极坐标、参数方程与向量入口

上一章里，我们用三角恒等式把同一个量换成不同的表达式。现在把目光从算式挪回平面：单位圆上的那个点，为什么一定要待在半径为 $1$ 的圆上？如果它一边转动，一边离圆心越来越远，我们该怎样写下它的位置？如果想知道它两秒以后在哪里，只给一张曲线图又够不够？

这些问题会把我们带到三种很自然的描述方式。极坐标记录“朝哪里、离中心多远”；参数方程记录“轮到这个时刻，点在哪里”；向量记录“从这里到那里，位置改变了多少”。它们都接在熟悉的函数和三角函数后面，我们不必重新学一套平面几何，只需要让已有工具回答更多问题。

这一章可以一直想着同一个画面：平面上有一个正在移动的点。我们先给它定位，再记录它的行程，最后描述它的移动。

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从单位圆走到极坐标

假设你和朋友站在广场中央，约好正东方向是起始方向。你说“向东走 $3$ 米，再向北走 $3$ 米”，这是直角坐标的口吻。你也可以说“朝东北方向，直着走 $3\sqrt2$ 米”。两条指令的走法不同，终点却相同。

极坐标采用后面这种定位方式。先固定一个中心，叫作极点，通常与直角坐标的原点重合；再固定一条起始射线，叫作极轴，通常沿正 $x$ 轴。然后用 $(r,\theta)$ 记录一个点：$\theta$ 从极轴开始量，逆时针为正、顺时针为负；$r$ 告诉我们沿这个方向怎样走。本章没有特别注明时，角度用弧度。

比如极坐标 $(3,\pi/2)$ 对应正上方的点 $(0,3)$。读 $(3,\pi/2)$ 时，第二个数是转过的角，不能把它当成“向上走 $\pi/2$ 个单位”。虽然操作时先认方向、再走距离，写坐标时仍然把 $r$ 放在前面。

负半径不是负距离

先看 $(3,\pi/6)$：找到与正 $x$ 轴成 $30^\circ$ 的射线，向前走 $3$ 个单位。现在把第一个数改成 $-3$，得到 $(-3,\pi \mathrm{/}6$。方向射线仍然是刚才那条，但我们沿它的走 个单位，点就落进第三象限。

因此，允许负值时，$r$ 是带符号的径向坐标；点到极点的实际距离是 $|r|$。这和数轴上的 $-3$ 很像：它没有制造“负的长度”，它把方向也编码进了数字。

负角和负半径也不能混为一谈。$(3,-\pi/6)$ 是从正 $x$ 轴顺时针转 $30^\circ$，再向前走，点在第四象限；$(-3,\pi/6)$ 则在第三象限。一个改了转动方向，一个改了沿射线前进的方向。

一个点为什么能有很多地址

把方向角增加 $2\pi$，只是多转一圈，最后指向同一条射线。所以 $(3,\pi/6)$ 和 $(3,13\pi/6)$ 定位到同一点。如果先把射线掉头，再把 $r$ 变成负数，相当于反了两次方向，也会回来：$(3,\pi/6)$ 与 表示同一点。

更一般地，若某个非原点的表示是 $(r,\theta)$，它的所有极坐标表示可以写成两类：

$$(r,\theta+2k\pi),\qquad (-r,\theta+(2k+1)\pi),\qquad k\in\mathbb Z.$$

这里说的是“这些坐标对表示同一个几何点”，不是说坐标对里的两个数字分别相等。原点另算：所有 $(0,\theta)$ 都在原点，$\theta$ 可以取任意实数。原点本身没有一个确定的方向角。

在下面的实验台中，可以先让角度保持不变，逐渐把 $r$ 从正数调到零，再调成负数。点会穿过原点，沿同一条直线走向另一侧。然后固定正半径改变角度，比较这两种变化有什么不同。

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两套坐标怎样互相翻译

单位圆上角 $\theta$ 对应的点是 $(\cos\theta,\sin\theta)$，这件事我们已经很熟悉。如果把这两个坐标同时乘以 $3$，点到原点的距离就放大到 $3$，方向不变；同时乘以负数，则还会翻到原点另一侧。于是极坐标的转换公式可以直接从单位圆长出来：

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.$$

这个解释不用把角硬塞进第一象限的直角三角形，因此对负角、大于一圈的角、负半径都适用。把两式平方后相加，再用上一章的勾股恒等式，就得到：

$$x^2+y^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2.$$

例题：算完以后，让象限再检查一次

把极坐标 $(-4,\pi/3)$ 转为直角坐标，再找一个正半径的表示。

反过来，从直角坐标找极坐标时，通常先选正半径：

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

接下来要找方向。当 $x\ne0$ 时，$\tan\theta=y/x$ 很好用，但它只告诉我们斜率。第一、第三象限的斜率可以相同，第二、第四象限也一样。用反正切得到一个角以后，必须回到原来的 $x,y$ 符号看象限。

比如点 $(-2,2\sqrt3)$ 的距离是 $4$，斜率为 $-\sqrt3$。计算器给出的 在第四象限，而原来的点位于第二象限，所以应取 。可以再检查 、，两项都对才算完成。

如果 $x=0$，不要去算 $y/x$：$y>0$ 就是正上方，选 $\pi/2$；$y<0$ 就是正下方，选 。如果 ，距离是零，角度任意。也可以统一用 、 检查方向，但这组检查要求 。

方程互换也要保留条件

点能互换，整条曲线也能互换。比如直线 $x=3$ 写成极坐标就是 $r\cos\theta=3$。若要解出 $r$，得到：

$$r=\frac{3}{\cos\theta},\qquad \cos\theta\ne0.$$

为什么会出现一个分母不能为零的条件？当射线朝正上方或正下方时，它根本不会碰到右侧的直线 $x=3$，所以那个方向找不到有限的 $r$。代数上的限制在图上有很具体的意思。

再看 $r=6\sin\theta$。两边乘以 $r$，可以把它改写为：

$$r^2=6r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2=6y \quad\Longrightarrow\quad x^2+(y-3)^2=9.$$

这是一条圆心在 $(0,3)$、半径为 $3$ 的圆。方程前面的 $6$ 是从极点到最远点的距离，也是这个圆的直径，不能直接读成圆的半径。

这次乘以 $r$ 有没有多出原点？我们要检查：原方程在 $\theta=0$ 时就给出 $r=0$，原点本来在曲线上，所以这里没有增加新的几何点。反向转换若要除以 $r$，也应先单独处理 $r=0$。前面解方程时养成的“乘除、平方以后回头查条件”，换到极坐标仍然要用。

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让角度带着我们画出曲线

看到 $r=f(\theta)$，可以想成一条会转动的射线，射线上的点按规则靠近或离开极点。但当 $r<0$ 时，点会落到射线背面，所以这里变化的是带符号的 $r$，真实距离仍是 $|r|$。

画图时先找 $r=0$ 的角，知道点何时经过原点；再看 $|r|$ 能到多大；接着选几个关键角，把 $(r,\theta)$ 落成平面上的点，按 $\theta$ 增大的顺序描出来。若某段没有实数 $r$，那一段就没有点，不能隔着空白硬连。曲线的样子是这些运动规则的结果，不是要额外背的一张图谱。

圆：半径固定的圆，与半径变化的圆

$r=2$ 很直观：方向转一整圈，点始终离原点 $2$ 个单位，于是得到原点为圆心的圆。$r=4\cos\theta$ 也会画圆，但这个圆的圆心已经移到了右侧。先不用认公式，跟着算几个点：

注意倒数第二行：角度指向第二象限，负半径把点放到了第四象限。点从右端经过上方到原点，又经过下方回到右端，$0\le\theta\le\pi$ 已经走完一圈。再让角度从 $\pi$ 增加到 $2\pi$，会把同一个圆重走一遍。

代数也能核对这幅图：$r^2=4r\cos\theta$ 给出 $x^2+y^2=4x$，配方后是 。因此圆心是 ，半径是 ，与表格中的上下左右四个点完全吻合。

心形线：转着转着，点收回了原点

现在看 $r=1+\cos\theta$。因为 $-1\le\cos\theta\le1$，所以 $0\le r\le2$，这一条曲线不需要负半径。从 出发，，点在 ；转到 时，，点在 ；转到 时，，点收回原点。

接着从 $\pi$ 转到 $2\pi$，点经过下半平面，再回到 $(2,0)$。为了看清它确实伸到左边，可以补算 $\theta=2\pi/3$：这时 $r=1/2$，点是 。因此图形不是只在右半平面的一团；它会稍微向左鼓出，然后在原点形成尖点。这条曲线叫，名称只是帮我们记住形状。

它关于横轴对称，因为 $\cos(-\theta)=\cos\theta$：把方向从 $\theta$ 换成 $-\theta$，半径不变，点恰好翻到横轴另一边。这就是上一章的奇偶恒等式在画图中发挥作用。

若把式子改成 $r=1-\cos\theta$，最远点落在左边；改成 $r=1+\sin\theta$，最远点落在上方。判断朝向时，代入一个让三角函数达到最大值的角，比凭名字猜可靠。

玫瑰线：花瓣怎样一片一片出现

看 $r=2\sin(3\theta)$。从 $\theta=0$ 到 $\pi/3$，$3\theta$ 从 $0$ 走到 ，正弦先从零升到 ，再落回零。于是点从原点出发，伸到最远，再返回原点，画出一片花瓣。

花瓣的尖端在角 $\pi/6$、距离 $2$ 的位置，直角坐标是 $(\sqrt3,1)$。每次算出 $r$，都要在上画点；如果只把表中 的起落画在普通坐标纸上，得到的只是正弦曲线的一段，还不是这片花瓣。

接下来 $\pi/3<\theta<2\pi/3$ 时，$r$ 变成负数。在中间的 $\theta=\pi/2$，$r=-2$，点落到正下方 ，于是第二片花瓣朝下。再从 走到 ， 又为正，第三片花瓣的尖端在 。三片都画出来了。

为什么 $\pi$ 到 $2\pi$ 没有再多出三片？因为：

$$r(\theta+\pi)=2\sin(3\theta+3\pi)=-r(\theta).$$

角度加上 $\pi$，同时 $r$ 变号，这正是同一点的另一种表示，后半段是在重走已有花瓣。

对 $r=a\sin(n\theta)$ 或 $r=a\cos(n\theta)$，当 $a\ne0$、 为正整数时，花瓣最远距离是 ；奇数 对应 片，偶数 对应 片。偶数情况下，角加 时 不变，点会去到对面而不会自动回到同一点。例如 有四片花瓣，尖端分别沿 。这个奇偶规律有适用形式，不能看到任意式子里有一个 就套用。

把刚才两条曲线放在一起，重点看公式怎样安排半径。$r=1+\cos\theta$ 在 $\theta=\pi$ 时收回原点；$r=2\sin3\theta$ 则在转动中反复归零、伸出，最终形成三瓣。

画面的作用是帮助认出整体形状。真正判断一处点在哪里，仍应代入角度，并在半径为负时沿反方向取点；不能只凭“像心形”或“像花瓣”就认定方程。

螺线、蚶线和双纽线也可以照着规则读

$r=0.2\theta$ 若规定 $\theta\ge0$，就是一边逆时针转、一边离原点越来越远。转过一圈后，半径增加 $0.2\cdot2\pi=0.4\pi$；再转一圈，又增加同样的量。因此它不会像圆那样闭合，而会形成阿基米德螺线。如果只允许 $0\le\theta\le4\pi$，画出的就是两圈，不能默认继续无限延伸。

心形线属于更大的蚶线家族，常见形式是 $r=a+b\cos\theta$，其中 $a,b>0$。先比较 $a$ 和 $b$ 就能看出一个关键变化：若 $a>b$， 始终为正，不经过原点；若 ，最小值恰好为零，得到心形线；若 ，有一段 变负，点穿过原点后在另一侧画出内环。比如 在 与 经过原点，在两者之间 ； 时点是 ，也就是直角坐标 ，它在右侧的内环上。

在 $a>b$ 的情况下，还可以细分：$1<a/b<2$ 时轮廓有凹陷，$a/b\ge2$ 时没有这种凹陷。现在不用记每一种外形的名字，先把“会不会经过原点、会不会出现负半径”看明白，就已经抓到了描图的主要依据。

另一种像横放的数字 $8$ 的曲线叫双纽线。例如 $r^2=9\cos(2\theta)$，要求右边非负，才有实数半径。在 $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$，选 ，就得到右侧的一瓣； 时距离为 ，到两端时收回原点。再用关于原点的对称性得到左侧一瓣。若 ，右边等于 ，此时不存在实数 ，绝不能写成 ，因为 仍是正数。

对称性是省力工具，不能替代描点

若把 $\theta$ 换成 $-\theta$ 后方程不变，就能确认图像关于横轴对称；把 $\theta$ 换成 $\pi-\theta$ 后不变，能确认关于纵轴对称；把 $r$ 换成 $-r$ 后仍等价，则能确认关于原点对称。这些替换分别对应我们在平面上翻折点的位置。

通过测试可以确认对称性，没通过某一个测试却不一定说明没有对称性，因为同一个点还有别的极坐标表示。例如圆 $r=4\cos\theta$ 关于横轴对称很容易看出，但不能因此再猜它关于原点也对称：右端 $(4,0)$ 的相反点 $(-4,0)$ 根本不在圆上。最可靠的落点仍然是具体坐标。

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求交点时，别把同一点的不同地址漏掉

直角坐标里，两条曲线相交，就是它们含有同一对 $(x,y)$。极坐标里也一样，但表示同一点的 $(r,\theta)$ 可以不同，因此把两条 $r$ 表达式直接相等，只是寻找交点的一种途径。

以 $r=1+\cos\theta$ 和 $r=1-\cos\theta$ 为例。令它们在同一个角度上半径相等：

$$1+\cos\theta=1-\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=0.$$

在一圈内得到 $\theta=\pi/2,3\pi/2$，此时 $r=1$，所以交点有 $(0,1)$ 和 $(0,-1)$。如果现在停笔，就漏了一个。

第一条曲线在 $\theta=\pi$ 时到达原点，第二条在 $\theta=0$ 时到达原点。它们通过原点所用的角不一样，但原点是同一个几何位置，所以原点也是交点。这两条曲线一共有三个交点。

为什么这里可以确认没有其他交点？因为两式的 $r$ 都非负。对于非原点，只要统一到 $0\le\theta<2\pi$ 的正半径表示，角和半径就唯一，所以非原点交点已经由刚才的方程全部找到。

若曲线允许负半径，还要考虑“一个用正 $r$ 表示，另一个用负 $r$ 表示”的情况。遇到复杂图形，可以改用 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 检查候选点。最后按几何位置去重，而不是把一串不同角度都算成不同交点。

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用参数方程给路径添上顺序

极坐标告诉我们怎样定位转动的点。接着想一个更直接的问题：如果每隔一秒记一下它的位置，该把时间写在哪里？

参数方程让一个共同的输入 $t$ 同时决定两个坐标：

$$x=f(t),\qquad y=g(t),\qquad t\in I.$$

这里的 $I$ 是允许的参数范围。每给一个 $t$，得到一对 $(x,y)$，把这些点按 $t$ 增大的顺序走过，就得到一条有顺序的路径。$t$ 可以是时间，也可以是角度或进度；只有题目把它解释为时间时，我们才把移动快慢称作速度或速率。

注意，$x(t)$ 和 $y(t)$ 都是 $t$ 的函数，不代表 $y$ 一定是 $x$ 的函数。圆上同一个横坐标可以对应上下两个点，但每个时刻仍然可以只有一个位置，完全没有矛盾。

如果按相等时间间隔记录位置，再沿曲线比较相邻记录之间走过的弧段，弧段较长，就表示那段时间的平均速率较大。路径除了形状，还可以有不同的时间安排。下面再给一个具体方程，逐点确定它的走法。

椭圆是被横向、纵向分别拉伸的单位圆

考虑：

$$x=3\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad 0\le t\le2\pi.$$

单位圆的横坐标乘 $3$，纵坐标乘 $2$，得到左右较长的椭圆。顺着四个熟悉的角走一遍：$t=0$ 时在 $(3,0)$，$t=\pi/2$ 时在 $(0,2$， 时在 ， 时在 ，最后回到 。因此它从右端出发，逆时针走完一圈。

把 $\cos t=x/3$、$\sin t=y/2$ 放进勾股恒等式，就消去了参数：

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$$

这张“路径地图”保留了形状，但不再告诉你从哪里出发、朝哪边走、走几圈。若原来的参数范围只有 $0\le t\le\pi$，实际只有上半个椭圆；若范围是 $0\le t\le4\pi$，则同一个椭圆走了两遍。消参得到的方程一样，过程却不同。

下面的观察器可以把参数取值与平面上的点联系起来。先留意起点，再看参数增加时的方向。观察轨迹时，也要把“最后画出了什么形状”和“动点怎样画出它”分别说清楚。

例题：消参以后，把范围和方向带回来

分析 $x=t^2,\ y=t+1$，其中 $-2\le t\le1$。

平方、根式、指数与对数消参也有同样的范围问题。例如 $x=\sqrt t,\ y=t+2$ 的共同定义域是 $t\ge0$，消参得到 ，还必须保留 ，否则会多出左半边。若 ， 可以是任意实数，消参得到 ，而 已经由指数的值域决定了。先前学过的定义域，现在变成了确定轨迹的一部分。

极坐标曲线也能装进参数方程

极坐标方程 $r=f(\theta)$ 已经让角度控制了径向坐标。只要把角度当成参数 $t$，再使用坐标转换，就得到：

$$x=f(t)\cos t,\qquad y=f(t)\sin t.$$

比如螺线 $r=0.2\theta$、$0\le\theta\le4\pi$，可以写成 $x=0.2t\cos t,y=0.2t\sin t$、。 时在原点， 时在 ， 时在 ，到 时在 。它转过两圈，但每次回到正横轴，都比上一次离中心更远。

这种转换没有额外要求 $f(t)$ 非负。若径向坐标为负，横纵坐标会一起变号，仍然把点放到对应射线的背面。参数范围也照原样保留，不能因为把字母换成了 $t$，就把曲线延长到所有实数。

同一个点可以经过不止一次

再把参数方程换成 $x=t^2,\ y=t^4$，取 $-1\le t\le1$。消参得到 $$，并且 。但当 从 增到 ，点由 走到 ；当 从 增到 ，它沿原路回到 。除原点外，这一段上的每个点都经过两次。

这说明一个范围条件加一条曲线方程，仍不一定能讲完参数方程的故事。若问题问“是否折返、是否重走、是否相遇”，必须看参数本身。两个人的路径有交点，也不等于他们会碰面；碰面还要求在同一时刻到达那个点。

例如甲的位置为 $(t,0)$，乙的位置为 $(0,t-1)$，都从 $t=0$ 开始记录。甲的路径在横轴上，乙的路径在纵轴上，两条路径在原点相交。但甲在 $t=0$ 到原点，乙在 $$ 才到原点，他们没有相遇。若要直接验算碰面，需要同一时刻同时满足横坐标相等与纵坐标相等；这里分别要求 和 ，不能同时成立。

同一路径，可以走得不一样快

设 $t$ 用秒计。点甲按 $x=2\cos t,\ y=2\sin t$ 运动，点乙按 $x=2\cos(2t),\ y=2\sin(2t)$ 运动。两者都在半径为 的圆上，从右端开始逆时针走，但甲每秒转 弧度，乙每秒转 弧度。

因为圆弧长是“半径乘弧度”，甲每秒走 $2$ 个长度单位，乙每秒走 $4$ 个长度单位。甲走一圈要 $2\pi$ 秒，乙只要 $\pi$ 秒。在同一个 $0\le t\le2\pi$ 的时间范围内，甲走一圈，乙走两圈。这个比较完全可以用弧长来做，还不需要求导。

若写成 $x=2\cos(t^2),\ y=2\sin(t^2)$ 并取 $t\ge0$，第一个一秒内转过 弧度，第二个一秒内转过 弧度。它也在同一个圆上，但越转越快。反过来，椭圆 虽然参数角匀速增加，沿椭圆的实际速率并不恒定：圆被不同倍数拉伸后，不同方向的一小段路会被拉长不同程度。

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从起点和终点写出运动，再看一次抛物线

前面是给参数方程，让我们读出路径。反过来，如果已知运动要求，我们也能自己写方程。

一个点要从 $A(1,-2)$ 沿直线匀速走到 $B(7,2)$，用时 $2$ 秒。横坐标总共增加 $6$，所以每秒增加 $3$；纵坐标总共增加 $4$，所以每秒增加 。位置就是：

$$x=1+3t,\qquad y=-2+2t,\qquad 0\le t\le2.$$

把 $t=0$ 与 $t=2$ 代回去，恰好是起点和终点；每隔相同时间，两个坐标都改变相同的量，符合直线匀速运动。这种“起点加上已经走过的变化量”，马上会变成向量的写法。

如果只给函数图像 $y=f(x)$，最简单的参数化是 $x=t,y=f(t)$，把原定义域作为 $t$ 的范围。想从右往左走，可以改成 $x=-t,y=f(-t)$，同时把参数范围正确对应过去。参数化不唯一，但所走的点必须与题目要求一致。

抛体模型把横向与竖向分别记录

向斜上方抛出一个物体，它一边往前，一边先上升后下降。这里采用一个明确的理想模型：忽略空气阻力，重力加速度 $g$ 恒定，横向没有加速度；物体从 $(0,h)$ 出发，地面是 $y=0$。初速度大小为 $v_0$，与正水平轴的夹角为 $\alpha$。

单位圆已经告诉我们怎样拆开方向：初速度的水平分量是 $v_0\cos\alpha$，竖直分量是 $v_0\sin\alpha$。于是位置写成：

$$x=(v_0\cos\alpha)t,$$ $$y=h+(v_0\sin\alpha)t-\frac12gt^2.$$

横向是“每秒向前相同距离”；竖向若不受重力，本来也会按初速度一直上升，但重力让位置比这个直线延伸的预测低了 $gt^2/2$。这里采用匀加速运动的位置规律，不要求你现在用微积分证明它。计算的单位必须统一，例如位置用米、时间用秒，则 $g$ 用米每二次方秒。

例题：最高点和落地时刻，都能用代数找

设物体从离地 $1.8$ 米处抛出，初速度的水平分量为 $6$ 米每秒、竖直分量为 $8$ 米每秒。为便于练习，取 $g=10$ 米每二次方秒。求最高高度、落地时间和水平射程。

消去 $t=x/6$，还可以写成 $y=1.8+\frac43x-\frac5{36}x^2$，并保留 。这个式子适合问“飞到某个水平位置时有多高”，参数方程则更适合问“某一秒在哪里”。同一段飞行，问题不同，方便的表达也不同。

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向量把一次移动看成一个整体

现在回到从 $A(1,-2)$ 到 $B(7,2)$ 的移动。我们关心的变化是“横向增加 $6$、纵向增加 $4$”，可以写成位移向量：

$$\overrightarrow{AB}=\langle6,4\rangle.$$

尖括号提醒我们，这是一段移动的分量，而不是必须从原点出发的某个点。把这支箭头平移到别的位置，水平变化和竖直变化没有变，它表示的向量也就没有变。本章讨论的这种自由向量，可以平移，不能任意旋转后还叫同一个向量。

一般地，从 $A(x_1,y_1)$ 到 $B(x_2,y_2)$：

$$\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1,\ y_2-y_1\rangle.$$

顺序是“终点减起点”。反向走时，$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$。如果起点恰好是原点，那么指向 的向量 叫作这个点的位置向量。位置和位移可以用相似数字记录，但它们回答的问题不同。

长度和方向，还是熟悉的勾股与单位圆

向量 $\vec v=\langle a,b\rangle$ 的模，也就是长度，为：

$$\lVert\vec v\rVert=\sqrt{a^2+b^2}.$$

例如 $\langle6,4\rangle$ 的长度是 $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。如果沿直线从起点走到终点，这也是路程；若先横着走 再竖着走 ，路程是 ，但位移仍是 。因此位移的长度不能总当成实际走过的路程。

对非零向量，若方向角 $\theta$ 从正 $x$ 轴逆时针量起，就有：

$$\vec v=\lVert\vec v\rVert\langle\cos\theta,\sin\theta\rangle.$$

比如长度为 $8$、方向角为 $5\pi/6$ 的向量，分量是 $\langle-4\sqrt3,4\rangle$。反过来由分量求方向，仍然要检查象限；$\tan \theta =b$ 只适用于 ，也仍然不能单凭反正切值决定象限。

$\vec0=\langle0,0\rangle$ 是零向量，模为零，没有确定的方向。我们可以把它想成“没有发生位移”，却不能硬给它指定一个方向角，再把角度公式照常套上去。

加减与数乘，就是把移动指令合并

先走 $\vec u=\langle4,-1\rangle$，再走 $\vec v=\langle-2,3\rangle$，横向总变化是 ，纵向总变化是 ，所以：

$$\vec u+\vec v=\langle2,2\rangle.$$

画图时把第二支箭头的起点放在第一支的终点，总位移从最初的起点指向最后的终点。这就是首尾相接的加法。把两支箭头画在同一起点，也可以用它们围成的平行四边形对角线表示和向量。

减法 $\vec u-\vec v$ 是 $\vec{u}+(-\vec{v})$，即先把 反向，再相加。本例中得到 。如果两支箭头从同一起点画出， 也恰好是从 的终点指向 的终点的向量。

一般规则因此很容易记住：

$$\langle a,b\rangle+\langle c,d\rangle=\langle a+c,b+d\rangle,$$ $$\langle a,b\rangle-\langle c,d\rangle=\langle a-c,b-d\rangle,$$ $$k\langle a,b\rangle=\langle ka,kb\rangle.$$

数乘 $k\vec v$ 把模变成 $|k|\lVert\vec v\rVert$。 时方向保持， 时方向反转， 时结果是零向量。比如 ，长度加倍并且掉头。不能把负的倍数理解成“长度变负”。

也不要把向量长度直接相加来求合位移。先向东走 $3$、再向北走 $4$，合位移长度是 $5$，不是 $7$；若走出去又原路返回，合位移甚至是零。分量先相加，再求长度，顺序不能交换。

单位向量：只留下方向

有时我们已经知道方向，希望换一个指定的长度。最方便的办法是先把原向量缩到长度 $1$。对非零向量 $\vec v$，定义同方向的单位向量：

$$\widehat{\vec v}=\frac{\vec v}{\lVert\vec v\rVert}.$$

比如 $\vec v=\langle-8,6\rangle$，模是 $10$，所以同方向单位向量为 $\langle-4/5,3/5\rangle$。它的模确实是 。如果想要同方向、长度为 的向量，再乘 ，得到 。零向量不能这样操作，因为不能除以零，而且它本来没有可保留的方向。

两个常用单位向量是 $\vec i=\langle1,0\rangle$ 与 $\vec j=\langle0,1\rangle$。于是 ，只是把横向和竖向分开写。这里的 是方向向量，不是复数里的虚数单位。

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点积让我们比较两个方向

向量相加得到一个向量，乘上一个数也得到向量。接下来这项运算有所不同：对 $\vec u=\langle a,b\rangle$、$\vec v=\langle c,d\rangle$，把同位置分量相乘再相加，得到：

$$\vec u\cdot\vec v=ac+bd.$$

这叫点积，结果是一个数。先别把它当成凭空增加的算法，我们可以用上一章的余弦差角公式看出它为什么和方向有关。

设两个非零向量的方向角分别为 $\alpha,\beta$，模分别为 $U,V$。它们可以写成 $U\langle\cos\alpha,\sin\alpha\rangle$ 与 $V\langle\cos\beta,\sin\beta\rangle$。代入点积的分量算法：

$$\begin{aligned} \vec u\cdot\vec v &=UV(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\ &=UV\cos(\alpha-\beta). \end{aligned}$$

把两支箭头放在同一起点，它们之间取 $0\le\phi\le\pi$ 的夹角，余弦值就是上式里的余弦值。因此：

$$\vec u\cdot\vec v=\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\cos\phi,$$ $$\phi=\arccos\left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert}\right).$$

这个公式要求两个向量都非零。若夹角是锐角，点积为正；是直角，点积为零；是钝角，点积为负。同方向和反方向对应的夹角分别是 $0$ 与 $\pi$。分子、分母里既有方向又有长度，除掉长度以后，剩下的正是余弦。

例题：不用先求两支箭头各自的方向角

求 $\vec u=\langle1,2\rangle$ 与 $\vec v=\langle-1,3\rangle$ 的夹角。

先算点积：$\vec u\cdot\vec v=1\cdot(-1)+2\cdot3=5$。两个模分别是 和 ，所以：

$$\cos\phi=\frac5{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt2}.$$

夹角取在 $[0,\pi]$，得到 $\phi=\pi/4$，也就是 $45^\circ$。两支箭头都向上，一支略向右、一支略向左，得到一个锐角，与图形直觉相符。

再看 $\vec w=\langle-2,1\rangle$，它与 $\vec u$ 的点积是 ，所以两者垂直。这里不用斜率，也不用担心竖直方向的斜率不存在。

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把位置、位移与速度放回同一幅画面

有了向量，再看 $x=1+3t,y=-2+2t$，我们可以把位置压成一行：

$$\vec p(t)=\langle1,-2\rangle+t\langle3,2\rangle.$$

它读起来正是“初始位置，加上每秒的位移乘已经过的秒数”。这里 $\langle3,2\rangle$ 是恒定的速度向量，速率是它的模 $\sqrt{13}$。位置向量回答“在哪里”，速度向量回答“每秒向哪里改变多少”，两者不能因为都长得像尖括号就混用。

这也解释了船和水流为什么要用向量相加。设向东是正 $x$、向北是正 $y$。船相对水每秒向北走 $4$ 米，水流相对岸每秒向东走 $3$ 米，船相对岸的速度就是：

$$\vec v_{\text{船对岸}} =\vec v_{\text{船对水}}+\vec v_{\text{水对岸}} =\langle0,4\rangle+\langle3,0\rangle =\langle3,4\rangle.$$

相对岸的速率是 $5$ 米每秒，方向为北偏东 $\arctan(3/4)\approx36.87^\circ$，并不是 $3+4=7$ 米每秒。描述方向时先说明“从东起算”还是“从北起算”，否则同一支箭头会对应不同的角度数字。

曲线运动时，任意两个时刻 $t_1<t_2$ 的位移仍然容易算：

$$\Delta\vec p=\vec p(t_2)-\vec p(t_1),\qquad \vec v_{\text{平均}}=\frac{\Delta\vec p}{t_2-t_1}.$$

这里是平均速度，方向沿连接起终点的弦。例如在圆 $x=2\cos t,y=2\sin t$ 上，从 $t=0$ 到 $t=\pi/2$，位置从 $$ 到 ，位移是 ，平均速度是 。实际走过的是四分之一圆弧，路程为 ，平均速率为 ；平均速度的模却是 。弧长与弦长不同，两个“平均”因此也不同。

如果想问某个瞬间的速度，就要把比较位置的时间间隔缩短，观察这些平均速度怎样变化。在光滑运动且瞬时速度非零的地方，速度方向沿曲线的切线。这句话先作为几何直觉记住；严格地把“缩短间隔”变成计算，要等后面的极限与导数。

现在，三种语言已经合起来了：固定 $r=2$ 是一个圆；选 $\theta=t$ 就得到 $x=2\cos t,y=2\sin t$ 的具体运动；比较两个时刻的位置，便得到位移向量。每一步都加上了前一步没有记录的信息。

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自己走一遍：六个练习

负半径与方向角

把 $(-6,5\pi/6)$ 转为直角坐标，并写出满足 $r>0$、$0\le\theta<2\pi$ 的极坐标表示。原点能按这个限制表示吗？

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横坐标为 $x=-6\cos(5\pi/6)=3\sqrt3$，纵坐标为 $y=-6\sin (5\pi \mathrm{/}6)=-3$，所以点在第四象限。把半径改成正数，同时将角加上 ，得到 。所有其他表示可在这个角上增加整数圈，或再反转半径与方向。原点不能满足 ，它必须取 ，角度可以任意选择；这是标准化非原点坐标时需要单独处理的例外。

看圆，也检查原点

把 $r=5\sin\theta$ 写成直角坐标方程，给出圆心和半径，并说明 $0\le\theta\le\pi$ 时怎样走过这个圆。

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两边乘以 $r$，得到 $r^2=5r\sin\theta$，所以 $x^2+y^2=5y$。配方后为 ，圆心为 ，半径为 。原方程在 与 都给出原点，因此乘以 没有额外增加这个点。 依次对应 ，点从圆的最低点开始，先经过右侧，再经过最高点和左侧，逆时针走一圈。

相同角度之外的交点

求 $r=1+\sin\theta$ 与 $r=1-\sin\theta$ 的全部几何交点。

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在同一角度上令半径相等，得到 $\sin\theta=0$。一圈内 $\theta=0,\pi$，两式的半径都是 $1$，对应直角坐标 $(1,0),(-1,0)$。第一条曲线在 时经过原点，第二条在 时经过原点，所以还要加上 。两式的半径始终非负，非原点在标准正半径坐标下表示唯一，因此没有其他交点，共三个。

消参不能扩大路径

给出 $x=2\cos t,y=3\sin t$，$\pi/2\le t\le\pi$。求消参后的方程、实际走过的部分和方向。若把 $t$ 的范围改成 ，会发生什么？

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用 $\cos t=x/2$、$\sin t=y/3$ 代入勾股恒等式，得到 $x^2/4+y^2/9=1$。原参数范围内 、，因此只走第二象限的一段椭圆，包含端点；可以附加 表示这部分。起点为 ，终点为 ，沿逆时针方向运动。范围改成 后，从 出发逆时针走完整个椭圆两遍，消参方程不变，但起点、覆盖范围和次数都变了。

自己安排一次直线运动

一个点从 $A(-1,2)$ 匀速走到 $B(5,-6)$，用时 $4$ 秒。写出位置的参数方程、速度向量、速率，以及同方向的单位向量。

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总位移是 $\langle5-(-1),-6-2\rangle=\langle6,-8\rangle$，长度为 $10$。除以用时 $4$，速度向量为 $⟨3\mathrm{/}2$，所以位置方程为 ，。速率是 。把速度向量除以其模，得到同方向单位向量 ；也可以把总位移除以 ，得到相同结果。起点代入 、终点代入 均满足要求。

用点积识别方向关系

设 $\vec u=\langle2,1\rangle$、$\vec v=\langle-1,2\rangle$。求 、 及两向量夹角。再解释为什么不能用同样的夹角公式比较 与 。

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先数乘再相减：$2\vec u-\vec v=\langle4,2\rangle-\langle-1,2\rangle=\langle5,0\rangle$。点积为 ，两个向量的模都为 ，因此 ，夹角为 。若换成零向量，分母中出现 ，无法相除；更根本的原因是零向量没有确定方向，因此没有与 的几何夹角。

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如果只在离散时刻记录位置

这一章里，参数可以在一个区间内连续改变，我们于是看见了整段运动。但现实里的记录常常是一帧一帧的：第 $1$ 秒、第 $2$ 秒、第 $3$ 秒各存一个数，不必每个中间时刻都有记录。

例如一个点沿 $r=0.2\theta$ 向外转动，每当角度到达 $\theta=n\pi$ 时记一次距离，其中 $n=1,2,3,\ldots$。记录的数就是 $0.2\pi,0.4\pi,0.6\pi,\ldots$，第 次为 。这里下标 表示记录次序，我们暂时只研究这些离散距离，不把中间值默认加入记录。

下一章会沿着这个问题继续：如果函数的输入只允许是第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项，我们怎样描述它的生成规则？这些值累加起来会怎样？记录次数越来越多时，它们会不会靠近某个稳定的数？刚才给运动排顺序的习惯，会变成研究数列的起点。