函数语言与图像阅读

上一章给这门课画了一张路线图：我们会从函数出发，经过三角函数、数列和极限，最后走到“变化得多快”和“累积了多少”。现在先把脚下这一步走稳。后面反复出现的 $f(x)$，究竟是在说一条计算规则、一个具体的数，还是一幅图？

你可以先想一个熟悉的过程：从家里出发骑车，骑了一段，停下来买水，随后沿原路返回。如果每隔一分钟记下“现在离家多远”，就会得到一张表；把这些时间和距离画成点，就有了图像；如果每段骑行速度稳定，还能写出公式。它们描述的是同一趟出行，只是各自把不同的信息摆在了眼前。

这一章就围绕这件事展开：怎样把一个变化过程读成函数，又怎样从函数把过程读回来。我们会分清输入和输出，检查哪些数允许代入，读懂图上的空心点和实心点，再把“上升得快不快”变成可以计算的平均变化率。先把这些语言说清楚，下一章讨论图像的平移和拉伸时，才知道究竟移动了什么。

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函数先约定好：给定输入，输出得确定

一个输入不能让规则左右为难

假设校园有三个储物柜，编号分别是 $101$、$102$、$103$，它们这一时刻存放的书本数分别为 $2$、$5$、$2$。输入柜号，就能查到一个确定的书本数。我们把对应关系写成有序数对：

$$(101,2),\qquad (102,5),\qquad (103,2)$$

数对里前面放输入，后面放输出。两个柜子都放了 $2$ 本书，完全没有问题；输入 $101$ 得到 $2$，输入 $103$ 也得到 $2$，并没有让任何一个输入对应两个答案。

如果记录里又出现 $(101,4)$，同时仍保留 $(101,2)$，麻烦才出现：到底 $101$ 号柜有几本书？在同一时刻、同一规则下，它不能既输出 $2$ 又输出 $4$。这样的对应关系没有把输出确定下来，所以不能把“书本数”说成这个“柜号”的函数。若两条记录来自不同日期，就需要把日期也纳入条件，不能把条件不同的记录硬放在同一个规则里。

函数的要求是：定义域里的每一个输入，都有且只有一个输出。“有”保证没有漏掉允许的输入；“只有一个”保证没有相互冲突的答案。输入不必全是数字，规则也不必写成公式。给定某本书的书号，查它的书名，同样可以描述一种函数关系。本课程主要研究输入和输出都是实数的情形。

把函数想成一台机器，方便之处就在这里：我们先说清楚它接收什么，再看它会交出什么。同一台机器采用同一套规则时，同一个允许的输入不能忽然跑出两个不同结果。

把箭头倒过来，未必还是函数

现在反过来问：“柜里放了 $2$ 本书，它的柜号是多少？”答案可能是 $101$，也可能是 $103$。刚才从柜号到书本数的关系是函数，倒过来却不能唯一确定柜号。

这不是文字游戏。后面我们会研究反函数，它做的正是根据输出找回输入。一个函数如果不同输入总能得到不同输出，就叫一一函数；这样的函数才有机会在原定义域上把对应关系完整地倒过来。现在先记住这道门槛，反函数的求法留到下一章。

自变量不是“想取什么就取什么”

把输入记为 $x$，输出记为 $y$，我们通常叫 $x$ 自变量、$y$ 因变量。“自变量”表示我们先选它，再由规则确定输出，并不保证它可以取所有实数。

例如 $V(t)$ 表示某个水箱在一次实验中的水量，$t$ 以分钟计，$V(t)$ 以升计。如果实验只记录了开始后的 $9$ 分钟，那么允许的时间就是 $0\le t\le9$。$$ 不在这次记录里， 的水量也不能凭现有模型擅自补上。

读情境题时，先把“哪一个量随哪一个量变化”说完整。图像中的 $(3,28)$ 若表示时间与水量，就是“开始后 $3$ 分钟，水箱里有 $28$ 升水”。离开变量和单位，这个点只是两个数；配上含义，它才是一条可以检查的信息。

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函数记号：括号里是交给规则的东西

函数名与函数值要分开

设有函数

$$f(x)=x^2-2x+3$$

$f$ 是整条规则的名字，$x$ 是输入所占的位置，$f(x)$ 是这条规则对输入 $x$ 给出的输出。$f(x)$ 不表示 $f$ 与 $x$ 相乘。你可以把它读成“把 交给 后得到的值”。

要求 $f(-2)$，就是把表达式里每一个输入位置都换成 $-2$：

$$f(-2)=(-2)^2-2(-2)+3=4+4+3=11$$

这里的括号很有用。$(-2)^2$ 是把整个负数平方，得到 $4$；如果写成 $-2^2$，按照运算顺序会得到 $-4$，意思已经变了。代入负数时先加括号，是在保护“整个输入一起替换”这件事。

同样，函数可以叫 $g$、$T$ 或 $V$，输入也可以叫 $t$、$u$ 或 $a$。$V(4)=40$ 表示 这条规则在输入 时给出 ；若沿用水箱的含义，就是第 分钟有 升水。字母换了，输入输出的关系没有换。

输入也可以是一整个表达式

如果要求 $f(a+h)$，先别把它拆成 $f(a)+f(h)$。括号里的 $a+h$ 是一个整体输入，规则要求我们先把它平方，再减去它的两倍，最后加 $3$：

$$\begin{aligned} f(a+h) &=(a+h)^2-2(a+h)+3\\ &=a^2+2ah+h^2-2a-2h+3. \end{aligned}$$

这里的 $2ah$ 不能漏，因为 $(a+h)^2$ 是 $(a+h)(a+h)$，交叉相乘会出现两次 $ah$。把这一步慢慢展开，比背“函数不能拆”更有帮助：规则只承诺如何处理一个完整输入，并没有承诺能把加法搬出括号。

用数值就能检查。这个函数有 $f(1)=2$、$f(2)=3$，但

$$f(1+2)=f(3)=6,\qquad f(1)+f(2)=2+3=5.$$

两边不相等。类似地，$f(2a)$ 通常不等于 $2f(a)$。前者先把输入加倍，后者先运行函数再把输出加倍。下一章的函数变换，就会把这两种动作放到图像上比较。

求一个输出，和寻找所有输入，是两种问题

继续用 $f(x)=x^2-2x+3$。问“$f(3)$ 是多少”，输入已经确定，只需计算，结果是 $6$。问“哪些 $x$ 使 ”，则是从输出往回找：

$$\begin{aligned} x^2-2x+3&=6,\\ x^2-2x-3&=0,\\ (x-3)(x+1)&=0. \end{aligned}$$

因此 $x=3$ 或 $x=-1$。回代有 $f(3)=6$、$f(-1)=6$，两个输入都合格。这没有违反函数定义，因为每个输入仍然只得到一个输出。

再问 $f(x)=1$ 有没有解。把原式整理成

$$f(x)=(x-1)^2+2$$

就看清楚了：平方不小于 $0$，所以输出至少是 $2$，不可能得到 $1$。反过来寻找输入时，答案可能有多个，也可能没有。若题目还限制 $x\ge0$，刚才 $f(x)=6$ 的两个代数解中就只能保留 $3$。解出候选数之后，还要把它放回定义域检查。

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定义域和值域：哪些数能进去，哪些数真的能出来

先读懂区间符号

定义域是允许输入的全部值，值域是实际能够得到的全部输出。要写清“全部”，我们需要一种能表示一整段数的记号。

例如 $-2\le x\lt5$ 包含从 $-2$ 起到 $5$ 之前的所有实数，写成 $[-2,5)$。左边的方括号表示 $-2$ 取到，右边的圆括号表示 $$ 不取。中间包括 、、 等数，不只是几个整数。

$\infty$ 和 $-\infty$ 表示无界的方向，不是可以被函数取到的实数端点，所以旁边一律用圆括号。全体实数可以写成 $\mathbb R$，也可以写成 $(-\infty,\infty)$。

如果允许所有实数，唯独不允许 $x=2$，范围就断成两段：

$$(-\infty,2)\cup(2,\infty).$$

$\cup$ 叫并集，意思是两部分里出现的数都收进来。另一种写法是 $\{x\in\mathbb R\mid x\ne2\}$，读作“所有满足 $x\ne2$ 的实数 组成的集合”。若只有几个离散输入，如柜号 、、，就写 ，不能用 ；后者还会错误地收进 这样的柜号。

定义域同时受公式和题意约束

没有额外说明时，我们通常把实数表达式所有能算出实数结果的输入作为自然定义域。$x^2-2x+3$ 对任意实数都能计算；遇到分母和根号，就要认真检查。

分母不能是 $0$，因此 $1/(x-4)$ 必须排除 $x=4$。平方根的根号内不能为负，因此 $\sqrt{x+2}$ 要求 ，也就是 。这是实数范围内平方根的限制；立方根不同， 完全可以计算。

例题：求

$$g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$$

的自然定义域。

再比较 $1/\sqrt{x+2}$。这次根号在分母上，$x+2$ 既不能为负，也不能为零，因此要求 $x\gt-2$，定义域变为 。同样一个根号，所在的位置变了，端点能不能取也跟着变了。

现实条件还可能进一步缩小范围。如果 $x$ 是购买件数，就通常只能取非负整数；如果水箱最多容纳 $50$ 升，某个注水公式超过容量之后就不能继续按原情境使用。公式算得出，与这个模型允许算，是两层不同的检查。

值域需要沿着输出方向重新想一遍

求定义域时，我们排除不能输入的数；求值域时，要检查输出究竟能到哪里。这两道题不能只把字母 $x$ 换成 $y$。

例如

$$r(x)=\sqrt{x-2},\qquad 2\le x\le11.$$

输入从 $2$ 走到 $11$，根号里的 $x-2$ 从 $0$ 走到 $9$，平方根于是从 $0$ 走到 $3$。两端都能取到，中间每个输出也都能得到，所以值域是 $$。如果把定义域改成 ，输出 就失去了对应输入，值域随之变成 。

更容易漏掉的是中间的高低点。设

$$s(x)=(x-2)^2+1,\qquad -1\le x\le4.$$

左右端点的输出是 $s(-1)=10$ 和 $s(4)=5$，但值域绝不是 $[5,10]$。输入走到 $2$ 时，平方项变为 $0$，函数还能降到 。在这段定义域里， 从 到 ，它的平方能取到 至 的每一个值；再加 ，得到值域 。

要确认“中间每一个值都能得到”，也可以反向检查：给定 $1\le y\le10$，选 $x=2-\sqrt{y-1}$，它落在 内，并满足 。我们既说明没有输出跑到 外，也说明这个区间里没有遗漏的输出。

给几个常用函数认个脸

以后许多复杂图像会从下面这些简单函数变出来。先不用把它们当成新的背诵表，试着把每行的范围都和运算本身联系起来。这里取各表达式的实数自然定义域，$c$ 表示一个固定实数。

表中的 $\mathbb R\setminus\{0\}$ 就是从全体实数中去掉 $0$，等价于 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。比如 $1/x^2$ 只能输出正数，而任何正数 都能由 产生，所以值域确实是全部正数。 的输出则不能写成“正负两种”：，解方程 才得到 或 。把“一个函数的求值”与“一个方程的求解”分开，这张表就有了可以解释的依据。

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读图时，先认清每一个点到底说了什么

从输入找输出：纵线检验的来历

函数图像由所有 $(x,f(x))$ 组成。给定输入 $x=2$，在横轴找到 $2$，沿竖直方向寻找图像上的点，它的纵坐标就是 $f(2)$。

为什么要沿竖直方向找？因为竖直线 $x=2$ 上的所有点，横坐标都一样。如果这条线碰到图像上的两个不同点，就意味着同一个输入 $2$ 对应两个不同输出。这正好违反了函数要求。于是有了纵线检验：以 $x$ 为输入、$y$ 为输出时，任意一条竖直线与图像至多相交一次，图像才可能表示函数。

“至多一次”允许没有交点，这说明那个横坐标不在定义域里。若题目已经指定了定义域，还要保证其中的每个输入都有一个交点。

整条圆 $x^2+y^2=4$ 就过不了检验：$x=0$ 时，圆上同时有 $(0,2)$ 和 。取上半圆 ，并限定 ，每个输入就只保留一个输出，成为函数。水平直线 是函数，竖直直线 则不是以 为输入的函数；不要因为它们都叫直线就一起判定。

反过来，沿水平线 $y=3$ 找交点，是在寻找“哪些输入会产生输出 $3$”。对一个已经确认是函数的图像，如果每条水平线也至多交一次，它就是一一函数。这是下一章判断能不能倒回去的图像方法。

定义域看横向覆盖，值域看纵向覆盖

想象把图像竖直压到 $x$ 轴上，所有被覆盖的横坐标组成定义域；把它水平压到 $y$ 轴上，所有被覆盖的纵坐标组成值域。读的是覆盖到的坐标，不是曲线有多长。

但投影之后还要检查边界是否真的属于图像。空心点表示那个点不包含在图像中，实心点表示包含。箭头通常表示曲线按所示趋势继续伸展；没有箭头或其他说明时，不要把绘图窗口的边缘擅自当成函数的终点，也不要自行断定它会一直延长。

阅读时先分别判断横向和纵向范围，再检查端点开闭。尤其留意“同一个高度是否还在别处出现”：一个空心点可能挖掉一个图像点，却不一定挖掉一个值域里的数。

例如，先画 $y=x$ 在 $-2\lt x\lt2$ 上的线段，但去掉 $(1,1)$，再加上实心点 $(1,3)$。定义域仍是 ，因为输入 现在由实心点负责，。值域却变成

$$(-2,1)\cup(1,2)\cup\{3\}.$$

原来唯一输出 $1$ 的点被去掉了，新增的输出则是 $3$。不能因为最低处接近 $-2$、最高处达到 $3$，就写成 $(-2,3]$；$2$ 到 $3$ 之间那些高度并没有图像点。

拿一段最简单的直线确认这个区别：规定 $f(x)=x+1$，但只接收 $0\le x<3$。起点 $(0,1)$ 包含在图像里，末端 $(3,4)$ 不包含，所以横向投影是 ，纵向投影是 。

空心点表示这一端没有取到；它没有让整段曲线都失效。图中两轴的单位显示长度不同，读值应以各轴刻度为准，不能只凭直线看起来倾斜多少度判断斜率。

零点、截距和正负，问的是不同信息

若 $f(a)=0$，输入 $a$ 叫函数的零点，对应图像点 $(a,0)$ 是与 $x$ 轴的交点。本章把“截距”写成坐标点，避免和零点这个数混淆。若 $0$ 在定义域中，图像与 $y$ 轴的交点是 ；若 根本不允许输入，就没有这个交点。

图像在 $x$ 轴上方，表示 $f(x)\gt0$；在下方，表示 $f(x)\lt0$。因此“正负区间”应该写输入所在的区间，不能把图像高度的范围抄过来。

我们用一个中间为正的具体函数来算。对定义在全体实数上的 $u(x)=4-x^2$，先令输出为零：$4-x^2=0$，得到零点 $x=-2$、，相应交点为 、。令输入为零则得到 ，所以与 轴的交点是 。

再看符号。$u(x)\gt0$ 等价于 $x^2\lt4$，即 $-2\lt x\lt2$；$u(x$ 等价于 。于是正区间为 ，负区间为 和 。零点不包含在严格的正、负区间内；若问 ，才把它们收进来，得到 。

有零点也不保证穿过横轴。$x^2$ 在 $0$ 处等于零，却在两侧都非负，图像只是碰到横轴又回去了。还有些函数在没有零点的地方改变符号，例如 $1/x$ 在 $0$ 两侧符号不同，但 $0$ 不在定义域里。划分区间时，零点和定义域的断开处都要留意。

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变化率：把“变了多少”放回“用了多久”里

先算差，再除以输入的变化

某个记录里，水量从第 $2$ 分钟的 $18$ 升变为第 $5$ 分钟的 $30$ 升。增加了 $12$ 升，这是输出的变化量；用了 $3$ 分钟，这是输入的变化量。平均每分钟增加多少，需要做一次除法：

$$\frac{30-18}{5-2}=4\quad\text{升/分钟}.$$

如果同样增加 $12$ 升却用了 $6$ 分钟，平均每分钟就只增加 $2$ 升。只比较输出的差，无法分辨这两种快慢。

把两个允许的输入记为 $a$、$b$，且 $a\lt b$，对应输出就是 $f(a)$、$f(b)$。它们之间的平均变化率是

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

分子和分母要使用同样的先后顺序：都用“后减前”。如果都反过来减，两个负号相消，结果不变；只反一个，符号就错了。两个输入必须不同，否则分母为零，不能用这个式子计算。

几何上，把 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 用直线连接，这条割线的斜率就是平均变化率。它把两点之间的净变化折合到每一单位输入上。单位是“输出单位/输入单位”，例如升/分钟、摄氏度/小时，或者元/件。单位会提醒我们，这个答案描述的是什么量的变化。

平均是整段的概括，不是中途每一刻的情况

再算 $u(x)=4-x^2$。在 $[0,2]$ 上，

$$\frac{u(2)-u(0)}{2-0}=\frac{0-4}{2}=-2.$$

负号表示输出总体下降。在 $[-2,0]$ 上，平均变化率则为 $(4-0)/(0-(-2))=2$。区间换了，结果就可能改变。

如果选整个 $[-2,2]$，两端输出都是 $0$，平均变化率变为 $0$。但图像并没有全程水平，它先从 $0$ 升到 $4$，再降回 $0$。平均变化率为零只说明两端的输出相同，不能证明中途没有变化。同样，平均变化率为正，只说明终点输出大于起点输出，不能保证整个区间一直递增。

距离图里还有一个常见混淆。假设你沿同一直路离家骑了 $3$ 千米，随后原路骑回，整个过程用了 $0.5$ 小时。离家距离的平均变化率是 $(0-0)/0.5=0$；总共骑行的路程却是 $6$ 千米，平均速率为 $6/0.5=12$ 千米/小时。离家距离的净变化与累计路程不是同一个量，要先看纵轴记录的是什么。

用字母计算，仍然是同一件事

前面已经求过 $f(a+h)$，现在可以把它接到平均变化率里。对于 $f(x)=x^2-2x+3$，比较输入 $a$ 和 ，其中 ：

$$\begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} &=\frac{(a^2+2ah+h^2-2a-2h+3)-(a^2-2a+3)}{h}\\ &=\frac{2ah+h^2-2h}{h}\\ &=\frac{h(2a+h-2)}{h}\\ &=2a+h-2. \end{aligned}$$

这里没有出现新的计算魔法：代入两个输入，做差，再除以输入差 $h$。最后能约掉 $h$，是因为一开始就规定了 $h\ne0$。取 $a=2$、$h=3$，结果为 ；直接用 、 检查，也得到 。

以后研究“某一刻变化得多快”，会让这两个输入越来越靠近。现在我们先把两点之间的计算弄熟，不需要提前把 $h=0$ 塞进原来的分式。

直线为什么特别好读

如果一段过程的变化率始终是 $m$，从已知点 $(a,f(a))$ 出发，输入增加 $x-a$，输出就增加 $m(x-a)$，所以

$$f(x)=f(a)+m(x-a).$$

这就是直线的点斜式所表达的事情。展开以后会得到熟悉的 $f(x)=mx+b$。$m$ 决定每增加一单位输入，输出改变多少；$b$ 是公式在 $x=0$ 时的输出。如果 $0$ 不在实际定义域里， 只是延长这条直线时的截距，不能硬说它是某个现实初始值。

例如已知一段线性过程满足 $L(2)=7$、$L(5)=13$，先算 $m=(13-7)/(5-2)=2$，再从输入 的已知点出发：

$$L(x)=7+2(x-2)=2x+3.$$

代回两个已知输入，分别得到 $7$ 和 $13$，结果相符。这里能用两点确定整条规则，是因为题目已经说明它是线性的；如果只有两个数据点，没有这个条件，两点之间可能藏着很多不同曲线。

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增减和极值：看整段怎样走，也看比较范围有多大

递增说的是前后比较，不是位置高低

沿横轴从左向右读图，若输入增加时输出总是增加，我们说函数在该区间上递增。更准确地说，区间内任取 $x_1\lt x_2$，都应有 $f(x_1)\lt f(x_2)$。递减则要求每一对这样的输入都满足 。如果任意两个输入得到同样输出，这一段就是常数段。

这里采用严格递增、严格递减的说法。允许输出相等时，常用“非递减”“非递增”来区分。无论采用哪种说法，单调性讨论的都是一个范围内的比较，不能只拿一个点说“这个点递增”。

我们可以用熟悉的平方函数来练。$x$ 从 $-3$ 增加到 $-2$、$-1$、$0$，$x^2$ 从 $9$ 降到 、、； 从 继续增加，平方又开始增加。这些数值帮助我们猜方向，完整理由则是：负数向 靠近时绝对值变小，平方随之变小；非负数增大时，平方也增大。因此 在 上递减，在 上递增。

图像题常把转折点单独列出，把单调区间写成 $(-\infty,0)$ 和 $(0,\infty)$。这是一种报告方式，并不表示端点永远不能放进单调区间；像这里把 $0$ 放进相应区间，仍满足任意两点比较的定义。

定义域断开的地方也不能随便接起来。$1/x$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减，在 $(0,\infty)$ 上也递减，但不能由此说它在整个非零实数集合上递减。取 $-1\lt1$，输出却是 $-1\lt1$，与递减要求相反。应当分别列出两个区间，不把“各自递减”误写成“合起来仍递减”。

相对极值只和附近比，绝对极值和全体比

想象一幅折线图依次连接这些点，端点全部取到：

$$(-3,1),\quad(-1,4),\quad(1,2),\quad(3,6).$$

从左到右，图像先上升，再下降，再上升。因此它分别在 $(-3,-1)$、$(1,3)$ 上递增，在 $(-1,1)$ 上递减。$(-1,4)$ 是附近的高点，因为左右靠近它的输出都不超过 $4$； 是附近的低点，因为左右靠近它的输出都不低于 。

我们说在 $x=-1$ 处取得相对极大值 $4$，在 $x=1$ 处取得相对极小值 $2$，也可以叫局部极大值、局部极小值。留意这句话里的三个对象：$-1$ 是取得极值的输入位置，$4$ 是极值这个输出，$$ 才是图像点。

若把视线扩展到全部定义域 $[-3,3]$，最高输出其实是右端的 $6$，最低输出是左端的 $1$。所以绝对最大值是 $6$，在 $x=3$ 处取得；绝对最小值是 $1$，在 $x=-3$ 处取得。刚才的局部高点没有赢过全图，局部低点也不是全图最低。

对局部极大值，我们要能在某个足够小的附近范围内找到比较关系 $f(c)\ge f(x)$；局部极小值则是 $f(c)\le f(x)$。对绝对极值，同样的比较必须覆盖定义域里的所有输入。本章读相对极值时主要比较定义域内部点的两侧；端点则另外参加绝对最大、最小值的比较，避免把端点约定混在一起。

“先增后减”是许多连续图像的常见局部极大形状，但定义本身是比较附近的函数值。分段函数中的孤立高点或平顶区间，也需要按这个比较来判断，不能要求每个极值都长成一座尖山。

接近一个高度，不等于取得那个高度

函数 $v(x)=x$ 若定义在 $(0,1)$ 上，输出可以是 $0.9$、$0.99$、$0.999$，却不能等于 $1$。它没有最大值，因为无论取到哪个小于 的输出，还能找到更大的允许输出；也没有最小值，因为还可以继续靠近 。

如果定义域改为 $(0,1]$，最大值就有了，是 $v(1)=1$，但仍没有最小值。这说明边界是否取到，会真正改变极值结论。$+\infty$ 也不能充当最大值：无界增长表示没有有限上界，不是某个输入会输出“无穷大”。

读远端趋势时，先分清定义域是否确实向那一侧无界延伸。$x^2$ 在全体实数上，两端的输出都会越来越大；$1/x$ 在 $x$ 越来越大时，输出会越来越靠近 $0$，却没有输出为 $0$ 的点。更精确的极限语言以后再补，现在先把“在哪里取值”和“朝哪里变化”分开。

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分段函数：先看输入归哪段，再使用那一段的规则

多条公式仍可以描述一个函数

绝对值就是你已经见过的分段函数。$|x|$ 表示 $x$ 到 $0$ 的距离；$x$ 非负时距离是 $x$，$x$ 为负时则要取相反数 $-x$，因此

$$|x|= \begin{cases} -x, & x\lt0,\\ x, & x\ge0. \end{cases}$$

输入 $-3$ 时应该使用第一行，得到 $-(-3)=3$。第一行虽然写着负号，却并不输出负数，因为它接收的是负输入。输入 $0$ 由第二行负责，输出 $0$。

分段函数的每一行都包含两部分：左边是计算规则，右边是适用条件。先读条件，再代公式，就不会看到 $x^2$ 就不分输入地拿去平方。

另看一组分段规则：$x<-2$ 时输出恒为 $1$，$-2\le x<1$ 时采用 $x^2-1$， 时采用 。在 处，中段接收这个输入，所以实心点是 ，不是左段的空心点 ；在 处，由右段给出实心点 ，中段的 留空。每个边界都只保留一个实际输出。

下面换一组规则，亲自把“选条件、画端点”完整做一遍：

$$p(x)= \begin{cases} x+2, & x\lt0,\\ 4-x^2, & 0\le x\le2,\\ x-2, & x\gt2. \end{cases}$$

这里 $p(-1)=1$，因为 $-1$ 使用第一行；$p(0)=4$，因为 $0$ 使用第二行；$p(2)=0$，仍使用第二行；，才轮到第三行。

画图时，也按相同原则处理。第一段只画 $x\lt0$ 的部分，在 $(0,2)$ 画空心点；第二段从实心点 $(0,4)$ 画到实心点 $(2,0)$；第三段只取 $x\gt2$。第三段若单独画，它在 应为空心，但合成整幅函数图像后，这个点已经由第二段包含，最终应显示为实心点。

这就是为什么画图不能只机械地给每条线段加圆圈，还要检查合并后的函数真正包含哪些点。$x=0$ 处只有 $(0,4)$ 是实际图像点，$(0,2)$ 不是，所以这里仍通过纵线检验。

求值域时，把各段实际输出合起来

刚才的 $p$，第一段输入小于 $0$，输出 $x+2$ 小于 $2$，输出范围为 $(-\infty,2)$。第二段输入从 $0$ 到 $2$，输出从 降到 ，范围为 。第三段输入大于 ，输出大于 ，范围为 。

把这三部分取并集，得到全体实数。虽然 $x=0$ 左侧那一支没有取到高度 $2$，其他支却取到了，例如 $p(4)=2$。值域检查的是“有没有任何允许输入能产生这个输出”，不是“每一支是否都取到它”。

分段条件也需要先验检查。如果一处边界两边都不含等号，那么该输入可能根本不在定义域内；如果两行同时包含某个输入，而且给出的输出不同，就违反函数要求。两行在重叠处给出相同输出并不矛盾，但写教程时通常把边界明确分配给其中一行，读起来更清楚。

附近的线段经过哪里，不替代这个点的函数值

再看

$$q(x)= \begin{cases} 2x+1, & x\lt1,\\ 5, & x=1,\\ -x+4, & x\gt1. \end{cases}$$

求 $q(0)$、$q(1)$、$q(3)$，并说明 $x=1$ 附近的图像。

后面学极限时，会专门讨论这个区别：附近的输出怎样变化，与该点实际输出多少，可以是两个问题。现在读懂空心点和实心点，就已经把这个区别看见了。

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把情境、公式、表格和图像接成一个完整过程

先看一个水深例子：初始水深 $20$ 厘米，随后每分钟增加 $3$ 厘米，于是时间 $0$、$1$、$2$、$3$ 分钟分别对应水深 $20$、$23$、$$、 厘米。下面我们改用水量，并加入暂停和排水，看看规则改变后怎样接起来。

四种表示各有长处，但互相转换时不能凭空添加信息。公式能生成很多数值，表格只保留其中一些；图像能显示变化，但读数精度受刻度限制；情境则负责告诉我们哪些输入有意义，以及为什么采用某一种规则。

从水箱故事一步步写出模型

一个水箱开始有 $20$ 升水。前 $4$ 分钟匀速注水，每分钟增加 $5$ 升；接着暂停 $3$ 分钟；最后打开排水口，在 $2$ 分钟内匀速排出 $12$ 升。假设水箱容量足够、过程没有泄漏，并且这里只研究这 $9$ 分钟。设 $V(t)$ 为开始后 分钟的水量。

前段从 $20$ 升出发，过 $t$ 分钟增加 $5t$ 升，所以 $V(t)=20+5t$。到第 $4$ 分钟，水量成为 $20+5\cdot4=40$ 升。暂停 分钟意味着从 到 水量保持 升。

排水阶段平均每分钟排出 $12/2=6$ 升，而题目明确说匀速，因此这一段每分钟都按 $6$ 升减少。关键是排水从第 $7$ 分钟才开始。到时间 $t$ 时，已经排水 $t-7$ 分钟，应该写成 $40-6(t-7)$，不能写成 。后者会把尚未开始排水的前 分钟也一起扣掉。

于是

$$V(t)= \begin{cases} 20+5t, & 0\le t\le4,\\ 40, & 4\lt t\le7,\\ 40-6(t-7), & 7\lt t\le9. \end{cases}$$

在 $t=4$ 处，前后两种表达式都给出 $40$；在 $t=7$ 处，后两种表达式也都给出 $40$。我们把边界各交给一行处理，既覆盖了整个 $[0,9]$，又没有重复定义的困扰。

这张表不是随机挑数。$0$ 是过程起点，$4$ 和 $7$ 是规则改变的边界，$9$ 是终点，$2$ 和 $8$ 帮我们检查各段的中间计算。画图时，先标出 $(0,20)$、$$、、，再按各段匀速或不变的条件用线段连接，得到上升、水平、下降三段。

这里可以连直线，是因为情境已给出匀速和暂停条件。如果只是测到了这些时刻的水量，却不知道中间怎么变化，同一张表也可能对应一条弯曲甚至起伏的图像。

同一个模型，回答不同问题

定义域是 $[0,9]$。第一段实际经过 $20$ 到 $40$ 升的所有水量，后面的过程都在这个范围内，因此值域是 $[20,40]$。不能只看到最后的 $28$ 升，就把它误当成整个过程的最小值。

绝对最小值是 $20$ 升，在 $t=0$ 取得；绝对最大值是 $40$ 升，在整个 $[4,7]$ 内都取得。最大值这个数只有一个，取得它的时间却可以有很多个。水量始终为正，因此没有零点；纵轴交点 $(0,20)$ 表示初始水量。

前 $4$ 分钟的平均变化率是 $5$ 升/分钟，暂停期间是 $0$，最后 $2$ 分钟是 $-6$ 升/分钟。整个 $9$ 分钟的平均变化率则为

$$\frac{V(9)-V(0)}{9-0}=\frac{28-20}{9}=\frac89\quad\text{升/分钟}.$$

这个正值概括的是水箱最终净增加了 $8$ 升，不表示最后仍在注水。若把各段变化率直接平均，得到 $(5+0-6)/3=-1/3$，会出错，因为三段持续时间分别是 $4$、$3$、$2$ 分钟，不能当成同样长。按持续时间加权才得到

$$\frac{5\cdot4+0\cdot3+(-6)\cdot2}{4+3+2}=\frac89.$$

再问“水量什么时候等于 $34$ 升”。先检查第一段：$20+5t=34$ 给出 $t=14/5=2.8$，落在 $[0,4]$ 内，保留。暂停段输出只有 $$，没有解。最后一段由 得到 ，落在 内，也保留。两次到达同一水量，对应图像与水平线 的两个交点。

表格能提供线索，但不替我们证明整条曲线

假设只知道某函数在 $x=0,1,2$ 时的输出都是 $1$。常数函数 $F(x)=1$ 符合这三条记录；但

$$G(x)=1+x(x-1)(x-2)$$

也符合，因为在这三个输入处，乘积都有一个因子为零。到了 $x=1/2$，$F(1/2)=1$，而 $G(1/2)=1+3/8=11/8$，两条规则立刻给出不同结果。

所以三个表格点排成一条水平线，不足以证明完整图像是一条水平线。用表格建立模型时，可以提出一个候选规则，但要说明它依赖哪些假设，不能把有限记录变成未经说明的全程结论。图像读数也一样：若交点只看出大约在 $2.3$ 附近，就应写近似值，不能凭绘图像素宣称某个精确分数。

图像是变量关系，不是路线照片

先把场景限定为沿同一直路、在家的同一侧往返，再看距离怎样随时间改变。

回到开头的出行。距离—时间图像向上，表示离起点越来越远，不表示你在爬坡；向下，表示离起点越来越近，不表示道路向南。横轴是时间，所以图上的折线不能直接当成地图里的实际路径。

图像的一段水平，只能直接告诉我们离起点的距离保持不变。在“沿同一直路、同一侧往返”的简化情境里，这可以表示停留；如果允许在平面上活动，你也可能绕着起点走圆圈，距离始终不变，人却没有停。先依据坐标轴说出图像确定的信息，再结合情境解释动作，故事就不会越讲越远。

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自检练习

练习 1：某次记录包含 $(1,4)$、$(2,4)$、$(3,7)$、$(2,4)$。它是否满足以第一个数为输入的函数要求？若再加入 $(2,6)$ 呢？如果只看原记录，把第二个数作为输入、第一个数作为输出，是否仍是函数？

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原记录满足函数要求。输入 $1$、$2$、$3$ 各自只有输出 $4$、$4$、$7$；重复出现的 $(2,4)$ 没有带来不同输出。加入 $$ 后，同一输入 同时对应 和 ，不再满足要求。若把原记录倒过来，输入 会对应 与 ，因此也不是函数。判断的关键是哪个量被指定为输入，以及这个输入能否唯一确定输出。

练习 2：设 $f(x)=x^2-2x+3$，求 $f(-3)$、$f(a+2)$，并解方程 。若额外限制定义域为 ，方程的答案怎样变化？

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代入完整的负数输入，$f(-3)=(-3)^2-2(-3)+3=9+6+3=18$。把 当整体代入，则

练习 3：求 $g(x)=\sqrt{8-2x}/(x+1)$ 的自然定义域。另设 $r(x)=$，但只允许 ，求它的值域，并说明两端为什么取或不取。

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根号要求 $8-2x\ge0$，解得 $x\le4$；分母要求 $x\ne-1$。同时满足两者的定义域是 $(-\mathrm{\infty },-1$。 可以取，因为根号为零而分母不为零。

练习 4：设 $u(x)=4-x^2$，定义域为 $[-3,2)$。求零点、正负区间、值域和绝对最大最小值，再计算从 $x=-2$ 到 $$ 的平均变化率。特别检查不取 会不会让输出 消失。

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代数方程 $4-x^2=0$ 给出 $\pm2$，但 $2$ 不在定义域里，所以零点只有 $-2$。函数在 $(-2,2)$ 上为正，在 上为负； 是允许输入且 ，负区间要包含它。

练习 5：设

$$h(x)= \begin{cases} x+1, & -2\le x\lt1,\\ 4, & x=1,\\ 3-x, & 1\lt x\le3. \end{cases}$$

求 $h(-2)$、$h(1)$、$h(2)$，定义域和值域；说明在 $x=1$ 处怎样画点，以及绝对最大值、最小值分别在哪里取得。

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按条件选择公式可得 $h(-2)=-1$、$h(1)=4$、$h(2)=1$。三段输入合起来为 $[-2,3]$，所以这就是定义域。

练习 6：一个容器最初有 $12$ 升水，前 $3$ 分钟匀速流入共 $18$ 升，随后保持 $2$ 分钟，再用 $5$ 分钟匀速排空。只研究这 $10$ 分钟，设水量为 $W(t)$。建立分段模型，求值域，并比较最后 $5$ 分钟与整个 分钟的平均变化率。

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前段每分钟增加 $18/3=6$ 升，到 $t=3$ 时水量为 $30$ 升。接着保持到 $t=5$。最后把 $30$ 升在 $5$ 分钟内排空，每分钟减少 升，但排水时间要从 开始计，因此

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下一步：原来的点会移动到哪里

现在面对一个函数，你已经可以先确定输入输出，再检查定义域和值域，从图像读出实际取值、增减区间和高低点，并用两点之间的变化计算平均变化率。遇到规则改变的过程，也能逐段写出公式，再把各段接起来检查。

下一章，我们会拿这些已经能读懂的图像动手。例如已知 $f(2)=5$，把函数改成 $g(x)=f(x)+3$，原来的输出 $5$ 会变成 $8$；如果改成 $$，要让旧函数再次接收到输入 ，新的输入就必须是 。同一个旧点 ，在两种改动下会去往不同的位置。

所以接下来不必急着背“加左减右”这样的口诀。我们会一直追着原来的点问：输入被怎样处理，输出又被怎样处理？把这件事看明白，平移、拉伸、复合和反函数就能接在本章的同一套输入输出语言上。