多项式函数与有理函数

上一章，我们追着图像上的点看平移、拉伸和翻折。比如 $y=2(x-3)^2-5$，不用密密麻麻地列点，就知道它来自 $y=x^2$，顶点到了 $(3,-5)$。可如果题目把同一个函数写成 $y=2x^2-12x+13$，这些动作就藏起来了。

这一章要练的，就是把藏在表达式里的图像信息找回来。二次函数可以配方；更高次的多项式可以看首项、找因子；两个多项式一相除，还会出现分母不能为零的位置。我们会逐步分清：哪些地方确实是函数的零点，哪些只是图像缺了一个点，哪些地方会让函数值变得没有界限。

先不要求你精确算出每一处山峰和谷底。更实际的目标是：拿到一个式子，能够有理由地说清图像的远处方向、关键点和各段正负，而不是画一条看起来差不多的曲线。

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二次函数：把变换藏着的信息找出来

配方为什么能找到顶点

我们先处理刚才那个式子：

$$f(x)=2x^2-12x+13.$$

前两项都有系数 $2$，先把它提出来，得到 $2(x^2-6x)+13$。接下来问：$x^2-6x$ 离一个完整的平方差什么？因为 ，它恰好少了 。补进去的东西还要减回来，于是

$$\begin{aligned} f(x)&=2(x^2-6x+9-9)+13\\ &=2(x-3)^2-18+13\\ &=2(x-3)^2-5. \end{aligned}$$

现在顶点就看得见了：平方项最小是 $0$，并且在 $x=3$ 时取到，所以整个函数最小是 $-5$。顶点是 $(3,-5)$，对称轴是 $x=3$，值域是 $[-5,+$。这几个结论都来自同一句话：“一个实数的平方不会小于零。”

还可以顺便读出增减。让 $x$ 从左边靠近 $3$，$|x-3|$ 逐渐变小，函数值下降；越过 $3$ 往右走，$|x-3|$ 逐渐变大，函数值上升。因此它在 $(-\infty,3]$ 上递减，在 上递增。这里不用求导，也不用凭图猜。

三种写法，各自把什么摆在明处

一般二次函数写成

$$f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.$$

经过同样的配方过程，可以得到

$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.$$

所以顶点横坐标是 $h=-\frac{b}{2a}$，纵坐标可以代回原式算成 $k=f(h)$。写成 $a(x-h)^2+k$ 后， 为正时开口向上，最小值为 ； 为负时开口向下，最大值为 。定义域都是全体实数，值域则分别为 和 。

想找与 $x$ 轴相交的位置，就令函数值等于 $0$。对刚才的例子，

$$2(x-3)^2-5=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3\pm\sqrt{\frac52}.$$

两个零点关于 $x=3$ 对称。与 $y$ 轴相交的位置更直接：代入 $x=0$，得到 $(0,13)$。请分清“零点 $3+\sqrt{5/2}$”和“截距点 ”：前者是输入，后者是图像上的一个点。

不是每条抛物线都与 $x$ 轴相交。解一般二次方程时，求根公式中的 $\Delta=b^2-4ac$ 给出区别：$\Delta\gt0$ 有两个不同实零点；$\Delta=0$ 有一个二重实零点； 没有实零点。比如 永远为正，它没有 轴截距，但当然仍然是一条完整的抛物线。

顶点也能回答一个实际问题

假设一个简化的运动模型把小球抛出后 $t$ 秒的高度写成

$$H(t)=-5t^2+20t+1,$$

高度单位是米，这个模型忽略空气阻力，只使用到小球落地为止。要找最高高度，先配方：

$$H(t)=-5(t-2)^2+21.$$

平方项前面是负数，所以它只能从 $21$ 往下减。小球在 $t=2$ 秒达到最高点，高度为 $21$ 米。再令 $H(t)=0$，得到 $t=2\pm\sqrt{21/5}$；负的时间不属于抛出后的过程，落地时间是 秒。

这也提醒我们：公式作为多项式可以接收任意实数，实际模型的定义域却是 $0\le t\le2+\sqrt{21/5}$。模型的最高点不仅要算对，还要检查它有没有落在真正讨论的时间段里。

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从幂函数看懂多项式的两端

二次函数的整体形状比较规整。到了三次、四次，图像中间可能有好几个弯，不过“很远的地方往哪儿走”反而仍然很好判断。

先把幂函数和多项式分清

幂函数的基本形式是 $f(x)=ax^r$：底数里有变量，指数 $r$ 固定。指数可以是整数，也可以在适当定义域上取其他实数；例如 $x^2$、$x^{-1}=1/x$、 都属于幂函数。我们这一部分先看 为正整数、 的情形。

多项式则是有限个非负整数幂项相加：

$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\ne0.$$

$n$ 是次数，$a_nx^n$ 是首项，$a_n$ 是首项系数。缺少某个幂次没关系，那一项的系数就是 $0$。例如 是五次多项式； 和 不属于多项式，因为分别出现了分数指数和负指数。非零常数是零次多项式；零多项式的次数不在这里按普通方式定义。

奇偶次幂为什么有不同的方向

把 $x$ 取成一个很大的正数，任何正整数次幂都是正的。真正造成区别的是左边：$(-10)^2$ 为正，$(-10)^3$ 为负。偶数个负号两两抵消，奇数个负号会留下一个。因此 $x^2$、 两端都向上，、 左边向下、右边向上。再乘一个负系数，整条图像上下翻折，两端方向也一起翻转。

这些是端行为，描述的是输入向两边无限延伸时的趋势。$x\to-\infty$ 表示 $x$ 越来越负、没有下界，不是 $x$ 接近 $0$。无穷也不是某个可以代进函数的超大数字。

为什么低次项最终会让出主导位置

看这个多项式：

$$p(x)=-2x^5+7x^3-4x+9.$$

对非零的 $x$，把首项提出来：

$$p(x)=-2x^5\left(1-\frac{7}{2x^2}+\frac{2}{x^4}-\frac{9}{2x^5}\right).$$

当 $|x|$ 越来越大，括号里后三项越来越接近 $0$，整个括号越来越接近 $1$。所以足够远处的正负和增长方向由 $-2x^5$ 决定：左端向上，右端向下。

“足够远”不能草率换成“随便取一个看起来很大的数”。比如 $x^4-1000x^3=x^3(x-1000)$，在 $x=100$ 时仍然是负数，右端最终向上的趋势要等到越过 才显现。计算器窗口只是一小块画面，首项分析能提醒我们窗口以外还有什么。

还有一个容易混淆的地方：偶次多项式不一定是偶函数。$x^4+x$ 的次数是偶数，但 $p(-x)=x^4-x\ne p(x)$，图像并不关于 轴对称。次数奇偶决定端行为类型；函数奇偶要检查整个表达式。

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零点的重数：为什么有的穿过去，有的折回来

端行为告诉我们图像两头的方向。要知道中间发生了什么，下一步就找零点。多项式对每个实数都有定义，图像连续且光滑，没有跳跃、孔洞或尖角。它从 $x$ 轴上方走到下方时，必然要经过轴上的点。

不过，经过一个零点未必换到另一侧。这个区别可以从因子里直接解释。

把一个零点附近的变化单独拿出来

设多项式可以写成

$$p(x)=(x-c)^m s(x),\qquad s(c)\ne0.$$

条件 $s(c)\ne0$ 很关键：它表示与 $x=c$ 有关的因子已经全部取出来了，$m$ 才是这个零点准确的重数。在足够靠近 $c$ 的一小段范围里，$s(x)$ 保持同一个正负号，因此是否换号就由 决定。

$x$ 从 $c$ 左边走到右边时，$x-c$ 从负变正。如果 $m$ 是奇数，它的幂也从负变正，乘上同号的 $s(x)$ 后，整个函数一定换号，图像穿过 $x$ 轴。如果 $m$ 是偶数，两边的幂都是正数，整个函数两边同号，图像碰到轴后返回原来那一侧。

这不是一种“通常如此”的经验，而是实系数非零多项式在实零点附近的确定规律。

三重根也是重根，但它照样穿轴。和一重根相比，三重根在零点附近更贴近水平轴：例如 $0.1^3=0.001$，比 $0.1$ 小得多。二重、四重根都折回；三重、五重根都穿过。这里“更平”是在相同尺度和相近系数下比较局部幂次的效果，不能只凭一张缩放过的图片准确认定重数。

例如

$$f(x)=-2(x+3)(x-1)^2$$

在 $x=-3$ 有一重零点，在 $x=1$ 有二重零点。总次数为 $3$，首项系数是 $-2$，左端向上、右端向下。它先在 $-3$ 穿轴，再在 $1$ 从下方碰到轴并返回下方。

再看

$$g(x)=(x+2)(x-1)^2(x-3).$$

零点是 $-2,1,3$，其中 $1$ 是二重根，另两个是一重根。它的两端都向上，在 $-2$ 和 $3$ 穿轴，在 $1$ 从下方碰轴后折回。同样的“穿过、接触”规则，放进四次函数仍然有效。

次数能限制什么，不能告诉什么

$n$ 次非零多项式最多有 $n$ 个不同实零点，最多有 $n-1$ 个转折点。转折点指增减方向改变的位置，比如先下降后上升。$y=x^3$ 虽然在原点变平，却一直递增，所以原点不是转折点。

“最多”不等于“一定”。$x^4+1$ 没有实零点，$x^5$ 只有一个不同实零点，也没有转折点。若讨论复数并把重数计入，$n$ 次多项式才恰好有 $n$ 个根；只把实零点的重数加起来，可能小于 $n$。例如 $$ 是四次，但实零点只有 ，重数为 。

图像连续、光滑是多项式的性质，却不是鉴定多项式的充分条件。后面会遇到不少同样光滑的函数，表达式并不是多项式。

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符号表：把一条曲线拆成能判断的几段

一个完整的多项式读图例题

我们来草绘

$$h(x)=-\frac12(x+2)^2(x-1)(x-4).$$

先别急着连线。四次、负首项系数，说明左右两端都向下；零点为 $-2,1,4$，其中 $-2$ 的重数为 $2$，另外两个为 $1$。这时关键位置已经确定，剩下要弄清每一段在轴的哪一侧。

零点把数轴切成四个区间。在每个区间内，没有任何因子经过 $0$，因此符号不会突然变掉。选一个测试点就能代表整段，也可以直接读每个因子的符号。

注意第一列因子只在开区间里为正，到了 $x=-2$ 它就是 $0$。表格不把边界点混进去，正是为了避免漏掉这个区别。

再补 $y$ 轴截距：

$$h(0)=-\frac12\cdot4\cdot(-1)\cdot(-4)=-8.$$

现在可以用一段连贯的话描述图像：从左下方来，在 $(-2,0)$ 碰到 $x$ 轴后返回下方，经过 $(0,-8)$，在 $(1,0)$ 穿到上方，在 $(4,0)$ 再穿回下方，最后向右下方延伸。连接这些部分时要光滑，不能把零点画成折线的尖角。

四次函数最多有三个转折点。这里 $-2$ 处已经是一个局部最高点；在 $-2$ 与 $1$ 之间还要下去再回来，在 $1$ 与 $4$ 之间要上去再下来，因此这幅结构需要三个转折点，和次数限制相符。我们没有计算后两个转折点的精确坐标，草图也不应假装给出了它们的数值。

局部最高只与附近比较。$h(-2)=0$ 在附近确实最高，但 $(1,4)$ 内还有正值，所以它不是整个函数的最大值。二次函数只有一个顶点时，局部最值与全局最值很容易重合；高次函数要分开判断。

下面的探索器可以用来比较端行为、零点与重数。先自己预测，再改变参数核对；如果零点挤在一起或某一段超出了窗口，调整观察范围，不要把窗口边缘当作函数的终点。

图像正负和不等式，其实是同一个问题

要解

$$(x-3)(x+1)^2(x+4)>0,$$

仍然先排好边界 $-4,-1,3$。最右边三个因子都为正，所以乘积为正；向左越过一重根 $3$，符号变负；越过二重根 $-1$，符号保持负；越过一重根 $-4$，符号又变正。解集是

$$(-\infty,-4)\cup(3,+\infty).$$

若题目改为 $\ge0$，零点也能取，解集变成

$$(-\infty,-4]\cup\{-1\}\cup[3,+\infty).$$

中间那个孤立的 $\{-1\}$ 很容易漏。它附近两边虽然为负，恰好在 $-1$ 处却等于零。这也是为什么解不等式要分别检查开区间和边界点。

反过来，从条件写一个多项式

假设要找一个次数尽可能低的多项式，它在 $-2$ 处接触并折回，在 $1$ 处穿轴，而且经过 $(0,4)$。最低的相应重数是 $2$ 和 $1$，因此先写

$$p(x)=a(x+2)^2(x-1).$$

代入 $p(0)=4$，得到 $-4a=4$，所以 $a=-1$。所求函数是 $p(x)=-(x+2)^2(x-1)$。

这里“次数尽可能低”不是闲话。若没有它，只凭接触、穿轴和一个点，未必能唯一确定多项式；更高偶数重数、更多不产生实零点的因子，都可能保留部分图像特征。

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多项式除法：让一个零点带出更多因子

前面的函数大多已经替我们分好了因式。如果给的是展开式，零点藏在哪里，就需要我们自己找。多项式除法是把“猜到一个零点”变成“得到一个低次问题”的工具。

长除法是在逐项消掉最高次项

计算 $x^3-2x^2+4x+1$ 除以 $x-1$。整个过程只反复做一件事：用除式乘上一个合适的项，消掉当前余下表达式的最高次项。

最高次项 $x^3$ 要由 $x$ 乘什么得到？乘 $x^2$。于是商的第一项为 $x^2$，减去 $x^2(x-1)$ 后剩下

$$(x^3-2x^2+4x+1)-(x^3-x^2)=-x^2+4x+1.$$

再用 $-x$ 乘除式，消掉 $-x^2$：

$$(-x^2+4x+1)-(-x^2+x)=3x+1.$$

最后用 $3$ 乘除式：

$$(3x+1)-(3x-3)=4.$$

剩下的常数 $4$ 次数比一次除式低，除法结束。商为 $x^2-x+3$，余数为 $4$，所以

$$x^3-2x^2+4x+1=(x-1)(x^2-x+3)+4.$$

把右边乘开就能核对整个计算。这比只看竖式最后一行更可靠。若把它写成分式等式，才需要注明 $x\ne1$：

$$\frac{x^3-2x^2+4x+1}{x-1} =x^2-x+3+\frac4{x-1},\qquad x\ne1.$$

一般地，对于非零多项式除式 $d(x)$，都有唯一的商 $q(x)$ 和余式 $r(x)$，满足

$$p(x)=d(x)q(x)+r(x),$$

其中 $r(x)=0$，或者余式的次数严格小于除式的次数。除以二次式时，余式可能是一次式，并不总是一个数。若被除式次数本来就更低，商就是 $0$，余式就是被除式本身。

综合除法为什么只写系数

除式恰好是 $x-c$ 时，长除法里许多 $x$ 和幂次位置都可以省去，只留下系数，这就是综合除法。刚才除以 $x-1$，使用的数是 $c=1$：

$$\begin{array}{r|rrrr} 1&1&-2&4&1\\ & &1&-1&3\\ \hline &1&-1&3&4 \end{array}$$

先把最高次项系数 $1$ 抄下来；乘 $1$ 得 $1$，加到下一列 $-2$ 上得到 $-1$；再乘 $1$ 得 $-1$，加到 $4$ 上得到 ；最后乘 得 ，加到常数 上得到余数 。底行除最后一项之外，是商 的系数。

有两件小事要认真做。第一，除以 $x+2$ 时用的是 $c=-2$；第二，缺项必须补零。例如 $x^3-5x+2$ 的系数应写成 $1,0,-5,2$，否则幂次会错位。这种基本综合除法直接适用于 ，不能把 当成 来套；处理非首一的一次除式时，用长除法最稳妥。

余数定理和因式定理从哪里来

除以 $x-c$ 时，余式只能是常数 $r$：

$$p(x)=(x-c)q(x)+r.$$

让 $x=c$，整个乘积项变成 $0$，于是 $p(c)=r$。这就是余数定理：不用做完除法，代入 $c$ 就能知道余数。

如果 $p(c)=0$，余数消失，$p(x)=(x-c)q(x)$，所以 $x-c$ 是因式；反过来，有这个因式，代入 也一定为零。这就是因式定理：

$$p(c)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-c\text{ 是 }p(x)\text{ 的因式}.$$

比如我们算出 $p(2)=0$ 后，不仅知道图像经过 $(2,0)$，还知道可以把整个多项式除以 $x-2$。一个点的信息，就这样转成了一个代数因子。

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实零点怎么找，找不到有理数又怎么办

先用熟悉的分解，再用候选值

看到 $x^4-5x^2+4$，可以把 $x^2$ 暂时当成一个整体，按二次式分解：

$$x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4) =(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).$$

所以实零点为 $-2,-1,1,2$。看到 $x^3-4x^2-9x+36$，可以分组：。公因式、平方差、分组、把 当整体，通常应先于盲目试数。

如果这些办法不奏效，对整数系数多项式，还能用有理根定理缩小范围。设首项系数为 $a_n$、非零常数项为 $a_0$；若最简分数 $p/q$ 是有理零点，其中 $p,q$ 互质且 ，那么

$$p\mid a_0,\qquad q\mid a_n.$$

也就是说，分子来自常数项的整数因子，分母来自首项系数的正整数因子。如果常数项为 $0$，先提出一个或多个 $x$，记录零点 $0$，再处理剩下部分。有理系数可以先乘公分母化成整数系数；任意实系数则不能直接套这个整数因子规则。

例题：从一个有理根找到全部实根

求

$$p(x)=2x^3-5x^2-4x+3$$

的全部实零点。常数项是 $3$，首项系数是 $2$，候选值为

$$\pm1,\quad\pm3,\quad\pm\frac12,\quad\pm\frac32.$$

先试 $x=-1$，得到 $-2-5+4+3=0$，于是 $x+1$ 确实是因式。综合除法给出

$$\begin{array}{r|rrrr} -1&2&-5&-4&3\\ & &-2&7&-3\\ \hline &2&-7&3&0 \end{array}$$

所以

$$p(x)=(x+1)(2x^2-7x+3) =(x+1)(2x-1)(x-3).$$

全部实零点是 $-1,1/2,3$，各为一重根。三次多项式已经找到三个不同零点，不会再有第四个。把因式乘回去，也能检查是否漏掉首项系数 $2$。

但候选名单不保证其中一定有人合格。$x^2-2$ 的有理根候选值是 $\pm1,\pm2$，试完都不是根，可它仍然有实根 $\pm\sqrt2$。所以“所有有理候选值都试完了”只能排除有理根，不能排除无理实根。

用两边异号把根夹住

考虑 $u(x)=x^3-x-1$。有理根候选值只有 $\pm1$，都不合格。但

$$u(1)=-1,\qquad u(2)=5.$$

多项式图像在 $[1,2]$ 上连续，从负值走到正值，中间至少经过一次 $0$。这就是介值性质在找零点时的用法。它保证区间内至少有一个根，还没有保证只有一个。

接下来取中点 $1.5$，算得 $u(1.5)=0.875$，根被夹在 $(1,1.5)$；再取 $1.25$，算得 $u(1.25)=-0.296875$，根被夹在 。继续每次对半缩小异号区间，就是二分法。我们不需要提前知道根的漂亮表达式，也能把它定位到需要的精度。

这条推理依赖中间不断开。$1/x$ 在 $x=-1$ 和 $x=1$ 处异号，中间却没有零点，因为它在 $0$ 处没有定义。反过来，两端同号也不能保证没有根：$(x-1)^2$ 在 和 处都为正，中间仍有二重根 。

根的数量还能怎样核对

有时还可以用系数的符号变化做一层检查。把多项式按降幂排列，忽略零系数；正实根的数量按重数计，等于系数符号变化次数，或者比它少一个非负偶数。负实根的数量则对 $p(-x)$ 做同样检查。这叫笛卡尔符号法则，零根要另外处理。

对 $2x^3-5x^2-4x+3$，系数符号是 $+,-,-,+$，变化两次，因此正实根按重数计有 $$ 个或 个。 只有一次变化，因此恰有一个负实根。它与刚才求出的两个正根、一个负根相符。这个法则提供数量限制，并不直接给根的位置。

若已经学过复数，还可以继续检查那些没有实根的二次因子。比如 $(x-2)(x^2+4)$ 的实零点只有 $2$；在复数范围内，另有 $2i,-2i$，其中 $i^2=-1$。实系数多项式的非实根成共轭对出现：有 ，就有 ，两者重数也相同。原因是对实系数表达式取共轭，与先对输入取共轭再代入，结果相同。

因此，如果要求一个首项系数为 $1$ 的三次实系数多项式，根包括 $-1$ 和 $2i$，第三个根必须是 $-2i$，可以写成 $(x+1)(x^2+4)$。这说明“次数等于根数”需要把复数和重数一起考虑，不能把图像上的截距硬凑成次数。

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有理函数：先记录哪些输入不能用

多项式之间一相除，我们就进入了有理函数：

$$R(x)=\frac{p(x)}{q(x)},$$

其中 $p,q$ 是多项式，$q$ 不是零多项式。每次真正输入一个数，还要满足 $q(x)\ne0$。前者是对除式本身的要求，后者决定函数的定义域。

为什么这类函数值得单独研究？因为“总量除以数量”“路程除以时间”“一种物质的量除以总体积”都会自然产生分式。分母一变化，图像就可能出现多项式里没有的行为。

约分省去计算，却不能替原函数补定义

看

$$R(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-2)(x+1)}.$$

先看原分母：$x=-1,2$ 都不能取。记好这两个限制后，才能约去公共因子，得到

$$R(x)=\frac{x-3}{x-2},\qquad x\ne-1,2.$$

在 $x=-1$ 以外，分子分母里的 $x+1$ 可以相消；但在 $x=-1$ 本身，原式是除以零，取消符号并没有让这次输入重新合法。约分后的公式若单独拿来定义一个新函数，它在 $-1$ 处有值，那已经是定义域更大的另一个函数。

把 $-1$ 代入约分后的公式，得到 $4/3$。原图像沿着这条曲线走，但少了 $(-1,4/3)$ 这个点，我们用空心圆标出来，称为孔洞。以后讨论连续性时，它也叫可去间断点。

有公共因子，不一定就是孔洞

比较下面两个式子：

$$A(x)=\frac{(x-1)^2}{x-1},\qquad B(x)=\frac{x-1}{(x-1)^2}.$$

两者的定义域都排除 $1$，也都有可约因子。可是 $A(x)=x-1$（$x\ne1$），在 $(1,0)$ 留下孔洞；，分母还剩一个 ，靠近 时函数值的绝对值会无界增大。

真正要看的是：把公共因子完全约掉后，分母在这个位置是否仍为零。如果不为零，才能用约分后的公式求孔洞高度；如果仍为零，那是竖直渐近线的位置。不能把“约掉过一个因子”当作已经补完检查。

这也影响零点判断。$A$ 在 $x=1$ 处不能算作零点，因为原函数在那里没有定义，即使约分后的式子代入会得到 $0$。有理函数的零点必须同时满足：分子为零，并且输入属于原定义域。

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竖直渐近线：不是一个很高的点

从 $f(x)=1/(x-2)$ 开始。让 $x$ 从右侧靠近 $2$：

从左边靠近，$x=1.9,1.99,1.999$，输出分别是 $-10,-100,-1000$。分母的绝对值越来越小，分子仍为 $1$，商的绝对值就可以大到超过任何预先给定的数。图像在直线 $x=2$ 两侧无界延伸，这条直线就是竖直渐近线，也常叫垂直渐近线。

可以把两侧行为分别写成

$$x\to2^-:\ f(x)\to-\infty, \qquad x\to2^+:\ f(x)\to+\infty.$$

$2^-$ 表示从小于 $2$ 的一侧靠近，$2^+$ 表示从大于 $2$ 的一侧靠近。这里没有说 $f(2)$ 等于无穷；$f(2)$ 根本没有定义。无界变化是附近的趋势，不是补在断口上的一个函数值。

对完全约分后的有理函数，若分母在 $c$ 处有 $m$ 重零点，分子在 $c$ 处不为零，那么附近可以写成

$$R(x)=\frac{s(x)}{(x-c)^m},\qquad s(c)\ne0,$$

其中 $s$ 在 $c$ 附近连续。$m$ 为奇数时，分母左右异号，函数一边向正无穷、一边向负无穷；$m$ 为偶数时，两边同号，函数两边向同一个方向无界延伸。究竟朝上还是朝下，还要看 $s(c)$ 的符号。

例如 $-3/(x+1)^2$ 在 $x=-1$ 两侧都向负无穷。千万别把“两侧一样”自动读成“两侧都朝上”。对这里按原分式定义的有理函数，竖直渐近线所在的横坐标不在定义域里，图像不能穿过那条直线。

现在把两种“分母为零”并排看。对 $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$，约分后在 $x\ne1$ 时等于 ，附近高度靠近 ，留下的是孔洞。对 ，分子没有能消去的因子，靠近 时左右分别向负、正方向无界变化。

共同点是 $x=1$ 都不能代入，区别却在附近：一边能趋近有限高度，一边不能。因此，找到分母的零点以后，还得继续研究它附近的函数值。

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水平与斜渐近线：描述远处，不封住近处

竖直渐近线关心靠近某个有限输入时发生什么。水平和斜渐近线换了一个问题：当输入往两边无限延伸，图像会贴近怎样的参照线？

水平渐近线的次数规则有同一个理由

比如

$$R(x)=\frac{2x^2-3}{x^2+5x+1}.$$

把分子分母同时除以 $x^2$，得到

$$R(x)=\frac{2-3/x^2}{1+5/x+1/x^2}.$$

当 $|x|$ 越来越大，那些带 $x$ 在分母里的项趋近于 $0$，函数值趋近于 $2$。所以水平渐近线是 $y=2$。

一般设非零分子的次数为 $m$、分母的次数为 $n$，首项系数分别是 $a_m,b_n$，远处主要比较的是

$$\frac{a_mx^m}{b_nx^n}=\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}.$$

若 $m\lt n$，分母增长得更快，水平渐近线是 $y=0$；若 $m=n$，水平渐近线是 $y=a_m/b_n$；若 ，函数不会趋近一个有限常数，所以没有水平渐近线。分子为零多项式时，函数在定义域内恒为零，可以直接判断，不必强行比较它的次数。

最简单的反例是 $F(x)=x/(x^2+1)$。分母次数更高，水平渐近线是 $y=0$；但 $F(0)=0$，而且零点两边符号相反，图像就在原点穿过自己的水平渐近线。没有任何矛盾：经过原点是近处的事情，远处趋近 是另一件事。

斜渐近线要保留商里的常数项

若分子次数恰好比分母高 $1$，除法的商是一次式。比如

$$S(x)=\frac{x^2+2x+4}{x-1} =x+3+\frac7{x-1}.$$

当 $|x|$ 越来越大，余下的 $7/(x-1)$ 越来越接近 $0$，所以图像与直线 $y=x+3$ 在相同横坐标处的纵向差越来越小。这条直线就是斜渐近线。

只比较 $x^2/x=x$，能知道大体像一次增长，却不能据此把斜渐近线写成 $y=x$。渐近线需要保留除法商里的常数 $3$；否则与真正图像仍差着一个不消失的高度。

这条曲线不会与 $y=x+3$ 相交，因为 $7/(x-1)$ 在定义域内不可能等于 $0$。但别把这个例子的特点推广到所有斜渐近线。函数

$$T(x)=x+\frac{x-1}{x^2+1}$$

以 $y=x$ 为斜渐近线，在 $x=1$ 时余项为 $0$，所以经过 $(1,1)$。由于余项在 $1$ 两边换号，它确实穿过了这条直线。

若次数差超过 $1$，商是二次或更高次多项式，远处可以贴近它的曲线，但那不叫斜直线渐近线。例如 $(x^3+1)/x=x^2+1/x$ 在远处贴近 $y=x^2$。这一章记住“长除法分出主要部分与越来越小的余项”就够了，不必另外背一张曲线名称表。

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把孔洞、渐近线和符号放到同一幅图里

完整分析一个有理函数

考虑

$$G(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4x+3}.$$

先因式分解，原分母等于 $(x-1)(x-3)$，所以定义域为

$$(-\infty,1)\cup(1,3)\cup(3,+\infty).$$

再化简：

$$G(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-3)} =\frac{x+1}{x-3} =1+\frac4{x-3},\qquad x\ne1,3.$$

同一个函数的这三种写法，分别帮助我们检查定义域、读取零点，以及认出上一章学过的变换：它与 $y=1/x$ 经过右移 $3$、竖直拉伸为 $4$ 倍、上移 $1$ 得到的曲线相同，只在 $x=1$ 处额外缺一个点。

孔洞的高度用约分后的式子计算：$(1+1)/(1-3)=-1$，所以空心圆放在 $(1,-1)$。完全约分后分母仍在 $3$ 处为零，因此竖直渐近线是 $x=3$；由 得到水平渐近线 。

找截距时不能漏掉定义域。分子 $x+1=0$ 给出 $x=-1$，它可以取，所以 $x$ 轴截距是 $(-1,0)$。$x=1$ 不是另一个零点，而是孔洞。 属于定义域，代入得到 ，所以 轴截距是 。

接下来检查正负，把零点、孔洞和渐近线位置都放到数轴上：

最后用 $G(x)=1+4/(x-3)$ 判断相对于水平渐近线的位置。$x\lt3$ 时，余项为负，图像位于 $y=1$ 下方；$$ 时，余项为正，图像位于 上方。靠近 左侧，函数向负无穷；靠近右侧，函数向正无穷。向左无限延伸，函数从 的下方趋近 ；向右无限延伸，则从上方趋近 。

把这些信息连起来：左支从 $y=1$ 下方靠近，穿过 $(-1,0)$ 后位于 $x$ 轴下方，经过 $(0,-1/3)$，在 $(1,-1)$ 缺一个点，然后向 左侧的负无穷延伸。右支位于 上方，从靠近 时的正无穷逐渐贴近 。

草图里的截距、符号表和变换应当互相吻合。例如 $(0,-1/3)$ 同时满足“位于 $(-1,1)$ 区间的函数值为负”和“在 $y=1$ 下方”。用不同线索交叉检查，能比反复描同一条曲线更快发现算错的符号。

下面的交互可以帮助比较孔洞与渐近线。观察时留意：空心圆有一个确定的纵坐标，竖直渐近线附近的输出却没有有限界限；改变参数后，要重新检查原分母的限制以及公共因子是否完全消去。

有理不等式别直接乘一个不知正负的分母

解

$$\frac{x+2}{x-3}\ge0.$$

若直接两边乘 $x-3$，却不判断它的正负，就可能漏掉不等号反向的情况。用符号表更稳：边界为 $-2,3$，三个区间的符号分别为正、负、正。$x=-2$ 使分子为零而分母非零，可以取；$x=3$ 没有定义，永远不能取。所以解集是

$$(-\infty,-2]\cup(3,+\infty).$$

有理不等式与多项式不等式用的是同一套符号分析，只是边界现在有两种身份：合法零点和不合法输入。即使题目有等号，也不能把分母为零的位置收入答案。

按图像特征构造一个简单有理函数

如果希望有一个一重零点 $2$、一条在左右两侧走向相反的竖直渐近线 $x=-1$，并让远处趋近 $3$，最简单的候选形式是

$$R(x)=3\frac{x-2}{x+1}.$$

分子的 $x-2$ 负责零点，分母的 $x+1$ 负责渐近线，同次首项系数之比 $3$ 负责水平渐近线。若还要在 $x=4$ 留一个孔洞，可以把分子分母同时乘上 $x-4$，并按新分式的自然定义域定义函数。这个孔洞高度由原候选式得到 。

我们构造的是符合要求的一个简单模型，并非声称这些特征能唯一确定所有有理函数。和多项式一样，图像提供哪些条件，就只能据此确定哪些信息。

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从函数结构回到变化问题

公式允许的输入，未必都是模型允许的输入

用一张 $12$ 厘米乘 $18$ 厘米的长方形卡纸做无盖纸盒，四角各剪去边长为 $t$ 厘米的小正方形，再把四边折起。盒高是 $t$，底面长宽分别少了两段 $t$，因此体积为

$$V(t)=t(12-2t)(18-2t)=4t^3-60t^2+216t.$$

看展开式，它是右端最终向上的三次函数。但这个“右端”不能直接解释成“越剪越大，盒子体积最终无限增加”。要折成真的盒子，三条边都必须为正，所以 $0\lt t\lt6$。$t=9$ 虽然也是公式的零点，却不对应另一个能折起来的盒子；那时底面有一条边早已变成负数。

在合法区间内算几个值：$V(1)=160$，$V(2)=224$，$V(2.5)=227.5$，$V(3)=216$，单位都是立方厘米。它们提示体积先增后减，最佳剪角大小值得在 到 厘米附近继续寻找。将图像窗口限制在合法区间，细看最高处，可以估计 在 厘米附近时体积约为 立方厘米。

这是数值观察得到的近似判断，不是靠四个取样值证明了精确最大值。一般高次多项式的最值位置，需要更细的数值方法，或后面微积分中的工具。这里先完成更基础的一步：知道怎样从尺寸写出函数，怎样筛掉不合法输入，以及画图窗口应该覆盖哪一段。

平均成本为什么会逐渐贴近一个数

有理函数的水平渐近线并不只是一条画图辅助线。设一次活动的固定准备费用是 $240$ 元，每位参加者另需 $18$ 元材料费。若有 $n$ 人参加，平均每人成本为

$$C(n)=\frac{240+18n}{n}=18+\frac{240}{n},\qquad n=1,2,3,\ldots.$$

$10$ 人时平均每人 $42$ 元，$20$ 人时是 $30$ 元，$40$ 人时是 $24$ 元。人数增加时，固定费用被更多人分摊，平均成本趋近 $18$ 元。这里 $y=18$ 恰好对应每人的材料费； 则清楚地告诉我们还高出多少。实际人数是正整数，连续曲线是帮助理解趋势的延伸。

图像上的孔洞则把我们带到另一个问题：如果某一点没有输出，能不能仍然描述它附近的输出？例如 $(x^2-1)/(x-1)$ 在 $1$ 处没有定义，其他位置却等于 $x+1$，附近高度趋近 $2$。等到极限一章，我们会正式区分“这一点的值”和“靠近这一点时的趋势”。现在不用提前搬出严格定义，先把孔洞与无界延伸看清楚。

本章的增长主要由 $x,x^2,x^3$ 这些固定幂次组织。接下来换一种变化：如果每过同样长的时间，数量都乘同一个倍数，会得到什么函数？$x^3$ 是输入自己乘三次，$3^x$ 却是固定的 随输入改变乘法次数。这个位置一换，就进入下一章的指数函数；上一章学过的反函数，也会在那里重新出现。

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练习：让不同的判断互相核对

配方、截距与实际范围

将 $f(x)=-2x^2+12x-10$ 写成顶点式，求顶点、值域和实零点。若只讨论 $0\le x\le2$，最大值还是抛物线顶点的高度吗？

显示答案

配方得到 $f(x)=-2(x-3)^2+8$，所以顶点是 $(3,8)$，在全体实数上的值域为 $(-\infty,8]$。令函数等于 ，得到 ，实零点为 。也可分解为 核对。

三重根也会穿轴

分析 $p(x)=-2(x+1)^3(x-2)^2$ 的次数、端行为、各零点处的动作和正负区间，并求 $p(x)\ge0$ 的解集。

显示答案

次数为 $5$，首项系数为 $-2$，所以左端向上、右端向下。$x=-1$ 为三重根，图像在变平的同时穿过 $x$ 轴；$x=2$ 为二重根，图像从下方接触轴并返回下方。

在排除零点的区间内，$(x-2)^2$ 为正，所以符号由 决定： 时为正， 且 时为负。两个零点本身都满足等号，故解集为 。代入 得 ，与中间区间为负相符。

用除法接力求根

用余数定理判断 $x-2$ 是否是 $p(x)=x^3-2x^2-5x+10$ 的因式，再求全部实零点，并说明有理根候选名单为什么不足以直接给出全部答案。

显示答案

代入 $2$，得到 $8-8-10+10=0$，因此 $x-2$ 是因式。综合除法使用 $2$ 和系数 $1,$，底行得到 ，所以商为 ，余数为 。

公共因子消去后，还剩下什么

分析

$$R(x)=\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x+2)^2}$$

的定义域、孔洞、竖直渐近线、水平渐近线和实零点。

显示答案

原分母要求 $x\ne1,-2$。完全约分后得到 $R(x)=(x-1)/(x+2)$，仍保留这两个限制。

在 处，约分后的分母为 ，因此这是孔洞，位置为 。在 处，分母仍然为零，分子为 ，因此 是竖直渐近线；它不会因为曾经约掉过一个 就变成孔洞。

找斜渐近线，也检查能否相交

求

$$S(x)=\frac{x^3+x^2+2x}{x^2+1}$$

的斜渐近线，并判断图像是否与它相交。这个函数有没有竖直渐近线？

显示答案

长除法先用 $x$ 消去 $x^3$，剩下 $x^2+x$；再用 $1$ 消去 $x^2$，余式为 。因此

约分之后，不等式还要记住谁被排除

解不等式

$$\frac{(x-2)^2(x+1)}{(x-2)(x-4)}\le0.$$

显示答案

先由原分母记录 $x\ne2,4$。约分后分析 $(x-2)(x+1)/(x-4)$，关键位置为 $$。从右向左读符号，四个区间 的符号依次为负、正、负、正。