是一重根，图像在这里穿过 轴。

练习二：找出

$$R(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x+2)(x-1)}$$

的定义域排除点、孔洞和竖直渐近线。

显示答案

原始分母在 $x=-2$ 和 $x=1$ 时为零，所以定义域排除这两个数。因子 $x+2$ 可以约掉，因此 $x=-2$ 是孔洞；因子 $x-1$ 没有约掉，因此 是竖直渐近线。

练习三：判断

$$Q(x)=\frac{5x^3-x+1}{2x^3+7}$$

的水平渐近线。

显示答案

分子和分母次数相同，都是三次。水平渐近线是首项系数之比，所以 $y=\frac{5}{2}$。

练习四：解释为什么

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

在 $x=3$ 处对应孔洞，而

$$\frac{x+3}{x-3}$$

在 $x=3$ 处对应竖直渐近线。

显示答案

第一个式子中 $x^2-9=(x-3)(x+3)$，公共因子 $x-3$ 可以约掉，所以 $x=3$ 是原函数没有定义但附近行为有限的孔洞。第二个式子的分母因子 不能约掉，靠近 时分母趋近于 而分子趋近于 ，函数值会无界变化，所以是竖直渐近线。